弟7章介质波导和介质谐振器

1、2021-12-12微波技术基础1第第7 7章章 介质波导和介质谐振器介质波导和介质谐振器频率的升高对于微带的主要问题是：高次模的出现，频率的升高对于微带的主要问题是：高次模的出现，色散的影响和衰减的加大。色散的影响和衰减的加大。 毫米波，亚毫米波传输线基本要求毫米波，亚毫米波传输线基本要求l 频带宽频带宽l 低损耗低损耗( (传输损耗和辐射损耗传输损耗和辐射损耗) )l 便于集成便于集成l 制造简便制造简便主要是悬置带线，鳍线，介质波导，这里将主要是悬置带线，鳍线，介质波导，这里将重点讨论重点讨论圆柱介质波导。圆柱介质波导。2021-12-12微波技术基础2 光纤光纤(Optical Fib

2、er)即光导纤维，我们讨论通信所即光导纤维，我们讨论通信所用的阶跃光纤。用的阶跃光纤。 它的简化模型是中心纤芯半径为它的简化模型是中心纤芯半径为a，折射率为折射率为n1；层半径为层半径为b，折射率为折射率为n2；外部空气折射率为外部空气折射率为n0，并并满足满足1211nnn 实际上是波导多模光纤实际上是波导多模光纤, ,到到rb认为已衰减完。我认为已衰减完。我们注意到近年来已开始研究单模光纤，在这种情况下，们注意到近年来已开始研究单模光纤，在这种情况下，我们只要分两层考虑。我们只要分两层考虑。2021-12-12微波技术基础37-1 7-1 简单的介质波导简单的介质波导毫米波介质波导和光纤是

3、一类表面波传输线。毫米波介质波导和光纤是一类表面波传输线。其导模为表面波。其导模为表面波。一、介质板波导一、介质板波导 dzxcsfcsfcsf波在边界上将产生全反射，波在边界上将产生全反射，电磁波在介质板内及表面沿电磁波在介质板内及表面沿z z方向传播。场满足方向传播。场满足0EjHHjE 22()0EkH 2021-12-12微波技术基础4设波沿设波沿z z向传播，传播常数向传播，传播常数 ，电磁场与，电磁场与y y无关无关TE TE 模模TM TM 模模2222()0yyEkEx2222()0yyHkHx0 xyHE xyEH 01yzEHjx 1yzHEjx 2021-12-12微波技

4、术基础51 1、本征值方程、本征值方程 TETE导模为例，要求介质板内为振荡波型，板外为衰导模为例，要求介质板内为振荡波型，板外为衰减波型减波型设设()0cos()00csx dcyffxsE exdEEk xxdE ex0为广义相位常数，用于调整不对称介质板波为广义相位常数，用于调整不对称介质板波导中场的最大值或零点位置。导中场的最大值或零点位置。 2021-12-12微波技术基础622 1/2022 1/2022 1/20()()()ccrcrfrsfskkkk边界条件：在边界条件：在x x0 0，x xd d处电磁场切向分量处电磁场切向分量EyEy 和和HzHz连续连续00cos(0)s

5、infscffssEExk EE00cos()()sin()fcfccffcfccEk dExdk Ek dE2021-12-12微波技术基础700cos(0)sinfscffssEExk EE0tg/scfk00cos()()sin()fcfccffcfccEk dExdk Ek dE0tg()/cfccfk dk2()tg()(0,1,2,)cfcscfcfcskk dnnk 本征值方程本征值方程2021-12-12微波技术基础82()tg()(0,1,2,)cfcscfcfcskk dnnk 22 1/2022 1/2022 1/20()()()ccrcrfrsfskkkk4 4个方程可

6、以确定个方程可以确定 ,cfcsk TEnTEn模模TMnTMn模模22()tg()(0,1,2,)rfcfccsscfcscfrfcskk dnnk 2021-12-12微波技术基础9,yyEH,yyEH,yyEHcfscfscfs00,TE TM11,TE TM22,TE TM最低次最低次TETE和和TMTM模的场分布模的场分布 2 2、截止条件、截止条件 当当 和和 中有一个小于零，场在相应介质中中有一个小于零，场在相应介质中向横向辐射，形成辐射模，波导截止。向横向辐射，形成辐射模，波导截止。cssccs截止条件截止条件 22000srs 或或2021-12-12微波技术基础10TETE

