2013中考数学冲刺专题10几何计算问题人教新课标版解析

1、用心爱心专心12013 中考冲刺数学专题 10几何计算问题【备考点睛】几何计算问题常见的有：求线段的长、求角的度数，、求图形的面积等。研究几何图形 及其和相关的问题时，“几何计算”具有广泛的意义：一、几何图形的大小及形状、 几何图形间的位置关系， 在许多时候本来就需要运用相关 的数量来表示，无疑地就会涉及到几何量的计算；二、当我们注重研究图形的动点问题，图形的变换及运动问题， 在坐标系里研究图形的一些问题时，就愈是不可避免地要借助几何量的计算；三、那些基于实际而模型化为几何图形的应用类问题，更是必须依靠几何量的计算来解决。几何计算是深入研究图形性质和图形间关系的重要手段，是用代数形式刻划变动中

2、图形性质的主要凭借。也就是说，许多以图形为基础的研究性问题，许多几何与代数相结合的问题，许多图形的变换及其它形式运动的问题，都是以计算为基础，为依据，为桥梁。因此几 何计算问题就成了中考中不得不考的一类问题，在填空选择各类题型中都可以体现，且往往会多处出现。【经典例题】类型一、 用解直角三角形的知识进行几何计算 例题 1 如图， 在Rt ABC中， .ACB =90，AC =BC =1。将ABC绕点C逆时针 0 求BD的长。解答：分析：注意到B = 45 ,若作DG _CB于点G如图（1 ）则 可得Rt：DBG中，D（=BG同时在Rt CDG 中，DCG =30， 而CB=1，从而可构造关于B

3、D的方程，求得其值。解：如图（2），作DG_CB于点G,设BD=X，B=45,DG二BGBD2DCGrpCB=30，CGBG=CB=1,即x x =1,解得x二Rt DGB中,在Rt DCG中,CG = . 3DGO用心爱心专心2“J6 J2BD的长为2例题 2如图，在等腰梯形ABCDKAB/CD AD=BC延长AB到E,使BE=DQ连结CECD 2若AF _ CE于点F,且 AF 平分乙DAE ,求sin CAF的值。AE 5 A =45 , D =30，斜边AB =6cm, DC = 7cm,把三角板DCE绕点C顺时针旋转 15得到DCE如图(2),这时AB与CD相交于点O,DE与 AB

4、相交于点 F。(1) 求一OFE的度数；(2) 求线段AD的长；(3) 若把三角形DCE绕着点 C 顺时针再旋转 30得到DCE，这时点 B 在DCE的内部，外部，还是边上？证明你的判断。解答：首先，在Rt ACF中，sin.CAFCFAC剩下的任务就是去求 CF 和 AC 之间的数量关系，如去求出 CF 用 AC 表示的代数式。 为此，去研究相应的条件：由 ABC:为等腰梯形，BECD 为平行四边形(BE/CD，BE=CD，可知：AC=BD=EC由AF _CE知AF_ BD且 AF 平分.BAD,得ABD是等腰三角形,设 AF 交 BD 于点 G,则BG由 BG/EC，BG知：ABGsAE

5、- BE11BD AC22. AEF,AE - CDEFEFAE5 1BG ( AC)= 33 2AE5AC.6=135,如此一来，CF = EC - EF=AC-色AC6CF当然就有sin CAF -AC例题 3 如图，把一副1-AC6AC角板如图(1)放置，其中.ACB二.DEC二90用心爱心专心3例题 4 如图，两条宽度都为 1 的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为 ， 则它们 重叠（如图中阴影）部分的面积是（B、C、sin -DcostD解答:1），如图（3），设 CB 与DE相交于点G 则可通过OFE与AFGBJCGE内角的关系，求得OFE的值;对于（2），可先推出.AOD =

6、90，并导出OA,OD的长;对于（3），设直线 CB 交DE于B，应在Rt BCE中计算出CB的长，为此为基础进 行判断。解：（1）设 CB 与DE相交于点 G,如图（3），则：OFE/B FGB B CGEB 180 - BCE E1=45180 - 1590丨-120。（2）连结AD，7, AOD =/ODF . OFD - ODF 180 - OFE =30180 -120 =90又AC二BC, AB =6cm,而ACO = 3015 =45，OA = OB = OC = 3cm。在Rt AOD中，AO =3, OD二CD-CO =7-3 =4cm.ADh3242=5cm。（3）点 B

