2013年全国各地中考数学试卷分类汇编：动态问题

1、30 、选择题 1. （ 2013 江苏苏州，10, 3 分）如图，在平面直角坐标系中， 1 点 C 的坐标为（，0）,点 P 为斜边 OB 上的一 2 由勾股定理得：DN =（3? （） 2 = 1 1 3 T C ( , 0) , CN=3 =1 . 2 2 即 PA + PC 的最小值是 少 . 动态问题 Rt OAB 的顶点 A 在 x轴的 正半轴上，顶点 B 的坐标为（3, 动点，贝 U PA+ PC 的最小值为（ A .上 2 【答案】B. 【解析】如图， 于 N,则此时 BT ) C. 3 .19 作A关于OB的对称点 FA + PC 的值最小，求出 D，连接 CD 交 OB 于

2、 AM，求出 AD，求出 CD，即可得出答案. 解：如图，作 A 关于 OB 的对称点 D, N,则此时 PA+ PC 的值最小. / DP = PA, PA + PC=PD + PC=CD . / B (3，乔)， AB/3 , OA=3,Z B=60 . 由勾股定理得：OB=2 运. 1 1 由三角形面积公式得： X OA X AB= X OB X AM , 2 2 1 l 1 l 3 3 即一X 3 X -73 = X 2 . 3 X AM . AM = . AD =2 X =3 2 2 2 2 / AMB=90 , / B=60 , / BAM=30 , / BAO=90 , OAM

3、=60. 1 3 / DN 丄 OA，/ NDA=30 , AN= X AD= . 连接 CD 交 OB 于 P, P,连接AP,过D 作在 Rt 2 所以应选 B . 【方法指导】本题考查了三角形的内角和定理，轴对称的最短路线问题，勾股定理，含 度角的直角三角形性质的应用，关键是求出 P 点的位置，题目比较好，难度适中. 【易错警示】弄不清楚最小值问题，赵不到最短距离而出错. 2. （2013 山东临沂，14, 3 分）如图，正方形 ABCDK AB= 8cm,对角线AC BD相交于点 Q点E, F分别从B, C两点同时出发，以 1cm/s的速度沿BC CD运动，至惊 C, D时停止 运动.

4、设运动时间为 t（s） , QEF 的面积为S（cm2），贝 U S（cm2）与t（s）的函数关系可用图象 【答案】：B. 3 （2013 四川南充，10, 3 分）如图 1，点 E 为矩形 ABCD 边 AD 上一点，点 P,点 Q 同时 从点 B 出发， 点 P 沿 BET EDT DC 运动到点 C 停止， 点 Q 沿 BC 运动到点 C 停止， 它们的 运动速度都是 1cm/s.设 P, Q 出发秒时， BPQ 的面积为ycm2，已知y与的函数关系的 图象如图 2 （曲线 OM 为抛物线的一部分）.则下列结论： 2 5 AD=BE= 5cm；当 0 vw 5 时，y ；直线 NH 的解

5、析式为y t 27 ; 5 2 29 若 ABE 与厶 QBP 相似，则t 秒.其中正确结论的个数为（ ） 4 【答案】：B. 【解析】据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点 P 到达点 E 时点 Q 到达点 C,从而得到 BC、BE 的长度，再根据 M、N 是从 5 秒到 7 秒，可得 ED 的长度， 然后表示F C D D 出 AE 的长度，根据勾股定理求出 AB 的长度，然后针对各小题分析解答即可. 【方法指导】本题考查了二次函数的综合应用及动点问题的函数图象，根据图（ 2）判断出 点 P 到达点 E 时，点 Q 到达点 C 是解题的关键，也是本题的突破口，难度较大.

6、 4. （2013 湖北荆门，12, 3 分）如图所示，已知等腰梯形 ABCD , AD / BC,若动直线 I垂直 于 BC,且向右匀速（注：“匀速”二字为录入者所添加 平移，设扫过的阴影部分的面积为 S, BP 为 x,则 S 关于 x的函数图象大致是（ ） BC 作垂线，垂足依次为 E, F，如图 3,设动直线 I移动的速度为 x.当 0 xv 1 时，S= |x2，其图象是开口向上的抛物线的一部分；当 Kx v2 时，S= 1 + 1 X （x- 1） = x-2 , 其图象是直线的一部分； 当 2 x 3 时，S= 2 I （3-x）2,其图象是开口向下的抛物线的 一部分综上所述，选

7、 A . 【方法指导】判断函数大致图象的试题，一般应先确立函数关系解析式， 再根据函数图象及 性质做出合理的判断. 解答分段函数的图象问题一般遵循以下步骤： 根据自变量的取值范 围对函数进行分段；求出每段的解析式；由每段的解析式确定每段图象的形状. 5（2013 山东烟台，12,3 分）如图 1. E 为矩形 ABCD 边 AD 上一点，点 P 从点 B 沿折线 BE- ED DC 运动到点 C 时停止，点 Q 从点 B 沿 BC 运动到点 C 时停止.它们的运动速度都 是 1cm/s.若点 P,Q 同时开始运动，设运动时间为 t（s）, BPQ 的面积 y（cm2）.已知 y 与 t 的函

