结构动力学PPT学习教案

1、会计学1结构动力学结构动力学14-1 概 述动力荷载作用下，结构将发生振动，各种量值均随时间而变化。一、结构动力计算的特点（2）研究单自由度及多自由度的自由振动、强迫振动。1、内容：（1）研究动力荷载作用下，结构的内力、位移等计算原理和计算方法。求出它们的最大值并作为结构设计的依据。2、静荷载和动荷载（1）静荷载：荷载的大小和方向不随时间变化（如梁板自重）。（2）动荷载：荷载的大小和方向随时间变化，需要考虑惯性力。 3、特点 （2）内力与荷载不能构成静平衡。必须考据惯性力。依达朗伯原理，加惯性力后，将动力问题转化为静力问题。 (1)必须考虑惯性力。 (3)分析自由振动即求自振频率、振型、阻尼参

2、数等是求强迫振动动力反应的前提和准备。第1页/共155页动力荷载的种类(1) 周期荷载：随时间按一定规律变化的周期性荷载，如按正弦 (或余弦)规律变化的称为简谐周期荷载，也称为 振动荷载。14-1 概 述F(t)toF(t)=F0sint(2) 冲击荷载：很快地把全部量值加于结构而作用时间很短即行消失的荷。F(t)totd第2页/共155页(3) 突加荷载：在一瞬间施加于结构上并继续留在结构上的荷载。(4) 快速移动的荷载。高速移动的列车、汽车等。F(t)totd14-1 概 述第3页/共155页(5) 随机荷载：变化规律不能用确定的函数关系表示的荷载。如风的脉动作用、地震等。14-1 概 述

3、第4页/共155页14-1 概 述结构振动的形式(1) 自由振动：结构受到外部因素干扰发生振动，而在振动 过程中不再受外部干扰力作用。(2) 强迫振动：在振动过程中不断受外部干扰力作用。 如图所示在跨中支承集中质量的简支梁，把质点m拉离原有的弹性平衡位置，然后突然放松，则质点将在原有平衡位置附近往复振动。在振动过程中不受外来干扰，这时的振动即是自由振动。第5页/共155页14-2 结构振动的自由度结构振动的自由度：结构在弹性变形过程中确定全部质点位置所需的独 立参数的数目。 图a所示简支梁跨中固定一个重量较大的物体，如果梁本身的自重较小可略去，把重物简化为一个集中质点，得到图b所示的计算简图。

4、梁在振动中的自由度=1单自由度结构具有一个自由度的结构。多自由度结构自由度大于1的结构。第6页/共155页14-2 结构振动的自由度图a所示结构有三个集中质点。自由度=1图b所示简支梁上有三个集中质量。自由度=3图c所示刚架有一个集中质点。自由度=2自由度的数目不完全取决于质点的数目第7页/共155页14-2 结构振动的自由度 图刚架上有四个集中质点，但只需要加三根链杆便可限制全部质点的位置。如图e。自由度=3图示梁，其分布质量集度为m，可看作有无穷多个mdx的集中质量，是无限自由度结构。自由度的数目与结构是否静定或超静定无关动力自由度的确定方法：加附加链杆约束质点位移，最少链杆数即为自由度或

5、第8页/共155页 图a所示机器的块式基础，当机器运转时，若只考虑基础的垂直振动，可用弹簧表示地基的弹性，用一个集中质量代表基础的质量。使结构转化为图示的单自由度结构。14-2 结构振动的自由度 图b所示的水塔，顶部水池较重，塔身重量较轻，略去次要因素后，可简化为图示的直立悬臂梁在顶端支承集中质量的单自由度结构。实际结构针对具体问题可以进行简化第9页/共155页14-3 单自由度结构的自由振动 图a所示为一个简单的质点弹簧模型。取重物的静力平衡位置为计算位移y的原点，规定位移y和质点所受的力都已向下为正。(1) 列动力平衡方程（刚度法）弹簧拉力(恢复力) Fe=k11y惯性力 ymF I质点处

6、于动力平衡状态0eI FF可得011ykym 一、不考虑阻尼时的自由振动取振动任一时刻的质点为隔离体如图b。1、振动微分方程的建立第10页/共155页14-3 单自由度结构的自由振动(2) 列位移方程（柔度法）如图c。 质点m振动时，把惯性力FI看作是静力荷载作用在体系上，则质点处的位移为1111IymFy 对单自由度结构有11111k可得与(1)相同的结果011ykym 或为02yy (a)命mk112上式即为单自由度结构自由振动微分方程则有02yy (a)第11页/共155页14-3 单自由度结构的自由振动建立振动微分方程的例：第12页/共155页14-3 单自由度结构的自由振动建立图示体

