导数解答题精选含答案复习过程

1、此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除一、导数与单调性（一）含参数函数的单调性1. 已知函数 f(x)= 1x 2 ax+(a 1) ln x ，讨论函数 f ( x) 的单调性 ,求出其单调区间。2解： f ( x) 的定义域为 (0,) .f ' (x) x aa 1 x2ax a 1 (x 1)(x 1 a)x1x a 1=xxxx令 f ' x0得: x11, x2a 1(1) 若 a1 0即 a1时， f ' (x)0x 1; f ' ( x) 00x1此时 f ( x)在 (1,)单调递增 , 在 (0,1)单调递减(2) 若 a 1 0即 a

2、 1时，若 a11 即 a2 时， f ' ( x)( x1)2>0, 故 f ( x) 在 (0,) 单调递增 .若 0< a 1 1 ,即 1 a2 时，x由 f ' ( x)0 得， a 1x 1 ；由 f ' ( x)0 得， 0 xa 1或x 1故 f (x)在 (a 1,1) 单调递减，在 (0, a1),(1,) 单调递增 .若 a11 ,即 a2 时，由 f ' ( x)0 得， 1 xa 1 ；由 f ' ( x)0 得， 0 x1或x a 1故 f (x)在 (1,a1) 单调递减，在 (0,1),( a1,) 单调递增

3、.2（文）讨论f ( x)axln x 的单调性解： f ( x)axln x 的定义域为 (0,)f '( x) a1ax 1 ( x 0) (它与 g(x) ax1同号)xxI）当 a0 时， f ' (x)0( x0) 恒成立 （此时 f ' ( x)0x1 没有意义）a此时 f ( x) 在 (0,) 为单调增函数，即 f (x) 的增区间为 ( 0,)II）当 a0 时， f ' ( x)0( x0) 恒成立，（此时 f ' ( x)0x1不在定义域内，没有意义）a此时 f (x) 在 (0,) 为单调增函数，即f ( x) 的增区间为 (0,

4、)III)当 a0 时 , 令 f ' ( x)0x1a1) 为单调增函数，f (x) 在 (1) 是单调减函数，此时 f ( x) 在 (0,aa即 f ( x) 的增区间为 (0,1) ;f ( x) 的减区间为 (1 ,) .aa2. （理）设函数f ( x)xekx( k0)只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除（）求曲线 yf (x) 在点 (0, f (0) 处的切线方程；（）求函数f ( x) 的单调区间；（） f 'x1kx ekx , f '01, f 00,曲线 yf ( x) 在点 (0, f (0)处的切线方程为yx .（）由

5、 f 'x1 kx ekx0 ，得 x1k0 ，k若 k0，则当 x,1时， f ' x0，函数 fx 单调递减，k当 x1 ,时， f 'x0，函数 fx单调递增，k若 k0，则当 x,1时， f ' x0，函数 fx 单调递增，k当 x1 ,时， f 'x0，函数 fx单调递减，k3.已知函数f ( x)x2a(2ln x),( a0) ，讨论 f (x) 的单调性 .x本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。解析f ( x) 的定义域是 (0,+2ax2ax2), f ( x) 1xx2.

6、x2设 g (x)x2ax 2 , 二次方程 g (x) 0 的判别式a28 .当a280 ，即 0 a2 2 时，对一切 x0 都有f ( x)0 , 此时 f (x) 在(0,) 上是增函数。当a28 0 , 即 a 22 时，仅对 x2 有 f ( x)0 , 对其余的 x0 都有f ( x)0 ,此时 f ( x) 在 (0,) 上也是增函数。当a28 0 ，即 a 22 时，方程 g( x)0 有两个不同的实根aa28aa28x2 .x1, x22, 0 x12只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除此时 f (x) 在 (0, aa28 ) 上单调递增 ,在 (

