机器人原理与应用3PPT课件

1、机器人原理与应用机器人原理与应用2021/7/231东北大学人工智能与机器人研究所2016.9第三章 机器人坐标系统第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/232v 机器人是个复杂的运动系统，它的每一个机器人是个复杂的运动系统，它的每一个动作都是各个元部件共同作用的结果。动作都是各个元部件共同作用的结果。第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/2333.1 位置与姿态位置与姿态 3.2 正交坐标系正交坐标系 3.3 运动坐标表示运动坐标表示 3.4 齐次坐标变换齐次坐标变换 3.5 机器人坐标系统机器人坐标系统 为了系统地、精确地描述各个元部件的作用以及它们为了

2、系统地、精确地描述各个元部件的作用以及它们之间的关系，需要引入一套机器人坐标系统。之间的关系，需要引入一套机器人坐标系统。 第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/234 要全面地确定一个物体在三维空间中的状态需要有三个位置自由度要全面地确定一个物体在三维空间中的状态需要有三个位置自由度和三个姿态自由度。前者用来确定物体在空间中的具体方位，后者则是和三个姿态自由度。前者用来确定物体在空间中的具体方位，后者则是确定物体的指向。我们将物体的六个自由度的状态称为物体的位姿。确定物体的指向。我们将物体的六个自由度的状态称为物体的位姿。 如果如果H H为手坐标系，用以描述为手坐标系，用以

3、描述手的姿态，那再加上手的位置就手的姿态，那再加上手的位置就构成了手的位姿。构成了手的位姿。 3.1 位置与姿态位置与姿态 一般姿态的描述可以用一般姿态的描述可以用横滚横滚（Roll）、）、俯仰俯仰（Pitch）和）和侧摆侧摆（Yaw）三轴的转角来实现。）三轴的转角来实现。 绕坐标系绕坐标系H H各轴转动各轴转动yawProllpitchHXHZHYH第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/235飞机飞行姿态变化第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/2363.2 正交坐标系正交坐标系3.2.1 正交坐标系及矢量的基础知识正交坐标系及矢量的基础知识 右图是所谓的

4、正交坐右图是所谓的正交坐标系标系B(x,y,z)B(x,y,z)，用来表示，用来表示机器人的基坐标，机器人的基坐标，其中其中 , , 分别分别是三个是三个坐标轴的单位向量。坐标轴的单位向量。 B B系中有另外一个坐标系中有另外一个坐标系系H H（x xH，yH，zH），用来），用来表示手坐标表示手坐标, 其中其中 , , 分别是分别是H系系三个坐标轴的单位向量。三个坐标轴的单位向量。 ijknoazyxBHHzHxHyanoijkP端点端点P P相对于机器人手坐标系相对于机器人手坐标系H H及基座坐标系及基座坐标系B B的定位的定位第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/237

5、 正交坐标系的性质正交坐标系的性质 kjiaaaooonnnaonzyxzyxzyx单位矢量单位矢量 , , 在基坐标系中可表示为在基坐标系中可表示为: :no a 根据矢量点积和叉积的性质，对于相互正交的单位矢根据矢量点积和叉积的性质，对于相互正交的单位矢量量 ， ， 有有ona 对于单位矢量对于单位矢量 , , 也有同样的性质。也有同样的性质。 ijkaononanao1aaoonn0naaoon第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/238其中其中是是a和和b两矢量间的夹角，如图两矢量间的夹角，如图3-2所示所示。矢量的点积（内乘积或标量积）矢量的点积（内乘

6、积或标量积）换句话说：换句话说： 再令再令a=j （j 为为a方向上的单位矢量），则方向上的单位矢量），则 图图3-2标量积标量积 令令b=i （i为为b方向上的单位矢量），则方向上的单位矢量），则第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/239矢量的叉积（矢量积或叉乘积）矢量的叉积（矢量积或叉乘积）其中矢量其中矢量c c的模为的模为: : 其中其中是是a和和b间小于等于间小于等于1800的夹角，若将的夹角，若将a按右手法则绕按右手法则绕c转转角至角至b，右手拇指指向为右手拇指指向为c的正方向（如图的正方向（如图3-3），），c与与a、b两两者垂直。者垂直。则则 图图3-3叉乘积

