控制测量学课件第七讲

1、第七讲第七讲 地面观测元素归算至地面观测元素归算至椭球面椭球面 大地主题解算大地主题解算 意义 要求为在椭球面上的计算提供为在椭球面上的计算提供观测元素。观测元素。以椭球面法线为基准线以椭球面法线为基准线以椭球面为基准面以椭球面为基准面椭球面两点连线用大地线椭球面两点连线用大地线 垂线偏差改正AmPu1A1Z法线Z垂线照准线1O度盘零线uOM1RR大地水平面111tan)cossin(cot)cossin(AAzAA计算：量级：一般情况下，垂线偏差的量级约几秒到十几秒，垂直角的量级约为几度，故垂线偏差改正通常约十分之几秒。应用范围：一、二等三角测量，三四等酌情。 标高差改正B90O2NBAaK

2、b1A2ARBK2HbS2212222cos2sin2BAMeH 计算：量级：一般情况：全球最大值为0.75通常为百分之几秒。应用范围：一、二等三角测量，三四等酌情。 截面差改正ABNA1A13计算：量级：一般情况：千分之几秒应用范围：一等三角测量，二至四等不加。112212232sincos12ABNSe 垂线偏差改正标高差改正截面差改正一等二等三等四等加加加三差改正加加不加不加不加酌情酌情酌情酌情确定水平坐标的流程已知坐标（L，B）地面上观测元素布设水平控制网观测平差大地坐标（L，B）推算归算椭球面上的元素水平方向垂直角地面距离大地经纬度大地方位角平面坐标（X，Y）已知坐标（X，Y）高斯平

3、面 的元素归算平差推算水平方向垂直角地面距离平面方位角水平方向垂直角地面距离天文经纬度天文方位角水平坐标公式推导及思路定义将地面两点间的直线斜距归算为椭球面上两点投影点间的大地线将地面两点间的直线斜距归算为椭球面上两点投影点间的大地线长。长。近似公式严密公式公式推导及思路近似公式ARS cos)(2)()(2122212HRHRHRHRDAAAA2sin2ARd 2212122)1)(1 ()(dRHRHHHDAA23242arcsin2AAAARddRdRRS)1)(1 ()(212122AARHRHHHD2sin)1)(1 (4)( 2212212AAARHRHRHHABeNRA222co

4、scos1计算公式：小于60km的精密公式，精确到1mmABDHRDHRRDSmAmAAcos2sin1025. 124216232122)(HHDD)(2121HHHmD D 观测斜距，取至0.001m；H H1 1、H H2 2 测距边两端的大地高，取至0.001m；B B 测距边起点的大地纬度，取至整分；A A 测距边的大地方位角，取至整分；S S 斜距归算至椭球面的大地线长，取至0.001m。仪器高棱镜高2.3.6 椭球面三角形的解算 经过研究表明，当三角形的边长小于经过研究表明，当三角形的边长小于200公里时，将公里时，将椭球面三角形看作以其三个顶点平均纬度处的平均曲率椭球面三角形看

5、作以其三个顶点平均纬度处的平均曲率半径为球半径的球面三角形是完全可以的（两者对应边半径为球半径的球面三角形是完全可以的（两者对应边长相等，对应角之差小于长相等，对应角之差小于0.001）。）。椭球面三角形（边长椭球面三角形（边长200km）以以Rm为半径的球面三角形为半径的球面三角形CRcBRbARasinsinsinsinsinsin2.3.6 椭球面三角形的解算 设一球面三角形设一球面三角形A0B0C0，其三边长为，其三边长为a、b、c，球面，球面角超为角超为 。如果以同样边长。如果以同样边长a、b、c为三边作一平面三角为三边作一平面三角形形 A1B1C1 ，当边长不甚大时，可以证明这两个

6、三角形的，当边长不甚大时，可以证明这两个三角形的三内角间有如下的关系：三内角间有如下的关系： 其中其中 ，为平面三角形的面积，为平面三角形的面积，R为球的半径。为球的半径。 3/3/3/010101CCBBAA1、勒让德定理 3/3/3/010101CCBBAAA0B0C0abcA0B0C0abcA1B1C1abc椭球面三角形椭球面三角形以以Rm为半径的球面三角形为半径的球面三角形虚拟平面三角形虚拟平面三角形0020022sinsin2sinsinCBRCBaRm 1111sinsinsinsinACacABab2、勒让德定理的应用推算椭球面三角形边长解算步骤确定水平坐标的流程已知坐标（L，B

7、）地面上观测元素布设水平控制网观测平差大地坐标（L，B）推算归算椭球面上的元素水平方向垂直角地面距离大地经纬度大地方位角平面坐标（X，Y）已知坐标（X，Y）高斯平面 的元素归算平差推算水平方向垂直角地面距离平面方位角水平方向垂直角地面距离天文经纬度天文方位角水平坐标123412341、已知1 1、2 2两点的大地经纬度B、L ，如何获得椭球面 两点间的大地线长、大地方位角？12)(11,LB)(22,LB1A2A2AS18022AAN大地问题反解大地问题反解2.4 大地主题解算12341234)(11,LB13A13S12)(11,LB)(22,LB1A2ASN2、已知1 1点的大地经纬度B1

