线性控制系统的综合PPT学习教案

1、会计学12第五章 线性定常系统的综合建立系统的状态空间表达式求控制系统状态表达式的解 运动性分析线性系统能控性和能观性分析稳定性分析线性定常系统的综合第1页/共96页3第五章 线性定常系统的综合第2页/共96页4第五章 线性定常系统的综合反馈控制系统输出反馈和状态反馈状态反馈状态反馈是将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律，作为受控系统的控制输入。第3页/共96页5DuCxyBuAxx受控对象的状态空间表达式vKxu状态线性控制律u为状态反馈闭环系统的状态空间表达式DvxDKCyBvxBKAx)()(第五章 线性定常系统的综合CxyBuAxx或Cxy

2、BvxBKAx)(或第4页/共96页6闭环系统的传递函数DBBKAIDKCW1)()()(ssK比较开环系统和闭环系统可以看出， D=0时，状态反馈阵K的引入，并不增加系统的维数，但可以通过K的选择自由的改变闭环系统的特征值，从而使系统获得所要求的性能。第五章 线性定常系统的综合BBKAICW1)()(ssK或反馈影响系统的特征值第5页/共96页7输出反馈是采用输出矢量y构成线性反馈律。在经典控制理论中主要讨论这种反馈形式。DuCxyBuAxx受控对象的状态空间表达式第五章 线性定常系统的综合CxyBuAxx或第6页/共96页8)()()(vHCxHDIuvDuCxHuvHyu1CxyBvxB

3、HCAx状态线性控制律u为输出反馈闭环系统的状态空间表达式闭环系统的传递函数BBHCAICW1)()(ssH第五章 线性定常系统的综合DvxHCHDIDCyvHDIBxHCHDIBAx)()()(111D=0时反馈影响系统的特征值第7页/共96页9比较状态反馈和输出反馈可以看出，D=0时，输出反馈中的HC与状态反馈中的K相当。只有当C=I时，HC=K，两种反馈才完全等同。受控系统的传递函数BAICW1)()(ssoWo(s)和WH(s)存在关系如下100)()()(sssHHWIWW)()()(010sssHWHWIW或第五章 线性定常系统的综合第8页/共96页10从系统输出到状态矢量导数的线

4、性反馈形式在状态观测器获得应用。DuCxyBuAxx受控对象的状态空间表达式第五章 线性定常系统的综合第9页/共96页11整理得闭环系统的状态空间表达式DuCxyuGDBxGCAx)()(当D=0时，闭环系统的传递函数BGCAICW1)()(ssH闭环系统的状态空间表达式DuCxyBuGyAxx反馈影响系统的特征值第五章 线性定常系统的综合第10页/共96页12常常要通过引入一个动态子系统来改善系统性能，这种动态子系统，称为动态补偿器。使用状态观测器的状态反馈系统，就是典型的动态补偿器。系统的维数等于受控系统与动态补偿器二者维数之和。有更好的系统性能第五章 线性定常系统的综合第11页/共96页

5、13第五章 线性定常系统的综合第12页/共96页14例5-1 试分析系统引入状态反馈K=（-1， 0）后的能控性与能观性。xxx10100110yuCxybvxbKAx)(解： 状态反馈闭环系统的状态空间表达式闭环系统的状态矩阵为001001100110bKA第五章 线性定常系统的综合第13页/共96页1520110rankrankcAc20110)(rankrankbbKAb20110 rankrankAbb能控性矩阵的秩能控性矩阵的秩原系统是能控且能观的，引入状态反馈后，闭环系统的能控性不变，系统不再是状态完全可观的。10010)(rankrankbKAcc第五章 线性定常系统的综合第14

6、页/共96页16第五章 线性定常系统的综合第15页/共96页17以3阶能控标准型为例，设计状态反馈控制律uaaa100100010210 xx xKx210kkkuxx221100100010kakaka状态反馈控制律为得到闭环系统第五章 线性定常系统的综合第16页/共96页18期望的闭环系统的特征多项式为01223321bbb闭环系统的特征多项式为)()()()(00112223kakakaf实现极点配置，需满足0000002101111112222220011222301223)()()()()()(abkkabkkkabkkababkkabkakakabbbK第五章 线性定常系统的综合第

7、17页/共96页19第五章 线性定常系统的综合第18页/共96页20u103210 xx 设计状态反馈控制律，使得闭环系统的极点是-2和-3.xKx10kku解：设控制律为闭环系统的状态方程为xx103210kk第五章 线性定常系统的综合第19页/共96页212)3()(012kkf闭环系统的特征方程为期望闭环系统的特征方程为65322可得8262532)3(6501010122kkkkkkxKx28u极点配置状态反馈控制律为第五章 线性定常系统的综合第20页/共96页22第五章 线性定常系统的综合第21页/共96页23K1cITKK)()()()()()(111111111BKAITKBAI

