常微分方程模型

1、1常微分方程模型简介常微分方程模型简介2 目目 录录 1.人口模型 (人口增长和人口控制模型) 2.作战模型 3.火箭发射模型 31. 人口增长模型 人口问题是当今世界人们最关心的问题之一,从我们建国以来的历史和当前的现实已经证明.这个问题也是我们国家必须认真思考和慎重对待的重大问题.过去曾认为人多好办事,对呼吁人口增长的经济学家马寅初错误地开展批评,结果造成人口超过13亿,背上了沉重的包袱.因此要实现四个现代化,应有效地控制人口增长,就必须制定正确的人口政策,为此就要建立人口增长的数学模型,用以描述人口增长过程,通过分析对人口增长进行预测,制定相应的人口政策以控制人口增长. 4 影响人口增长

2、的因素很多,人口的多少,出生率的高低,人口男女比例的大小,人口年龄组成情况,工农业生产水平高低,各民族的风俗习惯,自然灾害,战争,人口迁移等等. 如果一开始把众多因素全考虑,则无从下手.我们先把问题简化,只考虑影响人口的主要因素增长率(出生率减去死亡率),其余因素暂不考虑,建立一个较粗的数学模型.在这个模型的基础上逐步考虑次要因素的影响,从而建立一个与实际更加吻合的数学模型. 5 初看起来人口增长是按整数变化的,不是时间的可微函数,是不能用微分方程来描述的.但是若人口总数很大时,可以近似认为它是时间的连续函数,甚至是可微的函数.所以人口增长可以用微分方程来描述. (这种假设,认识是建立模型的基

3、础)6设 , 表示t时刻人口总数和增长率, )(tx)(,(txtr只考虑增长率,其它因素的影响不考虑. 则在t至t+ 这段时间内人口总数增长为 tttxtxtrtxttx)()(,()()(两端同除以 ,并令 ,得 tt0)()()(,(1txtxtrdtdx我们将逐步深入讨论上面这个模型 7一.马尔萨斯(malthus)模型(指数增长模型) 英国人口学家马尔萨斯(17661834)根据百余年的人口统计资料,于1798年提出了著名的人口指数增长模型. 基本假设 人口增长率是常数, 或者说,单位时间内人口的增长量与当时人口成正比. 在（1）式中令 =r(常数) 得 )(,(txtr002xtx

4、txrdttdxtt)()()()(其解: (3)()(00ttrextx8 (2)式是一个线性方程,称为马尔萨斯人口模型,人口以 为公比,按几何级数增加. re002xtxtxrdttdxtt)()()()( 据统计,1961年世界人口总数为3.06 , 而在此之前的十来年间人口按每年2%的速率增长.因此 910,.,.,020100631961900rxt)(.)()(.41006319610209tetx 公式(4)能非常准确地反映了在1700-1961年间世界估计人口总数, 9但当t=2510年, = (2万亿), x14102t=2635年, = (18万亿), x151081.t=

5、2670年, = (36万亿), x151063. 显然,这些数字说明马尔萨斯人口模型对长期的预测是不正确的. 由上可以看出,马尔萨斯人口增长模型对1700-1961年的人口总数是对的,但对未来的人口总数预测不正确,应予以修正. 二、logistic模型(阻滞增长模型) 由上面分析,马尔萨斯人口模型对1700-1961年间人口总数的检验是对的,而未来的人口总数预测又是错的,原因何在? 10 产生上述现象的主要原因是:随着人口的增加,自然资源,环境条件等因素对人口继续增长的阻滞作用越来越显著.如果当人口较少时(相对于资源而言),人口增长率还可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量后,增长率就会

6、随着人口的继续增加而逐渐减少,许多国家人口增长的实际情况完全证实了这一点. 看来为了使人口预报,特别是长期预报更好地符合实际情况,必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数这个基本假设. 11 荷兰生物学家Verhulst引入常数 ,用来表示自然资源和环境条件所允许的最大人口,并假定人口增长率 mx)()()(,(51mxtxrtxtr即人口增长率随着 的增加而减少,当 时，人口增长率趋于零 )(txmxtx)(其中： 是根据人口统计数据或经验确定的常数; mxr,因子 体现了对人口增长的阻滞作用. )(mxtx1由此得：Logistic模型 )(| )()(6100 xtxxxxrdtdxtt