8、数关系图像如图 2,则下面结论错误的是（ ） 4 A. AE = 6cm B. sin EBC 5 【解析】为计算的方便，不妨设 AB= CD = . 2 , AD = 1, / ABC = 45分别过点 A, D 向 C. 当 0 210时，y =2t2 5 D.当t =12s时， PBQ是等腰三角形 【答案】A 图 3 cm 【答案】A 【考点解剖】本题是一道典型的动点问题，主要考查了三角函数、 等腰三角形的判定、二次 函数的解析式、三角形的面积公式，解决本题的关键是能够根据图形中点的位置与相应线段、 面积的变化来理解函数图象表达的意义，数形结合，化静为动，从而正确的解决问题 【解析】如图

9、：利用数形结合思想方法，结合图 1、图 2 分别求出 BE=BC=10cm, DE=4cm, 4 AE=6cm；然后利用勾股定理求出 AB,即可求出 sin/ EBC=；当0 ： t乞10时，根据 BPF 5 4 EBA 可求出 BQ 边上的高 PF t ,然后利用三角形面积公式即可求出 y 与 t 的函数关 5 1 4 2 2 系式 y= t t t2，最后利用排除法即可选 D. 2 5 5 【方法指导】点的运动问题，主要表现在运动路径与时间之间的图象关系 解决动点问题时， 对题意的理解要清晰，关键是正确获取或处理题中的信息， 明确哪些是变化的量，哪些是不 变的量 、填空题 1. （ 201

10、3 杭州 4 分）射线 QN 与等边 ABC 的两边 AB, BC 分别交于点 M , N,且 AC/ QN , AM=MB=2cm, QM=4cm.动点 P 从点 Q 出发，沿射线 QN 以每秒 1cm 的速度向右移动， 经过 t秒，以点 P 为圆心， 二 cm 为半径的圆与 ABC 的边相切（切点在边上），请写出 t 可取的一切值（单位： 秒） i * b F Q 【思路分析】求出 AB=AC=BC=4cm, MN=AC=2cm,/ BMN =Z BNM = Z C= / A=60 ，分为 三种情况：画出图形，结合图形求出即可； 【解析】 ABC 是等边三角形， AB=AC=BC=AM +

11、 MB=4cm,/ A= / C=Z B=60 , / QN / AC, AM = BM . N 为 BC 中点， MN=AC=2cm，/ BMN= / BNM= / C=Z A=60 , 当O P 切 AB 于 M 时，连接 PM 则 PM ；cm,/ PM M=90 , / PMM 三 BMN=60 , MM=1cm, PM=2MM , QP=4cm 2cm=2cm, 即 t=2; 如图 2, 图 当O P 于 AC 切于 A 点时，连接 FA, 分为三种情况: 则/ CAP= / APM=90 , / PMA = Z BMN=60 , AP=7cm, PM=1cm, / QP=4cm 1

12、cm=3cm, 即 t=3, 当当O P 于 AC 切于 C 点时，连接 PC, 则/ CPN = / ACP =90 Z PNC= / BNM=60 CP，= cm, / P N=1cm, / QP=4cm+2cm+1cm=7cm, 即当 3WW7时，O P 和 AC 边相切； 如图 1, 图3 当O P 切 BC 于 N 时，连接 PN3 贝 U PN，= cm,Z PM NN=90 vZ PNN Z BNM=60 , NN=1cm, PN=2NN =2m, / QP=4 cm+2 cm+2cm=8 cm, 即 t=8; 故答案为：t=2 或 3t O Af ? 1 c 【答案】22 【解

13、析】（1）首先，需要证明线段 BoBn就是点 B 运动的路径 （或轨迹），如答图所示利用相似三角形可以证明； （2） 其次， 如答图所示， 利用相似三角形厶 ABBnS AON 求出 线段BoBn的长度，即点 B 运动的路径长. OM=2 .3，点 N 在直线 y=-x上，AC 丄 x 轴于点 M 则厶 OMN 为等腰直角三角形， ON= 2 OM= 2 x 2.3 =2 J6 .如答图所示，设动点 P 在 O 点（起点）时，点 B 的位置为 B0,动点 P 在 N 点（起 点）时，点 B 的位置为 Bn,连接 BDB.T AOLAB, AN!AB,./ OACM BoAB,又T AB=AO?

14、tan30 , AB=AN?tan30 , A AB0： AO=AB： AN=tan30 , .A ABBAON 且相 似比为 tan30 ,A BoB=ON?tan30 = 2J6 x3 = 2运.现在来证明线段 BOB.就是点 B 运 3 动的路径（或轨迹）. 1-X A 4 4 _ 亠 0 - k X N 答图 C 如答图所示， 当点 P 运动至 ON 上的任一点时， 设其对应的点 B 为 B， 连接 AP,AB, BoB . T AOL ABO, AP 丄 AB, A/ OAPM BoAB ,又T AB=AO?ta n30 , AB=AP?ta n30 , A ABO: AO=AB A

15、P, ABBSA AOP A/ AE0B = Z AOP 又：公 AEOB AON A / AE0Bn=Z AOP A/ AB0B = / ABB，点 Bi在线段 BoB 上，即线段 BoB 就是点 B 运动的路径（或轨迹）.综上所述,点 B 运动的路径（或轨迹）是线段 BoBn ,其长度为2 2 故答案为： 2 2 . 【方法指导】本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹， 难度很大.本题的要点 有两个：首先，确定点 B 的运动路径是本题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分 析问题的能力；其次，由相似关系求出点 B 运动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷入 坐标关系的复杂运算之

