第二章随机变量及其分布

1、第二章 随机变量及其概率分布教学要求1理解随机变量及其分布函数的概念；2理解离散型随机变量及其分布律的概念；3掌握较简单的离散型随机变量的分布律的计算；4掌握两点分布、二项分布与泊松分布；5掌握连续型随机变量及其概率密度函数的概念、性质及有关计算。6掌握均匀分布、指数分布及其计算。7熟练掌握正态分布及其计算；8了解随机变量函数的概念，会求简单随机变量函数的概率分布。重点随机变量的分布律与概率密度函数的概念、性质和计算，随机变量函数的分布，几种常用分布。难点随机变量的分布律、概率密度函数，随机变量的函数的分布律、分布函数、概率密度函数。§2.1 一维离散型随机变量一、基本概念知识点精讲

2、1.一维离散型随机变量的分布及分布律 （1）离散型随机变量：若随机变量X只取有限多个或可列无限多个值，则称X为离散型随机变量。 （2）分布律： XP 或（3）性质： 2.常用的离散型分布（1）0-1分布 分布律 : X 0 1 P 其中 为事件A出现的概率，0<p<1.（2）二项分布 在n重伯努利试验中，每次试验事件A出现的概率为p，X表示在n次试验中事件A出现的次数，X的分布律为： 当n足够大时，随机变量X也服从的泊松分布。（3）泊松分布 分布律为：3.离散型随机变量函数的分布设X为离散型随机变量，其概率分布为XP 则的概率分布为：（1）当的各值互不相等时，的概率分布为：（2）当

3、的各值不是互不相等时，应把相等的值分别合并，并相应地将其概率相加。例如，则的概率分布为： 题型归纳及解题技巧例1.设随机变量X的概率分布为（）（关于分布律性质）X0123P0.20.3k0.1则k=（ ）A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4解：选。因为，故，得。例2设离散型随机变量X的分布律为 （关于离散型随机变量概率求法）X-2 1 1 2P0.1 0.2 0.3 0.4 则P-1<X1=（ ）A0.3B0.4C0.6D0.7解：选AP-1<X1=PX=1=0.3例3.已知随机变量X的分布律为 X-4-212 3 4P0.20.10.150.3 0.1 0.15 则P-2&l

4、t;X4 =( ) （关于离散型随机变量概率求法）A.0.2B.0.7C.0.55D.0.8解：选。例4已知离散型随机变量X的概率分布如下表所示：X-1012 4P0.10.20.10.2 0.4则下列概率计算结果正确的是( ) （关于离散型随机变量概率求法）AP(X=3)=0BP(X=0)=0CP(X>-1)=lDP(X<4)=l解：选A。其他选项正确的结果应为：BP(X=0)=0.2；CP(X>-1)=0.9DP(X<4)=0.6例5掷一枚均匀的骰子，记X为出现的点数，则P2<X<5=_.解：X的分布律为：X1 2345 6P1/6 1/61/61/61

5、/6 1/6P2<X<5=1/3.例6.将一枚骰子连掷两次，以X表示两次出现的最小点数，求X的分布律。（关于求离散型随机变量的分布律）解：一枚骰子连掷两次，所有可能情况为：（1,1），（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）（2,1），（2,2）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）（3,1），（3,2）（3,3）（3,4）（3,5）（3,6）（4,1），（4,2）（4,3）（4,4）（4,5）（4,6）（5,1），（5,2）（5,3）（5,4）（5,5）（5,6）（6,1），（6,2）（6,3）（6,4）（6,5）（6,6）以X表示两次出现的最小点数，X的所有可能取值

6、为1,2,3,4,5,6X的分布律为X1234 5 6P 例7.抛一枚质地不均匀的硬币，每次出现正面的概率为，连续抛掷8次，以X表示出现正面的次数，求X的分布律。（关于求离散型随机变量的分布律）解：8次抛硬币，每次出现正面的概率为，可以看成是8次伯努利试验，X表示出现正面的次数，则X服从n=8,p=二项分布，故X的分布律为： 例8设随机变量XB(3，0.4)，则PX1=( ) （关于二项分布）A.0.352B.0.432C.0.784D.0.936解：，则，例9.在时间0，T内通过某交通路口的汽车数X服从泊松分布，且已知P(X=4)=3P(X=3)，则在时间0，T内至少有一辆汽车通过的概率为_

7、.（关于泊松分布）解：若，则X的分布律为P(X=4)=3P(X=3)， ，则则在时间0，T内至少有一辆汽车通过的概率为。例10.设随机变量X服从参数为3的泊松分布，则PX=2=_（关于泊松分布）解：，则X的分布律为则。例11.设袋中有依次标着-2,-1,1,2,3,3数字的6个球,现从中任取一球,记随机变量X为取得的球标有的数字,求:(1)X的概率分布;(2)Y=X2的概率分布. （关于离散型随机变量函数的分布）解：(1)X的分布律为X-2-112 3P1/61/61/61/6 1/3(2)Y的分布律为Y14 9P1/31/3 1/3例12.设随机变量X的分布律为 X-4-212 3P0.20