7、m12解之得： )()()()(71100ttrmmexxxtx 根据(6),(7)两式可画出 和 曲线图如图1-a及图1-b： xdtdxtx 图1-a 图1-b 13 如图1-a, 是一条抛物线，他表示人口增长率 随着人口数量的增加而先增后减，在 处达到最大值。 xdtdxdtdxx2mxx 如图1-b， 是一条 型曲线 ，拐点在 处，当 时， tx s2mxx tmxx 本世纪初人们曾用这个模型预报美国人口，与实际数据比较，直到1930年计算结果都相吻合，后来的误差越来越大，一个明显原因是到1960年美国实际人口已突破了过去确定最大人口 。 mx14 这个模型改进了Mslthus模型，但

8、不易准确得到 ，事实上，随着生产力的发展和人们认识能力的改变， 也是可以改变的。 mxmx 关于人口模型这方面的内容是很丰富的，我国学者为了解决我国人口迅速增长的问题，作了大量的调查研究，建立了不少的人口模型，为我国政府指定相应的人口政策提供依据。下面仅给一个我国的人口控制离散模型： 15三、人口控制模型： 在前面讨论的两个模型中，我们只关心人口总数，不考虑人口的年龄分布。事实上在研究人口问题时，按年龄分布的人口结构情况是非常重要的。两个国家或地区，目前人口的总数一样，如果其中之一的年轻人比例高于另一个，那么二者的人口发展状况将很不一样。下面将考虑人口年龄，不同年龄的生育率及死亡率等因素来建立

9、人口离散模型，用以预测及控制人口增长及人口老化问题。 人口发展方程： 时间以年为单位，年龄按周岁计算， 设最大年龄为m岁， 16记 为第t年 岁（满 周岁而不到 周岁）的人数， )(txiii1i210210,it 只考虑由于生育、老化和死亡引起的人口演变，而不记迁移等社会因素的影响。 记 为第t年 岁人口的死亡率，即 ) (tdii)()()()(txtxtxtdiiii11于是： )()()(txtdtxiii111).(,8932101210tmi17记 为第t年 岁女性生育率，即每位女性平均生育婴儿数， )(tbii 为育龄区间, 21ii , 为第t年 岁人口的女性比， )(tkii

10、则第t年的出生人数为： )()()()()(921txtktbtfiiiiii记 为第t年婴儿死亡率， )(td00即第t年出生但未活到人口统计时刻的婴儿比例 )()()()(tftxtftd00018于是 )()()()(101000tftdtx对于 , 将（9）、（10）代入（8）得 0i)()()()()()()(11111210001txtktbtdtdtxiiiiii)()()()(8111txtdtxiii将 分解为 ： , )(tbi)()()()(12thttbii 其中 是生育模式， )(thi用以调整育龄妇女在不同年龄时生育率的高低，满足： )()(13121thiiii1

11、9利用（13）式对（12）式的求和得到)()()(1421iiiitbt 可知 表示第t年每个育龄妇女平均生育的婴儿数， )(t 若设在t年后的一个育龄时期内各个年龄的女性生育率 都不变， )(tbi那么 又可表示为 )(t )()()()()(151121211iitbtbtbtiii 即 是第t年 岁的每位妇女一生平均生育的婴儿数，称总和生育率，或生育胎次，它是控制人口数量的主要参数。 )(t 1i20将（12）式代入（11）式，并记： )()()()()()(1611000tkthtdtdtbiii则（11）式写作： )()()()()(171211txtbttxiiiii 制订生育政策

12、就是确定 和 ，通过 控制生育多少，通过 可以控制生育的早晚和疏密。 )(t )(thi)(t )(thi引入向量、矩阵记号： )()(),(),()(1821Tmtxtxtxtx21)()()()()(190100001000010000121mmmtdtdtdtA)()()()(20000000000000000021mmiitbtbtB22那么（17）式和（8）式（ ）可以写作 121mi,)()()()()()()(211txtBttxtAtx 这个向量形式的一阶差分方程就是人口发展方程。 说明： (1)当初始人口 分布已知时，又由统计资料确定A(t)及B(t)，并且给定了总和生育率

13、以后，用这个方程就可以预测发展过程。 )(0 x)(t (2)在控制论中， 称状态变量， )(tx作为控制变量。 )(t (3)在稳定的社会环境下，可以认为死亡率、生育模式和女性比不随时间变化，于是A(t),B(t)为常数矩阵， 23（21）式化为： )()()()()(221tBxttAxtx 虽然 全面地反映了人口的年龄结构及其发展过程，但是为了更简明地描述人口的特征，还需要一些指标，称为人口指数，主要有： )(tx人口指数： 人口总数 )()()(230miitxtN平均年龄 )()()()(2410miitixtNtR24平均寿命（经过复杂计算可得） )()(exp)(2500mjji