16、中 3. （2013 山东荷泽，14, 3 分）如图所示，在 ABC 中，BC=6, E、F 分别是 AB、AC 的 1 中点，动点 P 在射线 EF 上，BP 交 CE 于点 D，/ CBP 的平分线交 CE 于 Q ,当 CQ= CE 3 时，EP+BP = _. 【答案】12. 【解析】延长 BQ 角射线 EF 于 M. 即 =2 , EM=12. 6 / CBP 的平分线交 CE 于 Q, PBM2 CBM / EM/BC,./ EMB2 CBM / PBM2 EMB - PB=PM 所以 EP+ BP=EM=12. 【方法指导】 本题考查三角形相似、三角形中位线性质、角平分线意义等

17、型问题，解题时要善于从“动中求静，联想关联知识” 三、解答题 1. （ 2013 杭州 4 分）射线 QN 与等边 ABC 的两边 AB, BC 分别交于点 M , N,且 AC/ QN , AM=MB=2cm, QM=4cm.动点 P 从点 Q 出发，沿射线 QN 以每秒 1cm 的速度向右移动，/ E、F 分别是 AB、AC 的中点, EF/BC，即 EM/BC. EM BC EQ CQ .本题是一道动点 （第 14 题） 经过 t 秒，以点 P 为圆心， cm 为半径的圆与 ABC 的边相切（切点在边上），请写出 t 可取的一切值 _ （单位：秒） 【思路分析】求出 AB=AC=BC=4

18、cm, MN=AC=2cm,/ BMN =Z BNM = Z C= / A=60 ，分为 三种情况：画出图形，结合图形求出即可； 【解析】 ABC 是等边三角形， AB=AC=BC=AM + MB=4cm,/ A= / C=Z B=60 , / QN / AC, AM = BM . N 为 BC 中点， MN=AC=2cm，/ BMN= / BNM= / C=Z A=60 , 分为三种情况：如图 1, 当O P 切 AB 于 M 时，连接 PM : 则 PM ；cm,/ PM M=90 , / PMM = BMN=60 , MM=1cm, PM=2MM , QP=4cm 2cm=2cm, 即

19、t=2; B 图 如图 2, 当O P 于 AC 切于 A 点时，连接 FA, 则/ CAP= / APM=90 , / PMA = Z BMN=60 AP=、jgcm, / PM=1cm, / QP=4cm 1cm=3cm, 即 t=3, 当当O P 于 AC 切于 C 点时，连接 PC , 则/ CPN = / ACP =90 Z PNC= / BNM=60 CP，= cm, / P N=1cm / QP=4cm+2cm+1cm=7cm 即当 3WW7时，O P 和 AC 边相切； 如图 1 图3 当O P 切 BC 于 N 时，连接 PN3 贝 U PN，= cm Z PM NN=90

20、vZ PNN Z BNM=60 NN=1cm PN=2NN =2m / QP=4 cm+2 cm+2cm=8 cm 即 t=8; 故答案为：t=2 或 3t7或 t=8. 【方法指导】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，含 30 度角的直角 三角形性质，切线的性质的应用， 主要考查学生综合运用定理进行计算的能力， 注意要进行 分类讨论啊. 2. （ 2013 湖北孝感，25, 12 分）如图 1已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 BC 上, 若Z AEF=90 且 EF 交正方形外角的平分线 CF 于点 F. （1 ）图 1 中若点 E 是边 BC 的中点，我们可

21、以构造两个三角形全等来证明 AE=EF，请叙述 你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明） ； （2）如图 2,若点 E 在线段 BC 上滑动（不与点 B C 重合）. AE=EF 是否总成立？请给出证明； 2 在如图 2 的直角坐标系中，当点 E 滑动到某处时，点 F 恰好落在抛物线 y= x +x+1 上, 求此时点 F 的坐标. 次函数综合题. :综合题. :(1)取 AB 的中点 G,连接 EG,利用 SSS 能得到AGE与 AECF 全等; (2) 在 AB 上截取 AM=EC，证得 AAME ECF 即可证得 AE=EF ; 过点 F 作 FH 丄 x轴于 H，根据

22、FH=BE=CH 设 BH=a，则 FH=a - 1，然后表示出点 2 F 的坐标，根据点 F 恰好落在抛物线 y= - x+x+1 上得到有关 a 的方程求得 a 值即可 求得点 F的坐标； 解答：(1)解：如图 1,取 AB 的中点 G,连接 EG. AGE 与 AECF 全等. (2)若点 E 在线段 BC 上滑动时 AE=EF 总成立. 证明：如图 2,在 AB 上截取 AM=EC . / AB=BC , BM=BE , MBE 是等腰直角三角形， / AME=180 - 45135 又 CF 平分正方形的外角， / ECF=135 / AME= / ECF . 而/ BAE+ / A

23、EB= / CEF+ / AEB=90 / BAE= / CEF , AME BA ECF . AE=EF . 过点 F 作 FH 丄 x轴于 H , 由知，FH=BE=CH , 设 BH=a，贝 U FH=a - 1, 点 F 的坐标为 F ( a, a - 1) 2 点 F 恰好落在抛物线 y= - x +x+1 上, -a- 1 = - a +a+1, - a2=2，自(负值不合题意，舍去)， 旷 1 迈-1. .点 F 的坐标为 F (氏，伍一 1). 点评：本题考查了二次函数的综合知识，题目中涉及到了全等的知识，还渗透了方程思想 , 是一道好题. 3( 2013 济宁，23, ?分)