7、系的振动微分方程：第13页/共155页方程tAtAtysincos)(21振动的初始条件为000yyyyt ，时，则有0201yAyA，可得tytyysincos002、运动方程的解：02yy 为一常系数线性齐次微分方程，其通解为A1和A2为任意常数，可有初始条件来确定。式中y0初位移， 初速度。0y 14-3 单自由度结构的自由振动第14页/共155页14-3 单自由度结构的自由振动结构的自由振动由两部分组成：一部分是初位移y0引起的，为余弦规律；一部分是初速度 引起的，为正弦规律。如图a、b。0y tytyysincos00第15页/共155页14-3 单自由度结构的自由振动令cos0ay

8、,sin0ay 则有/tan00yy,22020yya式(b)可写为)sin(tay(c)简谐振动如图ca 为振幅，表示质点的最大位移； 为初相角。周期2TTf1工程频率T2角频率或频率讨论：结构振动主要由三个参数a、和 有关。a和与外因（初位移、初速度）有关， 只与结构特性有关，是结构固有特性，决定了结构的动力特性，即两个结构只要相同，动力反应相同。第16页/共155页14-3 单自由度结构的自由振动st1111111gmggmmk(d)g重力加速度；st重量mg所产生静力位移。式(d)表明：随st的增大而减小，即把质点放在结构最大位 移处，则可得到最低的自振频率和最大的振动周期。刚度法柔度

9、法重力法讨论：质量自重力对自振频率的影响。yst为重力mg产生的静位移，y为动位移，总位移为yst+y，0mgFFeI动平衡方程：0)(11mgyykymst 01111mgykykymst mgyst11mgykst11011ykym 考虑质量重力，不影响频率和动位移。第17页/共155页14-3 单自由度结构的自由振动解：可用柔度法计算，即先求单位力产生的位移11，代入公式计算例14-1 当不考虑梁的自重时，比较图中所示三种支承情况的梁 的自振周期。EIl483113148mlEI自乘图1M第18页/共155页14-3 单自由度结构的自由振动EIl19231133192mlEI说明：随着结

10、构刚度的增大，其自振频率也相应地增高。EIl7687311327768mlEI(a),(b)图互乘据此有2:51. 1:1:32111为超静定结构位移计算，虚设状态为静定结构，可取上页的图(a) ，(a),(c)图互乘上面几种情况刚度系数k11=?第19页/共155页14-3 单自由度结构的自由振动例 求下面结构的自振频率。解：EIl3311313mlEIEIl32311水平方向振动时，总质量为2m，故31114321mlEIm第20页/共155页14-3 单自由度结构的自由振动例 求下面结构的自振频率。解： 此题结构为剪切型刚架，用刚度法计算频率较简单。33311241212lEIlEIlE

11、Ik311124mlEImk第21页/共155页14-3 单自由度结构的自由振动上面杆端剪力称为杆件的侧移刚度，同层各杆侧移刚度之和称为结构的层间刚度。杆件的侧移刚度与杆端约束有关312lEIk 33lEIk 3331115312lEIlEIlEIk例如311115mlEImk第22页/共155页14-3 单自由度结构的自由振动例 分别用柔度法和刚度法计算图示结构的自振频率，EI=常数。解：1、柔度法EIlllEIlllllllEI4851624142212232222113331131115481mlEIm第23页/共155页解：2、刚度法14-3 单自由度结构的自由振动求刚度系数附加链杆的

12、水平单位位移引起的附加反力即为刚度系数。用力矩分配法计算ABBABCCB0.60.40-12i/l007.2i/l4.8i/l2.4i/l0-4.8i/l4.8i/l2.4i/l325486 . 928 . 4lEIlilliFSAB3111548mlEImk311548lEIk第24页/共155页14-3 单自由度结构的自由振动例 图示结构杆件刚度为无穷大，试求其自振频率。(不计杆件质量)解：本问题可由转动惯量的方法计算。Jk11J为转动惯量，k11为转动刚度。绕A点的转动惯量J为：22210)3(maammaJ绕A点的转动刚度k11为：22114)2(kaakkmkmakaIk521042

13、211第25页/共155页14-3 单自由度结构的自由振动0AM0)3)(3()2)(2()(aamakaama 041022kama 010422maka 052mk mk522mk52推导运动微分方程，将加速度项的系数简化为1，则位移项的系数为自振频率的平方。第26页/共155页14-3 单自由度结构的自由振动例 试求图示结构的自振频率。(不计杆件质量)解：第27页/共155页14-3 单自由度结构的自由振动2、考虑阻尼作用时的自由振动阻尼力的产生：外部介质的阻力，支承的摩擦等； 物体内部的作用，材料分子之间的摩擦等。 粘滞阻尼力：阻尼力与其振动的速度成正比，与速度的方向相反。ycFRc

14、称为阻尼系数考虑阻尼力时，质点m的受力图如图所示由动力平衡得0eRIFFF即011ykycym 令mk112mc2则有022yyy 线性常系数齐次微分方程建立振动微分方程第28页/共155页14-3 单自由度结构的自由振动022yyy 设其解为rtCey代入微分方程，得特征方程0222rr两个根为222, 1r讨论(1) 大阻尼情况：r1、r2是两个负实数，方程的通解为)sinhcosh(222221tCtCeyt 是非周期函数，不产生振动，结构偏离平衡位置后将缓慢回复到原有位置。(3) =临界阻尼情况：r1=r2=-，方程的通解为)(21tCCeyt是非周期函数，不发生振动。此时阻尼比=1，

