2012全国各地中考数学解析汇编(按章节考点整理)-第28章(精)

1、（最新最全）2012 年全国各地中考数学解析汇编（按章节考点整理）第二十八章 相似与位似【解析】【点评】本题考查了见比设份的解题方法，以及分式中的因式分解，约分等。28.2 线段的比、黄金分割与比例的性质（2011 山东省潍坊市，题号 8,分值 3） &已知矩形 ABCD 中，AB=1,在 BC 上取一点 E ,沿 人丘将厶 ABE 向上折叠，使 B 点落在 AD 上的 F 点，若四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，则 AD=（ ）A. 5 -1 B.5 1 C.3D.222考点：多边形的相似、一元二次方程的解法解答：根据已知得四边形 ABEF 为正方形。因为四边形 EFDC 与

2、矩形 ABCD 相似AD2-AD -1 = 0,解得仁.5AD =-2点评：本题综合考察了一元二次方程和多边形的相似，综合性强。28.3 相似三角形的判定图形的28.1 图形的相似15. （2012 北京，15, 5)已知b，求代数式=-丰035a - 2b22a 4b的值.【答案】 设a=2k,b=3k,原式=5a -2b(a 2b)(a -2b)L(a-2b)5a2ba 2b10k -6k2k 6k4k 18k 2所以 DF:EF=AB:BC 即 (AD-1) :1=1:AD 整理得:由于 AD 为正，得到 AD=5，本题正确答案是B.（2012 山东省聊城，11，3 分）如图， ABC

3、中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，下列 结论不正确的是（）AE AC解析：根据三角形中位线定义与性质可知，BC=2DE ；因 DE/BC，所以 ADE ABC ,AD : AB=AE : AC，即卩 AD : AE=AB : AC，SS.所以选项 D 错误.SBC =4SDE答案：D点评：三角形的中位线平行且等于第三边的一半有三角形中位线，可以得出线段倍分关系、比例关系、三角形相似、三角形面积之间关系等（2012 四川省资阳市，10 , 3 分）如图，在 ABC 中，/ C= 90将厶 ABC 沿直线 MN 翻得对应高相等；由 MN / AB 得厶 CMN CAB 且相似比为 1:2

4、,故两者的面积比为 1:4, 从 而得 SCMN:S四边形MABN=1:3，故选 C.【答案】C【点评】本题综合考查了直角三角形的面积算法、翻折的性质、由平行得相似的三角形相似的判定方法、相似图形的面积比等于相似比的平方等一些类知识点知识点丰富；考查了学生综合运用知识来解决问题的能力 难度较大B. ADE s ABCC.AD ABD.折后，C 恰好落在AB 边上的点 D 处，已知 MN / AB, MC = 6, NC =23，则四边形MABN 的面积是A -6.3B-12、3C18、3CMN=63，再由翻折前后CMN DMNAA.BC=2DESABC二C【解（2012 湖北随州，14,4 分

5、）如图，点 D,E 分别在 AB、AC 上，且/ ABC= / AED。若 DE=4 ,AE=5 , BC=8，则 AB 的长为_。10解析：ABC= / AED，/ BAC= / EADAED s ABC ,.AEDE， DE=10AB一CB答案：10点评：本题主要考查了三角形相似的判定和性质。利用两三角形的相似比， 通过已知边长度求解某边长度，是常用的一种计算线段长度的方法。28.4相似三角形的性质(2012 重庆，12, 4 分)已知 ABCADEF ABC 的周长为 3,ADEF 的周长为 1，则 ABC 与厶DEF 的面积之比为_解析：相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比

6、等于相似比的平方，故可求出答案。答案：9： 1点评：本题考查相似三角形的基本性质。(2012 浙江省衢州，15, 4 分)如图，ABCD 中，E 是 CD 的延长线上一点，BE 与 AD 交于点 F, CD=2DE.若厶 DEF 的面积为 a,则口 ABCD 中的面积为 _ .(用 a 的代数式表示)【解析】根据四边形 ABCD 是平行四边形，利用已知得出DEFsACEB , DEF ABF , 进而利用相似三角形的性质分别得出CEB、 ABF 的面积为 4a、9a,然后推出四边形 BCDF 的面积为 8a即可.【答案】12a【点评】此题主要考查相似三角形的判定、性质和平行四边形的性质等知识点

7、的理解和掌握， 解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理.(2012 山东省荷泽市，16(1),6 ) (1)如图，/ DAB= / CAE ,请你再补充一个条件_ ,使得 AB(SADE 并说明理由4【解析】从已知条件中可得出一组角对应相等，要判定两个三角形相似，可以增加另外一组对应相等或者是这两角的两边对应成比理由：两角对应相等，两三角形相似 -6 分【点评】判断两个三角形相似的条件中两角对应相等两三角形相似比较常用，在选择方法-定要根据题目中或图形中所给提供的条件进行添加（湖南株洲市 6,20 题）（本题满分 6 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=6, BC=8 沿直线