24、如图，直线 y= x+ 4 与坐标轴分别交于点 A、B，与直线 y=x 交 于点 C.在线段 OA 上,动点 Q 以每秒 1 个单位长度的速度从点 0 出发向点 A 做匀速运动， 同时动点 P 从点 A出发向点 0 做匀速运动，当点 P、Q 其中一点停止运动时，另一点也停 止运动.分别过点 P、Q 作 x轴的垂线，交直线 AB、0C 于点 E、F，连接 EF .若运动时间 为 t 秒，在运动过程中四边形 PEFQ 总为矩形(点 P、Q 重合除外). (1) 求点 P 运动的速度是多少？ (2 )当 t 为多少秒时，矩形 PEFQ 为正方形？ (3)当 t 为多少秒时，矩形 PEFQ 的面积 S

25、 最大？并求出最大值. 考点：一次函数综合题. 分析：(1)根据直线 y= x+ 4 与坐标轴分别交于点 A、B,得出 A,B 点的坐标，再利用 EP/ B0, 得出I = J =，据此可以求得点 P 的运动速度； AO AP (2) 当 PQ=PE 时，以及当 PQ=PE 时，矩形 PEFQ 为正方形，分别求出即可； (3) 根据(2)中所求得出 s 与 t 的函数关系式，进而利用二次函数性质求出即可. 解答：解：(1)：直线 y= x + 4 与坐标轴分别交于点 A、B, x=0 时，y=4, y=0 时，x=8 , 当 t 秒时，QO=FQ=t，贝 U EP=t, / EP / BO,.

26、二亠=, AP=2t, AO AP 动点 Q 以每秒 1 个单位长度的速度从点 O 出发向点 A 做匀速运动， 点 P 运动的速度是每秒 2 个单位长度； (2) 如图 1,当 PQ=PE 时，矩形 PEFQ 为正方形， 则 OQ=FQ=t, PA=2t,. QP=8 t 2t=8 3t,. 8-3t=t，解得：t=2, 如图 2,当 PQ=PE 时，矩形 PEFQ 为正方形， / OQ=t, PA=2t, OP=8 2t, QP=t( 8 2t) =3t 8, t=3t 8，解得：t=4; (3) 如图 1,当 Q 在 P 点的左边时， / OQ=t, PA=2t, QP=8 t 2t=8

27、3t, 当 t= =时， 2X ( -3) 。 的最大值为 4X ( -3) X0 - 82=4 S矩形PEFQ的最大值为： =4 , 如图 2,当 Q 在 P 点的右边时， / OQ=t, PA=2t, QP=t ( 8 2t) =3t 8, S 矩形 PEFQ=QP?QE= ( 3t 8) ?t=3t 8t, 当点 P、Q 其中一点停止运动时，另一点也停止运动， 0W4 当 t= =时，S矩形PEFQ的最小， t=4 时，S矩形PEFQ的最大值为：3 42 8 X4=16, 综上所述，当 t=4 时， S矩形PEFQ 的最大值为：16.4X ( - 3) 论得出是解题关键. 4. (201

28、3 潍坊，24, 13 分)如图，抛物线 y=ax bx c关于直线x“对称，与坐标 点D 2, |在抛物线上，直线是一次函数 0，使直线 PM 与 PN 关于 y 轴对称，过点 M、N 分别向 y 轴作垂线 MM1、NN1,垂足分别为 MN1，因为/ MPO = / NPO，所以 Rt MPM 1s Rt NPN1, 不妨设 M(XM , yM)在点 N(XN, yN)的左侧，因为 P 点在 y 轴正半轴上, 则(1)式变为一x 二 t，又 yM = k XM 2, yN = k XN 2, XN t - yN 所以(t+ 2) (XM + XN) = 2k XM XN,(2) 把 y= k

29、x 2(k丰0)代入y = -丄x2中，整理得 x2+ 2kx 4 = 0, 2 所以 XM + XN = 2k, XM XN = 4,代入(2)得 t = 2,符合条件， 故在 y 轴上存在一点 P (0, 2),使直线 PM 与 PN 总是关于 y 轴对称. 考点：本题是一道与二次函数相关的压轴题， 综合考查了考查了二次函数解析式的确定， 函所以 MM1 NN1 PM1 PN1 (1) 数图象交点及图形面积的求法， 三角形的相似，函数图象的平移，一元二次方程的解法等知 识，难度较大. 点评：本题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件与性质以及 质点运动问题、分类讨论思

30、想于一体的综合题，能够较好地考查了同学们灵活应用所学知识， 解决实际问题的能力。问题设计富有梯度、由易到难层层推进，既考查了知识掌握，也考查 了方法的灵活应用和数学思想的形成。 5 . (2013 湖北宜昌，22, 12 分)如图 1,平面之间坐标系中，等腰直角三角形的直角边 BC 在 x轴正半轴上滑动，点 C 的坐标为(t, 0),直角边AC=4 , yi=ax (x - t) (a 为常数，a0)，该抛物线与斜边 AB 交于点 E, 当三角板滑至点 E 为 AB 的中点时，求 t 的值； (3)直线 OA 与抛物线的另一个交点为点 D，当 t$羞+4 , |y2 - yi|的值随 x的增大

