多自由度系统振动(a)

1、2021年12月11日1多自由度系统振动多自由度系统振动机械振动理论机械振动理论2021年12月11日2kcm建模方法建模方法1：将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼要求：对轿车的上下振动进行动力学建模要求：对轿车的上下振动进行动力学建模例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动缺点：缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之 间的相互影响间的相互影响优点：优点：模型简单模型简单分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合分析：人与车、车

2、与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合多自由度系统振动多自由度系统振动2021年12月11日3k2c2m车车m人人k1c1建模方法建模方法2：车、人的质量分别考虑，并考虑各自的车、人的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼弹性和阻尼优点：优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合缺点：缺点：没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响多自由度系统振动多自由度系统振动2021年12月11日4m人人k1c1k2c2mk3c3k2c2k3c3m车车m轮轮m轮轮建模方法建模方法3：车、人、车轮的质量分别考虑，车、人、车轮的质量分别

3、考虑，并考虑各自的弹性和阻尼并考虑各自的弹性和阻尼优点：优点：分别考虑了人与车、车分别考虑了人与车、车与车轮、车轮与地面之间的相与车轮、车轮与地面之间的相互耦合，模型较为精确互耦合，模型较为精确问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？多自由度系统振动多自由度系统振动2021年12月11日5多自由度系统振动多自由度系统振动2021年12月11日6多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日7 作用力方程作用力方程几个例子几个例子 例例1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力：双质量弹簧系统

4、，两质量分别受到激振力不计摩擦和其他形式的阻尼不计摩擦和其他形式的阻尼试建立系统的运动微分方程试建立系统的运动微分方程m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日8解：解：21mm、取取 的静平衡位置的静平衡位置 坐标原点：坐标原点：设某一瞬时：设某一瞬时：21mm、1x2x上分别有位移上分别有位移21xx 、加速度加速度受力分析：受力分析：P1(t)k1x1k2(x1-x2)11xm m1P2(t)k2(x1-x2)22xm m2k3x2m1m2k3k1k2x1P1(t)P2(t)x2达朗

5、贝尔惯性力达朗贝尔惯性力多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日9建立方程：建立方程： )()()()(2332122212121111tPxkxxkxmtPxxkxkxm 矩阵形式：矩阵形式： )()(0021213222212121tPtPxxkkkkkkxxmm 力量纲力量纲坐标间的耦合项坐标间的耦合项 P1(t)k1x1k2(x1-x2)11xm m1P2(t)k2(x1-x2)22xm m2k3x2多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日10例例2：

6、转动运动：转动运动两圆盘两圆盘转动惯量转动惯量 21,II轴的三个段的扭转刚度轴的三个段的扭转刚度 321,kkk试建立系统的运动微分方程试建立系统的运动微分方程 1k1I22I2k3k)(1tM)(2tM1)(),(21tMtM外力矩外力矩 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日11解：解：建立坐标：建立坐标：角位移角位移21,设某一瞬时：设某一瞬时：角加速度角加速度21, 受力分析：受力分析：1k1I22I2k3k)(1tM)(2tM111k11 I)(1tM)(212k22 I)(2tM33k)(122k达朗贝尔达朗贝

7、尔惯性力偶惯性力偶多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日12建立方程：建立方程：)()()()(2332222121211111tMkkItMkkI 矩阵形式：矩阵形式：)()(0021213222212121tMtMkkkkkkII 坐标间的耦合项坐标间的耦合项 11k11 I)(1tM)(212k22 I)(2tM33k)(122k多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日13)()(0021213222212121tPtPxxkkkkkkxxmm )()

8、(0021213222212121tMtMkkkkkkII 多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同 如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中也如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)1k1I2I2k3k)(1tM)(2tM多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日14小结：小结：)()(0021213222212121tPtPxxkkk