7、在DCE内部，理由如下：设 BC （或延长线）交DE于点B，. BCE 1530 =45 ,D-7 . j 0在Rt BCE中, CB = 2CE-2cm2，又幕CB =3.2 cm :cm，即CB : CB,点 B 在DCE内部。DCE分析：对于（用心爱心专心4解答：分析：将原问题抽象为图（2），在菱形 ABCD 中，A厶，顶点 A 到直线 CD 和 直线 CB 的距离都为 1，求菱形 ABCD 的面积。为此，作AH _CD,交 CD 的延长线于点 H,则有S菱形ABCD二CD AH = AD AH，其中AH=1,AD =-sin ZADH解：应选Ao类型二、用两个三角形相似关系进行几何计算

8、 例题 5 如图，在边长为 8 的正方形ABC中,P为AD上一点，且AP=5,BP的垂直平分线分别交正方形的边于点E,F,Q为垂足, 则EQ EF的值是（）A5:8B 、5:13C5 : 16D 、3 : 8EQ AP解答：分析：容易看出Rt BEQsRt：BPA，得上竺=竺,BQ AB15 5即EQ BPBPo28 16而根据正方形的性质，易知，如图，把FE平移至CG的位置,由Rt. CGB三Rt BPA,有EF二CG二BP，.EQ : EF =5BP : BP =5: 1616解：选Co从而算出这两条线段的比。例题 6已知，三个边长分别为2, 3, 5 的正方形如图排列，则图中阴影分部的面

9、积解答：分析：可以用直接法或间接法，但都需要计算出有关线段的长,即 S菱形ABCDsin :说明：在本题是将三角形相似、三角形分别将线段 EQ EF 借助 BP 表示出来,用心爱心专心5点F,作FG _ BC于点G（1）CG和CB有怎样的数量关系？说明理由;则CMENIH51则- - -BCBEBH102.CM=21=1。215EN =5 2215说明：正是借助于图中的相似三角形，使得线段CM EN从而线段GMFN的计算得以落实。例题 7某装修公司要在如图所示的五角星图形中，沿边每隔BC =5 -1米，则共需要装闪光灯（）A100 盏B101盏C102盏D103 盏解答：分析：研究AABC，由

10、BC二.一5-1计算出AB的长来,如图在-ABC中，AB =AC,/B = C（正五边形的外角）=72,/A = 36 ,作/CBD ZA,交 AC 于点 D,则 AD=BD=BC又BCDsABC，得:DC BCBC - ABBCAB = AC = AD DC = BCAB22AB2AB即AB -BC AB-BC =0，也既()1=0BC BCAB .5151/解得。AB(*51) = 2。BC 22210灯的盏数应为=1000.2解：选A。例题 8如图，在矩形ABC中,AC BD相交于O, OE _ BC于点E,连结ED,交OC这就需要借助于图中的直角三角形的相似关系。解：如图，Rt.：BC

11、MsRtuBENsRt.BHIS阴影=S梯形MNFG20 厘米装一盏闪光灯，若用心爱心专心6（2）若想在CB上确定一点H,使CB =4CH，请依据（1）得出的结果，说出画图的方法 （不必说明理由）解答：分析：显然，图中有一些相似三角形，比如:例题 9 在梯形ABCDK AD/BC AB=D（=AD=6,N ABC = 60出，点E F分别在线段ADDC上，（点E与点A,D不重合）且BEF =120 ,设AE二x, DF二y。（1）求y与x的函数表达式；（2）当x为何值时，y有最大值，最大值是多少?解答：分析：这是由数量关系刻画几何量之间的对应关系，或说是几何与代数结合的问题, 其解决的依据就是

