第十九章　数学归纳法及其应用ppt课件

1、第十九章数学归纳法及其运用;1.(2021江苏江苏,23,10分分,0.20)知函数知函数f0(x)=(x0),设设fn(x)为为fn-1(x)的导数的导数,nN*.(1)求求2f1+f2的值的值;(2)证明证明:对恣意的对恣意的nN*,等式等式=都成立都成立.sin xx2221444nnnff22A A组组 自主命题自主命题江苏卷题组江苏卷题组五年高考;解析解析(1)由知由知,得得f1(x)=f 0(x)=-,于是于是f2(x)=f 1(x)=-=-+,所以所以f1=-, f2=-+.故故2f1+f2=-1.(2)证明证明:由知由知,得得xf0(x)=sin x,等式两边分别对等式两边分别

2、对x求导求导,得得f0(x)+xf 0(x)=cos x,即即f0(x)+xf1(x)=cos x=sin,类似可得类似可得2f1(x)+xf2(x)=-sin x=sin(x+),3f2(x)+xf3(x)=-cos x=sin,4f3(x)+xf4(x)=sin x=sin(x+2).下面用数学归纳法证明等式下面用数学归纳法证明等式nfn-1(x)+xfn(x)=sin对一切的对一切的nN*都成立都成立.(i)当当n=1时时,由上可知等式成立由上可知等式成立.(ii)假设当假设当n=k时等式成立时等式成立,即即kfk-1(x)+xfk(x)=sin.sinxxcosxx2sin xxcos

3、xx2sinxxsin xx22cosxx32sin xx224223162222x32x2nx2kx;由于kfk-1(x)+xfk(x)=kf k-1(x)+fk(x)+xf k(x)=(k+1)fk(x)+xfk+1(x),=cos=sin,所以(k+1)fk(x)+xfk+1(x)=sin.因此当n=k+1时,等式也成立.综合(i),(ii)可知等式nfn-1(x)+xfn(x)=sin对一切的nN*都成立.令x=,可得nfn-1+fn=sin(nN*).所以=(nN*).sin2kx2kx2kx(1)2kx(1)2kx2nx444442n1444nnnff22;2.(2021江苏江苏,

4、23,10分分,0.105)知集合知集合X=1,2,3,Yn=1,2,3,n(nN*),设设Sn=(a,b)|a整除整除b或或b整除整除a,aX,bYn.令令f(n)表示集合表示集合Sn所含元素的个数所含元素的个数.(1)写出写出f(6)的值的值;(2)当当n6时时,写出写出f(n)的表达式的表达式,并用数学归纳法证明并用数学归纳法证明.;解析解析(1)f(6)=13.(2)当当n6时时,f(n)=(tN*).下面用数学归纳法证明下面用数学归纳法证明:当当n=6时时, f(6)=6+2+=13,结论成立结论成立;假设假设n=k(k6)时结论成立时结论成立,那么那么n=k+1时时,Sk+1在在S

5、k的根底上新添加的元素在的根底上新添加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生中产生,分以下情形讨论分以下情形讨论:2,6 ,23112,61,2322,62,2312,63,2312,64,23122,6523nnnntnnnntnnnntnnnntnnnntnnnnt6263;1)假设k+1=6t,那么k=6(t-1)+5,此时有f(k+1)=f(k)+3=k+2+3=(k+1)+2+,结论成立;2)假设k+1=6t+1,那么k=6t,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2+1=(k+1)+2+,结论成立;3)假设k+1=6t+2,那么k=6t+1,此时有f(k+1)

6、=f(k)+2=k+2+2=(k+1)+2+,结论成立;4)假设k+1=6t+3,那么k=6t+2,此时有12k 23k 12k 13k 2k3k(1) 12k (1) 13k 12k 13k 12k (1)23k ;f(k+1)=f(k)+2=k+2+2=(k+1)+2+,结论成立;5)假设k+1=6t+4,那么k=6t+3,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+2=(k+1)+2+,结论成立;6)假设k+1=6t+5,那么k=6t+4,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2+1=(k+1)+2+,结论成立.综上所述,结论对满足n6的自然数n均成立.2k23k (1) 12k 13k