7、aa28 , aa28 ) 是上单调递减 ,222在 ( aa28 ,) 上单调递增 .24已知函数讨论函数 f （ x）的单调性解： 当 a+10，即 a 1 时， f' （ x） 0， f（ x）在（ 0，+）单调递减；（ 7 分） 当 a0时， f'（ x） 0， f（ x）在（ 0， +）单调递增；（ 8 分） 当 1 a0 时，由 f'（ x） 0 得， 或（舍去）f （ x）在单调递增，在上单调递减；（10 分）综上，当 a0 时， f （ x）在（ 0， +）单调递增；当 1 a0 时， f （ x）在单调递增，在上单调递减当 a 1 时， f （x）在（

8、 0， +）单调递减；（12 分）（二）单调性的逆用1若函数 f ( x) x211 在其定义域内的一个子区间(k1, k1) 内不是单调函数，ln x2则实数 k 的取值范围（）A 1,B3C1,2D3,2 1,22【答案】 B【解析】试题分析：函数的定义域为(0,)， 所 以 k1 0即 k 1，f ( x)14 x 21( x) 0 ，得 x1或 x12 x2 x，令 f2（不在定义域内舍） ，2 x2由于函数在区间 （ k-1 ，k+1）内不是单调函数， 所以 1(k1, k 1)即 k 11k1 ，22只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除解得1k3 ，综上得 1

9、k3 ，答案选 B.2222 已知函数 f (x)ax处取得极值 2，在 x 1x2 b（）求函数f ( x) 的解析式；（） m 满足什么条件时，区间(m,2m1)为函数 f (x) 的单调增区间？解析：(1)已知函数ax，f (x)a( x2b)ax(2 x) 2分f ( x) = 2( x2b)2.xb0, 即a(1b) 2a0,又函数 f (x) 在 x=1 处取得极值 2，f(1)a2a4, 4分f (1)2,1b1.b当 a=4,b=1,f (x)当 1 x 1时， f ( x)f (x)4x.2x124( x1)4 x(2 x)0, x1时， f ( x)（41x2），22(x1

10、)0 ，f (x)在 x1处取得极值. 6分(2) 由 f ( x)4( x21)4x(2 x)0 x1 . 8分22(x1)所以 f (x)4x的单调增区间为 1, 1. 分10x21m1,若 (m, 2m1) 为函数 f (x) 的单调增区间，则有2m11,解得 1 m 0.2m1m,即 m ( 1, 0 时， (m, 2m 1) 为函数 f (x) 的单调增区间 . 分123已知函数 f (x)ln x1ax22x 2（1）若函数 f ( x) 在 x2 处取得极值，求实数a 的值；（2）若函数 f ( x) 在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围；【答案】（1 ） a3 ；（2） a

11、1；4【解析】试题分析：（ 1）求出函数的导数f （' x）f（'2） 0，即可得到，根据题意解关于 a 的等式实数 a 的值；（2）由题意，不等式f （' x） 0 在（ 0，+）内恒成立，等价转化为 a12x在（ 0，+）x2内恒成立，求出右边的最小值为-1，即可得到实数a 的取值范围；（3）原方程化简为123b0，设g（ x）123lnx，利用导数研究g（ x）的单xx lnxxxb（, x0）4242调性得到原方程在1，4上恰有两个不相等的实数根的等价命题，建立关于b 的不等式组并解之，即可得到实数b 的取值范围只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系

12、网站删除试题解析：（ 1）由 f(2)0 可得 a3 ；4（2）函数 f (x) 的定义域是 ( 0, )函数 f (x) 在定义域内单调递增f ( x)1ax20在 (0,) 上恒成立x12在 (0,) 上恒成立即 axx 212( 11) 21x2xxa1二、含参数函数的极值与最值，恒成立问题1 已知函数f (x)(ax2)ex 在 x1 处取得极值（ 1）求 a 的值；（ 2）求函数 f (x) 在 m, m 1 上的最小值；（3）求证：对任意x1 、 x20,2 ，都有 |f (x1)f (x2 ) | e (m 2)emm1【答案】 (1)a=1 ；（ 2） f ( x) mine0