8、TTKBAITTTKBTATTITTKBTATTIKBAIsssssscIcIcIcIcIcIcIcIcIcIcIcIcIcI第五章 线性定常系统的综合第22页/共96页24) 2)(1(10)(ssssWxxx0010100320100010yu试设计状态反馈控制器，试闭环系统的极点为-2，-1j.解：1）系统传递函数没有零极点对消，所以系统能控且能观。能控标准I型实现为第五章 线性定常系统的综合第23页/共96页253）根据给定的极点值，期望的特征多项式为：464)1)(1)(2()(*23jjf4）比较特征多项式对应项的系数，得1, 4, 4210kkk2）加入状态反馈阵K=(k0,k1

9、,k2)。闭环系统特征多项式为：)()2()3()(det()(01223kkkfbKAI第五章 线性定常系统的综合第24页/共96页26优点：能控标准型使得计算简单，可以直接计算状态反馈阵K。缺点：能控标准型所需的状态变量信息难以检测，给工程实现增加困难串联实现，系统的状态方程为xxx0010100200110010yu假定状态反馈阵为K=(k0,k1,k2)第五章 线性定常系统的综合第25页/共96页27闭环系统的特征方程为021223)2()3()(det()(kkkkfbKAI根据给定的极点值，期望的特征多项式为：464)1)(1)(2()(*23jjf比较两个特征方程得1 43624

10、 432012102kkkkkkk第五章 线性定常系统的综合第26页/共96页28第27页/共96页29第五章 线性定常系统的综合第28页/共96页30定理 5.2.4 对系统0=(A, b, c)采用从输出到 的线性反馈实现闭环极点任意配置的充要条件是0完全能观。采用输出到 反馈进行极点配置的步骤：1 判断系统可观性2 把系统转换为能观标准型3 加入输出反馈增益阵，求闭环系统的特征方程式x x x 第五章 线性定常系统的综合第29页/共96页31GGTGoII)()()()()()(11111GcAIcGTAITcGTAITcTGTTATTITTcTGATTIcGAssssssIoIIoII

11、oIIoIIoIIoIIoIIoIIoIIoIIoIIoIIoIIoII第五章 线性定常系统的综合第30页/共96页32011001010yusxx试选择反馈增益矩阵G,使得闭环系统的极点是-5和-8.2001sN解：（1）系统的能观性矩阵为系统是能观的。第五章 线性定常系统的综合第31页/共96页3310ggG)1 ()()(1202ggfsGCAI（2） 设 ，得闭环特征多项式： （3）期望特征多项式为：4013)8)(5()(*2f（4）比较系数得140132sG第五章 线性定常系统的综合第32页/共96页34第五章 线性定常系统的综合第33页/共96页35定理 5.3.1 对系统0=(

12、A, B, C)，采用状态反馈能镇定的充要条件是其不能控子系统为渐进稳定。证明：（1）设系统是不完全能控的，可以通过线性非奇异变换按能控性分解为：2212111A0AAARRAcc011BBRBc 21CCCRCc),(1111CBAc为能控子系统), 0 ,(222CAc为不能控子系统第五章 线性定常系统的综合第34页/共96页36（2）由于线性变换不改变系统的特征值，所以有22211122212111detdetdetdetdetAIAIAI0AAIAIAIssssss（3）由于系统在按能控性分解前后能控性和稳定性是不变的。考虑对分解后的状态空间表达式引入反馈阵：)(21K,KK 得闭环系

13、统的状态矩阵：2221121111211221211A0KBAKBAKK0BA0AAKBA第五章 线性定常系统的综合第35页/共96页37闭环系统的特征多项式为22211111222211211111detdetdetdetAIKBAIAI0KBAKBAIKBAIsssss比较引入状态反馈前后的特征多项式，可以看出，引入状态反馈矩阵 ,只能通过选择 使 得 的特征值均具有负实部，从而使能控子系统为渐进稳定。但的选择并不能影响不能控子系统的特征值分布。因此，当且仅当不能控子系统状态矩阵 特征值均具有负实部，即不能控子系统是渐进稳定的，整个系统才是状态反馈镇定的。K1K1111KBA 22A1K第