15、=m，可得临界阻尼系数mc2cr故有crcc阻尼比为阻尼系数与临界阻尼系数之比。临界阻尼系数ccr是结构的固有特性。第33页/共155页14-3 单自由度结构的自由振动小 结自由振动分为无阻尼自由振动和有阻尼自由振动。无阻尼自由振动特点：结构作简谐振动，振动由初始位移和初始速度引起。振动的主要动力特性与自振频率有关，自振频率与结构的刚度成正比，与结构质量成反比。有阻尼自由振动特点：当阻尼系数小于临界阻尼系数或阻尼比小于1时，结构振动，且为衰减的简谐振动。有阻尼的自振频率小于无阻尼时的自振频率。阻尼和自振频率是反映有阻尼振动的主要特性，阻尼特性可由阻尼比表示，阻尼比可由实测结构的相邻周期的振幅比

16、值来计算。有阻尼的振幅是随时间减少的。当阻尼系数大于等于临界阻尼系数或阻尼比大于等于1时，结构不振动，结构在偏离平衡位置后将缓慢回复到原有位置。自由振动是结构初始状态引起的振动，振动中无外界干扰。第34页/共155页14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动强迫振动结构在外来干扰力F(t)作用下产生的振动。如图所示，干扰力F(t)直接作用在质点m上0)(eRItFFFF即)(11tFykycym 或)(122tFmyyy 结构在使用过程中遇到振动问题主要是强迫振动。 前面讨论的结构自由振动主要是讨论结构的自身的动力特性，而结构在强迫振动的时的效果是与结构的动力特性有关的。强迫振动运动微分

17、方程的推导。简谐荷载：F(t)=F0sin t ，F0为荷载幅值（荷载的最大值），为荷载频率（圆频率）。取质点为隔离体，可得第35页/共155页14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动微分方程的解为齐次解与特解之和。tBtBysincos210特解 为满足方程的任意解。y右端项为零的齐次方程的 y0，即为自由振动解1、无阻尼强迫振动)(12tFmyy tmFyysin02 或设tAtysin)(代入微分方程，得tmFtAsinsin)(022)(220mFAtmFtAysin)(sin220解得即第36页/共155页14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动方程通解为：tmFtB

18、tByyysin)(sincos220210任意常数B1和B2可由初始条件t=0时，00)0()0(yyyy和来确定。结构振动由两部分叠加：初始条件引起的自由振动和动荷载引起的纯强迫振动。前者按结构自振频率振动，后者按荷载频率振动。短时间内，自由振动部分会衰减而被忽略，只剩纯强迫振动部分。振动可分为两个阶段开始时各部分振动同时存在，此阶段称为过渡阶段。短时间后，自由振动影响可忽略，仅有强迫振动，此阶段称为平稳阶段。过渡阶段比较短，实际问题中平稳阶段比较重要，因此这里着重讨论平稳阶段的纯强迫振动，也称为稳态强迫振动。第37页/共155页14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动平稳阶段的纯

19、强迫振动或稳态强迫振动的表达式为tmFtAysin)(sin220式中为已知，主要讨论振幅A。2022022220)1 (1)(1)(mFmFmFA式中11111121kmkmm得stymFA2022)1 (1式中yst为荷载最大值产生的静位移，为位移动力系数，A为最大动位移。styA表明考虑动荷载时结构的最大动位移为荷载最大值产生的静位移的倍。位移动力系数相当于放大系数。)1 (122第38页/共155页14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动在结构设计中，以结构反应的最大值作为设计依据，结构动力反应的最大值可以通过计算荷载最大值产生的反应乘以动力系数得到，这样将动力问题转化为静力问

20、题来解答，简化了计算。因此，动力系数的计算是强迫振动计算中的一项重要内容。动力系数仅与结构的自振频率和荷载频率有关，相同荷载作用下，结构自振频率不同，结构的最大反应不同。结构反应分为内力反应和位移（变形）反应，动力系数也分为内力动力系数和位移动力系数。对单自由度体系，当荷载作用于质点上时（即惯性力与荷载作用点和方向相同时），内力动力系数与位移动力系数相同，统称为动力系数。对于多自由度体系和当荷载不作用于质点上时，没有统一的位移动力系数和内力动力系数。第39页/共155页14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动当时：为负，动力位移与动力荷载反向。2211 随/ 而变化，当干扰力频率接近于

21、结构的自振频率时，动力系数迅速增大； =时，理论上无穷大，此时内力和位移都将无限大共振。工程设计中应尽量避免发生共振 通常取/ 1.25。第40页/共155页14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动例 计算下面结构在干扰力作用下质量的最大位移和结构的最大弯矩。已知干扰力频率为 ，F0=10kN，l =4m。 3mlEI解：EIl331131131mlEIm5 . 12331111122EIlFFyst330110EIlFEIlFyyst33233030maxkNmlFMMst60230maxmax第41页/共155页14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动例14-2 如图发电机