13、m 1； (3)见解析(m1)em 1m0【解析】试题分析： (1)f()x(ax2)ex(ax a2)ex,1分x ae由已知得 f(1)0，即 (2 a2)ex0 ，解得 a=1.3分当 a=1 时 , f(x)在 x=1 处取得极小值, 所以 a=1.4分（2）f( )(x2) xx( x 2)exxxe， f ( x) e( x 1)e ，令 f '(x)0得 x>1，令 f (x)0 得 x<1，所以函数 f(x)在 (,1) 上单调递减，在(1,) 上单调递增，5分当 m 1时， f ( x) 在 m, m1 上单调递增，f ( x) minf (m) (m2)

14、em ；当 0<m<1时， m1m1， f ( x) 在 m,1 上单调递减，在1,m 1 上单调递增，f ( x)minf (1)e ；只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除当 m0时，m 11 ，f(x) 在 m, m1 上单调递减， f (x)minf (m1)(m1)em 1.(m 2)emm1综上， f(x)在 m, m1 上的最小值f ( x)mine0m18分(m1)em 1m0(3) 由 (1)知 f ( x)x 2 ex , f ( x)( x1)ex.令 f ( x)0，得 x=1，因为 f (0)2,f (1)e,f (2) 0 ，所以，

15、x0, 2 时， f ( x) max 0,f ( x)mine .10分所以 , 对任意 x1 , x20, 2 , 都有 | f ( x1 )f ( x2 ) |f ( x) maxf ( x)min e .12分2（ 12 分）已知函数 f(x) lnx mx（ m R）（1）若曲线 y f(x)过点 P(1, 1) ，求曲线 yf(x) 在点 P 处的切线方程；（2）若 f(x)0 恒成立求 m的取值范围 .（3）求函数f(x) 在区间 1 ，e 上的最大值；1【答案】（ 1） y1, （ 2） m, （ 3）参考解析e【解析】试题分析：（ 1）由 f ( x)ln xmx( xR)

16、，对 f ( x) 求导，再求出f '(1)的值即为过点 P的斜率，再根据点斜式表示出结论.（2）由 f ( x)0 恒成立即等价于 mln x 恒成立，求出ln x ， x0 的最大值，即为 m的xx最小值，通过新建立函数利用求导可得ln x 的最大值 .x（3）对函数 f ( x)ln xmx(xR) 求导，根据 m的取值情况得出导函数f '(x) 的正负，即可得到函数相应区间的单调性，由此可到函数f (x) 的最大 .试题解析：（ 1） Qf (x) 过点 P(1,1)1ln1mm 11分f ( x) ln xxf '(x)11f '(1)02分x过点 P

17、(1, 1) 的切线方程为 y13分（2） Q f ( x)0 恒成立，即 ln xmx0 恒成立mxln x又Q f ( x) 定义域为 (0,)mln x 恒成立4分ln x1 ln xxQ g '( x)当 x=e 时， g '(e) 0设 g( x)x2x只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除当 0xe时， g '( x)0, g (x) 为单调增函数，当 xe时， g '( x)0, g(x) 为单调减函数g( x)maxg (e)1当 m10恒成立 7e时， f ( x)分e（3） Q1m1mxf '( x)xx当 m0时

18、， f '( x)0f ( x) 在 (0,) 为单增函数Q 在 x1,e 上， f (x)maxf (e)1 me8分当 1m1时，即 11e时emx (0, 1 ) 时， f '( x) 0 ， f ( x) 为单增函数， mx ( 1 ,) 时， f '(x)0， f (x) 为单减函数mf ( 1 )x1,e上 f ( x) maxln m19分m当 m 1时， 011, f ( x) 在 ( 1 ,) 为单减函数mmx1,e 上， f ( x)maxf (1)m 10分当 0 m1时，即1e 时， f ( x) 在 (0,1 ) 为单增函数emmx1,e时，

19、f ( x)maxf (e)1 me11分综上所述当 m1f (e)1me时， f ( x) max当 1ef ( 1 )m1时， f ( x) maxln m1em当 m1时， f (x)maxf (1)m12分3（ 12 分）已知函数在点（ 1， f （ 1）的切线方程为 x+y+3=0 （ ）求函数 f （ x）的解析式；（ ）设 g（ x） =lnx ，求证： g（ x）f（ x）在 x1， +）上恒成立解解：（ ）将 x= 1 代入切线方程得 y= 2答：，化简得 ba= 4 （2 分）只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 （4 分）解得： a=2， b=2 （