14、五章 线性定常系统的综合第36页/共96页38定理5.3.2 系统0=(A, B, C)通过输出反馈能镇定的充要条件是0结构分解中的能控且能观子系统是输出反馈能镇定的，其余子系统是渐进稳定的。证明：（1）对系统0=(A, B, C)进行能控性能观性分解，有：0C0CCBBBAAAAAAAAAA2121444333242322211311,00,0000000第五章 线性定常系统的综合第37页/共96页39（2） 系统在分解前后能控性和能观性和能镇定性不变，所以分解系统后引入输出反馈阵 ，可得闭环系统的状态矩阵：444333243223221221311311113121444333242322

15、2113110000000000000000AAAACHBAACHBACHBACHBA0C0CHBBAAAAAAAAACHBAH第五章 线性定常系统的综合第38页/共96页40闭环系统的特征多项式为44433322211111detdetdetdetdetAIAIAICHBAICHBAIsssss从闭环系统的特征多项式可以看出，当且仅当 的特征值均具有负实部时，闭环系统才为渐近稳定。4433221111,AAACHBA 对一个能控且能观的系统，既然不能通过输出线性反馈任意配置极点，自然也不能保证这类系统一定具有输出反馈的能镇定性。第五章 线性定常系统的综合第39页/共96页410CCRCBBB

16、RBAA0AARRA12112221111,oooo定理 5.3.3 对系统0=(A, B, C)，采用从输出到 反馈实现镇定的充要条件是0的不能观子系统为渐近稳定。证明：（1）将系统0=(A, B, C)进行能观性分解，得：x 第五章 线性定常系统的综合第40页/共96页422212211111121222111ACGA0CGA0CGGAA0ACGA特征多项式为22211111222122111111detdetdetdetAICGAIAICGA0CGAICGAIsssss要使系统获得镇定，不能观的子系统必须为渐近稳定（2） 由于系统在按能观性分解前后能控性和稳定性不变，对系统 引入从输出到

17、 的反馈阵 ，于是有：)(C,B,AT),(21GGG x 第五章 线性定常系统的综合第41页/共96页43第五章 线性定常系统的综合第42页/共96页44若其传递函数矩阵：是一个对角型有理多项式矩阵，则称该系统是解耦的。第五章 线性定常系统的综合设 是一个m维输入、m维输出的受控系统，即),(CBA第43页/共96页451u2umu1y2yny1u2umu1y2yny)(sWmm)(11sW)(22sW多变量解耦系统示意图解耦前解耦后第44页/共96页46第五章 线性定常系统的综合第45页/共96页47第46页/共96页48根据串联组合系统可写出整个系统的传递函数矩阵：式中， 为串接补偿器后

18、系统的传递函数矩阵。显然，只要 存在，则串联补偿器的传递函数矩阵为：第47页/共96页49状态反馈解耦系统的结构如下图所示：第48页/共96页501)定义 ，是满足不等式：且介于0到m-1之间的一个最小整数l。 式中， 为系统输出矩阵C中的第i 行向量 ，因此，di 的下标i 表示行数。id) 1, 1 , 0(0mlliBAc2）根据di定义的矩阵112112121212121mmmdmdddmdddmddAcAcAcDALBAcBAcBAcDBEAcAcAcD第49页/共96页51 定理5.4.1 受控系统 采用状态反馈能解耦的充要条件是mm维矩阵E 为非奇异。即 2. 能解耦性判据第50

19、页/共96页52),(0CBA),(ppppCBACxxCyBFvxBKAvBxAxppp)(是一个积分型解耦系统。其中状态反馈矩阵为：LEK1输入变换阵为1 EF第51页/共96页53第五章 线性定常系统的综合第52页/共96页54设线性定常系统0=(A,B,C)的状态矢量x不能直接检测。如果动态系统 以0的输入u和输出y作为其输入量，能产生一组输出量 渐近于x，即x 0lim txx则称 是0的一个状态观测器。第五章 线性定常系统的综合第53页/共96页551) 观测器 应以0的输入u 和输出y 为其输入量。4) 在结构上应尽量简单。即具有尽可能低的维数，以便于物理实现。3) 的输出 应以

20、足够快的速度渐近于 ，即 应有足够宽的频带。但从抑制干扰角度看，又希望频带不要太宽。因此，要根据具体情况予以兼顾。2）为满足 ，0必须完全能观，或其不能观子系统是渐近稳定的。第五章 线性定常系统的综合第54页/共96页56定理5.5.1 对线性定常系统0=(A,B,C)，状态观测器存在的充分必要条件是0的不能观子系统为渐近稳定的。定理5.5.2 若线性定常系统0=(A,B,C)完全能观，则其状态矢量x可由输出y和输入u进行重构。第五章 线性定常系统的综合第55页/共96页57xCABuCACABuCBuyxCACABuuCByCAxCBuyCxy12)3()2()1(2nnnnn NxxCAC