8、 MN对折，使 A、C 重合，直线 MN 交 AC 于 O.问中的相似建立比例式，构造出OM 的方程求解.【解】（1）证明：/A 与 C 关于直线 MN 对称.AC_MN.M COM90 在矩形 ABCD 中，MB=90.M COMMB- 1分又MACB_MACB- - 2分COISCBA - 3分(2) 丫在 Rt CBA 中, AB_6, BC_8-AC_10- -4分二 OC_5T COSACBA- - 5分POC _ OMBC AB【答案】,/D /B 或 AED .ZC- 2 分COMMB 即可，求线段的长就是利用第（1）(1 )、求证： COMsCBA；OM_5-6分【点评】求证两

9、个三角形相似的方法主要是两角对应相等，两三角形相似、两边对应成比例及夹角相等，两三角形相似及三边对应成比例，两三角形相似，求线段的长的方法，主要是 利用三角形相似及直角三角形的勾股定理(2012 湖南娄底，25, 10 分)如图 13,在厶 ABC 中，ABAC,/ B=30 , BQ8, D 在边 BC 上，E 在线段 DC 上，DE=4,ADEF 是等边三角形，边 DF 交边 AB 于点 M，边 EF 交边 AC 于 点 N.(1) 求证： BMDsCNE(2) 当 BD 为何值时，以 M 为圆心，以 MF 为半径的圆与 BC 相切？(3) 设 BD，五边形 ANEDM 的面积为 y,求

10、y 与 x 之间的函数解析式(要求写出自变量 x 的取值范围)；当 x 为何值时，y 有最大值？并求 y 的最大值.F【解析】(1)由 AB=AC, / B=30,根据等边对等角，可求得/ C=/ B=30,又由 DEF 是等边三角形，根据等边三角形的性质，易求得/MDB=/ NEC=120,ZBMD= / B=/ C=/CNE=30,即可判定： BMDsCNE；(2) 首先过点 M 作 MH 丄 BC,设 BD=x，由以 M 为圆心，以 MF 为半径的圆与 BC 相切， 可得MH=MF=4-x，由(1)可得 MD=BD，然后在 Rt DMH 中，利用正弦函数，即可求得 答案；(3) 首先求得

11、厶 ABC 的面积，继而求得 BDM 的面积，然后由相似三角形的性质，可求 得厶 BCN的面积，再利用二次函数的最值问题，即可求得答案.【答案】(1)证明：/ AB=A(C / B=/ C=30 . / DEF 是等边三角形，/ FDE=/ FED=60 ,/MDB/NEC=120,A/BMD/B=/C=/CNE=30,BMOACNE(2)过点 M 作 MH 丄 BC,v以 M 为圆心，以 MF 为半径的圆与 BC 相切， MH=MF 设 BD=x,vDEF 是等边三 角形，/ FDE=60,T/B=30, / BMD/ FDE-/ B=60 -30 =30 =/ B,ADM=BD=x MH=

12、MF=DF-MD=4-x 在 Rt DMH 中, sin / MDH=sin60 =MH=4-x=応，解得：乂二花一朋,MDx2当 BD=16_8、3 时，以 M 为圆心，以 MF 为半径的圆与 BC 相切；(3)过点 M 作 MHL BC 于 H,过点 A 作 Ad BC 于 K,vAB=AC - BK=1BC=1X8=4。：/ B=30,AAK=BKtan / B=4X2 23=43, SAABCBC?AK=1 X8X4 3=163，由（2）得：MD=BD=x MH=M?Sin2- BMD CNE, - - SBDM：SCE萨BD（CE）CE=, y=SABC-SCEf-SBDM=”x）2

13、反。质= Ea 更(xw4),当x=2 时，y 有最大值，最大值为A2T ”2)2罟8.3-3【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、二次函数的性质以及三角函数等知识. 此题综合性较强，注意数形结合思想与方程思想的应用.(2012 重庆，12, 4 分)已知 ABCADEF ABC 的周长为 3,ADEF 的周长为 1，则 ABC 与厶DEF 的面积之比为_解析：相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，故可求出答案。答案：9: 1点评：本题考查相似三角形的基本性质。(2012浙江省衢州， 15, 4分)如图， ABCD中， E是C

14、D的延长线上一点， BE与AD交 于点F, CD=2DE.若厶 DEF 的面积为 a,则口 ABCD 中的面积为 _ .(用 a 的代数式表示)【解析】根据四边形 ABCD 是平行四边形，利用已知得出DEFsACEB , DEF ABF , 进而利用相似三角形的性质分别得出CEB、 ABF 的面积为 4a、9a,然后推出四边形 BCDF 的面积为 8a即可.【答案】12a【点评】此题主要考查相似三角形的判定、性质和平行四边形的性质等知识点的理解和掌握， 解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理.(2012 山东省荷泽市，16(1),6 ) (1)如图，/ DAB= / CAE ,