22、的重量G=35kN，梁的I=8.810-5m4，E=210GPa，发电机转动时离心力的垂直分力幅值F=10kN。不考虑阻尼，试求当发电机转数为n=500r/min时，梁的最大弯矩和挠度（不计梁的自重）。解：在G作用下，梁中点的最大静位移为m1053. 24833stEIGl自振频率为1sts3 .62g干扰力频率为1s3 .52602n求得动力系数4 . 31122梁中点的最大弯矩mkN69FstGmaxMMM梁中点最大挠度mm98. 4Fststmaxyy第42页/共155页14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动例 计算下面结构在干扰力作用下质量的最大位移和结构的最大弯矩。已知干扰

23、力频率为 ，F0=10kN，l =4m。3mlEI)2322212322221(111llllllEIEIl837881111122328mlEIEIlFEIlFFAyD78783030110max742782000maxlFlFlFMD第43页/共155页14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 图a所示简支梁，干扰力不作用在质点上。建立质点m的振动方程。 F=1作用在点1时使点1产生的位移为11，如图b。 F=1作用在点2时使点1产生的位移为12，如图c。作用在质点m上的惯性力为ymF I 在惯性力FI和干扰力F(t)共同作用下，任一时刻质点m处的位移为)()()(121112I1

24、1tFymtFFy 即)(111211tFykym 第44页/共155页)(1112tF 可以看成作用于质量上的等效荷载。与F(t)产生相同的质点位移，但其他位移和内力不同。14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动此时，位移动力系数与内力动力系数不同。等效质点动荷载综上所述，结构在简谐荷载F=F0sint作用下，tAysin速度为tAycos加速度为tAysin2 作用于质点上的惯性力为tAmymFIsin2 位移为可以看出，干扰力、位移和惯性力是同步的，即同时达到最大值。第45页/共155页14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动因此结构的最大反应可以看成是由荷载最大值和惯性

25、力最大值共同作用产生的。惯性力最大值为：AmFax2Im将F0和 2Am 同时作用于结构上，按静力学的方法就可求出结构的最大位移和最大内力。第46页/共155页14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动例 计算下面结构在干扰力作用下质量的最大位移和结构的最大弯矩。已知干扰力频率为 ，F0=10kN，l =4m。3mlEI)(2011AmFA)2322212322221(111llllllEIEIl8388)(830303AEIlFAmmlEIFEIlAEIlFA730解得：第47页/共155页14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动lFmlEilFmlEIlFlAmFM03030

26、20max7472122)(将荷载最大值和惯性力最大值同时作用到结构上，并画出弯矩图由弯矩图可知最大弯矩为第48页/共155页14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动例 计算下面结构在干扰力作用下质量的最大位移和结构的最大弯矩。已知干扰力频率为 ，F0=10kN，l =4m。3mlEI012211FAmAEIl8311EIllllEI322214211312EIlFA2830第49页/共155页14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动2802ImFAmFax112294112000maxlFlFlFM动弯矩幅值图最大位移发生在哪里？值为多少？第50页/共155页14-4 单自由

27、度结构在简谐荷载作用下的强迫振动2、有阻尼强迫振动)(122tFmyyy 微分方程的解：齐次方程的解 y0，)sincos(210tBtBeyt与干扰力F(t)相应的特解ytFtFsin)(0设特解为tCtCycossin21代入方程解出tmFyyysin22 4)(24)()(2222222222222221mFCmFC第51页/共155页14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动将y0与特解合并，由初始条件00,0yyyyt 可得cos2sin)(4)(sin)(2cos24)(sincos222222222222222222000ttmFttmFetyytyeytt第52页/共15

28、5页14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动(1) 由初始条件决定的自由振动；(2) 伴随干扰力的作用发生的振动频率为，称为伴生自由振动；(3) 按干扰力频率振动，称为纯强迫振动或稳态强迫振动如图。前两部分振动很快衰减掉，最后只剩下纯强迫振动。过渡阶段振动开始的一段时间内几种振动同时存在的阶段；平稳阶段纯强迫振动阶段。由解答的表达式可知，振动由三部分组成：振动可分为两个阶段过渡阶段比较短，实际问题中平稳阶段比较重要，因此这里着重讨论平稳阶段的纯强迫振动，即解答的第三部分。cos2sin)(4)(222222220ttmFy第53页/共155页14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫

29、振动将第三项写为)sin(tAy振幅mFA2222224)(1相位差2212tan振幅A可写为styA动力系数2222224)1 (1第54页/共155页14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动动力系数与/及的关系如图所示。第55页/共155页14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动相位差与/及的关系如图所示。第56页/共155页14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动讨论(1) 时，很小，质量近似于不动或作振幅很微小的颤动。结构的Fe、FR可以忽略，位移与荷载的相位差为180。荷载主要由惯性力平衡。(3) 时，增加很快，受阻尼的影响很大 。荷载主要由阻尼力平衡。当阻尼