31、而减小, 当 x 目+4时，|y2- yi|的值随 x的增大而增大，求 a 与 t 的关系式及 t 的取值范围. 考点： 分析：(1)根据题意易得点 A 的横坐标与点 C 的相同，点 A 的纵坐标即是线段 AC 的长度; 把点 A 的坐标代入直线 OA 的解析式来求 k 的值； (2)求得抛物线 yi的顶点坐标，然后把该坐标代入函数 y= ：-,若该点满足 函数解析式 y= J,即表示该顶点在函数 y= J 图象上；反之，该顶点不在 函数 y= 图象上； 如图 1,过点 E 作 EK 丄 x轴于点 K.贝 y EK 是 AACB 的中位线，所以根据三角形 中位线定理易求点 E 的坐标，把点 E

32、 的坐标代入抛物线 yi =x (x- t)即可求得 t=2 ; (3) 如图 2，根据抛物线与直线相交可以求得点 D 横坐标是1 +4 则 t+4= 1 +4, at at 由此可以求得 a 与 t 的关系式. 经过 直线 O, C 两点做抛物线 OA : y2=kx ( k 为常 4) ,k= (k0) ; 请你验证：抛物线 yi=ax (x - t) 的顶点在函数 y= -7的图象上; 二次函数综合题. (t. (2)随着三角板的滑动，当 a=时: 解答：解：(1)：点 C 的坐标为(t, 0),直角边 AC=4 , 点 A 的坐标是(t, 4). 又直线 0A : y2=kx (k 为

33、常数，k0), 4=kt，则 k= ( k 0). 十 2 (2)当 a=时，yi=x (x - t),其顶点坐标为(，- 丄). 16 对于 y= 厶.来说，当 x=时，y= = - 1 ，即点(，-1 )在抛物线 y= -r 4X 4 4 16 16 卩 上. 故当玄=时，抛物线 yi=ax (x -1)的顶点在函数 y= 广的图象上； 如图 1,过点 E 作 EK 丄 x轴于点 K. / AC 丄 x轴， AC / EK. 点 E 是线段 AB 的中点， K 为 BC 的中点， EK 是ACB 的中位线， EK=AC=2，CK=BC=2， E (t+2，2). .点 E 在抛物线 y 仁

34、 x (x- t) 上, ( t+2) (t+2 - t) =2， 解得 t=2 . (3) 如图 2，- 4 r ， 贝 U x=ax (x - t)， y=ax (x _ t) 解得 x=+4，或 x=0 (不合题意，舍去). Nt 故点 D 的横坐标是亠+t. at d 4 当 x= +t 时，|y2 - yi|=0，由题意得 t+4= +t， at at 解得 a= (t 0). =axfx-t/ 点评：本题考查了坐标与图形的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数与二次函数 交点坐标等知识点解题时，注意 数形结合”数学思想的应用. .(2013 湖南郴州，25, 10 分)如图，

35、ABC 中，AB=BC , AC=8 , tanA=k , P 为 AC 边上 一动点，设 PC=x，作 PE/ AB 交 BC 于 E, PF / BC 交 AB 于 F. (1) 证明：APCE 是等腰三角形； (2) EM、FN、BH 分别是 APEC、AAFP、AABC 的高，用含 x和 k 的代数式表示 EM、FN, 并探究 EM、FN、BH 之间的数量关系； (3) 当 k=4 时，求四边形 PEBF 的面积 S 与 x的函数关系式.x 为何值时，S 有最大值？ 并求出 S 的最大值. 考点：等腰三角形的判定与性质；二次函数的最值；解直角三角形. 分析：(1)根据等边对等角可得/

36、A= / C,然后根据两直线平行，同位角相等求出/ CPE= / A,从而得到/ CPE= / C ,即可得证； (2) 根据等腰三角形三线合一的性质求出CM=CP ,然后求出 EM,同理求出 FN、 BH 的长，再根据结果整理可得 EM+FN=BH ； (3) 分别求出 EM、FN、BH ,然后根据 SAPCE, SAAPF, SAABC ,再根据 S=SZABC - SAPCE- SAAPF ,整理即可得到 S 与X的关系式，然后利用二次函数的最值问题解答. 解答：(1)证明：T AB=BC , / A= / C, / PE/ AB , / CPE=Z A , / CPE=Z C, PCE

37、 是等腰三角形； (2)解：TA PCE 是等腰三角形，EM 丄 CP, CM=CP= , tanC=tanA=k , l-Y EM=CM ?tanC=?k=, 2 同理：FN=AN ?tanA= ?k=4k- 2 2 由于 BH=AH ?tanA= 8?k=4k , 而 EM+FN= +4k - =4k , 2 2 EM+FN=BH ; (3)解：当 k=4 时，EM=2x , FN=16 - 2x, BH=16 , I 2 2 所以，SMCE=X?2X=X , SAPF= (8 - x) ? (16 - 2x) = (8 - x) , SBC = 8 XI6=64, S=SZABC SZP

38、CE S/APF, =64 - X -( 8 - X), 2 =-2X +16X, 2 配方得，S=- 2 ( X - 4) +32 , 所以，当X=4 时，S 有最大值 32. 点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，锐角三角函数，二次函数的最 值问题，表示出各三角形的高线是解题的关键，也是本题的难点. 8 . (2013 湖南郴州， AB=1 , AO=2 , OC=3，以 O 为原点，OC、OA 所在直线为轴建立坐标系.抛物线顶点为 且经过点 C .点 P 在线段 AO 上由 A 向点 O 运动，点 O 在线段 QD 丄 OC 交 BC 于点 D, OD 所在直线与抛物线在