15、请你再补充一个条件,使得AAB(SA/ MDH=3X，SA BDMTI2化工DEF是等边三角形且24DE=4, BC=8,.EC=BC-BD-DE=8-x-4=4-x ,2, Sx（4x）16. 3.32- X4#（4-x）22ADE 并说明理由【解析】从已知条件中可得出一组角对应相等，要判定两个三角形相似，可以增加另外一组对应相等或者是这两角的两边对应成比理由：两角对应相等，两三角形相似 -6 分【点评】判断两个三角形相似的条件中两角对应相等两三角形相似比较常用，在选择方法-定要根据题目中或图形中所给提供的条件进行添加（2012 山东泰安，17, 3 分）如图，将矩形纸片 ABCD 沿 EF

16、 折叠，使点 B 与 CD 的中点 重合，若AB=2，BC=3，则 FCB与BDG 的面积之比为（A.9 : 4B.3: 2C.4： 3D.16: 9【解析】设 CF=x，贝 U BF=3-x，由折叠得BF=BF=3-X,在 Rt FCB中，由由勾股定理得CF2+CB2=FB*2,x2+l2=(3-x)2,解得 x=4,由已知可证 Rt FCBSRt BDG AR 所以 SFCB与 SABDG的面积为（4:1）2=16.39【答案】D.【点评】本题综合考查了折叠的性质、勾股定理、相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方。（2012年四川省德阳市，第11题、3分.）如图，点D是ABC

17、的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）.以BD BF为邻边作平行四边形BDEF又APBE（点P、E在直线AB的同侧），如果1，那么PBC的面积与厶ABC面积之BD AB4【答案】,/D /B 或 AED .ZC- 2 分C比为A.14B.35C.1534【解析】连接 FP,延长 AP 交 BC 的延长线于 H,过点 A、P 分别作AM丄BC PN丄BC，垂足 M、N. 四边形 BDEF 是平行四边形，EFLAD，又 APBE, E、F、P 共线，即pFjAB ABH PFH,.PNPF3,SAPBCPN3AMAB4SAABC-AM_ 4【答案】D.【点评】此题应用了平

18、行四边形， 相似三角形和三角形面积的相关知识, 线是解决本题的关键，（2012 山东省荷泽市，18,10 ）如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中， AB6HADEF的顶点都在格点上，Pi，P2, P3, P4, P5是厶 DEF 边上的 5 个格点，请按要求完成下列各题：（1）试证明三角形 ABC 为直角三角形；（2）判断 ABC 和 DEF 是否相似，并说明理由；（3） 画一个三角形，它的三个顶点为中的 3 个格点并且与 ABC 相似；（要求：用尺规作图， 保留痕迹，不写作法与证明）【解析】在网格中借助勾股定理求 ABC 三边的长，然后利用勾股定理的逆定理来判断ABC的形状【答案】解：

19、（1）根据勾股定理，得 AB=2 5，AC= .5，BC=5四边形 APEB 是平行四边形,EP=AB 又BD一AB EF=DB=1AB=1PF, / PF=3AB,4434能够合理作出辅助】1题图显然有AB2 AC2二BC2，根据勾股定理的逆定理得 ABC 为直角三角形(1) ABC 和厶 DEF 相似.根据勾股定理，得AB=2 5， AC = 5，BC=5DE =4 2，DF =2 2，EF= 2.10B.AB _ AC _ BC _5，DEDFEFr2AB8ADEF.(3)如图： P2P4P5.【点评】在网格中计算线段的长，勾股定理是首先的计算方法，在网格中证明三角形相似, 常用的方法是

20、两边对应成比且夹角相等或者三边对应成比例(2012 安徽，22 , 12 分)如图 1，在 ABC 中，D、E、F 分别为三边的中点， G 点在边AB 上, BDG 与四边形 ACDG 的周长相等，设 BC=a、AC=b、AB=c.(1) 求线段 BG 的长；解：(2) 求证：DG 平分/ EDF;证：(3) 连接 CG,如图 2，若 BDG 与厶 DFG 相似，求证：BG 丄 CG.证：解析：已知三角形三边中点连线，利用三角形中位线性质计算证明.(1)已知 ABC 的边长，由三角形中位线性质知11，根据 BDG 与四边形 ACDG 周长相等，DF = b, DE = c2 2.DE/ 彳 A

21、B,DF/ 彳 AC, 丄122又 BDG 与四边形 ACDG 周长相等/P1F/P2C/P33P4X可得BGbc. (2)由(1)的结论，利用等腰三角形性质和平行线性质可证 ( 3)利用2两个三角形相似，对应角相等，从而等角对等边, 解(1)vD、C、F 分别是ABC 三边中点DAEM K ffi Im 22 ft x 2BD=DG=CD，即可证明即 BD+DG+BG=AC+CD+DG+AGBG=AC+AG/ BG=AE AG:BG=AB AC=b c2 2(2) 证明：BG=b c, FG=BG- BF=b.c FG=DF,./ FDG=Z FGD又 DE/ AB/EDG2FGD/ FDG