20、 6 分）（ ）由已知得在 1， +）上恒成立化简得（ x2+1） lnx 2x 2即 x2lnx+lnx 2x+20 在 1，+）上恒成立 （ 8 分）设 h（x） =x 2lnx+lnx 2x+2， x1，即 h'（ x） 0 （ 10 分） h（ x）在 1， +）上单调递增， h（ x） h（ 1） =0 g（ x） f（ x）在 x1， +）上恒成立 （ 12 分）4（本小题满分14 分）已知函数 f (x)ln xa .x（1）若 a>0,试判断 f (x) 在定义域内的单调性;（2）若 f ( x) 在 1,e上的最小值为3,求 a 的值 ;2（3）若 f ( x)

21、x2在 1,上恒成立 ,求 a 的取值范围1）fx在0,23 a1 .【答案】（上是单调递增函数； （ ） a=-e ；（ ）【解析】试题分析：（ 1）由题意知 f x的定义域为0,求导数知 fx0 ,f x 在 0,上是单调递增函数；（2）讨论 a1 ； ae ； ea1,等几种情况，通过研究函数的单调性、确定最小值，建立方程求解 .（3）由已知得到axln xx3 ，令 g xxln x3xgx1ln x3x2116x2. .x ,h,h x6xxx通过讨论函数的单调性明确gxg11得解 .试题解析：（ 1）由题意知 fx的定义域为0,且 f '(x)= 1 +a = xa, a&

22、gt;0, ,xx2x2 f x0 ,故 fx在 0,上是单调递增函数4 分只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除（2）由（ 1）可知 ,fx = xa .x2 若 a1 ,则 xa0,即 fx0 在 1,e上恒成立 ,此时 fx在 1,e上为增函数 , fxmin=f(1)=-a=3 ,a=- 3(舍去 )6 分22 若 ae ,则 xa0 ,即 fx0 在 1,e上恒成立 ,此时 fx在 1,e上为减函数 , fx min=f(e)=1-a = 3 ,a=- e(舍去 )8 分e22 若ea令fx0得xa,1,当 1xa 时 ,fx0, fx在 1,a上为减函数 ;当a

23、xe时 ,fx0 , fx在a, e上为增函数 , fx min=f (-a)=ln(-a)+1=3 ,a=-e .综上所述 ,a=-e10分2（3） f(x)<x 2 ,ln x-a <x 2 .又 x0,axln xx3 ，x令 gxxln xx3 ,hxgx1ln x3x2 ,hx16x1 6x2. .xx x1,时 , hx0,hx在 x1,上是减函数 . hxh 120,即 gx0,gx在 x1,上也是减函数 .gxg 11, 当 a1时 ,fxx2 在 x 1,上恒成立14 分5（本小题满分13 分） f ( x)2ln x1x（1）求 f ( x) 的单调区间和极值（

24、2）若 x 1,) 及 t1,2不等式 f ( x)t 22mt2恒成立，求实数m 的范围 .【解析】试题分析：（ 1）f ( x)212 x10x1 ，应用“表解法” ，讨论 x ， f ( x) ， f (x) 的x x2x22对应关系，即得 .f ( x) 单调递减区间为(0, 1 ) ，单调递增区间为( 1 ,) ，极小值是 2ln2 ，无极大值 .22（2）由（ 1）可知 f ( x) 在 (1,) 上单调递增从而 t 22mt 10 对 t1,2 恒成立，解12m10 ，即得所求 .44m10只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除试题解析：（ 1） f (x)2

25、12x11x220xxx2列表如下：x(0, 1)1(1, )222f ( x)0f ( x)极小值 2 ln2Z所以， f ( x) 单调递减区间为(0,1) ，单调递增区间为(1 ,) ，极小值是 2ln2 ，无极大值 .22（2）由（ 1）可知 f ( x) 在 (1,) 上单调递增所以 t 22mt2f ( x)min f (1)1 即 t 22mt10 对t1,2 恒成立所以 12m10 ，解得 m5.44m1046（本小题满分14 分）已知函数 f ( x)x1ln x（ 1）求曲线 y f ( x) 在点 (2, f (2) 处的切线方程；（ 2）求函数 f (x) 的极值；（3