39、第一象限交于点 (1) 求抛物线的解析式； (2) 点 E是 E 关于 y 轴的对称点，点 Q 运动到何处时，四边形 (3) 点 P、Q 分别以每秒 2 个单位和 3 个单位的速度同时出发，运动的时间为 为何值时，PB / OD ? 考点： 分析：(1)根据顶点式将 A, C 代入解析式求出 a 的值，进而得出二次函数解析式； (2)利用菱形的性质得出 AO 与 EE 互相垂直平分，利用 E 点纵坐标得出X的值，进 而得出 BC , EO 直线解析式，再利用两直线交点坐标求法得出 Q 点坐标，即可得出 答案； (3)首先得出APB QDO，进而得出塑=迪，求出 m 的值，进而得出答案. DQ

40、Q026, 10 分)如图，在直角梯形 AOCB 中，AB / 0C ,/ AOC=90 A, 0C 上由 C 向点 O 运动， E. OEAE 是菱形？ t 秒，当 t 二次函数综合题. o),在抛物线上, y= - X* 2+2 ； Q 点 E 为(2, 1), 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，把 B (1, 2) , C (3, 0),代入得: (k+b=2 13k+b=0 解得：产-1, lb=3 BC 的解析式为：y= - x+3 , 将 E 点代入 y=ax，可得出 EO 的解析式为：y= x, 3 42 y=- x+3 27-972 * 1 Q 点坐标为： ：,0), 7

41、 当 Q 点坐标为( 二 0)时，四边形 7 (3) 法一：设 t 为 m 秒时，PB/ DO，又 QD / y 轴，则有/ APB= / AOE= / ODQ , 又/ BAP= / DQO，则有 AAPBQDO , J = -I1 Q0 DQ, 由题意得：AB=1 , AP=2m , QO=3 - 3m, 又点 D 在直线 y= -x+3 上， DQ=3m , 因此：一=厶，解得：m=, 3 3n)3ir 经检验：m=是原分式方程的解， 当 t=秒时，PB / OD . 法二：作 BH 丄 OC 于 H，贝 U BH=AO=2 , OH=AB=1 , HC=OC - OH=2 , BH=H

42、C，/ BCH= / CBH=45 易知 DQ=CQ , 设 t 为 m 秒时 PB / OE,贝 U ABP QOD , 2IT= 1 Sir 3 _ 3m 解得 m=,经检验 m=是方程的解, 当 t 为秒时，PB / OD .得：， OEAE 是菱形; AP=AB J uJ ,易知 AP=2m , DQ=CQ=3m , QO=3 3m , A B K / 0 26 点 此题主要考查了菱形的判定与性质以及顶点式求二次函数解析式以及相似三角形的 评： 判定与性质等知识，根据数形结合得出 APB QDO 是解题关键. 9. . (2013 湖南娄底，25, 10 分)如图，在 ABC 中，/

43、B=45 BC=5，高 AD=4，矩形 EFPQ 的一边 QP 在 BC 边上，E、F 分别在 AB、AC 上, AD 交 EF 于点 H. (1 )求证：二 AD_BC (2) 设 EF=x，当 x 为何值时，矩形 EFPQ 的面积最大？并求出最大面积； (3) 当矩形 EFPQ 的面积最大时，该矩形 EFPQ 以每秒 1 个单位的速度沿射线 DA 匀速向 上运动(当矩形的边 PQ 到达 A 点时停止运动)，设运动时间为 t 秒，矩形 EFPQ 与ABC 重叠部分的面积为 S,求 S 与 t 的函数关系式，并写出 t 的取值范围. 考点：; 相似形综合题. 分析： (1) 由相似三角形，列出

44、比例关系式，即可证明； (2) 首先求出矩形 EFPQ 面积的表达式，然后利用二次函数求其最大面积； (3) 本问是运动型问题，要点是弄清矩形 EFPQ 的运动过程： (1)当 0E电时，如答图 所示，此时重叠部分是一个矩形和一个梯形； v 解答： (1) 证明：矩形 EFPQ, AH AF EF/ BC，二 AHF ADC，二 . , AD AC / EF / BC , AEF ABC , u , BC AC 肌EF 矿 BC， (2) 解：/ B=45 BD=AD=4 , CD=BC - BD=5 - . / EF/ BC , AEH ABD 三 AD_BD / EF / BC AFH s

45、 ACD，二二 AD-CD ，即： ， EH=4HF , BD_CD 4 _ 1 已知 EF=x，则 EH=x . / B=45 EQ=BQ=BD - QD=BD - EH=4 - x. 2 2 S 矩形 EFPQ=EF?EQ=X? (4 - x) = - x +4x= -( x -) +5 , 当X=时，矩形 EFPQ 的面积最大，最大面积为 5. (3)解：由(2)可知，当矩形 EFPQ 的面积最大时，矩形的长为，宽为 4 - X=2 . 在矩形 EFPQ 沿射线 AD 的运动过程中： (I) 当 0E电时，如答图所示. 答图 设矩形与 AB、AC 分别交于点 K、N，与 AD 分别交于点

46、 此时 DD i=t, H 1D1=2 , - HDI=HD - DD1=2 - t, HH1=H1D1- HDi=t, AH1=AH - HH1=2 - t, S=S 梯形 KNFE+S 矩形 EFPIQI= ( KN+EF ) ?HHi+EF?EQi =(2 -t) + Xt+ (2 - t) (II )当 2v t 詔时，如答图所示.，即匚，得 KN= (2-t). 2 设矩形与 AB、AC 分别交于点 K、N，与 AD 交于点 D?. 此时 DD2=t, AD 2=AD - DD2=4 - t, KN / EF，二二，即 L _，得 KN=5 - t. EF AH 5 2 2 S=SZ