22、=/ EDG DG 平分/ EDF(3) 在厶 DFG 中，/ FDG=/ FGD, DFG 是等腰三角形,BDG 与厶 DFG 相似，BDG 是等腰三角形，/B=ZBGD,/. BD=DG,则 CD= BD=DG. B、CG 三点共圆,/BGC=90 , BGL CG点评：这是一道几何综合题，在计算证明时，根据题中已知条件，结合图形性质来完成后面的问题可以结合前面问题来做(2012 山东泰安，28 , 10 分)如图，E 是矩形 ABCE 的边 BC 上一点，EF 丄 AE, EF 分别交 ACCD 于点 M F, BGLAC,垂足为 G, BG 交 AE 于点 Ho(1) 求证： ABE

23、ECF;(2) 找出与 ABH 相似的三角形，并证明；(3) 若 E 是 BC 中点，BC=2AB AB=2,求 EM 的长。川 -D【解析】(1 )由四边形 ABCD 是矩形，可得/ ABE= / ECF=90 又由 EF 丄 AE，利用同角 的余角相等，可得/ BAE= / CEF,然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似，即可证 得：ABEECF； (2)由 BG 丄 AC ,易证得/ ABH= / ECM，又由(1)中/ BAH= / CEM ,即可证得厶 ABHECM ； (3)首先作 MR 丄 BC ,垂足为 R,由 AB : BC=MR : RC=2，/AEB=45 即可求得 M

24、R 的长，又由 EM=MR，即可求得答案.Sin 45【答案】(1)证明：四边形 ABCD 是矩形，/ ABE= / ECF=90 / AE 丄 EF,ZAEB+/FEC=90/ AEB+/BEA=90 /./BAE=/CEF,.ABE ECF.(2)ABHs ECM .证明：TBG 丄 AC，/ABG+ / BAG=90 ABH= / ECM，由(1)知，/ BAH= / CEM ,ABH ECM. ( 3)解：作 MR 丄BC，垂足为 R,TAB=BE=EC=2 ,A AB : BC=MR:RC=2，/ AEB=45 / MER=45 CRMRMR=ERRC 乜,23EM=MR=:sin

25、45c【点评】考查了矩形的性质， 直角三角形的性质、 相似三角形的判定与性质以及三角函数等 知识解题时注意数形结合思想的应用，注意掌握“有两组角对应相等的两个三角形相似” 定理的应用.（2012 贵州铜仁，8, 4 分如图，六边形 ABCDEFs六边形 GHIJKL，相似比为 2:1，则下【解析】A、六边形 ABCDEFs六边形 GHIJKL ,E=ZK，故本选项错误；B、六边形 ABCDEFs六边形 GHIJKL，相似比为 2 : 1 , BC=2HI，故本 选项正确；C、：六边形 ABCDEFs六边形 GHIJKL，相似比为 2: 1 ,六边形 ABCDEF 的周长=六边形 GHIJKL

26、的周长2，故本选项错误；D、六边形 ABCDEFs六边形 GHIJKL，相似比为 2： 1 , S六边形ABCDEF=4S六边形GHIJKL, 故本选项错误.【解答】B.【点评】本题考查相似图形的性质两个图形相似，对应角相等，边长的比和周长的比都等 于相似比，面积比等于相似比的平方 解答此题应注意相似图形边长的比、周长的比、面积 比与相似比之间的关系.A. 1 : 2B. 2 : 3A. / E=2 / KB. BC=2HIC.六边形 ABCDEF 的周长=六达GHIJKL 的周长D.S六边形 ABCDEF=2S六边形 GHIJK（2012 陕西 5, 3 分）如图，在ABC 中，AD,BE是

27、两条中线，则SEDC: SABC()C. 1 : 3D. 1 : 4【解析】由题意可ED为:ABC的中位线，则 CEDsCAB列结论正确的是（）D8 题图KH【答案】D【点评】本题主要考查了三角形的中线的定义、中位线的性质、相似三角形的性质等难度中等（2012 湖北咸宁， 6， 3 分） 如图， 正方形 心，相似比为 1 :2，点 A 的坐标为（1,厂A D（第 6 题）A.（.2，0）B.（3，3）C. （.2，、,2）D. （2, 2）2 2【解析】由已知得， E 点的坐标就是点A 坐标的._2 倍.【答案】C【点评】本题着重考查了位似图形的坐标特点，注意本题是冋向位似.（2012 山东日