9、kkkxxmm )()(0021213222212121tMtMkkkkkkII 可统一表示为：可统一表示为： )(tPXKXM 例例1：例例2：作用力方程作用力方程位移向量位移向量加速度向量加速度向量质量矩阵质量矩阵刚度矩阵刚度矩阵激励力向量激励力向量若系统有若系统有 n 个自由度，则各项皆为个自由度，则各项皆为 n 维矩阵或列向量维矩阵或列向量 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日15)(tPXKXM n 个自由度系统个自由度系统:nnnjnnjnjmmmmmmmmm.122211111M)()()()(21tPtPt

10、PtnPnnnjnnjnjkkkkkkkkk.122211111KnTnRxxx,.,21Xnnnn1n质量矩阵第质量矩阵第 j 列列刚度矩阵第刚度矩阵第 j 列列广义坐标列向量广义坐标列向量多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日16 刚度矩阵和质量矩阵刚度矩阵和质量矩阵当当 M、K 确定后，系统动力方程可完全确定确定后，系统动力方程可完全确定M、K 该如何确定？该如何确定？ )(tPKXXM 作用力方程：作用力方程：nRX先讨论先讨论 K加速度为零加速度为零0X )(tKPX 假设外力是以假设外力是以准静态方式准静态方式施

11、加于系统施加于系统准静态外力列向量准静态外力列向量静力平衡静力平衡多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日17)(tPKXXM 作用力方程：作用力方程：nRX)(tPKX 假设作用于系统的是这样一组外力：假设作用于系统的是这样一组外力：它们使系统只在第它们使系统只在第 j 个个坐标上产生单位位移，而在其他各个坐标上不产生位移坐标上产生单位位移，而在其他各个坐标上不产生位移 m1m2 k3k1k2x1x2例如：例如：F1F222211kFkkF0121xx即即 ：TTnjjjxxxxx0,.,0 , 1 , 0,.,0,.,.,

12、111 XkxF 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日18)(tPKXXM 作用力方程：作用力方程：nRX)(tPKX 假设作用于系统的是这样一组外力：假设作用于系统的是这样一组外力：它们使系统只在第它们使系统只在第 j 个个坐标上产生单位位移，而在其他各个坐标上不产生位移坐标上产生单位位移，而在其他各个坐标上不产生位移 TTnjjjxxxxx0,.,0 , 1 , 0,.,0,.,.,111 X00100.)()()()(12221111121nnnjnnjnjnkkkkkkkkktPtPtPtP代入代入 ：njjjkk

13、k21多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日19 njjjnnnjnnjnjnkkkkkkkkkkkktPtPtPt211222111112100100.)()()()(P所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵 K 的第的第 j 列列 ijk （i=1n）：在第在第 i 个坐标上施加的力个坐标上施加的力 考虑：这样的外力列阵是否唯一？考虑：这样的外力列阵是否唯一？m1m2 k3k1k2x1x2F1F222211kFkkF0121xx?221kkkK多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系

14、统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日20 njjjnnnjnnjnjnkkkkkkkkkkkktPtPtPt211222111112100100.)()()()(P所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵 K 的第的第 j 列，列， ijk在第在第 i 个坐标上施加的力个坐标上施加的力 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程（i=1n） 2021年12月11日21 njjjnnnjnnjnjnkkkkkkkkkkkktPtPtPt211222111112100100.)()()()(P第第j个坐

15、标产个坐标产生单位位移生单位位移刚度矩阵第刚度矩阵第j列列系统刚度矩系统刚度矩阵阵j=1n确定确定多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日22)(tPKXXM 作用力方程：作用力方程：nR X讨论讨论 M假设系统受到外力作用的瞬时，只产生加速度而不产生任何位移假设系统受到外力作用的瞬时，只产生加速度而不产生任何位移 )(tPXM 00100.)()()()(12221111121nnnjnnjnjnmmmmmmmmmtPtPtPtP假设作用于系统的是这样一组外力：假设作用于系统的是这样一组外力：它们使系统只在第它们使系统只在第

16、j个坐个坐标上产生单位加速度，而在其他各个坐标上不产生加速度标上产生单位加速度，而在其他各个坐标上不产生加速度 njjjmmm21多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日njjjnnnjnnjnjnmmmmmmmmmmmmtPtPtPt211222111112100100.)()()()(P这组外力正是质量矩阵这组外力正是质量矩阵 M 的第的第 j 列列 考虑：这考虑：这样的外力样的外力列阵是否列阵是否唯一？唯一？m1m2 k3k1k2x1x2F1F20211FmF0121xx maF ?0?1mM多自由度系统振动多自由度系统