7、12k 3k12k (1) 13k 2k13k (1) 12k (1)23k 易错警示由于易错警示由于f(n)的表达式是分段方式的表达式是分段方式,所以所以n由由k变成变成k+1时需求验证分段表达式中的不同时需求验证分段表达式中的不同方式方式.;考点数学归纳法及其运用考点数学归纳法及其运用B B组组 一致命题、省一致命题、省( (区、市区、市) )卷题组卷题组1.(2021浙江浙江,22,15分分)知数列知数列xn满足满足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(nN*).证明证明:当当nN*时时,(1)0 xn+10.当当n=1时时,x1=10.假设假设n=k时时,xk0,那么那么n

8、=k+1时时,假设假设xk+10,那么那么00.因此因此xn0(nN*).所以所以xn=xn+1+ln(1+xn+1)xn+1.因此因此0 xn+10(x0).函数函数f(x)在在0,+)上单调递增上单调递增,所以所以f(x)f(0)=0,因此因此-2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1)=f(xn+1)0,故故2xn+1-xn(nN*).21nx221xxx21nx12nnx x;(3)由于xn=xn+1+ln(1+xn+1)xn+1+xn+1=2xn+1,所以xn.由2xn+1-xn得-20,所以-22n-1=2n-2,故xn.综上,xn(nN*).112n12nnx x11nx1

9、2112nx1nx121112nx1112x212n112n212n;方法总结方法总结1.证明数列单调性的方法证明数列单调性的方法.差比法差比法:作差作差an+1-an,然后分解因式然后分解因式,判别符号判别符号,或构造函数或构造函数,利用导数求函数的值域利用导数求函数的值域,从而判别从而判别其符号其符号.商比法商比法:作商作商,判别判别与与1的大小的大小,同时留意同时留意an的正负的正负.数学归纳法数学归纳法.反证法反证法:例如求证例如求证:nN*,an+10),那么有n2时,an=a1a1qn-1(其中a10).放缩为等比数列:利用不等式性质,把非等比数列an放缩成等比数列bn,求和后,再

10、进展适当放缩.1nnaa1nnaa21aa32aa1nnaa;2.(2021广东节选广东节选,19,14分分)设数列设数列an的前的前n项和为项和为Sn,满足满足Sn=2nan+1-3n2-4n,nN*,且且S3=15.(1)求求a1,a2,a3的值的值;(2)求数列求数列an的通项公式的通项公式.;解析解析(1)依题有依题有解得解得a1=3,a2=5,a3=7.(2)Sn=2nan+1-3n2-4n,当当n2时时,Sn-1=2(n-1)an-3(n-1)2-4(n-1).-并整理得并整理得an+1=.由由(1)猜测猜测an=2n+1,下面用数学归纳法证明下面用数学归纳法证明.当当n=1时时,

11、a1=2+1=3,命题成立命题成立;假设当假设当n=k时时,ak=2k+1命题成立命题成立.那么当那么当n=k+1时时,ak+1=2k+3=2(k+1)+1,即当即当n=k+1时时,结论成立结论成立.11221233123234,4128,15,SaaSaaaSaaa (21)612nnann(21)612kkakk(21)(21)612kkkk综上,nN*,an=2n+1.;3.(2021重庆重庆,22,12分分)设设a1=1,an+1=+b(nN*).(1)假设假设b=1,求求a2,a3及数列及数列an的通项公式的通项公式;(2)假设假设b=-1,问问:能否存在实数能否存在实数c使得使得a

12、2nca2n+1对一切对一切nN*成立成立?证明他的结论证明他的结论.222nnaa;解析解析(1)解法一解法一:a2=2,a3=+1.再由题设条件知再由题设条件知(an+1-1)2=(an-1)2+1.从而从而(an-1)2是首项为是首项为0,公差为公差为1的等差数列的等差数列,故故(an-1)2=n-1,即即an=+1(nN*).解法二解法二:a2=2,a3=+1,可写为可写为a1=+1,a2=+1,a3=+1.因此猜测因此猜测an=+1.下用数学归纳法证明上式下用数学归纳法证明上式:当当n=1时结论显然成立时结论显然成立.假设假设n=k时结论成立时结论成立,即即ak=+1,那么那么ak+