28、照，8,3 分）在菱形 ABCD 中，E 是 BC 边上的点，连接 AE 交 BD 于点 F,若 EC=2BE,则BF的值是（）FDA.DkFB 1ECA.1B.1c.12345解析：如图，由菱形ABCD 得 AD/ BE,，所以 BEF ADF,又由 EC=2BE,得 AD=BC=BE,故BF=BE=1FD AD 3解答：选 B .点评：本题主要考查了棱形的性质、相似三角形的判定与性质， 正确画出图形是解题的关键.SE DC: SABCED）2AB）1，故选 D.詔）2=1：4OABC 与正方形 ODEF 是位似图形,0）,贝 U E 点的坐标为（）.O 为位似中（2012 湖南省张家界市1

29、0 题 3 分）已知 ABC与DEF相似且面积比为 4 ： 25 ,贝VABC与DEF的相似比为 _【分析】相似三角形相似比等于面积比的算术平方根【解答ABC与DEF的相似比为4=2.255【点评】相似三角形面积比等于相似比的平方（2012 山东省滨州，18, 4 分）如图，锐角三角形 ABC 的边 AB , AC 上的高线 CE 和 BF相交于点 D，请写出图中的两对相似三角形： _（用相似符号连接）【解析】（1）由于/ BDE= / CDF / BED= / CFD=90 ，可得 BDECDF。由于/ A=/ A，/ AFB= / AEC=90。，可得厶 ABF ACE。解：（1 ）在厶

30、BDE 和厶 CDF 中/ BDE= / CDF / BED= / CFD=90 ,二厶 BDE CDF .（2）在厶 ABF 和厶 ACE 中，/ A= / A，/ AFB= / AEC=90 ,二厶 ABF ACE .【答案】BDE CDF , ABF ACE【点评】本题考查相似三角形的判定方法.三角形相似的判定方法有，AA , AAS、ASA、SAS 等.（2012 贵州黔西南州，17, 3 分）如图 5，在梯形 ABCD 中，AD/ BC,对角线 AC、BD 相交于点 O,若 AD=1, BC=3, AOD 的面积为 3,则厶 BOC 的面积为 _.【解析】 由题意知 AD/BC,所以

31、/ OAD=ZOCB,/ ODA=ZOBC,所以 OAAOCB.又AD=1, BC=3,所以 OAD 与厶 OCB 的相似比为 1:3，面积之比为 1:9，而 AOD 的面积为 3, 所以 BOC 的面积为 27.【答案】27.【点评】理解相似三角形的相似比与周长比、面积比之间的关系，是解决本题的关键.(2012贵州遵义，7,3分)如图，在ABC 中，EF/ BC , | = - , S四边形BCFE=8 ,则 SABC=EB 2解：-=-,EB 2.7=.，AB 1+2 3/ EF / BC, AEF s ABC ,解析：求出，1 的值，推出 AEFABC ,得出=-，把S四边形BCFE=8

32、 代入求出即电AAEF AB77- 9AABC9 B.10 C.12 D.13可.%AEFSAA0C 9SAEF=SABC，TS四边形BCFE=8,9(SAABC_8)=SAABC， 解得：SABC=9 .故选 A.答案：A点评：本题考查了相似三角形的性质和判定的应用, 比的平方，题型较好，但是一道比较容易出错的题目.注意：相似三角形的面积比等于相似(2012 湖北省恩施市，题号 20 分值 8 )如图 8，用纸折出黄金分割点：裁一张正方形纸 片 ABCD先折出 BC 的中点 E,再折出线段 AE,然后通过折叠使 EB 落在线段 EA 上，折出点 B 的新位置 B1,因而 EB=EBo 类似的

33、，在 AB 上折出点 B11使 AB11=AB。这是 B11就是 AB 的黄 金分割点。请你证明这个结论。【解析】设 BE=1，可知 BC=AB=2 AE=J5，由 EB=EB 得AB1=AB=J5-1,根据黄金分割意义AB1：AB=( 0)与 x 轴相交m于点 B C,与 y 轴相交于点 E,且点 B 在点 C 的左侧.(1) 若抛物线 C 过点 M(2, 2)，求实数 m 的值.(2) 在 的条件下，求 BCE 的面积.(3) 在 的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H,使 BH+EH 最小，并求出点 H 的坐标.(4) 在第四象限内， 抛物线 C1 上是否存在点 F,使得以点 B、 C、

34、F 为顶点的三角与厶 BCE 相似？若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由./DEC=ZBCEBCECDE,BC=CE，/ x+2 0 x=m+2, F ( m+22(m+4 )，EC=Jm2+4， BC=m+2 ,【解析】(1)把 M(2, 2)代入 y=-1(x+2)(x-m)即可求出 m；( 2)求出 B、C、E 三点坐标m即可求出 SxBCE；(3)利用“两点之间，线段最短”和轴对称的性质可探索解题思路；(4)分两种情况来探讨解题过程，最后利用相似三角形的性质和方程思想来解决问题【答案】解：(1 )依题意把 M(2,2)代入 y二1(x+2)(x-m)得：2=-1(2+2)(2-m