7、叉乘积 若若a和和b用分量的形式表示为用分量的形式表示为:第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/2310a和和b的点乘为：的点乘为：将点乘和叉乘应用于右手笛卡尔坐标系的单位矢量将点乘和叉乘应用于右手笛卡尔坐标系的单位矢量i，j，k，有：有：第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/2311 令矩阵令矩阵 R称为正交坐标变换矩阵。称为正交坐标变换矩阵。 zyxzyxzyxTaaaooonnnRzyxnnnnzyxoooozyxaaaa当用列向量表示单位矢量时，有当用列向量表示单位矢量时，有zzzyyyxxxaonaonaonaonR于是，变换矩阵于是，变换矩阵R可

8、以表示为：可以表示为：当用矩阵表示两个矢量的点乘时，有当用矩阵表示两个矢量的点乘时，有0onooonnnononononTzyxzyxzzyyxx第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/23 正交坐标变换矩阵正交坐标变换矩阵R R的性质的性质 显然显然TTTzyxzyxzyxTaonaaaooonnnR由上式可得由上式可得 从而可得结论：正交变换矩阵为正交矩阵。从而可得结论：正交变换矩阵为正交矩阵。 于是可得于是可得IaaoanaaooonoanonnnaonaonRRTTTTTTTTTTTTT1000100011- RRT第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐

9、标系统2021/7/23 正交坐标变换矩阵的几何意义正交坐标变换矩阵的几何意义 , 上式可写成上式可写成其中其中 kjiRaonT 1- RRT考虑到考虑到aonRkji 上式表明正交坐标变换矩阵上式表明正交坐标变换矩阵R实现了由手坐标系实现了由手坐标系H到基到基坐标系坐标系B的正交坐标变换，它可以将一组的正交坐标变换，它可以将一组3个相互正交的单个相互正交的单位矢量变换为另一组位矢量变换为另一组3个相互正交的单位矢量，每一组单位个相互正交的单位矢量，每一组单位矢量均代表了一个正交坐标系。这也说明了将矩阵矢量均代表了一个正交坐标系。这也说明了将矩阵R称为正称为正交坐标变换矩阵

10、的原因。在机器人学中经常要用到这种正交交坐标变换矩阵的原因。在机器人学中经常要用到这种正交坐标变换。坐标变换。第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/23143.2.2 位置的描述位置的描述 一旦建立起一个坐标系，我们就可以用一旦建立起一个坐标系，我们就可以用3 3维的位置矢量来确维的位置矢量来确定该空间内任一点的位置定该空间内任一点的位置 。其中，。其中，x x、y y、z z是是p p点在笛卡尔坐标系的三个坐标轴上坐标分量。用这种方法可以点在笛卡尔坐标系的三个坐标轴上坐标分量。用这种方法可以很容易地表示出手坐标（原点）在基坐标系中的空间位置。很容易地表示出手坐标（原点）在基

11、坐标系中的空间位置。TzyxP 3.2.3 姿态的描述姿态的描述 物体的姿态可由某个固接在物体上的坐标系来描述。设在物体的姿态可由某个固接在物体上的坐标系来描述。设在空间中除了有参考坐标系空间中除了有参考坐标系B B外，还有物体质心上的一个笛卡尔正外，还有物体质心上的一个笛卡尔正交坐标系交坐标系H H，且，且H H系与此物体的空间位置关系是固定不变的，那系与此物体的空间位置关系是固定不变的，那么就可以以么就可以以H H系三个坐标轴的单位矢量相对于系三个坐标轴的单位矢量相对于B B系的方向来表示系的方向来表示H H系和系和B B系的姿态。系的姿态。 第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统20

12、21/7/2315第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/2316 假设假设 为为H H坐标系中某轴的单位向量，即它在坐标系中某轴的单位向量，即它在B B坐标系的方坐标系的方向可以以向可以以 与与B B系三轴夹角的余弦值为分量加以表达，见下图系三轴夹角的余弦值为分量加以表达，见下图. .ll 故有故有kjillllcoscoscosjlxyzkBllli 矢量的方向矢径表示矢量的方向矢径表示由：由：zyxnnnnzyxoooozyxaaaaaonR 且：且：第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/2317 因此正交坐标变换矩阵因此正交坐标变换矩阵R R为一方向余