30、较小时，值很大，共振现象仍很危险。工程设计中一般常取)3 . 125. 1 (第57页/共155页14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动瞬时冲量：荷载F(t)在极短的时间t0内给与振动物体的冲量瞬时冲量作用下的振动问题 图a所示荷载大小为F，作用时间为t ，其冲量I=Ft ，即图中阴影部分的面积。瞬时冲量作用下质点的动量增值为0ym由0ymI可得mIy 0 当质点获得初速度后冲量即时消失，质点在这种冲击下将产生自由振动。将初始条件代入式(g)可得瞬时冲量I作用下质点m的位移方程为temItyeyttsin)sin(0第58页/共155页14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动

31、 若瞬时冲量不是在t=0而是在t=时加于质点上，其位移方程为)()(sin)(ttemIyt 图b所示一般形式的干扰力F(t)可认为是一系列微小冲量F()d连续作用的结果，应此有teFmyttd)(sin)(1)(0(k)不考虑阻尼=0，=则有tFmytd)(sin)(10(m)式(k)及式(m)称为杜哈梅积分第59页/共155页14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动若在t=0质点原来还具有初始位移和初始速度，则质点位移为teFmtyytyeytttd)(sin)(1)sincos()(0000若不考虑阻尼则有tFmtytyytd)(sin)(1sincos000(n)第60页/共1

32、55页14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动（1）突加荷载。变化规律如图a所示。设：加载前结构处于静止状态，将 F()=F代入式(k)求得tteyytsincos1st其振动曲线如图b。)1 (stdeyy时最大动位移yd为t动力系数为1 e不考虑阻尼tyycos1ststd2yy 第61页/共155页14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动（2）短期荷载。变化规律如图所示。当t=0时，有突加荷载加入并一直作用在结构上；当t=t0时，有一个大小相等方向相反的突加荷载加入。利用（1）得到的突加荷载作用下的计算公式按叠加法求解：tyyttcos1,0st0)2(sin2sin2c

33、os)(cos)(cos1 cos1,00st0st0stst0tttytttyttytyytt自由振动第62页/共155页当t0T/2时，最大位移发生在前一阶段。2短期荷载的最大动力效应与突加荷载相同。14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动第63页/共155页14-6 多自由度结构的自由振动 工程实际中有很多结构是不宜简化为单自由度体系计算的。例如多层房屋、多跨不等高工业厂房以及烟囱等, 都必须按多自由度体系来处理。 图示等截面烟囱，将其分为八段，从上到下将每两段的质量集中于其中点，将一个无限自由度的体系简化为四个自由度体系。h /4h /4h /8h /8h /4mm4h /h

34、/4mm h /4h /4第64页/共155页1、振动微分方程的建立14-6 多自由度结构的自由振动柔度法)()()()(222211212221211111ymymyymymy 00222221121122121111yymymyymym 00m00m21212122211211yyyy 0M YY 22211211 21m00mM 21yyY 21yyY柔度矩阵质量矩阵加速度向量位移向量第65页/共155页14-6 多自由度结构的自由振动刚度法弹性恢复力如何计算？Fe1=-FR1， Fe2=-FR2FR1和FR2如何计算？由叠加原理：2121111ykykFR2221212ykykFR由质

35、量的平衡条件，得002221212221211111ykykymykykym 第66页/共155页002221212221211111ykykymykykym 00m00m2122211211121yykkkkyyy 1200mMm 22211211kkkkK 21yyY 21yyY 0YKYM 14-6 多自由度结构的自由振动第67页/共155页14-6 多自由度结构的自由振动 0YKYM 0M YY K1由和可知上面两个方程是同一方程的两个表达方式与单自由度的运动方程比较，将质量、刚度、加速度和位移分别换成质量矩阵，刚度矩阵，加速度向量和位移向量，方程的形式相似。（便于记忆）如011yky

36、m 0YKYM 0M YY 0m11 yy 第68页/共155页柔度法将各质点的惯性力看作是静荷载如图a。结构上任一质点mi处的位移应为)()()()()(222111nninjjijiiiiiiiymymymymymy ii、ij为柔度系数其物理意义见图b、c。由此，可以建立n个位移方程00022211122222112121221211111nnnnnnnnnnnnnymymymyymymymyymymymy 多自由度结构无阻尼自由振动微分方程推广到n个自由度的情况14-6 多自由度结构的自由振动第69页/共155页14-6 多自由度结构的自由振动写成矩阵形式为00000212121222