35、)，解得 m=4.mm(2)由 y=0 得：-1(x+2)(x-4)=0 得 x1=-2 , X2=4/B (-2 , 0) C (4, 0).4由 x=0 得：y=2/E (0, 2)/SA BC=BCOE=x6X2=6.2 2(3) 当 m=4 时，C1的对称轴为 x=1X(-2+4) =1，点 B、C 关于直线 x=1 对称连2EC 交对称轴于点 H，贝 U H 点使得 BH+EH 最小设直线 EC 的解析式为 y=kx+b ,把 E (0, 2)、C (4, 0)代入得 y=-x+2，把 x=1 代入得 H (1,3)2(4)分两种情况：当BE3ABCF 时，则/ EBC=ZCBF=4

36、5,BEBCBC BF即 BC2_ BE BF，作 FT 丄 x 轴于点 T,.可设 F (x, -x-2 )(x0),则-x-2=-1(x+2)(x-m)/x+2 0 x=2m, F (2m, -2m -2 ).m.m 22=2V2、2m 1解得m=2_2迈，又m0,Am=2 22.当 BE8 FCB 时，贝 UBCEC，/ EBC=Z CFB, BTFs COEBF BCTF OEBT OC可设 F (x, -2(x+2 ) ( x 0),yt-、匚TJ*0尸BF=222m 2 i亠2m -2=2迈mBE=2、2BC=m+2 .2(x+2) =-1(x+2)(x-m)【点评】本题综合考查了

37、二次函数性质、轴对称性质、相似三角形性质等知识，但解题的 关键要充分运用方程思想和分类思想，同时解题过程中大量的数学计算和代数式 变形也是不小的考验.难度较大.(2012 河南，22，10 分)类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经 常用到，如下是一个案例，请补充完整原题：如图 1,在DABCD 中，点 E 是 BC 边上的中点，点 F 是线段 AE 上一点，BF 的延长线交射线 CD 于点 G，若AF，求CD的值.3EFCG(2)类比延伸式表示)，试写出解答过程(3)拓展迁移如图 3，梯形 ABCD 中，DC / AB，点 E 是 BC 延长线上一点，AE 和 BD 相交于

38、点 F，若AB BC，贝V AF的值是_ (用含a b的代数式a, b(a 0,b0)CD BEEF表示)整理得 0=16，显然不成立综上：在第四象限内，抛物线上存在点BCE 相 似，F,使得以点 B、C F 为顶点的三角与厶(1)尝试探究在图 1 中，过点H，贝 U AB 和 EH 的数量关系,CG 和 EH 的数量关系是,CD的值是CG如图 2,在原题的条件下，若AFEF则CD的值是二m(m一0) CG(用含m的代数2E 作EH/AB交BG于点/ x+2 0 x=m+2, F ( m+22(m+4 )，EC=Jm2+4， BC=m+2 ,解析：(“如图 h 利用EH / AB得厶 EHFS

39、ABF 对应边成比例得 AB=3EH，然后利用中位线定理得 CG=2EH，又TCD=AB ,得出 CD 与 CG 的关系；(2) 与(1)方法道理都相同；(3) 此问是(1 )、(2)类比、拓展延伸，根据前面问题研究方法，要利用所给条件3AB =3EH ;CG =2EH;2AB BCCD_a,BE，所以添加如图= b(a 0,b0)3，过点 E 作EH/ AB 交 BD 的延长线于点H，则有BCBECD,AFAB，两式相比就可得出EHEF-EHAFEFab缶3作EH/ AB 交 BG 于点 H，则 EHFsAABFEH/ AB / CD , BEH BCG CG=2EHEH BEABEHAFE

40、F二 m, AB 二mEH/ AB=CD ,- CD 二 mEHCGCD mEH _mCG一2EH一2.（3）ab点评：这是一道几何综合题，利用平行线截三角形相似，对应线段成比例，关键是研究问题的方法，类比、转化、从特殊到一般等思想方的渗透，这类题的一层一层推进，但方法 总是类似的，原理是一样的（1）如图 1 点 M 为 AB 的中点，在线段 AC 上取点 比使厶 AMN 与厶 ABC 相似，求线段 MN 的长；（2）如图 2,是由 100 个边长为 1 的小正方形组成的 10X10 正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形，请你在所给的网格中画出格点 A1B1C1,使得 A1

41、B1C1与厶 ABC 全等（画出一个即可，不需证明）试直接写出在所给的网格中与 ABC 相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中 的一个（不需证明）解析： 1、当厶 AMNABC 时，易证 MN 为中位线，MN=1=3,-BC，2（2012 湖北武汉,24, 10 分）已知 ABC 中，AB = 25, AC = 45,BC = 6当厶 AMNsACB 时，有人抽MN根据 AM,AC,BC 的值，可求出 MN。AC BC2从整数边 BC 出发，选定 BC,然后分别过 B、C 作边 2、5、45长即可,关键在于怎样在格点中找到面积最大的相似三角形，可考虑在格点中先画出最长的三 角形最长边（A