47、AKN =KN ?AD2 =(5 - t) (4 - t) 2 =t2 - 5t+10 . 综上所述，S 与 t 的函数关系式为: -霁+5 (0t C C， 即 A3 CF 的周长大于 APCE 的周长.) 如答图所示，连接 C E, Q E F C Q c E 3 C D 1 点评: C 的坐标为（4, 5）; C关于 x轴对称，.点 C的坐标为（-1 , 0）. C 作 CN 丄 y 轴于点 N，贝 U NC =4 , NC =4+1+ 仁6 ：x=2 ： 本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、 等腰直角三角形、勾股定理、轴对称的性质等重要知识点，涉及

48、考点较多，有一点的 难度.本题难点在于第 （4）问，如何充分利用轴对称的性质确定 APCF 周长最小时的 几何图形，是解答本题的关键. C, C关于直线 QE 对称，AQCE 为等腰直角三角形, QC E 为等腰直角三角形， CEC 为等腰直角三角形， 点 - C, 过点 在 RtC NC中，由勾股定理得：C C=农.十一.，二= =,=. 综上所述，在 P 点和 F 点移动过程中， APCF 的周长存在最小值，最小值为，下. 2 11. (2013 上海市，24, 12 分)如图 9,在平面直角坐标系 xoy中，顶点为M的抛 Sf H Af 3 3 0) 优人 y= as 4- bx J 霉

49、 備=2 出 3 2 厉 物线y =ax?+bx(a AO)经过点A和x轴正半轴上的点 B，AO = OB = 2，ZAOB =120 . (1) 求这条抛物线的表达式； (2) 联结OM，求.AOM的大小； 3)如果点C在x轴上，且 ABC与厶AOM相似，求点C的坐标. 设点 C的坐则根据空怖和勾腔宦理.胃 解* (1)如图，过点兴柞入:丄丁轴干点 3 P/ ZAOB-12? .ZAOD-JO:. .AD-id CD历* 4a + Zb = 0 二这莽抛物蛭前磁式为 y 邑一或 3 3 诅乏1作圧丄 55 辄千点乙 *苗屮収JJ-沖*Ji 3 3 3 3 (1.-退 h ffOE-L EM迴

50、 3 3 A taiZEPM- 兰.ZEPM-JO0, OE 3 /- ZAOM ZAOB + ZEPM -3 50 . 过点 AH 丄孟韶汙点 H .*AH7 HB-HO+OB-J, 箸伞 .ABH = 30 r : Z-AOM ZAB C 求点 A,B,C 的坐标。 当点 P 在线段 OB 上运动时，直线 l 分别交 四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形 （3）当点 P 在线段 EB 上运动时，是否存在点 Q , 接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由。 -3x- 4 = 0 ,解得， 2 (1) (2) 解析：（1）当 y=0 时, 点 B 在点 A 的右侧， 点 A,B

51、 的坐标分别为： 当 x=0 时，y=-4 点 C 的坐标为（0, -4） （2 ） 由菱形的对称性可知, (-2, 占 八设直线 BD 直线 BD 0), (8, 0) BD , BC 于点 M,N。试探究 m 为何值时, CQBM 的形状，并说明理由。 使厶 BDQ 为直角三角形，若存在，请直 X =-2,X2 =8 D 的坐标为（0, 4）. ?b = 4 的解析式为 y= kx+ b,贝 U i .解得, ?8k+b = 0 1 k= - 一 , b=4. 2 1 的解析式为y = -x+4. 2 1 点 M , Q 的坐标分别是（m, -m + 4）, 2 如图，当 MQ=DC 时，

52、四边形 CQMD 是平行四边形. (m, 1m2-3m-4) 4 一 亜 i*D-S_ /.Cs (B. Oh 2v3 综上所述*如樂点C在X铀上.且4911Z则点X的坐标曲Mr 0）或（岳 【需（W二秋函除球讯S，鋭博三角駛烹二特5蔽诃三第函撤M上点前坐标局方程的关岳二is：函敷的 ttfr.也绘定理怕惊三第乐的判左分曲甩理盟 【分析】 翅用三角朗数求出点A的坐薛 胃缶3賀坐广匕丫釧+咖，即可求得 %丛而求得抛愉娃 的超式. o 施用二辻函熬的性为.求出肖胡巧至标从而求码VEPMH却* 谨而宋帯們大小. （?）由TZAOM-ZABCP恨据相册三弟彤的和氢 AO_M 丝-空荷沖忸况讨谊. AB

53、 BC BC AB 12. （2013 山西，26, 14 分）综合与探究：如图，抛物线y=x2 4 两点（点 B在点 A的右侧）与 y轴交于点 C,连接 BDEC,点 P 是 x轴上的一个动点，设点 P 的坐标为 = *- u L L.1 1 G Q中T -X - 4与 x轴交于 A,B 2 BC,以 BC 为一边，点 O 为对称中心作菱形 （m, 0）,过点 P 作 x轴的垂线 l 交抛物线 1. 于占 2 1 1 2 3 ( - m + 4) -( m - m- 4)=4-(-4) 4 化简得：m2-4m = 0.解得，mi=O,(舍去)m2=4. 当 m=4 时，四边形 CQMD 是平