12、通过“几何计算”。LCFGsLC0EsLCAB（I组）；EFGs二EDC（n组）OEFsCDF（川组）；FECs：FDA（W组）等。 通过分析可知，应用到第I组，因为其中含有线段 而其中的CF又包含在第川组的三角形中，这样就有：解： （1）有结论CB =3CG.在OEF和厶CDFCF CD 2日“CF即OF 0E 1 CO也即C!=旦JCA 2CO 23CG和CB（即CFG与CAB）中，由0田CD易知AOEFs也CDF,在CFG和.CAB中，二FG/AB,CFGs:CAB,箜=圧1,得CB =3CG. CB CA 3（2）应这样确定点 说明：在不少情况， 或几对相似三角形， 目的的进行深入分析

13、。H,连结DG交CO于点M作MH _ CB于H,贝U应用CB二4CH。需从较多的三角形相似关系中选取最为直接的能够实现计算目的的两对 这既需要对图形性质有深刻的认识，也需要善于对问题情意及要达到的用心爱心专心7解：（1）在梯形ABCDK AD/BC, AB=DCAD=6,. ABC =60,.A = . D =120. AEB . ABE =180 -120 =60 ,.BEF =120 ,. . AEB . DEF =180 -120 = 60 ,x 6AE，DF.y与x的函数表达式是112y x(6 x) x x(0：x : 6)；66113(2)yx2x (x -3)26 6 2-当x

14、= 3时，y有最大值，最大值为 。2说明：象本题这样的几何与代数综合题，正是以“几何计算”作为主要解决工具的。【技巧提炼】几何计算的两种主要方法是：1、借助于解直角三角形；2、借助于三角形的相似关系。1、善于用解直角三角形的方法完成几何计算(1) 凡涉及到几何图形中量的计算时，应当首先考虑借助于解直角三角形，而在这许多情 况下，就需要恰当地构造出相应的直角三角形。(2)在图形复合，情况比较复杂时为了在直角三角形中完成计算，还常需要和题目的条件, 图形的其他特征相结合， 通过有关的性质及定理， 把一些数值和数量关系转化到这个直角三 角形中去。2、善于用两个三角形相似关系完成几何计算当两个三角形相

15、似时，就会构成相关线段的比例等式，而在比例等式当中，若有一条线段是未知的，而其他线段是已知的或是未知线段的代数式，那么这样的比例等式就成了未知线段的方程，借此方程求出未知线段，因此，用两个三角形之间的相似关系，也可以实施与完成许多几何计算。(1 )要善于选用相似三角形，充分发挥相似三角形在几何计算中的重要作用。(2 )要善于构造相似三角形，要有借助相似三角形完成几何计算的高度意识。只要充分重视解直角三角形和两三角形相似的数学功能,轻松解决更多的综合型问题！【体验中考】1.(2010 广西南宁)如图，每个小正方形的边长为.ABE =/DEF . ABEsDEF .AEDFABDE几何计算问题就不

16、是难题，从而能用心爱心专心84 个小圆大小相等，则这5 个圆的周长的和为（A. 48 二 B. 24C. 12 二 D. 64.（ 2010 江 苏 无 锡 ） 已 知 圆 锥 的 底 面 半 径 为2cm,母线长为 5cm,则圆锥的侧面积是（）2 2A. 20cmB. 20ncm5.（2010 云南昆明）如图，在 径作半圆，则图中阴影部分的面积是2C. 10ncmABC 中，AB = AC,)2D. 5ncmAB = 8 , BC = 12，分别以 AB AC 为直A.64二-12,7B.16二-32C. 16二-24、.7D. 16：-12,76.（2010 湖南益阳）如图，在DE=.AB

17、C中,AB= AC=8,AD是底边上的高，E为AC中点，则7.（2010 浙江台州）如图，菱形ABCD中,AB=2，/C=60 ,菱形ABCD在直线I上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60叫一次操作，则经过 36 次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为（结果保留n）&（2010 辽宁丹东）已知ABC是边长为 1 的等腰直角三角形，以 RtABC勺斜边AC为直 角边，画第二个等腰 RtACD再以 RtACD勺斜边AD为直角边，画第三个等腰 RtADE，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是9.E,则图中阴影部分的面积为ABCD 中 ,AB=1 , AD-2.以 AD 的长为半径