37、211121121 nnnnnnnnnyyymmmyyy简写为 0YMY 为结构的柔度矩阵，是对称矩阵。M为质量矩阵，在集中质点的结构中是对角矩阵； 为加速度列向量；Y为位移列向量。Y 第70页/共155页14-6 多自由度结构的自由振动刚度法 图a所示无重量简支梁，略去梁的轴向变形和质点的转动，为n个自由度的结构。加入附加链杆阻止所有质点的位移，如图b。各质点的惯性力为)21(niymii， 各链杆的反力为)21(niymii， 令各链杆发生与各质点实际位置相同的位移，如图c。各链杆上所需施加的力为)21(RniFi，第71页/共155页14-6 多自由度结构的自由振动不计阻尼，各链杆上的总

38、反力应等于零。0RiiiFym 以质点mi为例有niniiiiiiykykykykF2211Rkii、kij为刚度系数其物理意义见图d、e。可得i质点的动力平衡方程为02211niniiiiiiiykykykykym 第72页/共155页14-6 多自由度结构的自由振动对每个质点都列出一个动力平衡方程，于是可得0002211222212122121211111nnnnnnnnnnnykykykymykykykymykykykym 写成矩阵形式为00000212122221112112121 nnnnnnnnnyyykkkkkkkkkyyymmm多自由度结构无阻尼自由振动微分方程第73页/共15

39、5页14-6 多自由度结构的自由振动简写为 0YKYM 00000212122221112112121 nnnnnnnnnyyykkkkkkkkkyyymmm式中：K 为刚度矩阵，是对称矩阵；由 K1柔度矩阵与刚度矩阵是互为逆阵。记忆方法：和单自由度比较刚度法011ykmy 0YKYM 柔度法011ymy 0YMY 第74页/共155页微分方程解答振动特点14-6 多自由度结构的自由振动设位移方程的特解为), 2 , 1()sin(nitAyii代入位移方程可得010101222211122222211211221212111nnnnnnnnnnnnAmAmAmAmAmAmAmAmAm振幅方程

40、1、按柔度法求解这是一组各质点按同一频率振动，只是振幅不同。第75页/共155页14-6 多自由度结构的自由振动写成矩阵形式 012AIM式中 T21nAAAA振幅列向量I 为单位矩阵。要得到振幅不全为零的解答，振幅方程组的系数行列式为零。 011111det22221112222211211212211122nnnnnnnnnmAmAmmmAmmmmIMIM频率方程第76页/共155页14-6 多自由度结构的自由振动 将行列式展开含 2的n次代数方程，从而可得到n个自振频率1，2，n，将频率从小到大排列，分别称为第一，第二， ，第n频率。将任一k代入特解得), 2 , 1()sin()()(

41、nitAykkkiki此时各质点按同一频率k作同步简谐振动，各质点位移的比值为)()(2)(1)()(2)(1:knkkknkkAAAyyy任何时刻结构的振动都保持同一形状。主振动多自由度结构按任一自振频率k进行的简谐振动。主振型相应的特定振动形式，简称振型。第77页/共155页14-6 多自由度结构的自由振动), 2 , 1(010101)(2)(222)(111)(2)(22222)(1121)(1)(2212)(12111nkAmAmAmAmAmAmAmAmAmknknnnknknknnnkkkknnnkkk将k代回振幅方程得可写为), 2 , 1(01)(2nkAIMkk 系数行列式为

42、零，n个方程中只有(n-1)个是独立的，不能确定各质点的幅值，但可确定其比值即振型。第78页/共155页14-6 多自由度结构的自由振动 T)()(2)(1)(knkkkAAAA振型向量设 ，即可求出其余各元素的值，此时振型称为标准化振型。1)(1kA主振动的线性组合构成振动微分方程的一般解：), 2 , 1()sin()sin()sin()sin(1)()(22)2(11)1(nitAtAtAtAynkkkkinnniiiikkiA、)(各主振动分量的振幅、初相角由初始条件确定。自振频率、振型：与结构的质量分布和柔度系数有关； 反映了结构本身固有的动力特性。 nkkkktAY1)()sin(

43、第79页/共155页两个自由度体系的自由振动)()()()(222211212221211111ymymyymymy 00222221121122121111yymymyymym 22211211000021212122211211yyyymm 0 YYM 14-6 多自由度结构的自由振动第80页/共155页14-6 多自由度结构的自由振动振幅方程为0101222221121221212111AmAmAmAm频率方程为011222211212122111mAmmm令210)()(2121222112221112mmmm解得2)(4)()(2)(4)()(21212221122221112221

44、11221212221122221112221111mmmmmmmmmmmm)sin(tAyii)sin()sin(2211tAytAy第81页/共155页14-6 多自由度结构的自由振动可得两个自振频率111求第一阵型将=1代入振幅方程可得21211121)1(1)1(211mmAA求第二阵型将=2代入振幅方程可得21211122)2(1)2(221mmAA221代入振幅方程，得振型方程0101)(22222)(1121)(2212)(11211iiiiiiAmAmAmAm两个方程不独立，可由第一个方程解出两个主振型质点位移的比值第82页/共155页【例】【例】 试求结构的自振频率和振型试求