54、行四边形. 此时，四边形 CQBM 是平行四边形. 解法一： m=4,.点 P 是 0B 中点.I丄 x轴， I / y 轴. BP BM 1 BPM BOD. _ = _ = _ BM=DM BO BD 2 四边形 CQMD 是平行四边形， DMCQ. BM 翳 CQ.四边形 CQBM 为平行四边形. 处=-4 1 解法二：设直线 BC 的解析式为 y=k1x+b1，则7 .解得，k1= , b1=-4 ?8k, +Q =0 2 1 直线 BC 的解析式为 y= x-4 2 又Tl 丄 x轴交 BC 于点 N. x=4 时，y=-2. 点 N 的坐标为(4, -2)由上面可知，点 M,Q 的

55、坐标分别为：(4, 2), Q(4,-6). MN=2- (-2) =4, NQ=-2- (-6) =4. MN=QN. 又四边形 CQMD 是平行四边形. DB / CQ , / 3=7 4, 又/ 1 = 7 2 BMN CQN. BN=CN. 四边形 CQBM 为平行四边形. (3)抛物线上存在两个这样的点 Q,分别是 Q1 (-2, 0), Q2 (6, -4). 13. (2013 四川乐山，26, 13 分)如图 1,已知抛物线 C 经过原点，对称轴x=-3与抛物线 相交于第三象限的点 M，与 x轴相交于点 N，且tan ZMON =3。 (1 )求抛物线 C 的解析式； (2)将

56、抛物线 C 绕原点 O 旋转 1800得到抛物线C，抛物线C与 x轴的另一交点为 A , B 为抛物线C上横坐标为 2 的点。 若 P 为线段 AB 上一动点，PD 丄 y 轴于点 D，求 APD 面积的最大值； 过线段 OA 上的两点 E、F 分别作 x轴的垂线，交折线 O B A 于 E F1，再分别 以线段EE1、FF1为边作如图 2 所示的等边 AE1E2、等边 AF1F2，点 E 以每秒 1 个长度单 位的速度从点O 向点 A 运动，点 F 以每秒 1 个长度单位的速度从点 A 向点 O 运动，当 AE1E2有一边与厶 AF1F2 的某一边在同一直线上时，求时间 t 的值。 图 2

57、【答案】給(1) /抛物贮的对称轴为X3, .-.0N-3. V tanZMON3, .*.NM-9. AM (-3. -9). 设抛物线C的解析式为y a(x + 3)29 抛恸幾C经过原点，.() = a(0 +3)2-9,即“1 I抛恂线C的解析式) )y-(x+ 3)2-9.即y-x2 + 6x . (2)抛物线C，由抛物线C 嚴点O旋转ISO：第到， 抛糊娃C，与抛物线C关于原点0对称.拗糊技C，的顶点坐标为( (3, 9) 坳彻线C，的解析式沟y_(3)2.9,即y-x26x. 令yO,得x0或x6,. A (6, 0). 又TB 栅物绕CM坐标沟2的点.令得y-8 BQ, 8).

58、 设直线AB的解析式为v-kx-b, 则烈叫昭产3 2k+b 8 b=12 .直建AB的解析式为尸-2x+ 12 TP为线段A3上一动点，.设P(p,2p+12) -1 p (-2p + 12) p2 + 6p (p - 3)2 + 9 而积的最大值为 9 易求直线 03： y=4x 由直线 AB： y=- 2x+ 12 OE-b EE.-4t, EG-2*t, OG-2的t+t GE：-2ti OF-6t, FFi-2b HF-73t 0H6-t方t, HF：l /.E (b 0), Ei (t, 4t) E： (23t+t, 2t), F (6_t 0).图.分别过仝、三作x轴的垂线.垂定

59、分别为G、H. 当0若壬占？Y.在同一直线上+由6*-b t3”不符仓 UU 2, i；)若 三占 王在同一直壮 易脚 I 追 戸半孕，将，2()代入*希 2 戶( *)-和 瞬痔 -t 计若三三角呼在同一直L匕易卿 E 詁尸-更耳+戰+迈怙将 FdM 代人 3 3 卄竺 2 10 当 2 tW4 时，EF A5 P OE-U E .-12-2tt 三 06 历-伍,OG砧 _血*认 Gz；-C-t, 07-6-i, FF =2tr HF 二厉“ 0H=6-t-t( HF 严 t /，E(t. OL E： (b I2-It)( E:(6-A+t- 6-1 b F ( -l - 0), F, (

60、6-i 2t)* F： (6-t-l, 2 i)君 EW”窃芒.往闾一直上.由：i-3j ：)若 EE.与 F；F：在同尊上，易郴 尸*一导，捋 F, C ：t)代入得 冶更(1)-邑,輛丿 $ )不符皆仅 4 竝)三三与 I FF：已在 0 4 兰 2时在局一直堆上故岂 2 50152, 21/3 c-2 23 箸罟挪. 召.寿.Wftc-8.C： (& 0. 综上颅述.如樂点c在x紬上且厶A3CAAOMAU. me的疚为 g o或(& o). 【夸盘】二次函数嫁合通锐角三角湖貂？、特殊片三角函/值.曙上点的坐昭方程的关系.二次函数的 性甌匂股定理.相似三角形的判定.分类思弋韵应用 【分析】