42、C 的对应边）一正方形对角线，从而找到最大三角形。解：1、如图，当 AMN ACB 时，有AMMNAC BC（2012 山东日照，21, 9 分）如图，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 上的一点，连结 AE,作BF 丄 AE，垂足为 H,交 CD 于 F,作 CG / AE,交 BF 于 G.（1）求证 CG=BH; M 为 AB 中点，AB=2c5AM=5 BC=6 AC=45MN=32当厶 AMN ABC 时，有/ ANMMC,.NMMA=丄BC一BA 2MN=I=3丄BC2.MN 的长为3或 322、（1）如图 3 （答案不唯一）（2） 8 个，如图 4 （答案不唯一）情况讨论，学生

43、容易忽略；（2）问难度在于怎样找到相似三角形中面积最大的以及找 出所有这样的三角形的个数，解题时关键在于找到网格中的最长线段，让它与三角形 最长边对应。题目难度较大。R2(2)FC =BF GF;FC2=GFAB2GB解析： 可证ABHABCG证CFGPBFC可得；(3)先证 BCGBFC得2BC =BF BG,结合 AB= BC 可得.证明： (1)vBF丄AE CG/ AE CGL BF CG BF在正方形 ABCD 中，/ ABH+ / CBG=90, / CBG+ / BCG=90,/ BAH+ / ABH =90o,/ BAH= / CBG, / ABH= / BCG,AB=BC,A

44、BHABCGCG=BH(2)/ BFC= / CFG, / BCF= / CGF=90o,CFG BFCFC GF,BF FC即FC2=BF- GF(3)由(2)可知，BC=BGBF,/ AB=BCA4BG，BFFC2=FG * BF=FGBC2BG * BF BG即FC2=GFAB2GB2点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质，解题的关键是找到全等（或相似）三角形，并找到三角形全等（或相似）（2012， 黔东南州， 21） 如图， OO 是厶 ABC 的外接圆, 线交 AC 的延长线于点Do（1）求证： AB3ABDC（2 ）若 AC=8 BC=6 求厶 BDC 的

45、面积。解析：第（1）小题要证三角形相似，由题意只需证两角 相等即可的长，这样就可以求出 BDC 的面积.解：证明：；AB 是圆 O 的直径,ACB =90 -BD 是圆 O 的切线,ABD =90，A ABC =90 , ABC CBD =90 A CBD.又ACB DCB =90；.AB3ABDC.(2) AB3ABDC,ACBC CD9 -AC =8, BC =6, CD 二2119SBDCBC CD 6 -222点评：本题以基本图形：三角形与圆相结合为背景，综合考察了相似三角形的判定与性质、的条件圆心 O 在 AB 上，过点 B 作OO 的切第（2）小题要利用相似三角形的对应边成比例求出

46、CD27勾股定理、直角三角形的面积计算等知识，是一道比较简单的题目，能让学生发挥自己的思维水平，难度较小.(2012 四川宜宾，24, 12 分)如图，在 ABC 中，已知 AB=AC=5BC=6 且厶 ABC DEF将厶 ABC 重合在一起， ABC 不动， DEF 运动，并满足：点 E 在边 BC 上沿 B到 C 的方向运动，且 DE 始终经过点 A,EF 与 AC 交于 M 点。(1)求证： AB0AECM;(2)探究：在厶 DEF 运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形，若能，求出 BE的长；若不能，请说明理由；(3)当线段 AM 最短时，求重叠部分的面积。DBEC【解析】(1 )由

47、AB=AC，根据等边对等角，可得/ B= / C，又由ABC 7 DEF 与三角形 外角的性质，易证得/ CEM= / BAE，则可证得：ABE ECM ;(2) 首先由/ AEF= / B= / C，且/ AME / C，可得 AE 祺 M，然后分别从 AE=EM 与 AM=EM 去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案；(3)首先设 BE=x，由ABEECM，根据相似三角形的对应边成比例，易得CM=-.:+ x= - - (x - 3)2+ .,，继而求得 AM 的值，禾 U 用二次函数的性质，即可求得线段AM的最小值，继而求得重叠部分的面积.【答案】(1)证明：AB=

48、AC/ B=ZC,又/AEF+ZCEMMAEC2B+ZBAE又厶 ABCADEF/-ZAEFZB,Z CEMZBAE,ABEAECM(2)解：TZAEFZB=ZC,且ZAMZCZAMZAEF；. AEMAM 当 AE=EIM 寸，贝 ABEECM CE=AB=5 BE=BC-EC=1当 AM=E 刪，MAEZMEAZMAEZBAEZMEAZCEM即ZCABZCAE又TZC=ZC,CAEACBA,.，.CEACAC CBCE=AC2_ 25，BE=6-25=1jCB 666(3)解：设 BE=x 又AB0AECM二CM CE，二CM 6_x二CM=126=1+9又当 BE=x=3=1，点 C 为