13、弦矩阵，也被称为旋为一方向余弦矩阵，也被称为旋转矩阵（具体含义将在后面小节中阐述）。转矩阵（具体含义将在后面小节中阐述）。 aonaonaoncoscoscoscoscoscoscoscoscosaonR 根据前面的推导可得：根据前面的推导可得：当：当：alolnl321,第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/2318 采用旋转矩阵来表示刚体姿态（方位）采用旋转矩阵来表示刚体姿态（方位） ，即由，即由B系的三个系的三个单位主矢量相对于坐标系单位主矢量相对于坐标系A的方向余弦组成：的方向余弦组成： 既表示了刚体既表示了刚体F在在A系中的方位，也描述了系中的方位，也描述了B系在系

14、在A系中系中的姿态。的姿态。其中：其中： ),cos(cosABxx xB yB zB xA yA zA 第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/23193.3 运动坐标表示运动坐标表示 3.3.1 平动的坐标表示平动的坐标表示 设手坐标系设手坐标系H H与基坐标系与基坐标系B B具具有相同的姿态，但有相同的姿态，但H H系坐标原系坐标原点与点与B B系的原点不重合。用矢系的原点不重合。用矢量量 来描述来描述H H系相对于系相对于B B系的位系的位置（如右图所示），称置（如右图所示），称 为为H H系相对于系相对于B B系的系的平移矢量平移矢量。如。如果点果点p p在在H H系

15、中的位置为系中的位置为 ，那，那么它相对于么它相对于B B系的位置矢量系的位置矢量可由矢量相加得出，即可由矢量相加得出，即Hprrr0称其为称其为坐标平移方程坐标平移方程。0r0rHrprrH0rHxPHzyxHyHzBpr 表示移动的坐标变换表示移动的坐标变换第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/2320 下面以绕下面以绕z z轴轴转动转动 角为例来角为例来研究绕坐标轴转研究绕坐标轴转动某个角度的表动某个角度的表示法。设示法。设H系从系从与与B系相重合的系相重合的位置绕位置绕B系的系的z轴轴转动角转动角 ，H系系与与B系的关系如系的关系如右图所示。右图所示。zz3.3.2

16、转动的坐标表示转动的坐标表示 (1) (1) 绕坐标轴转动某个角度的表示法绕坐标轴转动某个角度的表示法 naHxxyzHzHyHB,ozz H H系相对系相对B B系绕系绕z z轴转动轴转动zz角的坐标关系角的坐标关系第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/2321 若将若将H系的系的3个单位矢量表示在个单位矢量表示在B系中，则有：系中，则有： 实现两个坐标系之间转动关系的矩阵，又叫转动矩阵实现两个坐标系之间转动关系的矩阵，又叫转动矩阵R，可表示为：可表示为：100a-0cossinzzo0sincoszzn，-1000cossin0sincos,zzzzaonR第三章第三章

17、机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/2322同理，可以得出当绕同理，可以得出当绕X轴旋转时：轴旋转时：当绕当绕Y轴旋转时：轴旋转时： 上面的分析说明了上面的分析说明了R矩阵可以用来表示绕坐标轴的转动，矩阵可以用来表示绕坐标轴的转动，这表征了这表征了R矩阵的另一种几何意义。矩阵的另一种几何意义。-xxxxaonRcossin0sincos0001,-yyyyaonRcos0sin010sin0cos,第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/2323因此写出三个基本的旋转矩阵，即分别绕因此写出三个基本的旋转矩阵，即分别绕x、y和和z轴转轴转角的旋转角的旋转矩阵：矩阵：x y

18、zxyzx y zxyzx y zxyz第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/2324 设设B系与系与H系的系的z轴相重合，轴相重合，B系绕系绕z轴转动角轴转动角 就得就得H系，系，如下图所示。如下图所示。 z(2) (2) 两个坐标系的投影之间的关系两个坐标系的投影之间的关系xyHy),(HBz z z HxyxA CuP v 矢径矢径BPBP在在H H系与系与B B系的投影关系系的投影关系OP第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/2325已知矢径已知矢径 在在H系三轴投影分别为系三轴投影分别为u,v,w。则由上图可知。则由上图可知OPzzvuACOCOA