13、1=+1=+1=+1.这就是说这就是说,当当n=k+1时结论成立时结论成立.所以所以an=+1(nN*).(2)解法一解法一:设设f(x)=-1,那么那么an+1=f(an).21n21 1213 11n1k 2(1)1ka (1)1k (1)1k 1n2(1)1x;令c=f(c),即c=-1,解得c=.下用数学归纳法证明加强命题a2nca2n+11.当n=1时,a2=f(1)=0,a3=f(0)=-1,所以a2a31,结论成立.假设n=k时结论成立,即a2kca2k+1f(a2k+1)f(1)=a2,即1ca2k+2a2.再由f(x)在(-,1上为减函数得c=f(c)f(a2k+2)f(a2

14、)=a31.故ca2k+31,因此a2(k+1)ca2(k+1)+11.这就是说,当n=k+1时结论成立.综上,符合条件的c存在,其中一个值为c=.解法二:设f(x)=-1,那么an+1=f(an).先证:0an1(nN*).当n=1时,结论明显成立.假设n=k时结论成立,即0ak1.2(1)1c14214142(1)1x;易知f(x)在(-,1上为减函数,从而0=f(1)f(ak)f(0)=-11.即0ak+11.这就是说,当n=k+1时结论成立.故成立.再证:a2na2n+1(nN*).当n=1时,a2=f(1)=0,a3=f(a2)=f(0)=-1,有a2a3,即n=1时成立.假设n=k

15、时,结论成立,即a2kf(a2k+1)=a2k+2,a2(k+1)=f(a2k+1)f(a2k+2)=a2(k+1)+1.这就是说,当n=k+1时成立.所以对一切nN*成立.由得a2n-1,即(a2n+1)2-2a2n+2,因此a2nf(a2n+1),2222222nnaa22na14;即a2n+1a2n+2,所以a2n+1-1,解得a2n+1.综上,由、知存在c=使a2nc0,整数整数p1,nN*.(1)证明证明:当当x-1且且x0时时,(1+x)p1+px;(2)数列数列an满足满足a1,an+1=an+.证明证明:anan+1.1pc1ppcp1 pna1pc;证明证明(1)用数学归纳法

16、证明用数学归纳法证明:当当p=2时时,(1+x)2=1+2x+x21+2x,原不等式成立原不等式成立.假设假设p=k(k2,kN*)时时,不等式不等式(1+x)k1+kx成立成立.当当p=k+1时时,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x.所以所以p=k+1时时,原不等式也成立原不等式也成立.综合可得综合可得,当当x-1,x0时时,对一切整数对一切整数p1,不等式不等式(1+x)p1+px均成立均成立.(2)证法一证法一:先用数学归纳法证明先用数学归纳法证明an.当当n=1时时,由题设由题设a1知知an成立成立.假设假设n=k(

17、k1,kN*)时时,不等式不等式ak成立成立.由由an+1=an+易知易知an0,nN*.当当n=k+1时时,=+=1+.由由ak0得得-1-1+p=.因此c,即ak+1.所以n=k+1时,不等式an也成立.综合可得,对一切正整数n,不等式an均成立.再由=1+可得1,即an+1an+1,nN*.证法二:设f(x)=x+x1-p,x,那么xpc,并且f (x)=+(1-p)x-p=0,x.由此可得, f(x)在,+)上单调递增.因此,当x时, f(x)f()=,当n=1时,由a10,即c可知1pkkaa111ppkcp a1p1pkcapkca1pka1pc1pc1pc1nnaa1p1pnca

18、1nnaa1pc1ppcp1pc1ppcp1pp1pcx1pc1pc1pc1pc1pc1pc1pa;a2=a1+=a1,从而a1a2.故当n=1时,不等式anan+1成立.假设n=k(k1,kN*)时,不等式akak+1成立,那么当n=k+1时, f(ak)f(ak+1)f(),即有ak+1ak+2.所以n=k+1时,原不等式也成立.综合可得,对一切正整数n,不等式anan+1均成立.1ppcp11pa1111pcp a1pc1pc1pc1pc1pc1pc1pc评析此题调查了数学归纳法、导数、不等式等知识评析此题调查了数学归纳法、导数、不等式等知识;调查推实际证才干、运算求解才干调查推实际证才

