华北电力大学 核反应堆物理分析第4章-均匀反应堆临界理论

1、1均匀反应堆的临界理论均匀反应堆的临界理论主讲：马续波主讲：马续波2Contents前言前言均匀裸堆的单群扩散理论均匀裸堆的单群扩散理论有反射层反应堆的单群扩散理论有反射层反应堆的单群扩散理论功率分布展平概念功率分布展平概念3在上一章中我们讨论了中子在在上一章中我们讨论了中子在非增殖介质非增殖介质内扩散内扩散的规律和中子扩散方程的解法。现在我们进一步的规律和中子扩散方程的解法。现在我们进一步将其用于讨论由核燃料和慢化剂等组成的将其用于讨论由核燃料和慢化剂等组成的有限均有限均匀增殖介质匀增殖介质（反应堆系统）内的中子扩散问题。（反应堆系统）内的中子扩散问题。中心问题是讨论反应堆的临界。中心问题是

2、讨论反应堆的临界。4在反应堆临界理论中，主要研究两方面的问题：在反应堆临界理论中，主要研究两方面的问题：l 各种形状的反应堆达到临界状态的条件（临界条件）各种形状的反应堆达到临界状态的条件（临界条件）: e.g., 临界时系统的体积大小临界时系统的体积大小(临界体积临界体积)和燃料成分（富集和燃料成分（富集度）及其装载量（临界质量）度）及其装载量（临界质量）。l 临界状态下系统内中子通量密度（或功率）的空间分布。临界状态下系统内中子通量密度（或功率）的空间分布。5实际的反应堆系统实际的反应堆系统l物理过程与中子能量物理过程与中子能量的复杂依赖关系的复杂依赖关系 “分群理论分群理论”l几何与材料

3、的复杂性几何与材料的复杂性 “ “均匀化均匀化”处理（处理（均均匀反应堆匀反应堆） 均匀反应堆：均匀反应堆：是指这样一种堆，其堆芯的各种材料（燃料、是指这样一种堆，其堆芯的各种材料（燃料、慢化剂、结构材料等等）是均匀地混合在一起的。因此整慢化剂、结构材料等等）是均匀地混合在一起的。因此整个堆芯的材料特性是一致的，核截面等数据都是一样的。个堆芯的材料特性是一致的，核截面等数据都是一样的。6均匀堆与非均匀堆均匀堆与非均匀堆l世界上数以千计的反应堆中，只有一个名叫世界上数以千计的反应堆中，只有一个名叫“水锅炉水锅炉”的实验堆是均匀堆。其堆芯是硫酸铀酰的水溶液。的实验堆是均匀堆。其堆芯是硫酸铀酰的水溶

4、液。l其他的都是非均匀堆，堆芯中的燃料和慢化剂是分开其他的都是非均匀堆，堆芯中的燃料和慢化剂是分开的，不混在一起。的，不混在一起。 既然如此，为何还要研究均匀反应堆？既然如此，为何还要研究均匀反应堆？Why?7研究思路：从容易的着手，逐步精确化研究思路：从容易的着手，逐步精确化1.均匀堆比较容易描述，建立的物理数学模型均匀堆比较容易描述，建立的物理数学模型比较简单。但是，从中引出的基本概念有普遍比较简单。但是，从中引出的基本概念有普遍应用价值。应用价值。2.工程设计中，对实际的非均匀反应堆进行分析工程设计中，对实际的非均匀反应堆进行分析时，也要先进行时，也要先进行 “均匀化均匀化”，化为均匀堆

5、。，化为均匀堆。81.单群中子扩散方程的建立单群中子扩散方程的建立2.均匀裸堆的单群扩散方程的解均匀裸堆的单群扩散方程的解3.热中子反应堆的临界条件热中子反应堆的临界条件4.几种几何形状裸堆的几何曲率和中子通量密度几种几何形状裸堆的几何曲率和中子通量密度分布分布5.反应堆曲率和临界计算任务反应堆曲率和临界计算任务6.单群理论的修正单群理论的修正均匀裸堆的单群理论均匀裸堆的单群理论9裸堆裸堆：无反射层的反应堆：无反射层的反应堆单群单群：全部中子都在一个能群里。实际上是假设：全部中子都在一个能群里。实际上是假设堆内里所有中子都是热中子。堆内里所有中子都是热中子。热中子不能再慢化了，故方程非常简单，