19、xsincos-zzvuycossinwz 由上式可见，由上式可见，R矩阵可以将矢径在手坐标系上的投影矩阵可以将矢径在手坐标系上的投影变换到该矢径在基坐标系上的投影，这表征了变换到该矢径在基坐标系上的投影，这表征了R矩阵的又矩阵的又一种几何意义。一种几何意义。-wvuRwvuzyxzzzz1000cossin0sincos于是有于是有（）（）xyHy),( HBz z z HxyxACuP v 矢径矢径BPBP在在H H系与系与B B系的投影关系系的投影关系O第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/2326例例3.1 若从基坐标系若从基坐标系 (B)到手爪坐标系到手爪坐标系 (

20、E)的旋转变换的旋转变换矩阵为矩阵为 。（。（1）画出两坐标系的相互方位关系（不考虑）画出两坐标系的相互方位关系（不考虑E的的原点位置）；（原点位置）；（2）如果给出）如果给出OE(E系的原点）在系的原点）在B中的位置矢中的位置矢量为（量为（1，2，2），画出两坐标系的相对位姿关系。），画出两坐标系的相对位姿关系。解：解：xE yE zExB yB zB(1)(2)第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/232727(3) (3) 具有转动关系的两个矢量的投影之间的关系具有转动关系的两个矢量的投影之间的关系 设矢量设矢量 在坐标系在坐标系Bxy的投影为的投影为u，v，w；将矢量

21、；将矢量 绕绕z轴转动轴转动 角，得到矢量角，得到矢量 ，设矢量，设矢量 在同一坐标系的在同一坐标系的投影为投影为x, y, z，如下图所示。，如下图所示。 OQzOQPO PO yxHy),(HBzzHxyuPvxQ具有转动关系的两个矢量投影之间的关系具有转动关系的两个矢量投影之间的关系O第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/2328yxHy),(HBzzHxuPvxQ具有转动关系的两个矢量投影之间的关系具有转动关系的两个矢量投影之间的关系OxyHy),( HBz z z HxyxACuP v 矢径矢径BPBP在在H H系与系与B B系的投影关系系的投影关系O 如果注意到如

22、果注意到 在在x,y轴的投影相当于轴的投影相当于 在在 轴的投影，再对比轴的投影，再对比6页和页和9页的两个图所示的相同几何关系，便可得到与式（）相页的两个图所示的相同几何关系，便可得到与式（）相同结果，只是此时的同结果，只是此时的u，v，w与与x，y，z同前面讨论的情况的几何含义同前面讨论的情况的几何含义不同。这时矩阵不同。这时矩阵R用来表示具有转动关系的两个矢量在同一坐标系中用来表示具有转动关系的两个矢量在同一坐标系中的投影之间的关系，这表征了的投影之间的关系，这表征了R矩阵的最后一种几何意义。矩阵的最后一种几何意义。 PHHyx ,第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/

23、2329 至此，归纳了至此，归纳了R矩阵的四种几何意义：矩阵的四种几何意义：1、实现了由手坐标系、实现了由手坐标系H到基坐标系到基坐标系B的正交坐标变换。的正交坐标变换。2、用来表示绕坐标轴的转动。、用来表示绕坐标轴的转动。3、将矢径在手坐标系上的投影变换到该矢径在基坐标系上、将矢径在手坐标系上的投影变换到该矢径在基坐标系上的投影。的投影。4、表示具有转动关系的两个矢量在同一坐标系中的投影之、表示具有转动关系的两个矢量在同一坐标系中的投影之间的关系。间的关系。 这对于认识这对于认识R矩阵的本质，研究机器人的坐标系统很有矩阵的本质，研究机器人的坐标系统很有帮助。帮助。PQHHyx ,第三章第三章

24、 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/23303.3.3 复合运动的坐标表示复合运动的坐标表示 基坐标系基坐标系B和手坐和手坐标系标系H 的原点不重合，的原点不重合，而且两坐标系的姿态也而且两坐标系的姿态也不相同的情况。不相同的情况。 设设H相对于相对于B的位置的位置矢量为矢量为 ，由，由H H到到B B的坐标变换矩阵是的坐标变换矩阵是 。 在在H H中有一点中有一点P P ，点，点P P 相对于相对于H H 的位置矢量的位置矢量为为 ，如右，如右图所示。图所示。Tcbar 0THwvur aonR z zy yx xB BH Hr0rHzHxHyanoPP AuvwHr 表示转动和移动