21、ACBuCACABuCBuyCBuyyz12)3()2()1(21nnnnnnzzz若系统完全能观，rank(N)=n，则有zNNNxTT1)(第五章 线性定常系统的综合第56页/共96页58(A,B,C)ZTTNNN1)(uyx 利用y和u重构状态x(A,B,C)ACBs1uy+x y 开环观测器第五章 线性定常系统的综合第57页/共96页59ACBs1uy+x y ACBs1+x-G+(A,B,C)A-GCBs1uy+x G+GyBuxGCAxGCGyBuxAyyGBuxAx)() (第五章 线性定常系统的综合第58页/共96页60 x 状态估计值 和状态真值x 之间的误差矢量为xxx状态

22、误差方程为) )()(xxGCAGyBuxGCABuAxxxx微分方程的解为0),0()(tetxxGCA第五章 线性定常系统的综合第59页/共96页610),0()(tetxxGCAx0 x如果 ，则在t0的所有时间内， 即状态估计值与状态值严格相等。如果 ，二者初值不相等，但(A-GC)的特征值均具有负实部，则 将渐近衰减至零，观测器的状态将渐近地逼近实际状态。状态逼近的速度取决于G的选择和(A-GC)特征值的配置。如果系统（A,B,C)不是状态完全能观的，但不能观子系统是渐近稳定的，则仍可构造状态观测器，但观测器状态趋近状态的速度不能由G任意选择。0)0(x0)0(x第五章 线性定常系统

23、的综合第60页/共96页62已知系统：xxx12110001yu设计状态观测器使其极点为-10，-10.解: (1) 检验能观性0212cAcNN满秩，系统能观，可构造观测器第五章 线性定常系统的综合第61页/共96页63（2）将系统化成能观标准II型xxcTxbTxATTxTTAI1011110001212102112112101202101101001detdet111012yuuaa第五章 线性定常系统的综合第62页/共96页64（4） 根据期望极点的期望特征多项式10020)10)(10()(*2f（5）比较各项系数得：21100G12221)1 ()1 (1det)(det)(ggg

24、gfcGAI（3）引入反馈阵 ，得观测器特征多项式为：21ggG第五章 线性定常系统的综合第63页/共96页65（6） 反变换到x状态下1005 .6021100012121GTG（7）状态观测器方程为：uyxBuGyxGcAx11211001002005 .60120)(第五章 线性定常系统的综合第64页/共96页66当系统维数比较低时，在检验能观性后也可以不经过化成能观标准型直接按特征多项式比较来确定反馈阵G。 根据期望极点的期望特征多项式10020)10)(10()(*2f22122211) 12(22det)(det)(gggggggfcGAI引入反馈阵 ，的观测器特征多项式为：21g

25、gG1005 .6021ggG第五章 线性定常系统的综合第65页/共96页67第五章 线性定常系统的综合第66页/共96页68设系统0=(A,B,C):CxBAxxyu能观，其rankC=m， 则必存在线性变换xTx 使mmmnmmnICTCBBBTBAAAAATTA0211222112111第五章 线性定常系统的综合第67页/共96页69选择变换阵1001,CCTCCTmmnC0为保证T为非奇异的任意(n-m)m维矩阵。经过T线性变换之后，系统的状态空间表达式形式为221212122211211210 xxxIyBBxxAAAAxxu第五章 线性定常系统的综合第68页/共96页70s1u+1

26、x+s1+1B2B11A21A12A22Ayx ,2将系统按能检测性分解的结构图第五章 线性定常系统的综合z第69页/共96页71需重构状态变量对应的子系统MxAuBxAxAx11112121111令121xAz 对系统 设计观测器),(2111AMAuBxAxzuBxAM222221212yGuBGByAGAxAGAuBxAxGuBxAxAGAxzGMxAGAxAGzGMxAzzGMxAx)()()()()()() (21221212111222221212121111121111211111111令yGwx1uBGByAGAyGwAGAw)()()(2122122111第五章 线性定常系统

27、的综合第70页/共96页72整个状态矢量 的估计值为：xyIGw0IyyGwxxx21再变换到 的状态下有x xTx 因为 是直接可测的，所以这m个状态分量没有估计误差。yx 2)()()()()()()()(1121112221212122121211111211111122212121221212111112111111xxAGAuByAxAGuBGByAGAxAGAuByAxAxxxuByAxAyyGuBGByAGAxAGAuByAxAxxx状态估计误差方程为： 第五章 线性定常系统的综合第71页/共96页73G2212AGA ),(CBA21BGB 2111AGA s1T+u2xy,x