49、 BC 的中点,BC2iz -v【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、 全等三角形的判定与性质以及二次函数的最 值问题.此题难度较大，注意数形结合思想、分类讨论思想与函数思想的应用是解此题的关 键.本小题也可以用几何法求解。(2012 年广西玉林市，10, 3)如图，正方形 ABCD 的两边 BC AB 分别在平面直角坐标系内 的 x 轴、y轴的正半轴上，正方形 A B C D与正方形 ABCD 是以 AC 的中点 0为中心的 位似图形，已知 AC=3 2，若点 A的坐标为(1 ,2),则正方形 A B C D 与正方形 ABCD分析：延长 A B交 BC 于点 E,根据大正方形的对角线长

50、求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比.解：在正万形 ABCD, AC=3?2 BC=AB=3 延长 A B交 BC 于点 E, 点 A的坐标为(1 , 2),：OE=1, EC=A E=3-1=2,BE 一 AB_x+x (x 3)x55555:AM=5-CM=5-12+9=12+16，:当x=3时，AM最短为16,_(x32_(x3) 一55555AEBC,：AE=AB2_BE2=4此时,EFIAC,：EM=CE2_CM212，5B.正方形 A B C D的边长为 1,正方形 A B C D与正方形 ABCD 勺相似比是1.故选 B.3点评：本题考查了位似变换和坐标与

51、图形的变化的知识，解题的关键是根据已知条件求得两个正方形的边长.(2012 年吉林省，第 25 题、10 分.)如图，在 ABC 中, /A=90, AB=2cm,AC=4cm,动点 P 从点 A 出发， 沿 AB 方向以 1cm/s 的速度向点 B 运动， 动点 Q 从点 B 同时 出发，沿 BA 方向以 1cm/s 的速度向点 A 运动.当点 P 到达点 B 时，P, Q 两点同 时停止运动.以 AP 为一边向上作正方形 APDE 过点 Q 作 QF/ BC,交 AC 于点 F. 设点 P 的运动时间为 t s,正方形 APDE 和梯形 BCFQt 合部分的面积为 Scn2.(1) 当 t

52、=_ s 时，点 P 与点 Q 重合；(2) 当 t=_s 时，点 D 在 QF 上;(3) 当点 P 在 Q, B 两点之间(不包括 Q, B 两点)时，求 S 与 t 之间的函数关125 ft【解析】(1)由于 P, Q 的运动速度相同都是 1cm/s，所以 P, Q 重合的点是 AB 的 中占I八、(2)由 QF| BC 可证 AQFAABC 得出比例式，问题得证.s(2)要分两种情况：当4时，重合部分的图形是直角梯形.确定上下1 t 3底和高.需证 FE3AFAQP AQSAABC.当4时，重合部分的图形是六边形.它的面积- t 23S = S正方形APDE- SAAQF-SDHG【答

53、案】(1)vP, Q 的运动速度都是 1cm/s, P, Q 在 AB 的中点重合.当 t=1s 时，P, Q 重合.(2)TQF| AC4AQ FAEG _ 4-3t2 -t一2(2 -t)EG=3t 2235GD=t-(t 2)=t -222QP=AP-AQS=9t2-2tAF AQ AB即AF 2 t4= 2 AF=4-2t又 DP| AF-DPPQAFAQ2 -2t4 2t2 tt =45(3)当1vt4-时，如图 1、图 2. FQ|BCAF AQAC AB即 AF=4-2t, EF=4-3t又 DE| ABEGFEPG=4-2t, DG=t-(4-2t)=3t-4 -S = S =

54、 S正方形APDE- SAAQF- SDHG21213t-2(2-t)一 2一吋2)【点评】此题主要考查了相似三角形的性质以及正方形的性质， 利用分类讨论思想进行分析即可得出答案是解题关键.（2012 陕西 18， 6 分）如图，在L ABCD中，/ABC的平分线BF分别与AC、AD交于当4-tv2时，由 AFQAABC 得,竺AF=4-2x.AC AB1= 2(4-2t)(2-t)= (2-t)2& AQF同理由 CEHTACBA 可得 EH=1-1t23,HD=22； BP3ABAC 得C图 1C图3点E、F-（1）求证：AB=AF；（2）当AB =3, BC =5时，求AE的值.AC【解析】（1）由等角对等边来进行证明；（2）由厶AEFscEB先求出AE，再求AEECAC【答案】解：（如图，在L ABCD中，AD/BC，.2 =/3-TBF是乙ABC的平分线, . 1 2 - . 1=/3 - AB =AF-（2）：AEF CEB,2 3,AEFCEB，AE AF 3?EC - BC_5AE 3-AC 8【点评】本题综合考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等角对等边、相似三角形的性质等难度中等（2012 陕西 25, 12 分）如图，正三角形ABC的边长