6、只需考热中子不能再慢化了，故方程非常简单，只需考虑中子的产生、吸收和泄漏。虑中子的产生、吸收和泄漏。 1 1. .单群理论的建立单群理论的建立10),(),(),(),(),(102trStrktrtrDttraa 对于由燃料与慢化剂组成的均匀增殖介质反应堆系统，单位时对于由燃料与慢化剂组成的均匀增殖介质反应堆系统，单位时间、单位体积内的间、单位体积内的裂变中子源强裂变中子源强为：为：),(),(trtrSfF 根据无限介质增殖因子定义根据无限介质增殖因子定义),(),(trktrSaF代入代入单群中子扩散方程单群中子扩散方程可得可得l D及及 a是对中子能谱平均后的数值；是对中子能谱平均后的

7、数值；l 在反应堆运行初期，须考虑外源中子，大多数情况下忽略外中子，认为在反应堆运行初期，须考虑外源中子，大多数情况下忽略外中子，认为裂变中子是反应堆内中子的唯一来源裂变中子是反应堆内中子的唯一来源?110),2(),2(tata221)()(1)()(LkdttdTtTDxx)()(),(tTxtx)()0 ,(0 xxa/2a/20 x无限平板反应堆),(),(),(),(12txktxtxDttxaa(4-3)无外源无限平板反应堆单群扩散方程无外源无限平板反应堆单群扩散方程初始条件为初始条件为(4-4)边界条件为边界条件为(4-5),(1),(),(122txLktxttxD(4-6)由

8、式(4-3)得利用分离变量法求解分离变量法求解，方程具有如下形式的解：(4-7)将(4-7)式代入(4-6)式(4-8)2 2. .均匀裸堆的单群扩散方程的解均匀裸堆的单群扩散方程的解12, 5 , 3 , 1nanBn, 3 , 2 , 1) 12(nanBnBxCBxAxsincos)(02cosBaA22)()(Bxx上式两端必须等于某一常数，设为-B2，有0)()(22xBx或(4-9)波动方程(4-9)式的通解为由于初始通量密度分布0(x)关于x=0平面对称，因此只能选择满足对称条件的解，即BxAxcos)(由边界条件(4-5)式可导出(x)满足如下的边界条件：(a/2)=0因此要求

9、或(4-10)xanAxBAxnnnn) 12(coscos)(波动方程(4-9)只对某些特定的特征值特征值Bn才有解，相应的解 n(x) 称为此问题的特征函数称为此问题的特征函数。1322222221)1 (/)1 (nnannBLlBLDDBLDLlnnltknCeT/) 1(nnnnlkdttdTtT1)()(1221)()(1nnnBLkdttdTtTDnnltknnexanAtx/)1(1) 12(cos),( 由于特征函数的正交性，对于每一个n值的项都是线形独立，因此对应于每一个Bn2值和n(x)，都有一个Tn(t)与之对应该式可转换为式中221nnBLkk(4-12)(4-13)

10、(4-14)l 为无限介质的热中子寿命，为无限介质的热中子寿命，ln是有限介质热中子寿命是有限介质热中子寿命。方程(4-12)解为其中C为待定常数。对于一维平板反应堆，其中子通量密度的完全解中子通量密度的完全解就是对n=1到n=所有项的总和，即(4-15)141. 对于一定几何形状和体积的反应堆芯部，若对于一定几何形状和体积的反应堆芯部，若B12对应的对应的k11，则，则(k1-1)为正值，中子通量密度为正值，中子通量密度 (x,t)将随时间不断增加，系将随时间不断增加，系统处于超临界状态。统处于超临界状态。3. 若调整堆芯尺寸或改变材料成分，使若调整堆芯尺寸或改变材料成分，使k1 =1，则其

11、余，则其余(kn-1)都将为负值。都将为负值。中子通量密度中子通量密度 (x,t)第一项将与时间无关，而其它各项将随时间而衰减。第一项将与时间无关，而其它各项将随时间而衰减。当时间足够长时，当时间足够长时，n1各项将衰减到零，系统处于稳态，中子通量密度各项将衰减到零，系统处于稳态，中子通量密度按基波形式按基波形式(B=B1)分布，系统处于临界状态分布，系统处于临界状态。, 3 , 2 , 1) 12(nanBn221nnBLkknnltknnexanAtx/)1(1) 12(cos),(3 3. .热中子反应堆的临界条件热中子反应堆的临界条件三种情况：三种情况：150)()(22rBrg112