17、振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日24njjjnnnjnnjnjnmmmmmmmmmmmmtPtPtPt211222111112100100.)()()()(P这组外力正是质量矩阵这组外力正是质量矩阵 M 的第的第 j 列列 ijm第第j个坐标单个坐标单位加速度位加速度质量矩阵第质量矩阵第j列列系统质量矩系统质量矩阵阵j=1n确定确定多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日25质量矩阵质量矩阵 M 中的元素中的元素mij 是使系统仅在第是使系统仅在第 j 个坐标上产生单个坐标上产生

18、单位加速度而相应于第位加速度而相应于第 i 个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力mij、kij又分别称为又分别称为质量影响系数质量影响系数和和刚度影响系数刚度影响系数。根据它。根据它们的物理意义可以直接写出系统质量矩阵们的物理意义可以直接写出系统质量矩阵M和刚度矩阵和刚度矩阵K，从而建立作用力方程，这种方法称为从而建立作用力方程，这种方法称为刚度矩阵刚度矩阵 K 中的元素中的元素 kij 是使系统仅在第是使系统仅在第 j 个坐标上产生单个坐标上产生单位位移而相应于第位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程

19、多自由度系统的动力学方程2021年12月11日26例：写出例：写出 M 、 K 及及运动微分方程运动微分方程 m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：解：先只考虑静态先只考虑静态 令令 T001 X0221kkk使使m1产生单位位移所需施加的力：产生单位位移所需施加的力： 2111kkk221kk 031k 保持保持m2不动所需施加的力：不动所需施加的力：保持保持m3不动所需施加的力：不动所需施加的力：在三个质量上施加力在三个质量上施加力能够使得能够使得001321xxxX系统刚度矩阵的第一列系统刚度矩阵的第一列多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的

20、动力学方程多自由度系统的动力学方程只使只使m1产生单位位移，产生单位位移，m2和和m3不动不动2021年12月11日27m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：解：先只考虑静态先只考虑静态 令令 T001 X刚度矩阵：刚度矩阵：?0?221kkkK使使m1产生单位位移所需施加的力：产生单位位移所需施加的力： 2111kkk221kk 031k 保持保持m2不动所需施加的力：不动所需施加的力：保持保持m3不动所需施加的力：不动所需施加的力：只使只使m1产生单位位移，产生单位位移，m2和和m3不动不动多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由

21、度系统的动力学方程例：写出例：写出 M 、 K 及及运动微分方程运动微分方程 2021年12月11日28m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：解：先只考虑静态先只考虑静态 365322kkkkkk使使m2产生单位位移所需施加的力：产生单位位移所需施加的力： 保持保持m1不动所需施加的力：不动所需施加的力：保持保持m3不动所需施加的力：不动所需施加的力：只使只使m2产生单位位移，产生单位位移，m1和和m3不动不动在三个质量上施加力在三个质量上施加力能够使得能够使得010321xxxX系统刚度矩阵的第二列系统刚度矩阵的第二列令令 T010 X212kk653222k

22、kkkk332kk多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程例：写出例：写出 M 、 K 及及运动微分方程运动微分方程 2021年12月11日29m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：解：先只考虑静态先只考虑静态 使使m2产生单位位移所需施加的力：产生单位位移所需施加的力： 保持保持m1不动所需施加的力：不动所需施加的力：保持保持m3不动所需施加的力：不动所需施加的力：只使只使m2产生单位位移，产生单位位移，m1和和m3不动不动令令 T010 X212kk653222kkkkk332kk刚度矩阵：刚度矩阵：?0?365