45、结构的自振频率和振型. .1l/41l/21M图2M图m1=mm2=2ml/2l/2l/2EI=常数3331122122184832lEIlEIlEI解(1)求柔度系数(2)求频率mmDmm1111222211222210131322.6356.653EI mlEI ml14-6 多自由度结构的自由振动第83页/共155页(3)求振型. YmYm111222111121110 305. YmYm121222211122111 639第一振型第二振型10.30511.63914-6 多自由度结构的自由振动第84页/共155页【例】 图示刚架，在梁跨中D处和柱顶A处有大小相等的集中质量m，支座C处

46、为弹性支承，弹簧的刚性系数k=(3EI)/l3。试求自振频率和振型。 1. 求柔度系数 解：体系有两自由度，A处质点的水平位移和D处质的竖向位移。EIEIAmBCD3EIlM1k=3/2l1/2/2l/2lm/2l1l/41/22M1/21E IE IAmBCD3E IlM11k =3/2l1 /2M21 /21 /2/2l/2lm/2l1/4l3111 12121 1 1202 2 2 3 22 23 22 296lllllllEIkEI 32221211110224342296llllEIkEI31221211111()2442296llllEIkEI 绘制M1、M2图,由图乘及弹簧内力虚

47、功计算得14-6 多自由度结构的自由振动第85页/共155页14-6 多自由度结构的自由振动3296EIml2. 写出振型方程331223312220111()0969611101()09696llmAmAEIEIllmAmAEIEI（a） (20)11011(10)3. 写出频率方程，求频率230790展开式为127.08322.917解得 1331961.833EIEImlml2332965.737EIEImlml相应的频率为第86页/共155页14-6 多自由度结构的自由振动第一主振型第二主振型2=2.9174. 求振型并绘出振型图1.553第 二 振 型1(b)10.644xyo第 一

48、 振 型(a)由所得结果绘出振型644. 02121111)1(1)1(21mmAA1=27.083553. 12121112)2(1)2(22mmAA644. 01)1(1)1(2AA553. 11)1(1)1(2AA振型向量为第87页/共155页14-6 多自由度结构的自由振动例14-3 试求图a所示等截面简支梁的自振频率并确定主振型。解：自由度=2，由图b、c可得EIlEIl486724343211232211求得EImlEIml486486153231得到3322331105.22486169. 5154861mlEImlEImlEImlEI第88页/共155页14-6 多自由度结构的

49、自由振动第一阵型12121111)1(1)1(21mmAA第二阵型12121112)2(1)2(22mmAA如图d，振型是正对称的。如图e，振型是反对称的。结构的刚度和质量分布是对称的，则其主振型是正对称的或反对称的。取一半结构计算。第89页/共155页14-6 多自由度结构的自由振动例 计算图示结构的自振频率和主振型。EI=常数。解：结构对称，振型分为对称和反对称。可取半结构计算，简化为单自由度计算对称振型EIaaaEI343133311maEI3143反对称振型EIaaEI322313322maEI3223第一振型第二振型第90页/共155页14-6 多自由度结构的自由振动例14-4 图a

50、所示刚架各杆EI都为常数，假设其质量集中于各结 点处，m2=1.5m1。试确定其自振频率和相应的振型。解：结构是对称的，其振型为正、反对称两种。由受弯直杆的 假定，判定不可能发生正对称形式的振动，其振型只能是 反对称的。可取图b所示一半结构计算。超静定结构第91页/共155页14-6 多自由度结构的自由振动作超静定结构在F1=1和F2=1作用下的弯矩图，如图a、b。取静定的基本结构作 图，如图c、d。21MM 、EIhEIhEIh48274823483932112322311计算得第92页/共155页14-6 多自由度结构的自由振动EIhmEIhm3123110751. 0,4561. 1有可

51、得3122311165. 31,83. 01hmEIhmEI第一阵型673. 01第二阵型874. 02反对称振动，质点同向振动反对称振动，质点反向振动第93页/共155页例题例题 试求结构的自振频率和振型试求结构的自振频率和振型. .EIEI= =常数常数mml/4l/4l/4l/4m13l/161l/41M图2M图13l/163M图3113332231221233231331976816768117687768lEIlEIlEIlEI解(1)求柔度系数14-6 多自由度结构的自由振动第94页/共155页(2)求频率mmmDmmmmmm1111221332211222233231133133

52、3211011223334.93319.56941.59EIEIEImlmlml14-6 多自由度结构的自由振动第95页/共155页(3)求振型 MIY210令每个振型的第一个元素为1，得 TTT.12311 414110111 4141YYY11.4141第三振型(正对称)第二振型(反对称)11第一振型(正对称)11.414114-6 多自由度结构的自由振动第96页/共155页)sin(tAyii 02AMK 21AAA 02MK频率方程由频率方程可解出自振频率，代回振幅方程得振幅方程), 2 , 1(0)(2nkAMKkk确定相应主振型2、按刚度法求解 0YKYM 14-6 多自由度结构的