7、模：模：2()tg()(0,1,2,)cfcscfcfcskk dnnk 22000srs 或或22 1/2022 1/2022 1/20()()()ccrcrfrsfskkkk220()rfcfrskk220()srccrk0tg()(0,1,2,)rsrcrfrsrfrsk dnn2021-12-12微波技术基础110tg()(0,1,2,)rsrcrfrsrfrsk dnn截止频率截止频率 ,0r2a ctgnrsrcrfrsrEfcrTsnfdTMTM模的截止频率模的截止频率 ,0arctg2nrfrsrcrcrfrsrfcrTMsnfd2021-12-12微波技术基础12l不同金属波

8、导，介质波导截止时，不同金属波导，介质波导截止时，0l非对称介质波导，非对称介质波导，TETE0 0模的截止频率最低模的截止频率最低 l介质波导中表面波导模相速度大于介质板中光速，介质波导中表面波导模相速度大于介质板中光速，小于周围媒质中相速。小于周围媒质中相速。000cfs l对称波导，对称波导，TEnTEn模和模和TMnTMn模是简并。截止频率为模是简并。截止频率为 0002cfnfd 主模主模TETE0 0和和TMTM0 0的截止频的截止频率为零率为零2021-12-12微波技术基础133 3、功率传输、功率传输 介质板波导单位宽度的平均功率流介质板波导单位宽度的平均功率流 201|22

9、yxyPE H dxEdx 022022002()2202cos ()1144scxsdfcfx dcdffefffeffE edxEk xdxE edxE H dE d有效宽度有效宽度 11effcsdd2021-12-12微波技术基础14二、矩形介质波导二、矩形介质波导 xy2a2b1234512345, 场主要集中在芯内传播，场主要集中在芯内传播，分为分为ymnE：主要场分量为：主要场分量为EyEy和和HxHx，极化主要在，极化主要在y y方向方向xmnE：主要场分量为：主要场分量为ExEx和和HyHy，极化主要在，极化主要在x x方向方向1 1、 模模应用介质板波导结果，考虑边界条件应

10、用介质板波导结果，考虑边界条件 ,xxa yb E xmnE连续连续,xyHH连续连续得特征方程得特征方程0zH 主要极化在主要极化在x x方向方向2021-12-12微波技术基础15123322223123()tg(2)()rxrrxrrxrkk ak 45245()tg(2)yyykk bk xkyk22210()2,3irrixkki22210()4,5irriykki传播常数传播常数 222 1/201()rxykkk2021-12-12微波技术基础16ymnE2 2、 模模0zE 主要极化在主要极化在y y方向方向特征方程特征方程145542245145()tg(2)()ryrryr

11、ryrkk bk 23223()tg(2)xxxkk ak 22210()2,3irrixkki22210()4,5irriykki222 1/201()rxykkkxmnE与与 相同相同2021-12-12微波技术基础17三、圆形介质波导三、圆形介质波导 2axyzrr0 介质波导从理论方面着手介质波导从理论方面着手将首推将首推Hondros和和Debye (1910)(1910)。19661966年作为光纤使年作为光纤使用，用，19701970年获得低耗光纤。年获得低耗光纤。 圆柱介质波导属于开波导圆柱介质波导属于开波导系统系统( (Open Waveguide System) )，因而求

12、解区域自因而求解区域自然是全空间然是全空间( (full space) ) 半径为半径为a，介质的介电常数为介质的介电常数为 1， 0，周围空，周围空间是间是 0， 0，所给出的所给出的Z轴与圆柱轴重合。轴与圆柱轴重合。2021-12-12微波技术基础18圆形介质波导结构不支持纯圆形介质波导结构不支持纯TEmnTEmn模和模和TMmnTMmn模。但支模。但支持持TE0nTE0n模和模和TM0nTM0n模。一般存在模。一般存在HEmnHEmn模和模和EHmnEHmn模，主模，主模为模为HE11HE11模。模。2/00/00/00/00/rzzrzczEHrHErrjHHrrkEEr 纵向场方法纵

13、向场方法 2021-12-12微波技术基础19220ziziiziziEEkHH22200ziziiziziEEn kHH1 1、圆柱介质波导的场方程、圆柱介质波导的场方程 圆柱性介质波导内外纵向场均满足圆柱性介质波导内外纵向场均满足 或者或者 222220022000iiiiinkk nk 考虑到波导系统考虑到波导系统( (只考虑只考虑入射波入射波) )。有。有 / zj 22222ttZ 2021-12-12微波技术基础20省略省略e-j z因子，令因子，令 ( )( )ziiziiEAR rHB又导出两个常微分方程又导出两个常微分方程222222222202( )( )0( )( )(