26、）对x (0,), f ( x)bx 2 恒成立，求实数 b 的取值范围【答案】（ 1） x2 y 2ln 20；（2）函数 yf ( x) 的极小值为 f (1)0 , 无极大值；（ 3）b 11e2 .【解析】试题分析：（ 1）先求出f (2) ，再根据导数的几何意义，求出该点的导数值，即可得出曲线在此点处的切线的斜率，然后用点斜式写出切线方程即可；（ 2）令导数大于0 解出函数yf ( x) 的增区间；令导数小于0，解出函数yf (x) 的减区间，然后由极值判断规则确定极值即可；（ 3）由恒成立，于是构造函数x (0,), f ( x) bx 2 恒成立， 得到 b1ln x) 上1在

27、(0,1ln xxxg(x)bg( x) min .1，即可将所求问题转化为xx试题解析：（ 1）函数的定义域为 (0,) ， f ' ( x)11， f ' (2)1， f (2)1 ln 2 ，x12曲线 yf ( x) 在点 (2, f (2) 处的切线方程为 y(12) ，ln 2)(x2即 x 2y2 ln 2 0 ,只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除（2）令 f ' ( x)0 ，得 x1 ，列表：x(0,1)1(1, )f ' (x)-0+f ( x)0函数 yf ( x) 的极小值为 f (1) 0 ,无极大值。（3）依题

28、意对x(0,), f (x)bx2 恒成立等价于 x1ln xbx 2在 (0,) 上恒成立可得 b 11ln x在 (0,) 上恒成立，xx令 g( x) 11 ln x , g '( x)ln x22xxx令 g' (x)0 ，得 xe2列表：x(0,e2 )e2(e2 , )g' ( x)-0+g( x)11e2函数 yg (x) 的最小值为 g(e2 )11,1e2根据题意，b1.e2三、图像交点个数问题1（ 12 分）（ 2012?威海一模）已知函数f （x） =（ ）若曲线 f （ x）在点（ 2， f（ 2）处的切线与直线2x+3y+1=0 垂直，求 a

29、的值；（ ）讨论函数 y=f （x）的单调性；（ ）当 a=2 时，关于 x 的方程 f（ x） =m 有三个不同的实数根，求实数m 的取值范围解：（ I ）由已知可知f（ x）的定义域为 x|x 0f'（ x） =x a1+（ x 0）只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除根据题意可得，f' （ 2）=2 a 1+=，a= 1（II ） f' （ x） =x a 1+=（ x 0） 当 a 1 时，由 f（ x） 0 可得 x a 或 0 x 1；由 f （ x） 0 可得 0 x 2af （x）在（ 2a， +）上单调递增，在（0， 2a）上单调

30、递减 当 0 a 1 时，由 f （ x） 0 可得 x1 或 0 x a； 当 a=1 时，在区间（ 0， +）上 f（ x） 0 恒成立当 a 1 时， f（ x）在（ 0， 1），（a， +）上单调递增，在（1， a）上单调递减；当 0 a 1 时， f （ x）在（ 0， a），（1， +）上单调递增，在（a， 1）上单调递减；当 a=1 时， f（ x）在（ 0， +）上单调递增当 a0 时， f （ x）在（ 1，+）上单调递增，在（ 0， 1）上单调递减（III ）当 a=2 时， f（ x）=，由（ II ）问知， f（ x）在（ 0，1），（ 2，+）上单调递增，在（1， 2）上单调递减；f （x）的极大值为f（ 1） = ， f（ x）的极小值为f（ 2） =2ln2 4，当 m（ 2ln2 4，），函数方程 f（ x） =m 在（ 0， +）上有三个不同的实数根，因此实数 m 的取值范围是（ 2ln2 4，）212f ( x)2p(1, f (1) 处的切线