23、322221kkkkkkkkkK多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程例：写出例：写出 M 、 K 及及运动微分方程运动微分方程 2021年12月11日30m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：解：先只考虑静态先只考虑静态 4330kkk使使m3产生单位位移所需施加的力：产生单位位移所需施加的力： 保持保持m2不动所需施加的力：不动所需施加的力：保持保持m1不动所需施加的力：不动所需施加的力：只使只使m3产生单位位移，产生单位位移，m1和和m2不动不动在三个质量上施加力在三个质量上施加力能够使得能够使得100321

24、xxxX系统刚度矩阵的第三列系统刚度矩阵的第三列令令 T100 X013k323kk4333kkk多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程例：写出例：写出 M 、 K 及及运动微分方程运动微分方程 2021年12月11日31例：写出例：写出 M 、 K 及及运动微分方程运动微分方程 m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：解：先只考虑静态先只考虑静态 使使m3产生单位位移所需施加的力：产生单位位移所需施加的力： 保持保持m2不动所需施加的力：不动所需施加的力：保持保持m1不动所需施加的力：不动所需施加的力：只使只使m3

25、产生单位位移，产生单位位移，m1和和m2不动不动令令 T100 X013k323kk4333kkk刚度矩阵：刚度矩阵：43336532222100kkkkkkkkkkkkK多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日32例：写出例：写出 M 、 K 及及运动微分方程运动微分方程 m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：解：先只考虑静态先只考虑静态 令令 T001 X 2111kkk221kk 031k 令令 T010 X212kk653222kkkkk332kk令令 T100 X013k323kk33

26、34kkk刚度矩阵：刚度矩阵：43336532222100kkkkkkkkkkkkK多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日只考虑动态只考虑动态 令令 T001 X 21m31mm1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)只使只使m1产生单位加速度，产生单位加速度，m2和和m3加速度为零加速度为零所需施加的力：所需施加的力：111amF 11 m1m11m所需施加的力：所需施加的力：0222amF0333amF001m在三个质量上施加力在三个质量上施加力能够使得能够使得001321xxxX 系统质量矩阵的

27、第一列系统质量矩阵的第一列m1产生单位加产生单位加速度的瞬时，速度的瞬时，m2和和m3尚没有尚没有反应反应多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日34只考虑动态只考虑动态 令令 T001 X 21m31mm1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)所需施加的力：所需施加的力：111amF 11 m1m11m所需施加的力：所需施加的力：0222amF0333amF质量矩阵：质量矩阵：?0?0?1mM多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程只使只使m1产生单位加速

28、度，产生单位加速度，m2和和m3加速度为零加速度为零m1产生单位加产生单位加速度的瞬时，速度的瞬时，m2和和m3尚没有尚没有反应反应2021年12月11日35同理同理m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)?00?0?021mmM令令 T010 X 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日36同理同理m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)321000000mmmM令令 T010 X 令令 T100 X 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系

29、统的动力学方程2021年12月11日37令令 T001 X 111mm021m031m有：有：令令 T010 X 012 m222mm 032 m有：有：令令 T100 X 013 m023 m333mm 有：有：m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)质量矩阵：质量矩阵：321000000mmmM多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日3843336532222100kkkkkkkkkkkkK321000000mmmM )()()(00000000321321433365322221321321tP

30、tPtPxxxkkkkkkkkkkkkxxxmmm 运动微分方程：运动微分方程： m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)(tPKXXM 外力外力列阵列阵矩阵形式：矩阵形式：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日3921,mm21,cc21,II例：双混合摆例：双混合摆质心质心绕通过自身质心的绕通过自身质心的 z 轴的转动惯量轴的转动惯量21、求：求：以微小转角以微小转角为坐标，为坐标，写出在写出在x-y平面内摆动的作用力方程平面内摆动的作用力方程 两刚体质量两刚体质量1Ih1C1C2h2lxy2I

31、12多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日40受力分析受力分析1Ih1C1C2h2lxy2I12111 hmgm1gm211 I22 I)(2212 hlm xy多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日41解：解：先求质量影响系数先求质量影响系数 令令0121 ，y1Ih1C1C2h2lx2I12111 hmgm1gm211 I22 I)(2212 hlm 下摆对下摆对A取矩：取矩：整体对整体对B取矩：取矩：11m21m11hm1Ilm211 02 AB则需