18、的OA 交 BC 边于点）（A）a : c ,：b（B）a: b：c（C）c : a : b（D）c : b . a2.（2010 广东湛江）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A.1 , 2, 3B.2, 3, 4C.3, 4, 5D.4, 5, 63.（2010 浙江杭州）如图，5 个圆的圆心在同一条直线上，且互相相切，若大圆直径是 12,（2010 河南）如图.矩形用心爱心专心910.（2010 浙江温州）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣.1955 年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票.所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理.在右图的勾

19、股图中，已知/ACB=90，/ BAC=30 , AB=4.作PQF 使得/ R=90,点 H 在边 QR 上，点 D, E 在边 PR 上，点 G, F 在边_PQ 上，那么 APQR 的周长等于用心爱心专心1011.（2010 福建泉州）如图，两同心圆的圆心为O，大圆的弦AB切小圆于P，两圆的半径分别为2和1，则弦长AB =_;若用阴影部分围成一个圆锥， 则该圆锥的底面半径为_.（结果保留根号）12.（2010 四川宜宾）已知，在ABC中，/A= 45 ,AC=2,AB=3+1，则边 BC 的长 为.15.（ 2010 山东淄博）如图是由 4 个边长为 1 的正方形构成的“田字格”.只用没

20、有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为J5 的线段_ 条.16.（2010 山西）在RtABC中,NACB=90：D 是 AB 的中点，CD=4cm 则 AB= cm 。17.（ 2010 湖北鄂州）如图，四边形ABCD中,AB=ACAD E是CB的中点，AE=EC,/BA（=3/DBC BD=6、,2 66，贝U AB=_.13.（2010 福建南安）将一副三角板摆放成如图所示，图中14.（ 2010 广西钦州）一个承重架的结构如图所示，如果/仁_ 度.1= 155 ，那么/ 2 =_|7*-用心爱心专心1122. (2010 辽宁丹东)如图，已知在O0中，AB=4 、,3,AC是

21、O0的直径，ACL BD于F, /A=30(1) 求图中阴影部分的面积；(2) 若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径.23.(2010 浙江杭州)已知直四棱柱的底面是边长为a的正方形， 高为h,体积为 V,表面积等于 S.(1)当a= 2,h= 3 时，分别求V和 S;2 1当V= 12 ,S= 32 时，求的值.24.如图，已知ABC中,ABC的面积为S。1求证：S AF BE.218.(2010 广西玉林)两块完全一样的含30 角的三角板重叠在一起，若绕长直角边中点M转动，使上面一块的斜边刚好过下面一块的直角顶点，如图6,/A=30,AO10,则此时两直角顶点c

22、、c间的距离是_。19.(2010 黑龙江绥化)Rt ABC 中，/ BAC=90 , AB=AC=2 以 AC 为一边，在 ABC 外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD 的长为_。20.(2010浙江杭州)如图，AB= 3ACBD= 3AE又BD/AC点B, A,E在同一条直线上.(2)如果AC=BDAD=22BD设BD=a,求BC的长.21.如图，：ABC是边长为 4 的等边三角形，D 为 BC 边上一个动点，作 DE/CA，交 AB 于 点 E,DF_ AC于点 F,当 BD 的长取什么值时，可使FE _ AB?ACB =90 , AC =BC，点 E, F 在 AB 上，.ECF =

23、 45 ,设AC用心爱心专心1225.(2009 年清远)如图，已知AB是OO的直径，过点O作弦BC的平行线，交过点A的切线AP于点P，连结AC.(1)求证：ABCPOA;( 2)若OB=2,OP=7，求BC的长.226. (2009 济宁)如图，AABC中，.C =90,AC = 4,BC=3.半径为 1 的圆的圆心P以 1 个单位/s的速度由点A沿AC方向在AC上移动， 设移动时间为t(单位：s). (1 )当t为何值时，OP与AB相切；(2)作PD _ AC交AB于点D，如果OP和线段BC交于点E，证明：当t =16S时,5四边形PDBE为平行四边形27.(2010 四川内江)如图，在