8、.10.20.3 0.2 记Y=X2，则PY=4=_.（关于离散型随机变量函数的分布）解：PY=4= PX=-2+PX=2=0.1+0.3=0.4§2.2分布函数知识点精讲1.分布函数定义 随机变量X的分布函数性质：（1） （2）（单调不减） （3） x x （4）（右连续） 2.用分布函数表示区间上的概率（1） （2），其中（3）3.离散型随机变量的分布函数 题型归纳及解题技巧例1.下列函数中可作为随机变量分布函数的是（ ）（分布函数的性质）ABCD解：选C。可用排除法。由分布函数的取值范围，可排除B，D。由分布函数的单调不减性质，可排除A。例2.设随机变量XB（1，0.8）（二项

9、分布），则X的分布函数为_.（离散型随机变量的分布函数）解：，X的分布律为 X 0 1 P 0.2 0.8 则X的分布函数为例3. 设随机变量X的分布律为 X12 3P0.20.3 0.5求X的分布函数。（离散型随机变量的分布函数）解： X的分布函数为例4.设随机变量X的分布函数为F(x)，已知F(2)=0.5，F（-3）=0.1，则PX-3= P-3<X2=_，PX>2= （利用分布函数求概率）解：PX-3= F(-3)=0.1P-3<X2=F(2)-F(-3)=0.4PX>2 =1- F(2)=0.5例5.设随机变量X的分布函数为求：(1)常数a,b;(2)P-1&

10、lt;X1 (求分布函数所含未知数)解：(1)利用分布函数的性质可得,，(2) P-1<X1=F(1)-F(-1)=§2.3 一维连续型随机变量一、基本概念1.连续型随机变量的分布及概率密度知识点精讲（1）概率密度（2）性质 （对于任意的x，）为的连续点，其中分布函数 题型归纳及解题技巧例1.设下列函数的定义域均为（-，+），则其中可作为概率密度的是( ) （密度函数性质）A. f (x)=-e-xB. f (x)=e-xC. f (x)=D. f (x)=解： 选。A不满足密度函数性质由于，B选项选项选项例2.设X是连续型随机变量，则PX=5=_.（密度函数性质）解因为X连续

11、型随机变量，在任意点的概率都为0，故PX=5=0.例3.设随机变量X的概率密度为f(x)=则常数c=_. （求连续型随机变量密度函数中的未知数）解：由于 ： 例4.设随机变量X的概率密度为f (x)=则常数c=( )（求连续型随机变量密度函数中的未知数）解：由于 例5.设随机变量X的概率密度为f (x)=则P0X=( ) （连续型随机变量的概率计算）解： 例6. 设某种晶体管的寿命X（以小时计）的概率密度为 f(x)=（1）若一个晶体管在使用150小时后仍完好，那么该晶体管使用时间不到200小时的概率是多少？（2）若一个电子仪器中装有3个独立工作的这种晶体管，在使用150小时内恰有一个晶体管损

12、坏的概率是多少？（连续型随机变量的概率计算）解：设A=晶体管使用时间超过150小时 B=晶体管使用时间不到200小时 AB=晶体管使用时间超过150小时不到200小时 （1）所求概率为PB|A。 （2）晶体管使用时间不超过150小时的概率为： 3个独立工作的晶体管中恰有一个150小时损坏的概率为： 2.常用的连续型分布知识点精讲（1）均匀分布概率密度函数概率的计算方法：若，则（2）指数分布概率密度函数概率的计算方法：（3）正态分布 一般正态分布概率密度函数 其中和均为常数。mO标准正态分布概率密度函数若， ，则是标准正态分布。概率的计算方法：时，可查标准正态分布表时，可直接查表；时，可利用性质

13、时，时，X的分布函数特别时， 题型归纳及解题技巧例7已知连续型随机变量X服从区间a，b上的均匀分布，则概率( )（均匀分布）A0BC D1解：选B。因为，所以例8.设随机变量XN(1，4)，F(x)为X的分布函数，(x)为标准正态分布函数，则F(3)=( ) （正态分布）A.(0.5)B.(0.75)C.(1)D.(3)解：选C。例9设随机变量XN(1，32)，则P-2 X 4=_(附：=0.8413) （正态分布）解：例10.设随机变量XN(10，)，已知P(10<X<20)=0.3，则P(0<X<10)=_. （正态分布）解：由正态分布的对称性，可知P(0<X

14、<10)= P(10<X<20)=0.3，又 例11.设随机变量XN(0，42)，且PX >1=0.4013，(x)为标准正态分布函数，则(0.25)=_. （正态分布）解： 所以例12.设随机变量X的分布函数为F(x)=则当x>0时，X的概率密度f (x)=_. （已知F(x)，求f(x)）解： 故当x>0时，X的概率密度f (x)=.例13设连续型随机变量X的概率密度为则当时，X的分布函数F(x)= _（已知f(x)，求F(x)）解：当时，X的分布函数F(x)=例14.设随机变量X的概率密度为f(x)，且f(-x)=f(x),F(x)是X的分布函数，则对任意的实数a，有（）(分布函数)A.F(-a)=1-B.F(-a)=C.F(-a)=F(a)D.F(-a)=2F(a)-1解：选B。-aaOxf(x)由f(-x)=f(x)，随机变量X的概率密度为f(x)关于y轴对称， 例15设随机变量X的概率密度函数为求（1）求知参数k；（2）概率P(X>0)；（3）写出随机变量X的分布函数.(综合)解：（1）（2）（3） 时，； 时， 时，3.连续型随机变量函数的分布 （1）方法一（公式法）设