32、要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩11m21m2122211111)(mhllmhmIm2221lhmm问：为什么不考虑重力？问：为什么不考虑重力？222111lmhmI多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日解：解：令令1021 ，2I22hm01 12 ABy1Ih1C1C2h2lx2I12111 hmgm1gm211 I22 I)(2212 hlm 22222212)(mhlhmIm222222hmIm下摆对下摆对A取矩：取矩：整体对整体对B取矩：取矩：则需要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩12m22m22l

33、hm12m22m多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日43令令0121 ，22211121222111112221)(lmhmImhllmhmImlhmm令令1021 ，2222222212222222)(lhmmhlhmImhmIm22222222222111hmIlhmlhmlmhmIM质量矩阵：质量矩阵：多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日44求刚度影响系数求刚度影响系数由于恢复力是重力，所以实际上是求重力影响系数由于恢复力是重力，所以实际上是求重

34、力影响系数 令令0121，021kglmghmk21111y1Ih1C1C2h2lx2I12111 hmgm1gm211 I22 I)(2212 hlm gm2gm111 02 AB则需要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩11k21k下摆对下摆对A取矩：取矩：整体对整体对B取矩：取矩：11k21k多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日令令1021，2222ghmk0222212kghmkgm2gm101 12 ABy1Ih1C1C2h2lx2I12111 hmgm1gm211 I22 I)(2212 hlm 则需要在两杆

35、上施加力矩则需要在两杆上施加力矩12k22k下摆对下摆对A取矩：取矩：整体对整体对B取矩：取矩：12k22k多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日46令令0121，021kglmghmk21111令令1021，2222ghmk0222212kghmk刚度矩阵：刚度矩阵：2221100)(ghmglmhmK多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日472221100)(ghmglmhmK22222222222111hmIlhmlhmlmhmIM0000)(212

36、22112122222222222111ghmglmhmhmIlhmlhmlmhmI 运动微分方程：运动微分方程：y1Ih1C1C2h2lx2I12多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日48例：例：21、求：求：以微小转角以微小转角为坐标，为坐标，写出微摆动的运动学方程写出微摆动的运动学方程 每杆质量每杆质量 m杆长度杆长度 l水平弹簧刚度水平弹簧刚度 k弹簧距离固定端弹簧距离固定端 a12kaO1O2双刚体杆双刚体杆多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日

37、49解：解：令：令：则需要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩110211k21k分别对两杆分别对两杆 O1、O2 求矩：求矩：21121kamglk221kak令：令：则需要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩011212k22k分别对两杆分别对两杆 O1、O2 求矩：求矩：22221kamglk212kak 0112aO1O2mgmg1 ka1102aO1O2mgmg1 ka11k21k12k22k多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日5021121kamglk221kak刚度矩阵：刚度矩阵：22221kamglk2

38、12kak 22222121kamglkakakamglK1102aO1O2mgmg1 ka11k21k0112aO1O2mgmg1 ka21k22k多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日51令：令：则需要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩11 02 11m2111131mlIm 021m令：令：则需要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩12m22m2222231mlIm 012 m01 12 质量矩阵：质量矩阵：22310031mlmlM21m11 02 aO1O2mgmgk01 12 aO1O2mgmgk11m21

39、m12m22m多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日5222222121kamglkakakamglK运动学方程：运动学方程：22310031mlmlM0021213100312122222122kamglkakakamglmlml 12kaO1O2多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日53例：两自由度系统例：两自由度系统摆长摆长 l，无质量，微摆动，无质量，微摆动求：运动微分方程求：运动微分方程xm1k12mk2多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自

40、由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日54解：解：刚度矩阵刚度矩阵令：令：01x2121111)(kkkkk021kx方向力平衡方向力平衡A点力矩平衡点力矩平衡01xm1k1gm2k2刚度矩阵第一列：刚度矩阵第一列：021kk需要施加的力和矩需要施加的力和矩11k21k11k21kAx静态平衡静态平衡受力：受力：弹性力弹性力重力重力多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日55令：令：10 x00)(2112kkkglmlgmk2222sin x方向力平衡方向力平衡A点力矩平衡点力矩平衡刚度矩阵第二列