14、)0idmdd R rdR rrrn krmR rdrdr 因为介质波导的开波导特因为介质波导的开波导特点，对于介质波导内部，有点，对于介质波导内部，有22210n k必定是驻波型解，只能是必定是驻波型解，只能是第一类第一类Bessel函数函数。而在介。而在介质波导外部质波导外部 22220n k是衰减场，只能取是衰减场，只能取第二类第二类HankerHanker函数。函数。2021-12-12微波技术基础21cos( )sinjmmCCem111(2)222( )() ()( )() ()mcmcR rD Jk rraR rD Hk rra2222222210010001222222000c

15、rckk nkk 其中其中根据边界根据边界r=a的条件的条件( (注意开波导系统是连续条件注意开波导系统是连续条件) ) ,zzE HEH在在r=ar=a处连续处连续 2021-12-12微波技术基础222222210pqkkaa12,ccpk a qk a 2222222210010001222222000crckk nkk 令令 2 2、圆柱介质波导得本征方程和、圆柱介质波导得本征方程和色散方程色散方程12121212zzzzEEHHEEHH边界条件边界条件2021-12-12微波技术基础23得本征方程得本征方程 222224()()()()()rrmpqpqXYXYpq2220(2/)

16、(1)rpqa(2)(2)( )( )11,( )( )mmmmJpHqXYp Jpq Hq模数的色散方程或特征方程，由此导出传播因模数的色散方程或特征方程，由此导出传播因子子 。介电常数越大，色散越严重。介电常数越大，色散越严重。2021-12-12微波技术基础2422 1/21/20()(1)rvpqk a3 3、介质波导模式、介质波导模式 引入归一化频率引入归一化频率由特征方程由特征方程222224()()()()()rrmpqpqXYXYpq( )( ) onX pY qTE模模1( )( ) onrX pY q TM模模其中，其中，n n表示场沿半径方向分布的最大值个数。表示场沿半径

17、方向分布的最大值个数。它可以分成两套独立分量：它可以分成两套独立分量：当当m=0m=0的情况，的情况，2021-12-12微波技术基础25两套独立分量两套独立分量00 , , , zrnzrnHEHTEEEHTM和模和模模模 介质波导的最大特点是介质波导的最大特点是Ez和和Hz会同时存在，会同时存在，从概念上只有这样才会满足阻抗条件从概念上只有这样才会满足阻抗条件存在存在 mnEH模模mnHE 模模4 4、截止条件、截止条件 介质波导存在介质波导存在TE0n，TM0n，EHmn，HEmn模式模式 22210crkk22220ckk22000k 考虑考虑 2021-12-12微波技术基础26金属

18、圆柱波导与介质圆柱波导比较金属圆柱波导与介质圆柱波导比较 金属圆柱波导金属圆柱波导 220iiiiiEEkHH全空间分区域求解全空间分区域求解封闭内区域求解封闭内区域求解2021-12-12微波技术基础271100zraEE22211222221212121200,cczzzzkkkkraEEHHEEHH11TE,TM TE模模式式, ,是是主主模模010nmnmn11TE , TM ;EH, HEHE混混合合模模式式是是主主模模边界条件边界条件N N旋转周期条件旋转周期条件0 0点有限条件点有限条件场连续条件场连续条件N N旋转周期条件旋转周期条件0 0点有限条件点有限条件点有限条件点有限条

19、件内部正常传输条件内部正常传输条件场连续条件场连续条件2021-12-12微波技术基础2821prcc2112pmnrprcacc 21gc212pmnra ccff20200ckk n截止截止条件条件2021-12-12微波技术基础29四、光纤四、光纤 一、光纤结构和参数一、光纤结构和参数 阶跃光纤芯为主：阶跃光纤芯为主：纤芯纤芯折射率折射率n1n1；包层折射率；包层折射率n2n2典型值：典型值：11.48n 21(1)nn0.01 种类：照明光纤；图像传输光纤；通信光纤种类：照明光纤；图像传输光纤；通信光纤 尺寸：尺寸：纤芯纤芯 包层包层8 12 m125 m单模阶跃光纤单模阶跃光纤 50

