2021版新高考数学：利用导数解决函数的单调性问题含答案

1、教学资料范本2021版新高考数学：利用导数解决函数的单调性问题含答案编 辑： 时 间： 第二节 利用导数解决函数的单调性问题考点要求 1.了解函数的单调性和导数的关系 .2.能利用导数研究函数的单调性、 会求函数的单调区间 （其中多项式函数一般不会超过三次 ）（对应学生用书第 47 页）函数的单调性与导数的关系条件f(x)>0结论f(x)在(a、b）内单调递增函数 yf（x）在区间fx)(<0f(x)在(a、b）内单调递减（a、b）上可导fx)(0f(x)在(a、b）内是常数函数常用结论1在某区间内 fx()>0(fx()<0)是函数 f(x)在此区间上为增 (减)函数

2、的充分不 必要条件2可导函数 f(x)在(a、b)上是增 (减)函数的充要条件是对 ? x(a、b)、都有 fx()0(fx()0)且 fx)(在(a、b)上的任何子区间内都不恒为零一、思考辨析 (正确的打“”、错误的打“×” )(1) 若函数 f(x)在 (a、 b)内单调递增、那么一定有 fx()>0.()(2) 如果函数 f(x)在某个区间内恒有 fx() 0、则 f(x)在此区间内没有单调 性 ()(3) 在(a、b)内fx)(0且 fx() 0的根有有限个、则 f(x)在(a、b)内是减函 数 ()答案 (1)× (2) (3)二、教材改编1如图是函数 yf

3、(x)的导函数 yfx()的图象、则下面判断正确的是 ( )A.在区间(3、1)上 f(x)是增函数 B在区间 (1、3)上 f(x)是减函数 C在区间 (4、5)上 f(x)是增函数 D在区间 (3、5)上 f(x)是增函数C 由图象可知、当 x(4、5)时、 f(x)>0、故 f(x)在(4、5)上是增函数 2函数 f(x)cos xx 在(0、上)的单调性是 ()A 先增后减B先减后增C增函数D减函数D 因为 fx() sin x1<0 在(0、上)恒成立、 所以 f(x)在(0、 上)是减函数、故选 D. 3函数 f(x)xln x 的单调递减区间为 1(0、1 函数 f(

4、x)的定义域为 x|x>0 、由 fx()1x0、得 0<x1、 所以函数 f(x)的单调递减区间为 (0、 1.4已知 f(x)x fx()3x2a0、即 a 3x2、又因为 x1、 )、所以 a3、即 a 的最大值是 3.ax在1、 )上是增函数、则实数 a的最大值是(对应学生用书第 48 页)考点 1不含参数函数的单调性求函数单调区间的步骤(1) 确定函数 f(x)的定义域(2) 求 fx)(.(3) 在定义域内解不等式 fx()>0、得单调递增区间(4) 在定义域内解不等式 fx()<0、得单调递减区间1.函数 f（x）1xsin x 在（0、 2上）是 （）A

5、单调递增B单调递减 C在（0、上）增、在 （ 、2上）减D在（0、上）减、在 （ 、2上）增A fx（）1cos x>0在（0、2上）恒成立、所以在 （0、2上）单调递增 122函数 y2x2 ln x的单调递减区间为 （ ）A（1、1B（0、1C 1、 ）D （0、 ）B y12x2ln x、x（0、）、y1 （x1）（ x1） x .xx由 y0 可解得 0< x1、1y21x2ln x 的单调递减区间为 （0、1、故选 B.3已知定义在区间 （、上）的函数 f（x）x sin x cos x、则 f（x）的单调递增 区间是 （、2）和（0、2） fx（）sin xx cos

6、xsin xx cos x、令 fx（）x cos x>0、则其在区间 （、上）的解集为 （、 2）和（0、2）、即 f（x）的单调递增区间为 （、 2）和 （0、2）.求函数的单调区间时、一定要树 立函数的定义域优先的原则、否则极易出错如 T2.考点 2 含参数函数的单调性研究含参数函数的单调性时、需 注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论（1）讨论分以下四个方面 二次项系数讨论、根的有无讨论、根的大小讨论、 根在不在定义域内讨论（2）讨论时要根据上面四种情况、找准参数讨论的分类（3）讨论完必须写综述1已知函数 f(x) 2x22a ln x(a2）x、当 a<0 时、讨