19、干、运算求解才干;熟熟练运用数学归纳法练运用数学归纳法,推理证明是解题的关键推理证明是解题的关键.也可以运用导数工具也可以运用导数工具,构造函数进展分析求解构造函数进展分析求解.;5.(2021湖北湖北,22,14分分)知数列知数列an的各项均为正数的各项均为正数,bn=an(nN+),e为自然对数的底数为自然对数的底数.(1)求函数求函数f(x)=1+x-ex的单调区间的单调区间,并比较并比较与与e的大小的大小;(2)计算计算,由此推测计算由此推测计算的公式的公式,并给出证明并给出证明;(3)令令cn=(a1a2an,数列数列an,cn的前的前n项和分别记为项和分别记为Sn,Tn,证明证明:

20、Tn0,即即x0时时, f(x)单调递增单调递增;当当f (x)0时时, f(x)单调递减单调递减.故故f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(-,0),单调递减区间为单调递减区间为(0,+).当当x0时时, f(x)f(0)=0,即即1+xex.令令x=,得得1+,即即e.(2)=1=1+1=2;=22=(2+1)2=32;=323=(3+1)3=43.由此推测由此推测:=(n+1)n.1n1n1en11nn11ba11111 212bba a11ba22ba21121 2 3123bb ba a a1 212bba a33ba31131 212nnbbba aa;下面用数学归纳法证明.(

21、i)当n=1时,左边=右边=2,成立.(ii)假设当n=k时,成立,即=(k+1)k.当n=k+1时,bk+1=(k+1)ak+1,由归纳假设可得=(k+1)k(k+1)=(k+2)k+1.所以当n=k+1时,也成立.根据(i)(ii),可知对一切正整数n都成立.(3)由cn的定义,算术-几何平均不等式,bn的定义及得Tn=c1+c2+c3+cn=(a1+(a1a2+(a1a2a3+(a1a2an=+1 212kkbbba aa1111kk1 21121kkkkbbb ba aa a1 212kkbbba aa11kkba1111kk11)12)13)1)n111( )2b121 2()3bb

22、131 23()4bb b11 2()1nnbbbn11 2b122 3bb1233 4bbb12(1)nbbbn n;=b1+b2+bn=b1+b2+bn+=a1+a2+anea1+ea2+ean=eSn.即Tn0,nN,n2.(1)证明证明:函数函数Fn(x)=fn(x)-2在在内有且仅有一个零点内有且仅有一个零点(记为记为xn),且且xn=+;(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别一样的等差数列设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别一样的等差数列,其各项和为其各项和为gn(x),比较比较fn(x)和和gn(x)的大小的大小,并加以证明并加以证明.1,1212121nnx

23、;解析解析(1)证明证明:Fn(x)=fn(x)-2=1+x+x2+xn-2,那么那么Fn(1)=n-10,Fn=1+-2=-2=-0,故故Fn(x)在在内单调递增内单调递增,所以所以Fn(x)在在内有且仅有一个零点内有且仅有一个零点xn.由于由于xn是是Fn(x)的零点的零点,所以所以Fn(xn)=0,即即-2=0,故故xn=+.(2)解法一解法一:由题设得由题设得,gn(x)=.设设h(x)=fn(x)-gn(x)=1+x+x2+xn-,x0.121221212n1112112n12n1,121,121,12111nnnxx12121nnx(1)(1)2nnx(1)(1)2nnx;当x=1

24、时, fn(x)=gn(x).当x1时,h(x)=1+2x+nxn-1-.假设0 xxn-1+2xn-1+nxn-1-xn-1=xn-1-xn-1=0.假设x1,h(x)xn-1+2xn-1+nxn-1-xn-1=xn-1-xn-1=0.所以h(x)在(0,1)上递增,在(1,+)上递减,所以h(x)h(1)=0,即fn(x)gn(x).综上所述,当x=1时, fn(x)=gn(x);当x1时, fn(x)0.当x=1时, fn(x)=gn(x).1(1)2nn nx(1)2n n(1)2n n(1)2n n(1)2n n(1)2n n(1)2n n(1)(1)2nnx;当x1时,用数学归纳法