41、：刚度矩阵第二列：需要施加的力和矩需要施加的力和矩12k22km1k11gm2k20 xA12k22kglm20 x多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日56xm1k12mk2刚度矩阵第一列：刚度矩阵第一列：021kk刚度矩阵第二列：刚度矩阵第二列：glm20系统刚度矩阵：系统刚度矩阵：glmkk22100K多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日57质量矩阵质量矩阵令：令：0 1x 瞬时动态瞬时动态11mxm 2惯性力惯性力m1k10 gm2k21x xm

42、 1惯性力惯性力需要施加的力和矩需要施加的力和矩11m21m21m质量块加速度质量块加速度x 达朗贝尔惯性力达朗贝尔惯性力杆加速度分析杆加速度分析ABA点加速度点加速度x x B为杆上定点为杆上定点llxxAB2 加速度加速度x 达朗贝尔惯性力达朗贝尔惯性力多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日58求解质量矩阵求解质量矩阵0 1x 212111)(mmxmmm lmlxmm2221)( 11mxm 2惯性力惯性力m1k10 gm2k21x xm 1惯性力惯性力21mA系统水平方向力平衡系统水平方向力平衡杆对杆对A点力矩平衡点

43、力矩平衡多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日590 1x 212111)(mmxmmm lmlxmm2221)( 令：令：1 0 x lmlmm2212 222222lmlmIm m1k11 gm2k20 x 12m22m Ilm 2惯性力惯性力m1k10 gm2k21x 11m21mxm 2惯性力惯性力xm 1惯性力惯性力惯性力如何分析？惯性力如何分析？多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日602111mmmlmm221lmm2122222lmm质量矩

44、阵：质量矩阵：222221lmlmlmmmMxm1k12mk2刚度矩阵：刚度矩阵：glmkk22100K运动微分方程：运动微分方程：0000221222221xglmkkxlmlmlmmm 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日61小结：小结：建立动力学方程的建立动力学方程的 多自由度系统作用力方程：多自由度系统作用力方程：质量矩阵质量矩阵 M 中的元素中的元素mij 是使系统仅在第是使系统仅在第 j 个坐标上产生单个坐标上产生单位加速度而相应于第位加速度而相应于第 i 个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力刚度矩阵刚度矩

45、阵 K 中的元素中的元素 kij 是使系统仅在第是使系统仅在第 j 个坐标上产生单个坐标上产生单位位移而相应于第位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力 刚度矩阵：刚度矩阵： 质量矩阵：质量矩阵：静态静态动态动态)(tPKXXM 力的量纲力的量纲多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日62 位移方程和柔度矩阵位移方程和柔度矩阵 对于静定结构，有时通过对于静定结构，有时通过柔度矩阵柔度矩阵建立建立位移方程位移方程比通过比通过刚度刚度矩阵矩阵建立建立作用力方程作用力方程来得更方便些来得更方便些 柔度柔度定义为

46、弹性体在定义为弹性体在单位力作用下产生的变形单位力作用下产生的变形 物理意义及量纲与刚度恰好相反物理意义及量纲与刚度恰好相反 以一个例子说明位移方程的建立以一个例子说明位移方程的建立 m1m2P1P2无质量弹性梁上有若干集中质量无质量弹性梁上有若干集中质量（质量连续分布的弹性梁的简化（质量连续分布的弹性梁的简化 ）假设假设21PP、是常力是常力 以准静态方式作用在梁上以准静态方式作用在梁上 梁只产生位移（即挠度），不产生加速度梁只产生位移（即挠度），不产生加速度 21mm、21xx、取质量取质量的静平衡位置为坐标的静平衡位置为坐标的原点的原点 x1x2多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自

47、由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日63111fx m1 位移：位移：212fx m2 位移：位移：0121 PP、时时（1）1021 PP、时时（2）121fx m1 位移：位移：222fx m2 位移：位移：21PP、 同时作用同时作用（3）2121111PfPfx m1 位移：位移：2221212PfPfx m2 位移：位移：f11f21P1=1f12f22P2=1x1m1x2m2P1P2多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日6421PP、 同时作用时：同时作用时：2121111PfPfx