7、论函数 f（x）的单调性解函数的定义域为 （0、 ）、f（x）x2xaa2x2）（xa）x当 a2、即 a2时、f（x）（x2）2x0、f(x)在(0、 ） 上单调递增当 0< a< 2、即 2<a<0时、 0<x< a 或 x> 2时、 f （x）> 0； a <x<2 时、f（x）<0、f（x）在（0、 a）、（2、 ）上单调递增、在 （a、2）上单调递减当 a>2、 即 a<2 时、0<x<2或 x>a 时、 f （x）> 0；2<x< a时、 f （x）< 0、 f（

8、x）在（0、2）、（a、 ）上单调递增、在 （2、a）上单调递减 综上所述、当 2<a<0 时、f（x）在（0、a）、（2、）上单调递增、在 （ a、2）上单调递减；当 a 2时、f（x）在（0、）上单调递增；当 a< 2时、 f（x） 在（0、2）、（a、 ）上单调递增、在 （2、 a）上单调递减含参数的问题、应就参数范围讨论导数大于 （或小于 ）零的不等式的解、在 划分函数的单调区间时、要在函数定义域内确定导数为零的点和函数的间断点已知函数 f（x） ln （ex 1） ax（a 0）、讨论函数 y f（x）的单调区间ex 1解 fx（）ex1a1 ex1a.当 a1时、

9、f（x）0 恒成立、 当 a1、 ）时、 函数 yf（x）在 R 上单调递减当 0a1 时、 由 fx（）0、得 （1a）（ex1）1、 即 ex 1 1 、解得 x ln a 、1 a1 a由 fx（）0、得 （1a）（ex1）1、 即 ex 1 1 、解得 x ln a .1 a1 a当 a（0、 1）时、a 函数 yf（x）在 （ln、）上单调递增、1aa在 （ 、ln）上单调递减1a综上、当 a1、）时、f（x）在R 上单调递减； 当 a（0、1）时、f（x）在 （ln a 、）上单调递增、1a在（、ln上单调递减考点 3 已知函数的单调性求参数根据函数单调性求参数的一般方 法(1)

10、利用集合间的包含关系处理： yf(x)在(a、b)上单调、则区间 (a、b)是相应 单调区间的子集(2) f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x(a、b)都有 fx()0 且在(a、b)内的 任一非空子区间上、 fx()不恒为零、应注意此时式子中的等号不能省略、否则漏 解(3) 函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题已知函数 f(x)ln x、g(x) 21ax22x(a0).(1) 若函数 h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间、求 a 的取值范围；(2) 若函数 h(x)f(x)g(x)在1、4上单调递减、求 a 的取值范围12解 (1)h(x)ln x2ax22x、x(0、

11、 )、1所以 hx)( xax 2、由于 h(x)在(0、 )上存在单调递减区间、 x1所以当 x(0、)时、 xax2<0有解、12 即 a>x12 x2有解12设 G(x) x12x2、所以只要 a>G(x)min 即可12而 G(x) (x1)21、所以 G(x)min 1.所以 a> 1且a0、即 a的取值范围是 (1、0)(0、). (2)由 h(x)在1、4上单调递减得、1 当 x1、4时、 h(x)xax20 恒成立、x12即 ax12 x2恒成立所以 aG(x) max、因为 x1、 4、11 所以1x14、1、所以 G(x)max 16( 此时 x 4

12、)、所以 a 176且 a0、即 a 的取值范围是 176、0)(0、).母题探究1(变问法 )若函数 h(x)f(x)g(x)在1、4上单调递增、求 a 的取值范围解 由 h(x)在1、4上单调递增得、当 x1、4时、h(x)0 恒成立、12 所以当 x1、4时、 ax12x2恒成立、又当 x1、 4时、 (x12x2)min 1(此时 x1)、所以 a1 且 a0、即 a 的取值范围是 (、1.2(变问法 )若函数 h(x)f(x)g(x)在1、4上存在单调递减区间、求 a 的取 值范围 解 h(x)在1、 4上存在单调递减区间、 则 hx)(<0 在1、4上有解、12 所以当 x1