25、可以证明fn(x)gn(x).当n=2时, f2(x)-g2(x)=-(1-x)20,所以f2(x)g2(x)成立.假设n=k(k2)时,不等式成立,即fk(x)gk(x).那么,当n=k+1时,fk+1(x)=fk(x)+xk+10),那么hk(x)=k(k+1)xk-k(k+1)xk-1=k(k+1)xk-1(x-1).所以当0 x1时,hk(x)1时,hk(x)0,hk(x)在(1,+)上递增.所以hk(x)hk(1)=0,从而gk+1(x).12(1)(1)2kkx12(1)12kkxkxk12(1)12kkxkxk1(1)12kkkxkx12(1)12kkxkxk;故fk+1(x)g

26、k+1(x),即n=k+1时不等式也成立.由和知,对一切n2的整数,都有fn(x)0(2kn),当x=1时,ak=bk,所以fn(x)=gn(x).当x1时,mk(x)=nxn-1-(k-1)xk-2=(k-1)xk-2(xn-k+1-1).而2kn,所以k-10,n-k+11.假设0 x1,xn-k+11,mk(x)1,xn-k+11,mk(x)0,从而mk(x)在(0,1)上递减,在(1,+)上递增,1nxn(1)(1)nkxn1kn;所以mk(x)mk(1)=0,所以当x0且x1时,akbk(2kn),又a1=b1,an+1=bn+1,故fn(x)gn(x).综上所述,当x=1时, fn

27、(x)=gn(x);当x1时, fn(x)1).(1)讨论讨论f(x)的单调性的单调性;(2)设设a1=1,an+1=ln(an+1),证明证明:an.axxa22n32nC C组组 教师公用题组教师公用题组;解析解析(1)f(x)的定义域为的定义域为(-1,+),f (x)=.(2分分)(i)当当1a0, f(x)在在(-1,a2-2a)上是增函数上是增函数;假设假设x(a2-2a,0),那么那么f (x)0, f(x)在在(0,+)上是增函数上是增函数.(4分分)(ii)当当a=2时时, f (x)0, f (x)=0成立当且仅当成立当且仅当x=0, f(x)在在(-1,+)上是增函数上是

28、增函数.(iii)当当a2时时,假设假设x(-1,0),那么那么f (x)0, f(x)在在(-1,0)上是增函数上是增函数;假设假设x(0,a2-2a),那么那么f (x)0, f(x)在在(a2-2a,+)上是增函数上是增函数.(6分分)(2)由由(1)知知,当当a=2时时, f(x)在在(-1,+)上是增函数上是增函数.当当x(0,+)时时, f(x)f(0)=0,即即ln(x+1)(x0).又由又由(1)知知,当当a=3时时, f(x)在在0,3)上是减函数上是减函数.当当x(0,3)时时, f(x)f(0)=0,即即ln(x+1)(0 x3).(9分分)22(2 )(1)()x xa

29、axxa22xx33xx;下面用数学归纳法证明an.(i)当n=1时,由知a1=1,故结论成立;(ii)设当n=k时结论成立,即ln=,ak+1=ln(ak+1)ln=,即当n=k+1时有ak+1,结论成立.根据(i)、(ii)知对任何nN*结论都成立.(12分)22n32n2322k 32k 212k222222kk23k 312k332332kk33k 23k 33k 评析在第评析在第(1)问中问中,主要调查运用导函数研讨函数性质的根本方法主要调查运用导函数研讨函数性质的根本方法,调查分类讨论思想调查分类讨论思想,代数代数恒等变形才干恒等变形才干,分类的根据是导函数分类的根据是导函数f (

30、x)在在(-1,+)上的正负上的正负.在第在第(2)问中问中,利用第利用第(1)问的结论问的结论,结合数学归纳法加以证明结合数学归纳法加以证明.调查了分析问题和处理问题的才干调查了分析问题和处理问题的才干.;2.(2021江苏江苏,23)知知ABC的三边长为有理数的三边长为有理数.(1)求证求证:cos A是有理数是有理数;(2)求证求证:对恣意正整数对恣意正整数n,cos nA是有理数是有理数.;证明证明(1)由由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知为有理数及余弦定理知cos A=是有理数是有理数.(2)用数学归纳法证明用数学归纳法证明cos nA和和sin Asin nA都是有理数都是有理