48、 2221212PfPfx 矩阵形式：矩阵形式：FPX 21xxX 22211211ffffF 21PPP柔度矩阵柔度矩阵物理意义：物理意义：系统仅在第系统仅在第 j 个坐标受到个坐标受到单位力作用时相应于第单位力作用时相应于第i 个坐标上产生的位移个坐标上产生的位移 ijf柔度影响系数柔度影响系数 f11f21P1=1f12f22P2=1x1m1x2m2P1P2多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日65FPX 21PP、当当 是动载荷时是动载荷时集中质量上有惯性力存在集中质量上有惯性力存在 2221112221121121

49、)()(xmtPxmtPffffxx 212121222112112100)()(xxmmtPtPffffxx )(XMPFX 位移方程位移方程x1m1x2m2P1P211xm 22xm m1m2P1(t)P2(t)212221121121PPffffxx多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日6611xm 22xm m1m2P1(t)P2(t)也可按作用力方程建立方程：也可按作用力方程建立方程： PKXXM XMPKX )(1XMPKX 若若K非奇异非奇异)(XMPFX 位移方程：位移方程：FPXXFM 柔度矩阵与刚度矩阵的

50、关系：柔度矩阵与刚度矩阵的关系：1 KFIFK 21xxX)()(21tPtPP刚度矩阵刚度矩阵多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日67对于允许刚体运动产生的系统（即具有刚体自由度的系统），对于允许刚体运动产生的系统（即具有刚体自由度的系统），柔度矩阵不存在柔度矩阵不存在应当注意：应当注意：1I2Ikm1m2k1k2m3原因：原因：在任意一个坐标上施加单位力，系统将产生刚体运动在任意一个坐标上施加单位力，系统将产生刚体运动而无法计算各个坐标上的位移而无法计算各个坐标上的位移刚度矩阵刚度矩阵 K 奇异奇异多自由度系统振动多自

51、由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日68例：例： 求图示两自由度简支梁横向振动的位移方程求图示两自由度简支梁横向振动的位移方程 梁不计质量，抗弯刚度梁不计质量，抗弯刚度EJx1x2l/3l/3l/3m1m2P1(t)P2(t)多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日69由材料力学知，当由材料力学知，当B点作用有单位力时，点作用有单位力时，)(6222balEJlabfAB柔度影响系数：柔度影响系数：fff82211fff71221EJlf4863 ffff8778F21212

52、121008778xxmmPPffffxx 柔度矩阵：柔度矩阵：位移方程：位移方程：x1x2l/3l/3l/3m1m2P1(t)P2(t)P=1labAB)(XMPFX A点的挠度为：点的挠度为： 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日70例：例： 求柔度阵求柔度阵 33332222100kkkkkkkkkK（1）在坐标）在坐标 x1 上对质量上对质量 m1 作用单位力作用单位力系统在坐标系统在坐标 x1、x2、x3 上产生位移上产生位移: 13121111kfff m1m2k1k2m3k3x1x2x3解：解：（2）在坐标）

53、在坐标 x2 上对质量上对质量 m2 作用单位力作用单位力212211kkf1121kf213211kkf（3）在坐标）在坐标 x3 上对质量上对质量 m3 作用单位力作用单位力1131kf212311kkf32133111kkkf多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日711111kf1211kf1311kf212211kkf1121kf213211kkf1131kf212311kkf32133111kkkf 3212112121111111111111111111kkkkkkkkkkkkkkF柔度矩阵：柔度矩阵：可以验证，

54、有：可以验证，有：IFK m1m2k1k2m3k3x1x2x3 33332222100kkkkkkkkkK多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日72小结：小结： 多自由度系统的位移方程：多自由度系统的位移方程：FPXXFM 柔度矩阵和刚度矩阵互为逆阵柔度矩阵和刚度矩阵互为逆阵位移的量纲位移的量纲 柔度矩阵：柔度矩阵：柔度矩阵柔度矩阵fij的含义的含义为系统仅在第为系统仅在第 j 个坐标受到单位力作用时个坐标受到单位力作用时相应于第相应于第 i 个坐标上产生的位移个坐标上产生的位移 位移方程不适用于建立存在刚体自由度系统的动力