20、200 m125400 m多模阶跃光纤多模阶跃光纤 50 100 m125 140 m多模渐变光纤多模渐变光纤 2021-12-12微波技术基础301 1、折射率分布、折射率分布 1/2121 2 ( / ) ( )nr aran rnra 常用阶跃光纤（均匀光纤）常用阶跃光纤（均匀光纤） 2常用抛物线渐变折射率光纤常用抛物线渐变折射率光纤 为纤芯半径，为纤芯半径， a纤芯包层折射率差纤芯包层折射率差 2212122112nnnnnn 2021-12-12微波技术基础312 2、数值孔径、数值孔径NANA 数值孔径数值孔径NANA是光纤可能接受外来入射光的最大是光纤可能接受外来入射光的最大接受

21、角的正弦，表征光纤的光聚集能力的量度。能接受角的正弦，表征光纤的光聚集能力的量度。能传至另一端的最大投射角传至另一端的最大投射角孔径角孔径角依赖芯和包层折射率，投射于光纤端面光的位置。依赖芯和包层折射率，投射于光纤端面光的位置。00n1n2n芯包层界面产生全反射芯包层界面产生全反射22 1/21/2211202100()sin1 (/)nnnnnnn数值孔径数值孔径NANA00,max22 1/2121sin()2NAnnnn2021-12-12微波技术基础3222222221222222222010222222222010121()()12ccvuwk ak ak nak n ank a n

22、k a nn3 3、归一化频率、归一化频率 u和和w是光纤的基本参量，是光纤的基本参量，v决定传输的模数，它与决定传输的模数，它与光波频率成正比，（光波频率成正比，（ ） vkw000 2021-12-12微波技术基础33光纤的可接受立体角为光纤的可接受立体角为 222012()nn 纤芯截面积纤芯截面积 2Aa进入光纤总的模数进入光纤总的模数 22222122222()2AaMnn 02 aNA是决定光纤种可传输多少模是决定光纤种可传输多少模的无量纲参数。的无量纲参数。由数值孔径由数值孔径 00,max22 1/2121sin()2NAnnnn2021-12-12微波技术基础34二、阶跃光纤

23、的模式与特性二、阶跃光纤的模式与特性 xyzr1n2n2a2b1 1、阶跃光纤的导模、阶跃光纤的导模 阶跃光纤近似为包层半径阶跃光纤近似为包层半径b 的圆形介质波导的圆形介质波导220ziziiziziEEkHH纵向场均满足纵向场均满足 1,2i 2021-12-12微波技术基础35考虑考虑 0r 纤芯内导模场有限纤芯内导模场有限 r 纤芯外场必须衰减纤芯外场必须衰减 则则 纤芯内解为第一纤芯内解为第一类类m m阶阶BesselBessel函数；函数；102sin()cossin()cosmczmcmAJk rramEmCKk rram102cos()sincos()sinmczmcmBJk

24、rramHmDKk rram纤芯外为第纤芯外为第二类二类m m阶修正阶修正BesselBessel函数函数2021-12-12微波技术基础36色散关系色散关系 22222211012222222202cckkk nkkk n020222zrzcizzcizrizcizziciEjmEjHkrrHjjmEEkrrHjmHjEkrrEjjmHHkrr 由纵向场方法，由纵向场方法，获得横向场分量获得横向场分量 2021-12-12微波技术基础37定义定义 1/2222101cuk ak na纤芯的归一化横向传播常数纤芯的归一化横向传播常数 1/2222202cwk ak na包层归一化横向衰减常数包

25、层归一化横向衰减常数 因为因为 /,(/ )wr amwrKwr ae 又又 ,(/ )0mrKwr a 0w 即即 2k截止条件截止条件 2021-12-12微波技术基础38截止条件表明导模场不在局限在纤芯内。截止条件表明导模场不在局限在纤芯内。 此外，纤芯内场有限，要求此外，纤芯内场有限，要求u u为实数为实数 即即 1k Bessel函数函数 修正修正Bessel函数函数导模的传播常数导模的传播常数 022101k nkkk n2021-12-12微波技术基础39边界条件是边界条件是r=ar=a时时12zzEE12zzHH12EE12HH得系数之间关系得系数之间关系 ( )( )0( )

26、( )0mmmmAJuCKwBJuDKw0202( )( )( / )( / )( )( )0(/ )(/ )mmmmmJujjABJuu aau amKwjjCDKww aaw a20122022( )( )( / )( / )( )( )0(/ )(/ )mmmmjnmJujAJuBu au aajnmKwjCKwDw aw aa2 2、特征方程、特征方程 2021-12-12微波技术基础4022222122211()()XYk Xk Ymuw( )( ),( )( )mmmmJuKwXYuJuwKw2222212uwkkaa1/2222101cuk ak na1/2222202cwk a