14、itdtS 其含义是：第t年出生的人不论活到哪一年,死亡率都用第t年的死亡率 计算时,这些人的平均存活时间.我国人口的平均寿命在本世纪三十年代是35岁左右,解放初期为50岁左右(1950年北京地区),到1978年达到68.3岁. )(tdi 老年化指数)()()()(26tStRt 25 它是反映人口老年化程度的指标.平均年龄R(t)越大， 越大;对于R(t)相同的两个国家和地区，平均寿命S(t)大时，表示健康水平高，一个人能工作的时间在一生中占的比例大，所以老龄化指数小。0，乙军胜，且当y减少到 时，x将为零； M若M0，平局，且当y减少到零时，x也将为零； 若M0，即02020 xy所以正

15、规军取胜的条件：002(11)xy 由于 分别表示正规军与游击队的战斗有效系数，所以可将它们表示为yyprxxpr其中 是正规军的射击率（每个士兵单位时间射击次数）， yr、45是正规军每次射击的命中率； yp是游击队的射击率（每个士兵单位时间射击次数）， xr是游击队每次射击的命中率。 xp 但在战斗过程中，可假定正规军在游击队的火力之内且游击队每次射击是有目标的，而游击队虽然在正规军的火力之内，但活动范围大且是隐蔽的，所以正规军每次命中率与游击队活动范围及每次射击的打击面有关， 因此 又可表示为ypxryyssp 表示游击队的活动范围； xs表示正规军每次射击有效面积。rys46所以(12

16、)ryyxxxsrsr p将(10-12)代入(10-11)得正规军取胜的条件： 002(13)xxxyryr p s xyr s假定正规军的作战火力比游击队作战火力强， 不妨设 ； xyrr2游击队的作战兵力 100人， 0 x命中率 0.1， xp47活动范围 0.1平方千米， xs正规军每次射击的有效面积 1平方米， rys则由(6-13)式，正规军取胜的条件为10001 . 02100101 . 01 . 0260 xxrry即正规军必须10倍于游击队的兵力才能取胜。 48 美国人曾用这个模型分析越南战争（甲方为越南，乙方为美国）。根据类似于上面的计算以及四五十年代发生在马来西亚、菲律

17、宾、印尼、老挝等地的混合战争的实际情况估计出，正规军一方要想取胜必须至少投入8 倍于游击队一方的兵力。而美国最多只能派出6倍于越南的兵力。越南战争的结局是美国不得不接受和谈并撤军，越南人民取得最后胜利。 三、游击战争模型（自学）（自学）493. 发射卫星为什么用三级火箭一、为什么不能用一级火箭发射卫星？ 1、卫星进入轨道，火箭所需的最低速度。 将问题理想化，假设: (a)、卫星轨道为过地球中心某一平面上的圆，卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕 地球作平面圆周运动（如图)50 (b)、地球是固定于空间的均匀球体，其他星球对卫星的引力忽略不计。 设地球半径为R，中心为O，地球质量看成集中于球心（

18、根据地球为均匀球体的假设），曲线C为地球表面， 为卫星轨道，其半径为r，卫星质量为m， C根据牛顿定理，地球对卫星的引力为) 111(2rmGF其中G为引力常数，可由卫星在地面的重量算出，即 mgRGm22gRG 51 代入(11-1)式得 2)(rRmgF 由假设(a)，卫星所受到的引力既它作匀速圆周运动的向心力，故又有 rvmF2故有 rvmrRmg22)(从而速度为 rgRv 52 取g=9.81m/ ,R=6400km,可算出卫星离地面高度为h公里处的速度如下表 2s离地面高度h(km)1002004006008001000卫星速度v(km/s)7.867.807.697.587.47

19、7.37 2、火箭推进力及速度的分析 假设 火箭在喷气推动下作直线运动，火箭重力及空气阻力不计。 53 设在t时刻火箭质量为m(t)，速度为v(t)，均为t的连续可微函数。 由泰勒展式有)()()(totdtdmtmttm在t到t+ 时间内火箭的质量减少量为t)()()(totdtdmttmtm这个质量的减少，是由于燃料燃烧喷出气体所致。 设喷出气体相对于火箭的速度为u(就一种燃料而言为常数)，则气体相对于地球运动速度为v(t) . u54根据动量守恒定律知 t时刻火箭动量=（t+ t)时刻火箭动量 +（t+ t)时刻转换到气体的能量 所以)()()()()()()(utvttmtmttvtt