55、学方程位移方程不适用于建立存在刚体自由度系统的动力学方程多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日73 质量矩阵和刚度矩阵的正定性质质量矩阵和刚度矩阵的正定性质n 阶方阵阶方阵 A 正定正定并且等号仅在并且等号仅在0y 时才成立时才成立 0AyyT是指对于任意的是指对于任意的 n 维列向量维列向量 y，总有，总有 成立成立如果如果0y 时，等号也成立，那么称矩阵时，等号也成立，那么称矩阵 A 是是半正定半正定的的 根据分析力学的结论，对于定常约束系统：根据分析力学的结论，对于定常约束系统： 动能：动能：XMXTT21 KXXTV

56、21 势能：势能：标量标量A 00A多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日74 质量矩阵和刚度矩阵的正定性质质量矩阵和刚度矩阵的正定性质n 阶方阵阶方阵 A 正定正定并且等号仅在并且等号仅在0y 时才成立时才成立 0AyyT是指对于任意的是指对于任意的 n 维列向量维列向量 y，总有，总有 成立成立如果如果0y 时，等号也成立，那么称矩阵时，等号也成立，那么称矩阵 A 是是半正定半正定的的 动能：动能：XMXTT21 0T)1(0nixi 除非除非所以，所以，M正定正定0M即：即：振动系统的质量矩振动系统的质量矩阵总为正定矩

57、阵阵总为正定矩阵A 00A多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日 质量矩阵和刚度矩阵的正定性质质量矩阵和刚度矩阵的正定性质n 阶方阵阶方阵 A 正定正定并且等号仅在并且等号仅在0y 时才成立时才成立 0AyyT是指对于任意的是指对于任意的 n 维列向量维列向量 y，总有，总有 成立成立如果如果时，等号也成立，那么称矩阵时，等号也成立，那么称矩阵 A 是是半正定半正定的的 KXXTV21 势能：势能：对于仅具有对于仅具有稳定平衡位置稳定平衡位置的系统，势能在平衡位置上取极小值的系统，势能在平衡位置上取极小值 V 0 当各个位移

58、当各个位移)1(nixi不全为零时，不全为零时， K 正定正定 K 0对于具有对于具有随遇平衡位置随遇平衡位置的系统，存在刚体位移的系统，存在刚体位移对于不全为零的位移对于不全为零的位移 存在存在 V 0 )1(nixiK 半正定半正定0K振动系统的刚度矩阵至少为半正定振动系统的刚度矩阵至少为半正定A 00A多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程0y 2021年12月11日76振动问题中主要讨论振动问题中主要讨论 （1）M阵正定、阵正定、K 阵正定阵正定 （2）M阵正定、阵正定、K 阵半正定阵半正定多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系

59、统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月11日77 耦合与坐标变换耦合与坐标变换矩阵中非零的非对角元元素称为矩阵中非零的非对角元元素称为耦合项耦合项质量矩阵中出现耦合项称为质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合惯性耦合刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合弹性耦合以两自由度系统为例以两自由度系统为例221100mmM不存在惯性耦合不存在惯性耦合22211211mmmmM 22211211kkkkK22211211mmmmM存在惯性耦合存在惯性耦合多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2021年12月1

60、1日78如果系统仅在第一个坐标上产生加速度如果系统仅在第一个坐标上产生加速度22211211mmmmM221100mmM0, 021xx 00012211xmm 0122211211xmmmm 不出现惯性耦合时，一个坐标上不出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度只在该坐标上引起产生的加速度只在该坐标上引起惯性力惯性力同理，不出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移只在该同理，不出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移只在该坐标上引起弹性恢复力；而出现弹性耦合时，一个坐标上坐标上引起弹性恢复力；而出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移还会在别的坐标上引起弹性恢复力产生的位移还会在别的坐标上引起弹性恢复力0