12、121BLkk重要结论：重要结论：(1) 裸堆单群近似的临界条件为：(4-17)B12为波动方程的最小特征值，记为Bg2，称为特征曲率，称为特征曲率；k1为有效增殖因子。(2) 反应堆处于临界状态时，中子通量密度按最小特征值中子通量密度按最小特征值Bg2对应的基波函对应的基波函数分布数分布，也就是说，稳态反应堆的中子通量密度空间分布满足波动方程(4-18)16xaAxcos)(1)(1221aLkk无限平板反应堆的临界条件无限平板反应堆的临界条件为(4-19) 若系统材料组成给定若系统材料组成给定，则只有一个唯一的尺寸a0能使k1=1，即为临界大小；当aa0时，则k11，为超临界；当aa0时，

13、k10，超临界； 0，次临界| |表示反应堆偏离临界状态的程度。 PCM: 反应性单位，反应性单位，1PCM=10-5 元：元：$，分：，分： ，1 1 $ =100 =100 ; 1元反应性元反应性=1 eff （反应堆（反应堆动力学）动力学）(4-49)33 单群是一种非常近似的方法。对于热中子反应堆，直接以上临界条件有较大误差单群是一种非常近似的方法。对于热中子反应堆，直接以上临界条件有较大误差。 修正：修正：用用M2=L2+ 来替换上式中的来替换上式中的L211221gBLkk221LkBm11221gBMkk221MkBm热中子反应堆的 修正单群理论修正单群理论。例题：例题：P100

14、6 6. .单群理论的修正单群理论的修正34反应堆的最佳形状反应堆的最佳形状这里所谓最佳最佳，是指用同样材料，做成的反应堆临界体积最小。组成反应堆的材料确定后，材料曲率就定组成反应堆的材料确定后，材料曲率就定了，堆的临界几何曲率了，堆的临界几何曲率Bg也定了。但是，也定了。但是，对同一个几何曲率对同一个几何曲率Bg值，可以有不同的形值，可以有不同的形状和尺寸，对应不同的体积状和尺寸，对应不同的体积。 35 2222222gxyzB B + B + Babcg22B()R222222.405()()grzBBBRH36 反应堆的最佳形状（续）几何形状最佳尺寸最小临界体积长方体abc161/圆柱D

15、1.08H148/球R130/ 3B3B3B371. 反射层的作用以及如何选择反射层反射层的作用以及如何选择反射层2. 一侧带有反射层的反应堆一侧带有反射层的反应堆 带有反射层的球形堆带有反射层的球形堆 一侧带有反射层的柱形堆一侧带有反射层的柱形堆3. 反射层节省反射层节省三、有反射层反应堆的单群扩散理论三、有反射层反应堆的单群扩散理论38 减少芯部中子的泄漏，从而减小芯部的临界体积，节省一减少芯部中子的泄漏，从而减小芯部的临界体积，节省一部分核燃料；部分核燃料； 提高反应堆的平均输出功率，这是由于反射层的原因，其提高反应堆的平均输出功率，这是由于反射层的原因，其芯部中子通量密度分布比裸堆的中

16、子通量密度分布更加平芯部中子通量密度分布比裸堆的中子通量密度分布更加平坦的缘故。坦的缘故。如何选择反射层？如何选择反射层？ 反射层材料散射截面要大反射层材料散射截面要大 反射层材料吸收截面要小反射层材料吸收截面要小 良好的慢化能力良好的慢化能力热中子堆热中子堆常用的反射层材料有：常用的反射层材料有：H2O, D2O, 石墨，铍等。石墨，铍等。快堆快堆常用反射层材料：常用反射层材料：重核重核 ？1 1. .反射层的作用以及如何选择反射层反射层的作用以及如何选择反射层39221ccLkkB0)()()(2rkrrDcaccaccc芯部稳态单群扩散方程芯部稳态单群扩散方程 (角标角标 c)(4-52

17、)u 该方程只有对于临界系统临界系统才成立。u 对于任意给定材料成分及几何形状与尺寸的反应堆系统，它不一定处于稳态 引入一个特征参数引入一个特征参数k来进行调整使其达到临界。0)()()(2rkkrrDcaccaccc或者写为0)()(22rBrcccLc 为芯部的扩散长度。(4-53)(4-54) 多区问题多区问题: 分别写出每一区的扩散方程分别写出每一区的扩散方程证明证明: K为芯部的有效增殖因子为芯部的有效增殖因子2 2. .一侧带有反射层的反应堆一侧带有反射层的反应堆40221rrLk 0)()(22rkrrrr反射层稳态单群扩散方程反射层稳态单群扩散方程 （角标为（角标为 r）(4-