31、数.当当n=1时时,由由()知知cos A是有理数是有理数,从而有从而有sin Asin A=1-cos2A也是有理数也是有理数.假设当假设当n=k(k1)时时,cos kA和和sin Asin kA都是有理数都是有理数.当当n=k+1时时,由由cos(k+1)A=cos Acos kA-sin Asin kA,sin Asin(k+1)A=sin A(sin Acos kA+cos Asin kA)=(sin Asin A)cos kA+(sin Asin kA)cos A,及和归纳假设及和归纳假设,知知cos(k+1)A与与sin Asin(k+1)A都是都是有理数有理数.即当即当n=k+

32、1时时,结论成立结论成立.综合、可知综合、可知,对恣意正整数对恣意正整数n,cos nA是有理数是有理数.2222ABACBCAB AC评析评析 此题主要调查余弦定理、数学归纳法等根底知识此题主要调查余弦定理、数学归纳法等根底知识,调查推实际证的才干与分析问题、调查推实际证的才干与分析问题、处理问题的才干处理问题的才干.此题属中等难度题此题属中等难度题,求解关键是要掌握数学归纳法求解关键是要掌握数学归纳法.易由因果关系不明而出易由因果关系不明而出错错.;3.(2021江苏江苏,23,10分分,0.140)设数列设数列an:1,-2,-2,3,3,3,-4,-4,-4,-4,即当即当;(2)求证

33、求证:当当n3时时,g(n).11a21a1na1313;证明证明(1)由题意知由题意知g(n)=+,an=3n-2,g(2)=+=+=.(2)用数学归纳法加以证明用数学归纳法加以证明:当当n=3时时,g(3)=+=+=+=+,所以当所以当n=3时时,结论成立结论成立.假设假设n=k(k3)时时,结论成立结论成立,即即g(k),那么那么n=k+1时时,g(k+1)=g(k)+1na11na21na21na21a31a41a1417110691401331a41a51a91a1711011311611912212517111101316111192225181111616161113232321

34、831633218316116131322212(1)1111kkkkaaaa;+-=+=+,由k3可知,3k2-7k-30,g(k+1).所以当n=k+1时,结论也成立.综合可得,当n3时,g(n).1322212(1)1111kkkkaaaa132(21)3(1)2kk132k 1322(21)(32)3(1)23(1)2(32)kkkkk13223733(1)2(32)kkkk1313;4.(2021江苏苏锡常镇四市高三教学情况调研江苏苏锡常镇四市高三教学情况调研(一一)设设|,n为正整数为正整数,数列数列an的通项公式的通项公式an=sintann,其前其前n项和为项和为Sn.(1)求

35、证求证:当当n为偶数时为偶数时,an=0;当当n为奇数时为奇数时,an=(-1tann;(2)求证求证:对任何正整数对任何正整数n,S2n=sin 21+(-1)n+1tan2n.22n12)n12;证明证明(1)由于由于an=sintann,当当n为偶数时为偶数时,设设n=2k(kN*),那么那么an=a2k=sintan2k=sin ktan2k=0.当当n为奇数时为奇数时,设设n=2k-1(kN*),那么那么an=a2k-1=sintann=sintann.当当k=2m时时,an=a2k-1=sintann=sintann=-tann,此时此时=2m-1,那么那么an=a2k-1=-ta

36、nn=(-1)2m-1tann=(-1tann.当当k=2m-1时时,an=a2k-1=sintann=sintann=tann,此时此时=2m-2,那么那么an=a2k-1=tann=(-1)2m-2tann=(-1tann.综上综上,当当n为偶数时为偶数时,an=0;当当n为奇数时为奇数时,an=(-1tann.(2)当当n=1时时,由由(1)得得S2=a1+a2=tan ,2n22k(21)2k2k22m212n12)n322m3212n12)n12)n; s i n 2 1 + ( - 1 ) n + 1 t a n 2 n = s i n 2 ( 1 + t a n 2 ) = s

