数学论文——勾股定理的证明方法探究

1、.勾股定理的证明方法研究性学习报告（青岛市59中学初二七班高嘉琪）勾股定理是初等几何中的一个基本定理。所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方等于斜边的平方。数学公式中常写作：a2 + b2=c2 （直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c）。那么勾股定理是怎么证明的呢？方法很多很多。1940年出版过一本名为毕达哥拉斯命题的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。&#

2、160; 在国外，尤其在西方，勾股定理通常被称为毕达哥拉斯定理这是由于，他们认为最早发现直角三角形具有“勾2+股2=弦2（即如上所说：a2 + b2=c2）”这一性质并且最先给出严格证明的是古希腊的数学家毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580公元前500）        实际上，在更早期的人类活动中，人们就已经认识到这一定理的某些特性除我国在公元前1000多年前发现勾股定理外，据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角但是，这一传说引起过许多数学史家的怀疑比如，美国的数学史家M·克莱因教授曾经指

3、出：“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理我们知道他们有拉绳人，但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为3、4、5的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得到证实”不过，考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥版书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”这是一个三边为3:4:5三角形的特殊例子；专家们还发现，在另一块版板上面刻着一个奇特的数表，表中共刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表：最右边一列为从1到15的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载

4、着15组勾股数这说明，勾股定理实际上早已开始在人们的知识土地中“萌芽”了。因为勾股定理的证明方法太多，不可能全数叙述。所以，我们就来了解一下较简洁、易懂的几种方法。方法一：课本内的方法 如图所示，S大正方形=S三角形×4+S小正方形。即(a+b) 2= 4(1/2ab)+c2，化简后为：a2 + b2=c2。方法二：以a,b为直角边（ba），以c为斜边作4个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积为1/2ab。把这4个三角形拼成如图所示的正方形。RtDAHRtABEHDA=EABHDA+HAD=90°HAD+EAB=90°ABCD是个边长为c的正方形，面积为c2又

5、HEF+BEA=180°HEF=90°EFGH是一个边长为b-a的正方形，面积为（b-a）24×1/2ab+（b-a）2=c2a2 + b2=c2 C方法三：以a、b为直角边，以c为斜边做两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于1/2ab。把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A,E,B三点在一条直线上。RtEADRtCBEADE=BECAED+ADE=90°AED+BEC=90°DEC=180°90°=90°DEC是一个等腰直角三角形，面积为1/2 c2又DAE=90°，EBC=90°ADBCABCD是个直角梯形，面积为1/2（a+b）21/2（a+b）2=2×1/2ab+1/2 c2a2 + b2=c2方法四：作三个变长分别为a,b,c的正方形，把它们拼成如图所示的形状，是H,C,B三点在一条直线上，连接BF,CD.过C作CLDE，交AB于点M，交DE于点L。AF=AC , AB=ADFAB=GADFABGADFABGADFAB的面积为1/2a2.GAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半。矩形ADLM的面积为a2 ，同理可得，矩形MLEB的面积为b2