25、的坐标变换表示转动和移动的坐标变换第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/2331Tpzyxr 对于任意一点对于任意一点P P在在B B和和H H系中的描述有以下的关系系中的描述有以下的关系HprRrr0其中，其中，是是 p 点相对点相对于于B B系的位置矢量。系的位置矢量。 至此，我们由浅入深地介绍了物体的基本宏观运动在坐标系中的表示至此，我们由浅入深地介绍了物体的基本宏观运动在坐标系中的表示方法，这是我们学习机器人复杂运动的最基本的数学工具。在后续章节中方法，这是我们学习机器人复杂运动的最基本的数学工具。在后续章节中会频繁地用到。会频繁地用到。HcprRrrrr00 再由式

26、再由式(rp ) ，可得复合变换，可得复合变换HcrRr 可把上式看成坐标旋转和坐标平移的复合变换。实际上，规定一个过可把上式看成坐标旋转和坐标平移的复合变换。实际上，规定一个过渡坐标系渡坐标系C C，使，使C C的坐标原点与的坐标原点与H H系重合，而系重合，而C C的姿态和的姿态和B B系保持一致。根据系保持一致。根据式式（）可得由（）可得由H系到过渡坐标系系到过渡坐标系C的坐标变换为的坐标变换为其中，其中，是点是点P 在在C中的位置矢量。中的位置矢量。(rp )cr第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/2332例例3.2 已知坐标系已知坐标系B初始位姿与初始位姿与A重合

27、，首先重合，首先B相对相对A的的zA轴轴转转30，再沿，再沿A的的xA轴移动轴移动10个单位，并沿个单位，并沿A的的yA轴移动轴移动5个单个单位。求位置矢量位。求位置矢量 和旋转矩阵和旋转矩阵 。若。若 ,求求 。解：解：第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/2333-1000866. 05 . 005 . 0866. 0100030cos30sin030sin30cos)30,(00000zRRAB0510BOAP0562.12098. 9BOABABAPPRP所以有：所以有：最后得：最后得：第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/23343.4 齐次坐标变

28、换齐次坐标变换 3.4.1 齐次坐标的定义和性质齐次坐标的定义和性质 齐次坐标的概念 用四个数所组成的列向量用四个数所组成的列向量 来表示三维空间中来表示三维空间中的一点的一点 ，这两个坐标向量之间的关系是，这两个坐标向量之间的关系是: ， ， 则则 称为三维空间点称为三维空间点 的的齐次坐标齐次坐标。通常。通常情况下取情况下取w=1, ,则则 的齐次坐标表示为的齐次坐标表示为 。 TwzyxU Tcba)(wxa wyb wzc TwzyxTcba)(Tcba)(Tcba)1( 一般说来，以（一般说来，以（N+1)维矢量来表示维矢量来表示N维位置矢量，称为维位置矢量，称为齐次

29、坐标表示法齐次坐标表示法。第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/233 齐次坐标的性质齐次坐标的性质 （1）齐次坐标的不唯一性 所谓不唯一性是指某点的齐次坐标有无穷多点，不是所谓不唯一性是指某点的齐次坐标有无穷多点，不是单值确定的。例如单值确定的。例如 是某点的齐次坐标，则是某点的齐次坐标，则 也是该点的齐次坐标。也是该点的齐次坐标。 TwzyxTwzyx（2）齐次坐标的原点和坐标轴 根据齐次坐标的定义，齐次坐标根据齐次坐标的定义，齐次坐标 表示坐表示坐标原点，而标原点，而 ， ， 分分别表示别表示OX轴、轴、OY轴和轴和OZ轴的无穷远点，即表示直角坐轴的无穷

30、远点，即表示直角坐标的标的OX轴、轴、OY轴和轴和OZ轴。轴。T1000T0001T0010T0100第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/2336TwzyxaaaaATwzyxbbbbB TwzyxccccC a= 常量标量常量标量设设TwzyxaaaaaaATwzwzwywywxwxbbaabbaabbaaBA1wwzzyyxxbabababaBATwzyxccccBACwwwxyyxzzxxzyyzzyxbacbabacbabacbabac-,则有则有其中，其中，wzyxaaaaA/222（）（）第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/23373.4.2