18、56)式中(4-57)Lr为反射层的扩散长度。 边界条件边界条件为：(1) 在芯部或反射层的交界面上rcrrccDD(4-58)(2) 在芯部或反射层的外推边界上中子通量密度为零外推边界上中子通量密度为零411. 带有反射层的球形堆带有反射层的球形堆（芯部半径为（芯部半径为R，反射层厚度为，反射层厚度为T）rrkArrkCrrrr)cosh()sinh()(rrTRkCrrr)(sinh)(rrBArcc)sin()(4-59)芯部方程式解芯部方程式解：反射层方程式解：反射层方程式解：(4-60)(tanhTRkCAr)sinh(1)cosh()sin()cos()sinh()sin(22Tk

19、RRTkkCDRRBRRBBADRTkCRRBArrrrccccrc根据：反射层外推边界反射层外推边界r=R+T处中子通量密度为零，有处中子通量密度为零，有上式代入(4-60)可得(4-61)方程(4-59)、(4-61)有两个常数，由芯部与反射层交界面处边界条件芯部与反射层交界面处边界条件确定42rrtcccLTLRDRBRBDcoth1)cot(1带反射层球形反应堆单群临界方程反射层球形反应堆单群临界方程给出了临界曲率与临界尺寸的关系给出了临界曲率与临界尺寸的关系 当堆芯材料、反射层材料尺寸已经确定时，用此公式计算临界尺寸 a 的值。 当堆芯尺寸已经确定时，用它来计算达到临界所需的堆芯材料

20、成分 材料定，曲率知，算尺寸 尺寸知，算曲率，配材料。431 裸堆裸堆 2 有反射层反应堆有反射层反应堆442. 侧面带有反射层的圆柱形反应堆侧面带有反射层的圆柱形反应堆 (半径半径R，高度，高度H，侧面反射层厚度，侧面反射层厚度T)0)2,()2,(HrHrrc0),(zTRr;rrccrcDD0),(),(22zrBzrccc芯部反射层0),(),(22zrkzrrrr(4-63)(4-64)边界条件边界条件为(1) 在z=H/2处(2) 在r=R+T处(3) 在r=R处(4-65)(4-66)(4-67)45RR 0 芯部周围有反射层芯部周围有反射层 部分泄露出芯部的中子在反部分泄露出芯

21、部的中子在反射层内被散射而返回芯部，减少了中子损失，提高射层内被散射而返回芯部，减少了中子损失，提高了中子的不泄露概率。了中子的不泄露概率。 因此在芯部材料性质相同情况下，临界体积就要因此在芯部材料性质相同情况下，临界体积就要比裸堆的临界体积小。比裸堆的临界体积小。反射层节省反射层节省 ：反应堆加上反射层所引起的临界尺寸：反应堆加上反射层所引起的临界尺寸的减少。的减少。(4-81)2 2. .反射层节省反射层节省46反射层节省472222222405. 22405. 2effeffzrzrcHRHRBBB对于圆柱形反应堆圆柱形反应堆，反射层节省通常分别用径向和轴向的反射层径向和轴向的反射层节省

22、来表示)22(,00HHRRzr(4-82) 可以把有可以把有反射层反应堆的几何曲率用芯部外形尺寸增大反射层反应堆的几何曲率用芯部外形尺寸增大 或或 2 来表示来表示。带反射层球形堆反射层球形堆22RBg圆柱形反应堆圆柱形反应堆R Reffeff、Heff称为称为等效半径等效半径、等效高度等效高度48)tanh(rrLTLrrrcccLTLRDRBRBDcoth1)cot(1rrccLTLBBtanh)tan(带反射层球形反应堆反射层节省反射层球形反应堆反射层节省(1) 反射层厚度很小，即反射层厚度很小，即 T Lr = Lr。 过大的增加反射层厚度是没有太大意义的！过大的增加反射层厚度是没有

23、太大意义的！rcrcLTRBLBcoth)cot(临界方程临界方程设Dc=Dr设反射层节省反射层节省 ，将R=R0- =/Bc- 代入上式得rrccLTLBBtanharctan1反射层节省反射层节省 因为因为 很小，可得很小，可得49讨论题讨论题一个裸堆，加上反射层以后，几何曲率与材料曲率还相等吗？50讨论题答案 不相等了。不相等了。 裸堆如果原先是临界的，加上反射层以后，裸堆如果原先是临界的，加上反射层以后，就超临界了。就超临界了。 如欲仍然维持临界，只能如欲仍然维持临界，只能 改变堆芯成分，降低材料曲率改变堆芯成分，降低材料曲率 减小堆芯尺寸，把几何曲率提高到与裸堆减小堆芯尺寸，把几何曲率提高到与裸堆时一样。时一样。51VHdVrVK)(1max 反应堆内的中子通量密度空间分布是不均匀的，而功率密度和中子通量反应堆内的中子通量密度空间分布是不均匀的，而功率密度和中