勾股定理典型解题技巧及练习(共14页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上专题复习一 勾股定理常见勾股数如下：3,4,56,8,109,12,1512,16,2015,20,255,12,137,24,259,40,4110,24,268,15,173、常见平方数：； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ；4、已知斜边和一条直角边求另一条直角边由a+b=c可得 a= c- b=(c+b) (c-b) （平方差公式）例如，已知c=61, b=60, 则a= c- b= (61+60) (61-60) =121, 则 a=11已知c=41, b=40, 则a= c- b= (41+40) (41-40) =81,则 a=9已知c=17, b

2、=8, 则a= c- b= (17+8) (17-8) =25 x 9=52 x 32= (5 x 3)2A则 a = 5 x 3 =155、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。CDE如图，CD为斜边AB的中线，过D作DEAC于E,DFBC于F在RTADE 和RTDBF中， DAE=BDF , AD=DB ADE=DBF BRTADERTDBF EA=FD, 有因CEDF为矩形， FD=CE=EA=1/2 CAFRTADERTCDE CD=AD=DB=1/2 AB 6、直角三角形30°角的对边等于斜边的一半7、三角形内角平分线上的点到两边的距离相等8、任意三角形三个内角的角平分线相交

3、于一点。该点称三角形的内心（内切圆圆心）。 9、任意三角形三个边上的垂线（高）相交于一点。该点称三角形的垂心10、任意三角形三个边上的中线相交于一点。该点称三角形的重心。11、任意三角形三个边上的垂直平分线（中垂线）相交于一点。该点称三角形的外心（外接圆圆心）。12、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，a-bca+b13、三角形面积计算公式：S=底边长 x 高 14、垂直平分线垂直且平分其所在线段。 垂直平分 线上任意一点，到线段两端点的距离相等。15、点A沿某一条线段（EF）折叠至点B，折线EF。则折线EF垂直平分线段AB。16、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形判断 ：根据勾股定

4、理a+b=c可判断c边的对角C是否为直角。若a+b>c， 则C为锐角； 若 a+b=c 则C为直角； 若a+b<c，则C为钝角。专题归类： 专题一、勾股定理与面积在RtABC中，C=, a、b为直角边，c为斜边。h为斜边上的高。则RtABC的面积：S=ab S=h*c （公式）1) 已知任意两边长，求面积： 已知a、b, 则S=1/2 ab已知a、c, 根据 b2=c2-a2 ，开平方根得 b 值，利用S= ab求解例题1：在RtABC中，C=, a=3, 斜边c=5，则RtABC的面积S= 。RtABC, a=3, c=5, 则 b=4, S=ab=x 3 x 4=6又如，三条边

5、分别是5,12,13的三角形的面积是 。 52+122 =25+144=169=132 该三角形为直角三角形，且5,12 为直角边S=ab=x 5 x12=302) 已知周长（a+b+c）和斜边长c ，或已知 （a+b）及c，求面积:在RTABC中， (a+b)2=a2+b2+2ab, c2=a2+b2 (a+b)2-c2 =2ab因此S=ab=(a+b)2-c2= (a+b+c) (a+b-c)即 S= (a+b+c) (a+b-c) = x (周长) x (周长-2c) （公式）例题2、一直角三角形周长为12米，斜边长为5米，则这个三角形的面积为： 。解S= (a+b+c) (a+b-c)

6、=x 12 x (12-5-5)=6 (m2) 已知直角三角形的周长是2+，斜边长2，求它的面积。 S= (a+b+c) (a+b-c) =(2+) x (2+-2-2)=(2+) x (-2)= x ()2-22=x 2= 已知直角三角形的斜边中线为，面积为，求它的周长。RTABC中线为5， 则斜边长c为10, 由 (a+b)2=a2+b2+2ab, c2=a2+b2 得 (a+b)2= c2+2ab=100+（2x2 x24）=196 (a+b) =14 a+b+c=24已知直角三角形的周长是，面积为，求它的斜边长。S= x (周长) x (周长-2c) 42 =x 56 x (56-2c

7、) 56-2c=3 2c=53, c=53/23) 已知a、b，c，（或已知a、b，根据勾股定理求出c），求高h. 根据RTABC面积计算公式S=ab 以及 S=h*c 得 ab= hc h =例题3、在RTABC中，BC=8, AB=10, CD是斜边的高，求CD的长？ ，AB为斜边，且BC=8, AB=10 直角边AC=6 h =4.8练习：CD是直角三角形ABC斜边AB上的高，若AB=1，AC：BC=4：1，则CD的长为（ ）。AB为斜边，设AC=4x, BC=x, 则 (4x)2+x2=1 17x2=1, x2=1/17 在RTABC中， 斜边AB上的高 CD= 4x2=4/174)

8、直线上摆正方形问题S1S2S3直线l上有三个正方形S1、S2、S3，若已知S1和S3的面积，则S2的面积为 证明：在RTABC和RTCDE中，=180°正方形S2中，AC=CE=90°而=又=90° AC=CERTABCRTCDEBC=DES2=AC2=AB2+BC2 =AB2+DE2 而S1=AB2，S3=DE2S2= S1+ S3例题4、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1S2S3S4等于 。解: S1+ S2=1, S3+ S4=3 S1+ S2

9、 + S3+ S4= 1+3 = 4 8、有一块土地形状如图3所示，AB=20米，BC=15米，CD=7米，请计算这块土地的面积。（添加辅助线构造直角三角形） DCBA图39、如右图：在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，A=60°，B=D =90°求四边形ABCD的面积。证明： 延长AD和BC相交与点EA=60°, B=90°E=30°AB=2AE=4,BE2=AE2-AB2=12BE=，同理可知 DE=SABE= x AB x BE= x 2 x =ESCDE= x CD x DE= x 1 x =则四边形ABCD的面积为 SABE- S

