现代控制理论章PPT学习教案

1、会计学1第1页/共32页第2页/共32页3) ,数一定可以选取为二次型函数的形式。第3页/共32页第4页/共32页4.3.1 线性定常连续系统的稳定性分析线性定常连续系统的稳定性分析第5页/共32页证明过程为：证明过程为：已知满足矩阵方程PA+AP=-Q的正定矩阵P存在,故令V(x)=xPx.由于V(x)为正定函数,而且V(x)沿轨线对时间t的全导数为V(x)=(xPx)=xPx+xPx=(Ax)Px+xPAx=x(PA+AP)x=-xQx而Q为正定矩阵,故V(x)为负定函数第6页/共32页q上述定理给出了一个判别线性定常连续系统渐近稳定性的简便方法,该方法不需寻找李雅普诺夫函数,不需求解系统

2、矩阵A的特征值,只需解一个矩阵代数方程即可,计算简便。该矩阵方程又称为李雅普诺夫矩阵代数方程。第7页/共32页n,P诺夫代数方程:PA+AP=-I求解,然后根据P的正定性来判定系统的渐近稳定性。第8页/共32页21211110 xxxxq解 设选取的李雅普诺夫函数为V(x)=xPx由定理4-7可知,上式中的正定矩阵P满足李雅普诺夫方程PA+AP=-I.第9页/共32页于是,令对称矩阵P为22121211ppppP1001111011102212121122121211pppppppp展开后得,有:1001222221222121122121112ppppppppp第10页/共32页因此,得如下

3、联立方程组:122012221222121112pppppp解出p11,p12和p22,得21132122121211ppppP第11页/共32页由于变换后的对角线矩阵的对角线上的元素都大于零,故矩阵P为正定的。因此,系统为大范围渐近稳定的。此时,系统的李雅普诺夫函数和它沿状态轨线对时间t的全导数分别为500961211321)2(3/ ) 1 ()2()2(3/ ) 1 ()2(行列P01001)(0211321)(xxxxxxxxxxQVPV第12页/共32页q解解 由图可写出系统的状态方程为32132110120010 xxxkxxx第13页/共32页000000001Q 只在原点处才恒

4、为零,其他非零状态轨迹不恒为零。 因此,对上述非负定的Q,李雅普诺夫代数方程和相应结论依然成立。第14页/共32页1112131112131222231222231323331323330001000012002100001101001ppppppkppppppkpppppp 求得212601632(6)06kkkPkkkkk 为使原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的,矩阵P须为正定。第15页/共32页222(1) (2) 2(1)(3) (2)/3(3)(1) (2) 2(1)(3) (2)/3(3)1260000063030300606006/3kkkkkkkkkkkkkk 行行列列 从而得

5、到P为正定矩阵的条件1220,30,6/30kkk即0k0)负定(0)半负定(0)且不恒为0(对任意非零的初始状态的解)该平衡态渐近稳定正定(0)半负定(0)且恒为0(对某一非零的初始状态的解)该平衡态稳定但非渐近稳定正定(0)正定(0)该平衡态不稳定正定(0)半正定(0)且不恒为0(对任意非零的初始状态的解)该平衡态不稳定第24页/共32页存在一个正定矩阵P为李雅普诺夫矩阵代数方程GPG-P=-Q的解,并且正定函数Vx(k)=x(k)Px(k)即为系统的一个李雅普诺夫函数。第25页/共32页)()1(kGxkx QPPGGT 且系统的李雅普诺夫函数是：且系统的李雅普诺夫函数是： )()()(

6、kPxkxkxVT ：代替，则有：的导数用对于线性离散时间系统)()(,kxVkxV )()()()()()()()()()()1()1()()1()(kQxkxkxPPGGkxkPxkxkPGxkGxkPxkxkPxkxkxVkxVkxVTTTTTTT 第26页/共32页第27页/共32页试用李氏第二法确定系统在平衡点试用李氏第二法确定系统在平衡点 为渐近稳定的为渐近稳定的k值范围。值范围。0 ex根据根据 得：得：IQ QPPGGT 取：取： 100010001020100010010201000332313232212131211332313232212131211pppppppppkpppppppppk：已知线性离散时间系统状态方程为：已知线性离散时间系统状态方程为：)()1(kGxkx 其中：其中：0,020100010 kkG第28页/共32页根据赛尔维斯特法则：如果根据赛尔维斯特法则：如果P正定，则正定，则 ，即：，即： k2，所以系统渐近稳定的，所以系统渐近稳定的k值范围为值范围为0k2 222)2/(13000)2/(1)2/(200