37、i n c o s = t a n .故 n = 1 时 , 命 题 成 立 .假 设 n = k ( k N * ) 时 命 题 成 立 , 即 S 2 k = s i n 2 1 + ( - 1 ) k + 1 t a n 2 k .当 n = k + 1 时 , 由 ( 1 ) 得S 2 ( k + 1 ) = S 2 k + a 2 k + 1 + a 2 k + 2 = S 2 k + a 2 k + 1= s i n 2 1 + ( - 1 ) k + 1 t a n 2 k + ( - 1 ) k t a n 2 k + 1 = s i n 2 = s i n 2 = s i n

38、 2 = s i n 2 1 + ( - 1 ) k + 2 t a n 2 k + 2 ,即 当 n = k + 1 时 命 题 成 立 .综 上 所 述 , 对 任 何 正 整 数 n 命 题 成 立 .121221cos 121212122121( 1)tan( 1)tansin2kkkk 122222121( 1)tantansin2 tankk 12222222cos11( 1)tansinsinkk 12;解答题(共60分)1.(2021江苏南通高三调研,23)(1)用数学归纳法证明:当nN*时,cos x+cos 2x+cos 3x+cos nx=-(xR,且x2k,kZ);(2

39、)求sin+2sin+3sin+4sin+2 018sin的值.1sin212sin2nxx1262636462 0186B B组组 20212021 20212021年高考模拟年高考模拟综合题组综合题组( (时间：时间：5050分钟分钟 分值：分值：6060分分) );解析解析(1)证明证明:当当n=1时时,等式右边等式右边=-=cos x=等式左边等式左边,等式成立等式成立.假设当假设当n=k时等式成立时等式成立,即即cos x+cos 2x+cos 3x+cos kx=-.那么那么,当当n=k+1时时,有有cos x+cos 2x+cos 3x+cos kx+cos(k+1)x=-+co

40、s(k+1)x1sin 1212sin2xx1211sin 1sin 12212sin2xxx1111sin coscos sinsin coscos sin222212sin2xxxxxxxxx1sin212sin2kxx121sin212sin2kxx12;=-=-=-=-,故当n=k+1时等式也成立.综合可知,对恣意nN*等式都成立.(2)解法一:由(1)可知,cos x+cos 2x+cos 3x+cos 2 018x=-,11sin12sincos(1)2212sin2kxxkxx 12111sin(1) coscos(1) sin2sincos(1)22212sin2kxxkxxx

41、kxx1211sin(1) coscos(1) sin2212sin2kxxkxxx121sin1212sin2kxx 121sin 2 018212sin2xx12;两边同时求导,得-sin x-2sin 2x-3sin 3x-2 018sin 2 018x=,所以-sin-2sin-3sin-2 018sin=-,所以sin+2sin+3sin+4sin+2 018sin=-.解法二:当k为自然数时,(12k+3)sin+(12k+4)sin+(12k+14)sin=12k+3sin+4sin+14sin21111112 018cos 2 018sinsin 2 018cos2222221

42、2sin2xxxxx626362 0186211112 018cos 2 018sinsin 2 018cos22612226122sin122 0152362636462 018632 0152(123)6k(124)6k(1214)6k(123)(124)(1214)sinsinsin666kkk(123)6k(124)6k(1214)6k;=3sin+4sin+14sin=3sin+4sin+14sin=-6,所以sin+2sin+3sin+4sin+2 018sin=sin+2sin+(-6)168=-.(123)6k(124)6k(1214)6k364614662636462 018

43、662632 0152评析此题主要调查两角和与差的正弦公式、运用数学归纳法证明恒等式评析此题主要调查两角和与差的正弦公式、运用数学归纳法证明恒等式,调查学生的运算调查学生的运算求解才干求解才干,转化才干转化才干.;2.(2021江苏南京高三模拟江苏南京高三模拟,23)知知fn(x)=x(x+1)(x+i-1),gn(x)=+x(x+1)(x+n-1),其中其中xR,nN*且且n2.(1)假设假设fn(1)=7gn(1),求求n的值的值;(2)对于每一个给定的正整数对于每一个给定的正整数n,求关于求关于x的方程的方程fn(x)+gn(x)=0一切解的集合一切解的集合.11nin inAnnA;解