10、CDE=10、如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C的位置上，已知AB=4，BC=8，求：重合部分EBD的面积=BE=DE AE2+AB2=BE2=DE2=(AD-AE)2AE2+42=(8-AE)2=82+AE2-16AE16AE=64-16=48AE=3SEBD=SABD-SABE= x 32-x 3 x 4=1011、如图，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3 .(1) 如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不

11、必证明)(2) 如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；(3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你猜想S1、S2、S3之间的关系?.专题二、勾股定理与折叠点A沿某一条线段（EF）折叠至点B，折线EF。则折线EF垂直平分线段AB1、有一个直角三角形纸片，两直角边的长AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长？解：设CE=x，则AE=8-x，BDE是ADE翻折而成，AE=BE=8-x，在RtB

12、CE中，BE2=BC2+CE2，即（8-x）2=62+x2，解得x=1.75，CE=1.75EDBCA图52、有一个直角三角形纸片，两直角边的长AC=8，BC=6,现将顶点A折叠至点B，折线为DE，求CE的长？解： DE为折线，则DE垂直平分线段AB，因此AE=BE BE2=EC2+BC2(AC-CE)2=EC2+BC2(8-CE)2=62+CE2 64-16CE+ CE2=62+CE2 16CE=64-36=28 CE= A B C D E3、如图4，矩形纸片ABCD的边AB=10cm,BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在DC边上的点G处，求BE的长。图4EGCD

13、BA4、如图，长方形ABCD中，AB=3cm BC=4cm，将此长方形折叠，使点C与点D重合，折痕为EF，求AE、EF的长设AE=x, EF为折线，EF 为AC的垂直平分线，则CE=AE=xBE=BC-CE=4-xAB2=AE2-BE2= x2-(4-x)2=8x-16=9 x=25/8EFAC EO2=AE2-AO2=()2-()2= EO= EF=2x=AEDBCFD1O5、如图6，在矩形纸片ABCD中，AB=，BC=6,沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在Q点处，AD与PQ相交于点H，BPE=图6PHFEQDCBA（1）求BE、QF的长（2）求四边形QPEF的面积。 7、已知

14、，如图，长方形ABCD中，AB=3cm AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则ABE的面积为D专题三、利用股沟定理列方程求线段的长度1、如图7，铁路上A、B两站相距25千米，C、D为两村庄，DAAB于A点，CBAB于点B，DA=15千米，CB=10千米，现在要在铁路上建设一个土特产收购站E，使得C、D两村庄到收购站的距离相等，则收购站E应建在距离A站多远的距离？图7EDCBA2、一架长为5米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底端B距离底C为3米，如果梯子的顶端A沿墙下滑1米到D处，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将下滑动1米到E处吗？请给出证明。EBCDA3、ABC

15、中，AB=AC=20，BC=32，,D是BC上一点，且ADAC，求BD的长专题四、勾股数的应用1、下列是勾股数的一组是（ ） A 4,5,6, B 5,7,12 C 12,13,15 D 14 ,48,502、一个直角三角形的三边长是不大于10的三个连续偶数，则它的周长是 。3、下列是勾股数的一组是（ ） A 2,3,4, B 5,6,7, C 9,40,41 D 10 24 254、观察下面表格中所给出的三个数a,b,c，其中a,b,c为正整数，且a<b<c （1）：试找给他们的共同点，并证明你的结论 （2）：当a=21时，求b,c的值 ,3,4,53+4=55,12,135+1

16、2=137,24,257+24=259,40,419+40=41.21,b,c21+b=c c=b+1, b+c=a2专题五、勾股定理及逆定理有关的几何证明1、 在四边形ABCD中，C是直角，AB=13,BC=3,CD=4,AD=12DCBA证明：ADBD2、CD是ABC中AB边上的高，且CD=ADDB，试说明ACB=CBDA3、在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点DFCEBA 且CF=CD试说明AEF是直角三角形。 4、ABC三边的长为a,b, c，根据下列条件判断ABC的形状 （1）：a+b+c+200=12a+16b+20c； （2）：a-ab+ab-ac+bc-b=05、

17、试判断，三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n为正整数）的三角形是否是直角三角形？6、如图2-12，ABC中，C=90°，M是BC的中点，MDAB于D求：AD2-BD27、在ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,若C=，如下图(1)根据勾股定理可以得出：a+b=c,若ABC不是直角三角形，如图(2)与图(3)，请你类比勾股定理猜想a+b与c的关系，并且证明你的结论。图(1)BBBAAACCC图(2)图(3)8、如图中，为BC上任意一点，求证：ABPC专题六、勾股定理与旋转1、在等腰RtABC中，CAB=，P是三角形内一点，且PA=1,PB=3,PC=CBAP求：C

18、PA的大小？2、 如图，在等腰ABC中，ACB=90°，D、E为斜边AB上的点，且DCE=45°。求证：DE2=AD2+BE2。3、 如图所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DEDF，若BE=12，CF=5求线段EF的长。 4、已知，如图ABC中，ACB=90°，AC=BC，P是ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求BPC。PBAC5、如图，在中，M为AB上一点，AM=BC，N为AB上一点，CN=BM，连接AN、CM交于点P。求的大小。专题七、最短路线问题1、 有一正方体盒子，棱长是10cm，在A点处有一只蚂蚁它想到B点处觅食，那么它爬行的最短路