31、 齐次变换和齐次矩阵齐次变换和齐次矩阵 在引入齐次坐标之后，现在我们来看如何用齐次坐标来在引入齐次坐标之后，现在我们来看如何用齐次坐标来表示上一节中所讲的内容。在上一节的最后我们曾用笛卡尔表示上一节中所讲的内容。在上一节的最后我们曾用笛卡尔坐标系统表示出了物体的复合运动，最后得出了坐标系统表示出了物体的复合运动，最后得出了 的结论，它表示了的结论，它表示了 由到由到 的变换。现在我们利用齐次坐的变换。现在我们利用齐次坐标来表示出上式：标来表示出上式： HprRrr0Hrpr11010HprrRr11101wvuAwvucbaRzyx第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/233

32、8 A A矩阵称为矩阵称为齐次矩阵齐次矩阵（Homogeneous matrix）, ,在机器在机器人学中是个重要的术语，它将转动和移动组合在一个人学中是个重要的术语，它将转动和移动组合在一个4 44 4矩阵中。矩阵中。 其中其中 为为33的转动矩阵，的转动矩阵， 为为13的零的零阵阵 ， 为表示移动的为表示移动的31的列阵。接下来我们将的列阵。接下来我们将利用齐次矩阵来表示物体的运动。利用齐次矩阵来表示物体的运动。 33R310Tcba103133cbRaA式中式中旋转矩阵旋转矩阵平移矢量平移矢量透视变量透视变量比例因子比例因子齐次矩阵齐次矩阵齐次矩阵用途很广，更一般形式为：齐次矩阵用途很广

33、，更一般形式为：第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/233 利用齐次矩阵表示平移变换 设向量设向量 ，要和向量要和向量 相加得相加得V，即，即 （）（）TwzyxU Tcbakcjbi aP1PUV欲求一变换矩阵欲求一变换矩阵H，使得，使得U经过经过H变换之后变成向量变换之后变成向量V，即，即 （）（）考虑到式考虑到式（）（）和式和式（）（）等效，根据式（）可知等效，根据式（）可知UcbaTransV),( 平移变换就是用于两个向量的相加。平移变换就是用于两个向量的相加。第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/2340 此变换矩阵有一性质就是

34、它的每一个元素乘上一个非此变换矩阵有一性质就是它的每一个元素乘上一个非零的元素后不会改变这个变换。零的元素后不会改变这个变换。 wzyxcbawcwzbwyawxwzcwybwxaPUV100010001000111000100010001),(cbacbaTransH由此可知得由此可知得第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/234 利用齐次矩阵表示旋转变换 根据直角坐标和齐次坐标的关系，易得绕根据直角坐标和齐次坐标的关系，易得绕X，Y，Z轴轴旋转一个角度的相应旋转变换是旋转一个角度的相应旋转变换是 -10000cossin00sincos00001),(XR

35、ot-10000cos0sin00100sin0cos),(YRot-1000010000cossin00sincos),(ZRot第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/2342 中中P31为零矩阵，即为零矩阵，即 ，因此写出绕因此写出绕x，y和和z轴旋转轴旋转角的基本齐次变换矩阵为：角的基本齐次变换矩阵为： 中中R33=I33（单位阵），因此可以单位阵），因此可以写出沿写出沿x，y和和z轴移动轴移动Px，Py和和Pz单位的基本平移变换阵：单位的基本平移变换阵：第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/2343例如，已知一个向量例如，已知一个向量U绕绕Z轴旋转轴

36、旋转90变成变成V，则用旋，则用旋转矩阵表示为转矩阵表示为UZRotV)90,(0UXRotYRotV)90,()60,(00如，一个向量如，一个向量U 先后绕先后绕X、Y轴分别旋转轴分别旋转90、60得到得到V，用旋转矩阵表示为，用旋转矩阵表示为第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/234 利用齐次矩阵表示旋转加平移变换 把上述两种变换结合起来用齐次矩阵表示，这时的把上述两种变换结合起来用齐次矩阵表示，这时的齐次变换矩阵就是齐次变换矩阵就是-10000cossin00sincos000011000100010001),(),(cbaXRotcbaTransH