44、析解析(1)由于由于fn(x)=x(x+1)(x+i-1),所以所以fn(1)=1i=n!=(n-1)n!,gn(1)=+12n=2n!,所以所以(n-1)n!=14n!,解得解得n=15.(3分分)(2)由于由于f2(x)+g2(x)=2x+2+x(x+1)=(x+1)(x+2),f3(x)+g3(x)=6x+3x(x+1)+6+x(x+1)(x+2)=(x+1)(x+2)(x+3),故猜测故猜测fn(x)+gn(x)=(x+1)(x+2)(x+n).(5分分)下面用数学归纳法证明下面用数学归纳法证明:当当n=2时时,命题成立命题成立;假设假设n=k(k2,kN*)时命题成立时命题成立,即即

45、fk(x)+gk(x)=(x+1)(x+2)(x+k),由于由于fk+1(x)=x(x+1)(x+i-1)=(k+1)x(x+1)(x+i-1)+x(x+1)(x+k-1)11nin inA11nin inA11ninnA1ki11kikA 11kik ikA11kA;=(k+1)fk(x)+(k+1)x(x+1)(x+k-1),所以fk+1(x)+gk+1(x)=(k+1)fk(x)+(k+1)x(x+1)(x+k-1)+x(x+1)(x+k)=(k+1)fk(x)+x(x+1)(x+k-1)+x(x+1)(x+k)=(k+1)fk(x)+gk(x)+x(x+1)(x+k)=(k+1)(x+

46、1)(x+2)(x+k)+x(x+1)(x+k)=(x+1)(x+2)(x+k)(x+k+1),即n=k+1时命题也成立.(7分)因此恣意nN*且n2,有fn(x)+gn(x)=(x+1)(x+2)(x+n).(9分)所以对于每一个给定的正整数n,关于x的方程fn(x)+gn(x)=0一切解的集合为-1,-2,-n.(10分)11kkAkkA;3.(2021江苏南京、盐城一模江苏南京、盐城一模,23,10分分)设集合设集合M=1,2,3,n(n3),记记M的含有三个元素的子的含有三个元素的子集个数为集个数为Sn,同时将每一个子集中的三个元素由小到大陈列同时将每一个子集中的三个元素由小到大陈列,

47、取出中间的数取出中间的数,一切这些中间的数一切这些中间的数的和记为的和记为Tn.(1)求求,的值的值;(2)猜测猜测的表达式的表达式,并证明并证明.33TS44TS55TS66TSnnTS;解析解析(1)=2,=,=3,=.(2)猜测猜测=(n3).下面用数学归纳法证明下面用数学归纳法证明.当当n=3时时,由由(1)知猜测成立知猜测成立;假设当假设当n=k(k3)时时,猜测成立猜测成立,即即=,而而Sk=,所以所以Tk=.那么当那么当n=k+1时时,易知易知Sk+1=,而当集合而当集合M从从1,2,3,k变为变为1,2,3,k,k+1时时,Tk+1在在Tk的根底上添加了的根底上添加了1个个2,

48、2个个3,3个个4,和和(k-1)个个k,所以所以Tk+1=Tk+21+32+43+k(k-1)=+2(+)=+2(+)=+2=Sk+1,故故=.33TS44TS5255TS66TS72nnTS12nkkTS12k 3Ck12k 3Ck31Ck12k 3Ck22C23C24C2Ck12k 3Ck33C23C24C2Ck22k 31Ck31Ck22k 31Ck(1)12k 11kkTS(1)12k ;所以当n=k+1时,猜测也成立.综上所述,猜测成立.;4.(2021江苏南通、宿迁、徐州、淮安、泰州、扬州高三第二次调研测试江苏南通、宿迁、徐州、淮安、泰州、扬州高三第二次调研测试)设设n2,nN*.有序有序数组数组(a1,a2,an)经经m次变换后得到数组次变换后得到数组(bm,1,bm,2,bm,n),其中其中b1,i=ai+ai+1,bm,i=bm-1,i+bm-1,i+1(i=1,2,n),an+1=a1,bm-1,n+1=bm-1,1(m2).例如例如:有序数组