24、RtABC中，/C= 90，点E在斜边AB上，以AE为直径的OO与BC相切于点D(1)求证：AD平分/BAC(2)若AC=3,AE=4.1求AD的值；2求图中阴影部分的面积28.(2009 广西钦州)如图，已知抛物线y=x2+bx+c与坐标轴交于A、B C三点， 4A点的坐标为(一 1, 0)，过点C的直线y= x 3 与x轴交于点Q点P是线段BC上的 4t一个动点，过P作PHLOB于点H.若PB=5t，且 0vtv1.(1 )填空：点C的坐标是，b=,c=;f yQ/H Jt(2)求线段QH的长(用含t的式子表示)；AOrx(3)依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H Q为顶点的三角形与C

25、OQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由.KJ29. (2010 福建南安)如图，AB为OO 勺直径，CD _ AB于点E,交OO 于点D,OF _ AC于点F.BDC用心爱心专心13(1)试说明ABC DBE(2)当/ A=30, AF=.、3时，求OO 中劣弧 一.的长.答案：1.【答案】C2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】C5.【答案】D6.【答案】47.【答案】（8 爲3+4）n&【答案】（2）n-1二(1)操作发现如图，矩形ABCDK E是AD的中点，将ABE沿BE折叠后得到GBE且点G在矩形ABC呐部小明将BG延长交DC于点F,认为GF=DF,你同意吗？说

26、明理由.(2) 问题解决保持(1)中的条件不变，若DO2DF,求 竺 的值;AB(3) 类比探求保持(1)中条件不变，若DGnDF求 AD 的值.AB31.( 2010 青海) 如图，正方形ABCD勺对角线 AC 和 BD 相交于点 O, 0 又是正方形ABCO的一个顶点，O A1交 AB 于点 E, 0G 交 BC 于点 F.(1) 求证： AOEABOF(2)如果两个正方形的边长都为a，那么正方形 ABCO 绕 0 点转动，两个正方形重叠部分 的面积等于多少？为什么？DB30.（ 2010 河南）5用心爱心专心149.【答案】.2 -一 -用心爱心专心AD+BD= 8BD+BD= 9BD=

27、AB,. D=90由(1) 得 . E =.D= 90 ,1 1 2AE= BD,EC= AD=2BD,AB= 3BD,33BC= (AB+AE)=(3BD+-BD)322： 222+ (BD2=3108BD= 12a2,9BC=2 . 3 a【答案】分析：本题是研究数量与位置关系的对应性，可借助“逆向探究”的方法。如由此求出 BD 的长，再逆过来予以判定。10.【答案】27 13、311.【答案】弦 AB 的长为 2.3,底面半径为12.【答案】213.【答案】12014.【答案】 6515.【答案】 816.【答案】817.【答案】1218.【答案】 519.【答案】 4 或2 5或.10

28、20.【答案】BD/ AC点B,A,E在同一条直线上,(1) -解：如图，若DFE =60 ,则.EFA =30 ,进而FEA =90 ,又有.FED-30Rt DCFsRt EFDo设BD =x,则DC =4 x, DF=(4 _x), ED = BD2又.CFDFDFED又AB _ BD _3AC一 AE 一ABD(2)/AB= 3AC= 3BDAD=2, 2 BD,3在RtBCE中,2+EC21.图,假若FE _ AB，则.AFE =30 ,必有.DFE =60 ,从而有Rt EFDsRt. DCF。用心爱心专心163#d3x,解得12x =5当 BD可使 FE _ AB成立。说明：在本

29、题，虽用了直角三角形一些数量关系，但更主要是要借助于三角形相似。22.【答案】（1 ）法一：过0作OEL AB于E，贝 U AE=1AB=2 .32在 RtAEO中,ZBAC30, cos30AEOA0/=AEcos3023二=4.又OAtOB/ABO30. .ZBOC60 ACL BD, BC二CD.ZCOD=ZBOC60.AZBOD12O。2S阴影=n n16n.3603603法二：连结AD/ ACLBD AC是直径，AC垂直平分BDAB=AD BF=FD BC=CD.ZBAD2ZBAC60ZBOD120./ BF=1AB=2、3，sin60 =2_：3AFABAF=AB-sin60=4