27、k na考虑考虑 2021-12-12微波技术基础412222221uwk wwa2222222wuk uua222222222212012()()wuk wk ukwu22120222211kuwuw22222122211()()XYk Xk Ymuw21212222211()()XYXYmuwuw特征方程特征方程 2021-12-12微波技术基础4221212222211()()XYXYmuwuw022101k nkkk n两者结合，可获得离散两者结合，可获得离散值获值获u u值，值，即获得即获得 色散关系色散关系 3 3、导波模的讨论、导波模的讨论 1 1）、）、m m0 0情况情况 0

28、XY0000( )( )0( )( )J uKwuJ uwKw对应对应 TE0nTE0n模模 ,rzEHH和和1100( )( )0( )( )J uK wuJ uwKw2021-12-12微波技术基础43120XY102000( )( )0( )( )J uKwuJ uwKw对应对应TM0nTM0n模模 ,rzE HE和和TEonTEon 和和 TMonTMon模模2021-12-12微波技术基础442 2）、）、 情况情况1m 引入弱光导纤维条件引入弱光导纤维条件(n1n2)/n11，即即n1n2( 1= 2)，特征方程简化为特征方程简化为22( )( )11( )( )mmmmJuKwm

29、uJuwKwuw 21212222211()()XYXYmuwuw混合模混合模 混合模（混合模（HEmnHEmn纵磁模）和（纵磁模）和（EHmnEHmn纵电模）纵电模） 2021-12-12微波技术基础45222211( )( )( )( )11mmmmmuwJuKwuJuwKwmuwEHmnEHmn模模HEmnHEmn模模2021-12-12微波技术基础463)3)、LPLP模模 LP(线极化模线极化模Linearly Polarized Mode) )是是Gloge根据满根据满足相同近似特征方程足相同近似特征方程, ,其相位周数简并而提出的。其相位周数简并而提出的。LP模命名模命名EHmn

30、，HEmn( (m1) )均有均有sinm 和和cosm 简并简并 121, kk 特征方程简化为特征方程简化为 22( )( )11( )( )mmmmJuKwmuJuwKwuw 当当 0m 对于弱导光纤对于弱导光纤 0101( )( ),( )( )J uJ u KwK w 2021-12-12微波技术基础47TE0nTE0n和和TM0nTM0n的简化特征方程相同，产生简并的简化特征方程相同，产生简并 1100( )( )0( )( )J uK wuJ uwKwTE0nTE0n和和TM0nTM0n模模 对于对于 1m 111111( )( )( )22( )( )( )( )( )( )m

31、mmmmmmmmJuJuJumJuJuJuumJuJuJuu111111( )( )( )22( )( )( )( )( )( )mmmmmmmmmKwKwKwmKwKwKwwmKwKwKww 2021-12-12微波技术基础4822( )( )11( )( )mmmmJuKwmuJuwKwuw 11( )( )( )( )mmmmJuKwuJuwKwEHmnEHmn模模 11( )( )( )( )mmmmJuKwuJuwKwHEmnHEmn模模 统一表示成统一表示成 11( )( )( )( )lllluJuwKwJ uK w 111lmmTE0nTE0n和和TM0nTM0n模模EHmnE

32、Hmn模模HEmnHEmn模模2021-12-12微波技术基础49LP模模原命名原命名简并模简并模近似特征方程近似特征方程LPos(m=0)HE1s2LP1n(m=1)TE0nTM0nHE2n4LPmn(m2)EHm-1,nHEm+1,n4JuuJ uwKwK w01011( )( )( )( )111010uJ uJuwK wKw( )( )( )( ) 1111uJuJuwKwKwmmmm( )( )( )( ) 2021-12-12微波技术基础50LP命名命名原有命原有命名名电场分布电场分布Ez场强分布场强分布LP01HE11LP11TE01TM01HE21LP21EH11HE312021-12-12微波技术基础51 然而如果然而如果 中，随中，随 减小，减小， 逐渐趋于逐渐趋于 4 4、截止条件和截止频率、截止条件和截止频率 在正常情况下，在正常情况下， ，纤芯外层场纤芯外层场随指数规律随指数规律Km(rKm(r) )衰减，这时电磁能量集中在纤芯衰减，这时电磁能量集中在纤芯之内，波的相速度之内，波的相速度 小于周围介质种光速小于周围介质种光速 。0201k nk np2c22222ckk2ck2k02k n当当这时