28、 w1xuBGByAGAyGwAGxAw)()()(21221221111降维观测器结构图第五章 线性定常系统的综合第72页/共96页74第五章 线性定常系统的综合例 给定系统0（A,b,c）xxx111011131413121211444yu试设计极点为-3，-4 的降维观测器。解： （1）系统的能观性矩阵为17 22 23 5 6 6 1 1 1 Nrank(N)=3系统状态完全能观，存在状态观测器第73页/共96页75（2）构造线性变换阵做线性变换111010001,1110100011TT1001110100011110110111110100015111201400111010001

29、13141312121144411101000111cTcbTbATTA状态变量x3可有y直接提供，故只需设计二维状态观测器。第五章 线性定常系统的综合第74页/共96页76（3）引入状态观测矩阵 ，得新的状态矩阵为21ggG22112211211110100ggggggggAGA特征多项式为12122211)(1det)(gggggggf（4）期望的特征多项式为127)4)(3()(*2f（5）比较多项式系数得5,1221gg第五章 线性定常系统的综合第75页/共96页77（6）系统的观测器方程为yGwx1uBGByAGAyGwAGAw)()()(2122122111 ywxywyywuBG

30、ByAGAyGwAGAw5121160140561212)0(512115512124512115120100)()()(12122122111uu第五章 线性定常系统的综合第76页/共96页78yywywww5121512001001212131yyyGwxxxywwywywyywyw6512512111010001212121xTx（7）做线性变换得到原系统的状态估计第五章 线性定常系统的综合第77页/共96页791-1-1256-121260-5140+-+3,xy1w2w1x2xu),(cbA降维观测器结构图第五章 线性定常系统的综合第78页/共96页80第五章 线性定常系统的综合系统

31、的结构与状态空间表达式设能控能观的受控系统0=（A,B,C)为CxyBuAxx状态观测器G为xCyBuGyxGCAx)(反馈控制律为：vxKu第79页/共96页81BBCAKs1s1GA-GC+vuxyx CxyBvxBKGCAGCxxBvxBKAxx)(带状态观测器的状态反馈系统整个闭环系统的状态空间表达式：写成矩阵的形式为：xx0CyvBBxxBKGCAGCBKAxx2n维的闭环控制系统第五章 线性定常系统的综合第80页/共96页82闭环极点设计的分离性闭环系统的极点包括0直接状态反馈系统K(A+BK,B,C)的极点和观测器G的极点两部分。二者独立，相互分离。设状态估计误差为xxxxxxx

32、xII0Ixx第五章 线性定常系统的综合第81页/共96页83引入等效变换，令变换矩阵为：II0III0ITII0IT11,经线性变换后的系统为：0CII0I0CTCC0BBBII0IBTBGCA0BKBKAII0IBKGCAGCBKAII0IA111111可以展开成CxyxGCAxBvxBKxBKAx第五章 线性定常系统的综合第82页/共96页84BCA+BKKs1s1A-GC+vuxyxCxyxGCAxBvxBKxBKAx带观测器状态反馈系统的等效结构图线性变换不改变系统的极点，系统的极点为：GCAIBKAIGCAI0BKBKAIAIsssssdetdetdetdet1第五章 线性定常系统

33、的综合第83页/共96页85传递函数矩阵的不变性用观测器构成的状态反馈系统和状态直接反馈系统具有相同的传递函数矩阵。第五章 线性定常系统的综合观测器反馈与直接状态反馈的等效性通过选择合适的G，可以使(A-GC)的特征值具有负实部，所以必有 ，因此当 时，必有：0limxttCxyBvxBKAx)(成立。也就是说，带观测器的状态反馈系统只有当 ,进入稳态时，才与直接状态反馈系统完全等价。t第84页/共96页86仅就传递特性而言，带观测器的状态反馈系统完全等效于同时带有串联补偿器和反馈补偿器的输出反馈系统。*Gvuy)(0sW+y 带观测器的状态反馈系统W0(s)为受控系统0的传递函数阵*G为带反馈阵K的观测器系统第五章 线性定常系统的综合第85页/共96页87系统 *G 的状态空间表达式为：xKyBuGyxGCAx)(对上式取拉氏变换，推导*G 的传递特性)()()()()()()()(111ssssssssBUGCAIKGYGCAIKBUGYGCAIKY)()()()()(*12sssssGGUWYWY第五章 线性定常系统的综合第86页/共96页88vuy)(0sW+y )(*1sGW)(2sGW+vy)(0sW+)(*1sGW)(2sGW+vy)(0sW+)(2sGW)(1sGW带观测器状态反馈系统传递特性的等效变换第五章 线性定常系统的综合第87页/共96页89BBKGC