30、3x=6.2OB=BF+OF.即卩(2j3)2+(6-OB)2=0B2.OB=4.o _1 e _16 S阴影一S圆一n.33法三：连结BC/ AC为O0的直径，/AB(=90./ AB=4、3，AC_ ABcos30=8用心爱心专心17/ A=30,ACLBD / BOC60/ BOD120。.S阴影=120n 0A=X423603以下同法一.(2)设圆锥的底面圆的半径为 c120 I ,-2 nn_4.1804-r323.【答案】A二B = 45 , ACF = ACE ECF二ACE 45二ACE A = BEC,AFACACFsBEC，得，即AF BE = AC BC。BC BE11S

31、 AC BC AF BE。22说明：利用相似三角形解决问题，首先就要善于从图形中找到相似三角形，这就需要对三角形相似的条件不仅熟悉，且能灵活运用。25.【答案】(1)证明：BC/OP. AOP = B+ AB是直径C =90；PA是OO的切线，切点为AOAP =90C = OAPABCsPOA(2) ；ABCsPOABC AB _ _(1)当a= 2,h= 3 时,V=a2h= 12 ;2S= 2a+ 4ah=32.2(2) /a h= 12, 2a(a+ 2h) =32 ,.,1216h2, (a+ 2h)=,aa16-a=4123.a2a二/A =/B =45 ,.21 2h a.- -=

32、a h ah24.【答案】注意到.ECF证明：在ACF和BEC中,就容易发现有ACFsBEC。16n=一n.3r，则周长为用心爱心专心18OA PO用心爱心专心19“7OB =2, PO2.OA =2, AB =4BC 4T=72.?BC=8,BC226.【答案】（1）解：当OP在移动中与AB相切时，设切点为M，连PM, 则.AMP =90./ AP =t,ABAC2BC2=5, !_1 _. . . t _.533证明：BC _ AC, 当t =s时，AP5527.【答案】 （1）证明：连接OD则OAFOD1 =Z3; BC是OO的切线,ODLBC. ACL BC ,OD/ AC2=Z3,1

33、=Z2,AD平分/BAC(2)连结EDABC. APABPMBCPC =4 -r.EC二.PE2-PC212-(4)55V5BE =BC -EC =3-3=125516LADPSPDABC,AP.PD=_5BCAC34 ,PD上PD =BE.3516s5时，四边形PDBE为平行四边形167PD _ AC BC/DP.用心爱心专心20/ AE为直径，/ADE=ZC= 90又由(1)知/ 1 =Z2,ADEoACDAD ACAE=AD/ AC=3,AE=4,AD=AE- AC=3X4=12,- AD=12= 2-/3.在 RtADE中,/ 1= 30,11SA AOD= SAADE=X22120n

34、 X224S扇形AOD= -S阴影=S扇形AODSAOD= 3n一?3.28.【答案】(1)( 0, 3),b=4t( 4 4t) = 8t一 4. 综合，得QH=| 4 8tI;(3) 存在t的值，使以P、H Q为顶点的三角形与COQ目似.当H在Q B之间时，QH=4 8t, 若厶QHOACOQ/ AO= 120,DE=2.2AD-DE=3,360(2)由(1),得y=3x2 -x44-OB=4,又TOC= 3,.BC= 5. 由题意，得BHPABOC/ OC：OB：BC= 3 : 4 : 5,HP：HB：BF= 3 : 4 : 5,/ PB=5t, HB=4t,HF=3t.OH= OB HB=4 4t.由y=x 3 与x轴交于点Q得 4tOQ= 4t .1当H在Q B之间时，QH= OH- OQ=(4 4t) 4t= 4 8t.2当H在OQ之间时，QH= OQ- OH3,它与Q(4t,x轴交于代B两点，得0).B(4, 0)3t4t用心爱心专心21贝 UQH：CO= HP：OQ得3用心爱心专心22即t2+ 2t- 1 = 0.11=2 1 ,12= -J2 1 （舍去）.当H在OQ之间时，QH=8t 4.t=2532若厶PHQACOQ贝V PH：CO=