37、-1000cossin0sincos0001cba第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/2345可见，在齐次变换矩阵中旋转矩阵可见，在齐次变换矩阵中旋转矩阵 和和表示平移的列阵表示平移的列阵 确实是分离的。确实是分离的。-1000cossin0sincoszzzz1cba)90,()90,()90,()90,(0000XRotYRotYRotXRot注意，一般情况下注意，一般情况下第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/234 利用齐次矩阵表示手的转动和移动 手的转动可以表示为绕手的转动可以表示为绕X X轴的侧摆轴的侧摆 ，绕，绕Y Y轴的轴的

38、俯仰俯仰 和绕和绕Z Z轴横滚轴横滚 ，依次构成的复合转，依次构成的复合转动，采用简化符号动，采用简化符号 ，则有，则有),(xXRot),(yYRot),(zZRot),(xyzRPYsincos,sc-100000000001100000001000100001000000 xxxxyyyyzzzzcssccssccssc),(),(),(),(xyzXYZXRotYRotZRotRPY第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/2347 上式表示了手的转动运动。如果手除了转动运动以上式表示了手的转动运动。如果手除了转动运动以外还可做移动运动，只需将上式中齐次矩阵的第外还可做移

39、动运动，只需将上式中齐次矩阵的第4 4列用表列用表示移动的矩阵块示移动的矩阵块 来代替，便可得到包括来代替，便可得到包括3 3个转动和个转动和3 3个平动的个平动的6 6自由度运动的齐次矩阵。自由度运动的齐次矩阵。Tcba1-1000000 xyxyyxzxyzxzxyzyzxzxyzxzxyzyzccscssccssccssscssscsccsssccc),(),(),(),(xyzXYZXRotYRotZRotRPY第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/23483.4.3 齐次变换的性质齐次变换的性质 变换过程的相对性相对变换 前面所介绍的所有旋转和平移变

40、换都是相对于参考坐标前面所介绍的所有旋转和平移变换都是相对于参考坐标系系B B系而言的。例如系而言的。例如 上述的变换过程是：上述的变换过程是：手坐标系手坐标系H首先绕着基坐标系首先绕着基坐标系B旋旋转转 ，然后平移，然后平移 。这种变换的顺序是。这种变换的顺序是从右向左从右向左进进行的。行的。 这样的过程也可以以相反的顺序进行，即从左向右进行。这样的过程也可以以相反的顺序进行，即从左向右进行。此时可以理解为首先手坐标系此时可以理解为首先手坐标系H在基坐标系在基坐标系B 中平移中平移 然后绕当前的手坐标系然后绕当前的手坐标系H的的 轴旋转轴旋转 。 ),(),(XRotcbaTransH kc

41、jbi akcjbi aHX第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/2349一般的变换过程可以分两种情况：一般的变换过程可以分两种情况： (1) 如果我们用一个描述平移和（或）旋转的变换如果我们用一个描述平移和（或）旋转的变换C，左左乘一个坐标系的变换乘一个坐标系的变换T，那么产生的平移和（或）旋转，那么产生的平移和（或）旋转就是相对于就是相对于静止坐标系静止坐标系进行的。进行的。(2) 如果我们用一个描述平移和（或）旋转的变换如果我们用一个描述平移和（或）旋转的变换C，右右乘一个坐标系的变换乘一个坐标系的变换T，那么产生的平移和（或）旋，那么产生的平移和（或）旋转就是相对于转

42、就是相对于运动坐标系运动坐标系进行的。进行的。第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/2350相对于固定坐标系运动相对于固定坐标系运动相对于活动坐标系运动相对于活动坐标系运动第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/235 变换过程的可逆性逆变换 在机器人学中很多时候要用到齐次变换矩阵的逆阵，下面我们将推导在机器人学中很多时候要用到齐次变换矩阵的逆阵，下面我们将推导齐次变换矩阵的逆阵求法。齐次变换矩阵的逆阵求法。-10R-0T1rRAT由此可见由此可见111010HHprArrRr将上两式表示成矩阵的形式，即将上两式表示成矩阵的形式，即-1110R