20、mtvtm从而有)()()()()()(utvtotdtdmttvttmtvtm上式两端同除以 ，并令 得tt055)211(dtdmudtdvm(11-2) 式又端表示火箭所受的推力，由此解得)311()(ln()(00tmmuvtv此处 ).0(),0(00mmvv (11-2) 式表明火箭所受的推力等于燃料消耗速度与气体相对于火箭运动速度的乘积 (11-3)式表明,在 和 一定的条件下,v(t)由喷发速度(相对于火箭)u及质量比 决定. 0v0m)(0tmm这为提高火箭速度找到了正确的途径:提高u(从燃料上想法),减少m(t)(从结构上想法).完全合乎实际. 563 、一级火箭末速度上限

21、(目前技术条件下)火箭卫星系统的质量可分为三部分: (有效负载,如卫星), pm,(燃料质量), fm(结构质量,如外壳,燃料容器及推进器).sm 在发射一级火箭运载卫星时,最终(燃料耗尽)质量为 , spmm由式(3)知末速度为)411()ln(0spmmmuv一般来说,结构质量 在 中应占一定的比例, smfsmm )0(0v57 在现有的技术条件下,要使燃料仓和发动机的质量之和小于所载燃料的 或 是很难做到的. 81)()(0psfsmmmmm 设设其中 为常数, 为初始总质量,即结构质量为燃料和结构质量和 的倍, sfpmmmm0 代入(4)式得 )511()1 (ln(00pmmmu

22、v 由此可以得出一个重要结论:10158对于给定的u值,当净栽质量 时(即假设火箭不携带任何东西).火箭所能达到的最大速度为0pm)1ln( uv 我们已知目前的火箭燃料其 u=3km/s ,如果取 101 则上式可得skmv/7 前面已推出,即使要把卫星送入600公里高的圆形轨道,火箭的末速度应为7.58km/s,而刚才我们推导火箭速度是在假定忽略空气阻力,重力,不携带任何东西的情况下，最大速度才达7km/s.由此得出,如上的单级火箭是不能用于发射卫星的. 59 我们回过头来检查上面的设计中有那些地方不合理,以便加以改进.我们发现,火箭的推进力在加速着整个火箭,其实际效率越来越低,最后几乎是

23、在加速着最终毫无用处的结构质量(包括空油箱).所以应改进火箭的设计. 二、理想的火箭模型 理想的火箭模型应该是随着燃料燃烧随时抛弃无用的结构。 假设 在t到 时间内，丢掉的总质量为1个单位（包括结构质量和燃料燃烧质量），其中丢掉结构质量为 1），烧掉的质量为1 。 tt0( 60 当然，不可能制造这样的理想火箭，但是我们把实际情况理想化以后，使得问题变得比较简单，在此基础上建立相应的数学模型，从而可获得一些我们需要的信息，通过一些修正，我们就可以把理想过程还原到实际过程。建模 由动量守恒定律： )()()()(ttvttmtvtm)()()()(1 ()()()(utvttmtmtvttmtm

24、)()()(totdtdmttmtm将代入上式得 61)()()()(ttvttmtvtm)()()1 ()(toutvtdtdmttvdtdm化简整理，令 ，可得0tdtdmudtdvm)1 ( 解得)1611()(ln)1 ()(0tmmutv 比较(11-5) 、(11-6) 两式可知，理想火箭与一级火箭的最大区别在于： 当燃料燃烧完，结构质量也被逐渐抛掉，仅仅剩下 （卫星），即 ， pmpmtm)(62从而最终速度为)711(ln)1 (0pmmuv (11-7)式表明：当 足够大便可使卫星达到我们所希望它具有的任意速度。 0m 例如，考虑到空气阻力和重力的因素，估计（按比例的粗略计算）要使 才行，如果取u=3km/s, ,则可推出 。即发射1吨重的卫星大约需50吨重的理想火箭。 skmv/5 .101 . 0 500pmm63三、多级火箭卫星系统（理想过程的实际逼近） 前面我们所讨论的理想火箭是把结构质量连续抛弃，显然对于实际火箭是办不到的，是否可以把结构质量逐级抛弃而用多级火箭发射？ 记火箭级数为n ，当第i级火箭燃料烧尽时，第 级火箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第 级。 1ii用 表示第 级火箭质量（燃料与结构之和）， imi表示有效负载。 pm为了简