13、、4时、 a>x12x2有解、12 又当 x1、 4时、 (x2x)min 1、 所以 a> 1且a0、即 a的取值范围是 (1、0)(0、).3(变条件 )若函数 h(x)f(x)g(x)在1、4上不单调、求 a 的取值范围 解 因为 h(x)在1、 4上不单调、 所以 hx)(0 在(1、4)上有解、1 2 1 2 即 ax12 x2有解、令 m(x)x122x、x(1、4)、7 则 1<m(x)< 16、 所以实数 a的取值范围为 (1、 176).(1)f(x)在D上单调递增 (减)、只要 满足 fx()0(0)在 D 上恒成立即可如果能够分离参数、则可分离参数

14、后转化 为参数值与函数最值之间的关系(2)二次函数在区间 D 上大于零恒成立、讨论的标准是二次函数的图象的对称 轴与区间 D 的相对位置、一般分对称轴在区间左侧、内部、右侧进行讨论3x 已知函数 f(x) 2x2ln x 在 a区间1、2上为单调函数、求 a 的取值范围31解 fx() 4x 、若函数 f(x)在区间 1、2上为单调函数、即在 1、2 ax3131上、f(x) 4x 0或 f (x) 4x 0、axax3131即34x10 或34x10在1、2上恒成立、 axax即3 4x1或34x 1. a x a x1令 h(x)4x x、因为函数 h(x)在1、2上单调递增、x333 1

15、5 3所以 3h(2)或3h(1)、即315或33、aaa 2 a2 解得 a<0 或 0<a 或 a1.5考点 4 利用导数比较大小或解不等式用导数比较大小或解不等式、常 常要构造新函数、把比较大小或求解不等式的问题转化为利用导数研究函数单调 性的问题、再由单调性比较大小或解不等式常见构造的辅助函数形式有：(1)f(x)>g(x)F(x)f(x)g(x)；(2)xfx()f(x)xf(x) ；(3) xfx()f(x)f(xx) ；(4) fx()f(x)exf(x) ；f(x)(5) fx()f(x) ex .(1)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数、设函数 f(

16、x)的导函数为 fx()、若 对任意 x>0都有 2f(x)xfx()>0 成立、则 ()A4f(2)<9f(3)B4f(2)>9f(3)C2f(3)>3f(2)D3f(3)<2f(2)(2)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数、f(2)0、当 x>0 时、有 xf (x)f(x) x2<0恒成立、则不等式 x2f(x)>0的解集是 (1)A (2)(、 2)(0、2) (1)根据题意、令 g(x)x2f(x)、其导数 gx() 2xf(x)x2f(x)、又对任意 x>0都有 2f(x)xfx()>0 成立、则当 x> 0

17、时、有 g(x)x(2f(x)xfx()>0 恒成立、即函数 g(x)在(0、)上为增函数、又由函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数、则 f(x)f(x)、则有 g( x)(x)2f(x) x2f(x) g(x)、即函数 g(x)也为偶函数、则有 g( 2)g(2)、且 g(2)<g(3)、则有 g( 2)< g(3)、即有 4f(2)<9f(3).故选 A.f(x)(2)令 (x) x 、f(x)当 x>0时、f(xx) <0、f(x)(x) x 在(0、 )上为减函数、又 (2) 0、x在 (0、 )上、当且仅当 0<x<2时、(x)>

18、;0、此时 x2f(x)> 0.又 f(x)为奇函数、 h(x)x2f(x)也为奇函数故 x2f(x)>0的解集为 (、2)(0、2).如本例(1)已知条件 “2f(x)xfx() >0”、需构造函数 g(x)x2f(x)、求导后得 x>0 时、 g (x)> 0、即函数 g(x)在 f( x) (0、 )上为增函数、从而问题得以解决而本例 (2)则需构造函数 (x) x 解决1.定义在 R 上的函数 f(x)满足： fx()>f(x)恒成立、若 x1 <x2、则 ex1f(x2)与 ex2f(x1)的大小关系为 ()Aex1f(x2)>ex2f(x1)Bex1f(x2)<ex2f(x1)Cex1f(x2)ex2f(x1)D ex1f(x2)与 ex2f(x1)的大小关系不确定f(x)设 g(x)f(exx)则 gx()f (x)exf(x)exf(x)f(x)ex)2ex由题意得 gx()>0、所以 g(x)在 R 上单调递增、当x1<x2时、 g(x1)<g(x2)、即f(x1)ex1<f(x2)< ex2、所以 ex1f(x2)>