43、-110TppTHrArrRrpTTHrRrRr-0由公式由公式易得易得HprRrr0第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/235 变换过程的封闭性-变换方程的建立 在解机器人运动学和动力学方程时，要经常解变换方程。在这些变在解机器人运动学和动力学方程时，要经常解变换方程。在这些变换方程里，一个坐标点往往要用两种或多种方式来描述。换方程里，一个坐标点往往要用两种或多种方式来描述。 （1） 机器人机器人 变换变换Z Z：参考坐标系：参考坐标系U U 基坐标系基坐标系B B 变换变换A A：基坐标系：基坐标系B B 手坐标系手坐标系H H 变换变换E E：手坐标系

44、：手坐标系H H 加工工具加工工具T T（2 2） 变位机变位机 变换变换P P：参考坐标系：参考坐标系U U 变位机变位机V V 变换变换Q Q：变位机：变位机V V 被加工件被加工件W WBUHAEPQWT 操作机坐标系及变换过程分析操作机坐标系及变换过程分析ZV第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/2353 这种联系亦可由一有向变换图表示，见右图。这种联系亦可由一有向变换图表示，见右图。 右图中每一段弧表示一右图中每一段弧表示一个变换，由参考坐标系向外个变换，由参考坐标系向外指向，封闭于物体的某一个指向，封闭于物体的某一个点。由于变换点。由于变换Z-A-EZ-A-E与与

45、P-QP-Q具具有相同的起点与终点，故有有相同的起点与终点，故有 PQZAE 如果我们希望解上述方程，求出变换如果我们希望解上述方程，求出变换A A ，就必须对方程左乘，就必须对方程左乘 ，然，然后右乘后右乘 ，得到，得到 实际上，可以从封闭的向变换图的任一变换开始列变换方程。从某一实际上，可以从封闭的向变换图的任一变换开始列变换方程。从某一变换弧开始，顺箭头方向为正方向，逆箭头方向为逆变换，一直连续列写变换弧开始，顺箭头方向为正方向，逆箭头方向为逆变换，一直连续列写到相邻于该变换弧为止（但不再包括该起点变换），如果包括该起点变换，到相邻于该变换弧为止（但不再包括该起点变换），如果包括该起点变

46、换，则得到一个单位变换。则得到一个单位变换。1-Z1-E11-PQEZA变换过程的封闭性变换过程的封闭性ZQPEA第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/235 旋转变换通式旋转变换通式一一.旋转变换通式旋转变换通式 如果不是单位如果不是单位矢量，要化为矢量，要化为单位矢量单位矢量令令 是过是过A系原点的单位矢量，求绕系原点的单位矢量，求绕K旋旋转转角到角到B系的旋转矩阵系的旋转矩阵R(K,)，即即 。第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/2355因此因此将上式展开得将上式展开得第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/2356把

47、上式右端相乘，并利用旋转矩阵的正交性质把上式右端相乘，并利用旋转矩阵的正交性质进行化简整理后得进行化简整理后得其中，其中，s=sin;c=cos;Vers=(1-cos)。 如果如果 与坐标轴重合，则可得到绕与坐标轴重合，则可得到绕x,y和和z轴旋转的基本旋转矩阵。轴旋转的基本旋转矩阵。-cVerskkskVerskkskVerskkskVerskkcVerskkskVerskkskVerskkskVerskkcVerskkkRzzxzyyzxxyzyyzyxyxzzxyxx),(例：求绕过原点的轴线例：求绕过原点的轴线 转动转动1200的旋转矩阵的旋转矩阵 第三章第三章 机器人坐标系统机器人

48、坐标系统2021/7/2357二二. 等效转轴与等效转角等效转轴与等效转角对于给定的旋转矩阵对于给定的旋转矩阵R令令R=R(K,)，得得 任何一组经过有限次基本旋转变换后的复合旋转总可以等任何一组经过有限次基本旋转变换后的复合旋转总可以等效成绕某一过原点的轴线转效成绕某一过原点的轴线转角的单一旋转。角的单一旋转。第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/2358将方程两边的主对角线元素分别相加，得将方程两边的主对角线元素分别相加，得于是可得：于是可得：再把方程两边的非对角元素成对相减得：再把方程两边的非对角元素成对相减得：将上式两边平方后再相加得：将上式两边平方后再相加得：第三章第三章 机器人坐标系统机器人坐标系统2021/7/2359于是：于是：两点注意两点注意:K和和的值不唯一。实际上，对于任意一组的值不唯一。实际上，对于任意一组K和和，都对应另一组都对应另一组-K和和-，(K,) 和和(k,