53、自由振动第97页/共155页002221212221211111ykykymykykym 00m00m2122211211121yykkkkyyy 0YKYM 14-6 多自由度结构的自由振动两个自由度)sin(tAyii)sin()sin(2211tAytAy)sin(2121tAAyy )sin(tAY第98页/共155页14-6 多自由度结构的自由振动0021222221121211AAmkkkmk 02AKAM 02AMK有非零解时，系数行列式等于零0222221121211mkkkmk得振幅方程为002222212121211211AmkAkAkAmk第99页/共155页14-6 多

54、自由度结构的自由振动两个自由度的结构频率方程为0222221121211mkkkmk展开0)()()(212221121222112221kkkmkmkmm解得212122211222211122211122, 1)(42121mmkkkmkmkmkmk两个方程不独立，可由第一个方程解出两个主振型质点位移比值为1211122)2(1)2(221211121)1(1)1(21kkmAAkkmAA代入振幅方程，得振型方程00)(22222)(121)(212)(11211iiiiiiAmkAkAkAmk第100页/共155页14-6 多自由度结构的自由振动例 计算图示结构的自振频率和主振型。解：1

55、、解释概念：层间侧移刚度层间侧移刚度：第i层之间发生单位侧移时水平力。用ki 表示，也称为层间总剪力。其值等于该层各柱的侧移刚度之和。2、用层间刚度表示的刚度系数2111kkk221kk222kk21212kkk第101页/共155页14-6 多自由度结构的自由振动柱的侧移刚度：发生柱端单位侧移时的侧向力（即柱的剪力）。33124212lEIlEIkkklEIlEIk133224212,22111kkkk,22112kkkkkkk222212122211222211122211122, 1)(42121mmkkkmkmkmkmkmkmkmkmkkmkmk2532523)2(4321321222

56、2第102页/共155页mkmk382. 025321mkmk618. 0382. 01mkmk618. 225322mkmk618. 1618. 2214-6 多自由度结构的自由振动两个主振型为618. 112382. 01211121)1(1)1(21kkmAA618. 012618. 21211122)2(1)2(22kkmAA 618. 11)1(2)1(1)1(AAA 618. 01)2(2)2(1)2(AAA第103页/共155页mmhhh14-6 多自由度结构的自由振动例 计算图示结构的自振频率和主振型。已知横梁刚度无穷大，立柱刚度为EI=常数。解：结构对称，振型分为对称和反对称

57、。可取半结构计算，简化为单自由度计算31124hEIk3124mhEI333227222324hEIhEIhEIk3272mhEI请同学们自己绘出两个主振型。第104页/共155页例14-5 图a所示三层刚架横梁的刚度可视为无穷大，设刚架的 质量集中在各层的横梁上。试确定其自振频率和主振型。14-6 多自由度结构的自由振动解：刚架振动时各横梁只能水平移动，自由度=3，结构的刚度 系数如图b、c、d。第105页/共155页14-6 多自由度结构的自由振动建立刚度矩阵为110132026243lEIK质量矩阵为10005 . 10002mM第106页/共155页14-6 多自由度结构的自由振动有1

58、1015 .EIMK2324EIml由频率方程得011015 . 1320226展开082718323解得834. 3,774. 1,392. 0321自振频率324mlEI333231592. 9,525. 6,067. 3mlEImlEImlEI第107页/共155页14-6 多自由度结构的自由振动确定主振型将k=1即k=1=0.392代入振幅方程有00011015 . 1320226)(3)(2)(1kkkAAA1)1(1A设标准化的第一振型为290. 4608. 21)1(3)1(2)1(1)1(AAAA同理可求得584. 1226. 11)2(3)2(2)2

59、(1)2(AAAA294. 0834. 01)3(3)3(2)3(1)3(AAAA第108页/共155页14-6 多自由度结构的自由振动第一、二、三振型分别如图a、b、c。第109页/共155页14-6 多自由度结构的自由振动主振型的正交性 n个自由度的结构有n个自振频率及n个主振型，每一频率及相应的主振型均满足振幅方程即：分别设k=i，k=j，可得 0)()(2kkAMK )(2)(iiiAMAK两边左乘以T)( jA两边左乘以T)(iA )(2)(jjjAMAK则有 )(T)(2)(T)(ijiijAMAAKA )(T)(2)(T)(jijjiAMAAKAK、M均为对称矩阵，将第二个式子两

60、边转置有 )(T)(2)(T)(ijjijAMAAKA和第110页/共155页14-6 多自由度结构的自由振动将第一式减去第三式得0)(T)(22ijjiMAA当ij时，i j，应有0)(T)(ijAMA此式表明对于质量矩阵M，不同频率的两个主振型是彼此正交的。也可由上页的式子得0)(T)(ijKAA此式表明对于刚度矩阵K，不同频率的两个主振型是彼此正交的。 主振型的正交性是结构本身固有的特性，可以用来简化结构的动力计算，可用以检验所得主振型是否正确。第111页/共155页14-6 多自由度结构的自由振动例 验证图示结构主振型的正交性。解：前面已经解除了主振型，618. 11)1 (2)1 (