8、、L1 ，1 1 、3 3两点间的大地 线长、大地方位角，如何3 3点的大地经纬度B3、L3 ？N大地问题正解大地问题正解2.4 大地主题解算意义：意义：推算未知点的大地坐标；推算未知点的大地坐标；为远程武器提供定位、定向、导航数据。为远程武器提供定位、定向、导航数据。 在椭球面上推算点的大地坐标，或者根据两点的在椭球面上推算点的大地坐标，或者根据两点的大地坐标计算大地线长和大地方位角，这样的计算问大地坐标计算大地线长和大地方位角，这样的计算问题就叫做题就叫做大地问题解算。又叫大地主题解算、大地坐大地问题解算。又叫大地主题解算、大地坐标计算、或大地位置计算。标计算、或大地位置计算。 实质：实质

9、：大地坐标与大地极坐标的相互化算。大地坐标与大地极坐标的相互化算。2.4.1 大地问题解算概述已知已知P1点的大地坐标（点的大地坐标（L1，B1），），P1至至P2点的大地线点的大地线长长S和大地方位角和大地方位角A1，要求，要求算出算出P2点的大地坐标（点的大地坐标（L2，B2）及大地线在）及大地线在P2点处的反点处的反方位角方位角A2，即：，即：L1， B1， S， A1L2，B2，A2大地问题正解已知已知P1点和点和P2点的大地坐点的大地坐标（标（L1，B1）、（）、（L2，B2），计算两点间的大地线），计算两点间的大地线长长S及正反大地方位角及正反大地方位角A1、A2。即：。即：L1，

10、B1，L2, B2S, A1, A2大地问题反解1、 解算公式解算公式短距离（短距离（400km）中距离（中距离（400km1000km）长距离（长距离（1000km20000km）解算距离解算距离精密公式精密公式近似公式近似公式解算精度解算精度幂级数形式幂级数形式投影形式投影形式解算途径解算途径大地线微分方程大地线微分方程大地线的克莱劳方程大地线的克莱劳方程1、 解算公式解算公式 幂级数形式幂级数形式：利用椭球面上大地线及其三个微分：利用椭球面上大地线及其三个微分方程为基础，将大地线两端点的大地经差（方程为基础，将大地线两端点的大地经差（l）、大）、大地纬差（地纬差（b）和大地方位角差（）和

11、大地方位角差（a）展开为）展开为大地线长度大地线长度S的升幂级数式。的升幂级数式。这类公式的这类公式的特点特点在于：解算精度与在于：解算精度与距离有关，距离越长，收敛越慢，甚至不收敛而不能距离有关，距离越长，收敛越慢，甚至不收敛而不能解。因此，这类方法适用于短距离。解。因此，这类方法适用于短距离。代表公式代表公式：勒让勒让德级数德级数 、高斯平均引数公式、高斯平均引数公式 以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础以大地线在大地坐标系中的微分方程为基础，直接在地球椭球面上进行积分运算。，直接在地球椭球面上进行积分运算。212121212121co ssinco stansinPPPPPPABBd

12、SMALLd SNBBAAA d SNc o ss inc o sta ns ind BAd SMd LAd SNBd ABAd SN 勒让德级数勒让德级数 212212111)(ABLSABLP，! 3)(! 2)()(!)(180! 3)(! 2)()(!)(! 3)(! 2)()(!)(31232122111221312321221112312321221112SdSAdSdSAdSdSdAnSdSAdAAASdSLdSdSLdSdSdLnSdSLdLLLSdSBdSdSBdSdSdBnSdSBdBBBnnnonnnnnn 一阶导数推导大一阶导数推导大 地线微分方程地线微分方程类似：二阶

13、导数 三阶导数 代入，即得勒让德级数说明： 大地主题正算的一组公式，适用于边长小于30km； 1806年勒让德提出的； 以大地线端点为出发点展开的，级数收敛慢，计以大地线端点为出发点展开的，级数收敛慢，计 算不方便；算不方便； 1846年高斯进行了改化，以大地线中点为出发点 展开的。ABcVANBdSdAABcVABNdSdLAcVAMdSdBsintansintansinsecsincos1coscos13高斯平均引数高斯平均引数基本思想：基本思想： 在大地线中点在大地线中点 M M展开，收敛快，精度高；展开，收敛快，精度高； 中点中点M M不好求，以两端点平均纬度及平均不好求，以两端点平均

14、纬度及平均 方位角相对应的点方位角相对应的点m m来代替；来代替； 借助迭代法实现。借助迭代法实现。次项541cos3232sin241cos22222222222212mmmmmmmmmmmmmttAtANSASNVBBB2.4.3 高斯平均引数正算公式次项591cossin241sinsec2222222212mmmmmmmmmmtAtANSABSNLLL次项522sin)5972(cos241sin22242222221221mmmmmmmmmmmmmttAtANStASNAAA2.4.4 高斯平均引数反算公式21122211)()(AASBLBL，特点：公式结构简单，收敛快，精度高，无需迭代。2274135cossin303221013302120130322101页符号见、StrLtLBtLtABSLBSBSA