导数计算公式

1、导数公式一、基本初等函数的导数公式已知函数： (1)yf(x)c；(2)yf(x) x；(3)yf(x)x2；(4)y f(x)1x；(5)yf(x)x.问题：上述函数的导数是什么？提示：（1） yf x x f xcc0， y limy0.xxxx 0x2111x.2)(x)1，(3)(x )2x， (4) x x2，(5)(x) 2*)的形式，其导数有何规律？函数 (2)(3)(5)均可表示为 yx (Q11111 122 1x) (x2 2提示： (2)(x)1·x ，(3)(x) ·，(5)()2x2 x1 1， (x ) x .2x基本初等函数的导数公式原函数导函

2、数f(x) c(c 为常数 )f(x) 0 1f(x) x( Q*)f(x) xf(x) sin xf(x) cos xf(x) cos xf(x) sin xf(x) axf (x)axln af(x) exf (x)exf(x) logaxf 1(x)xln af(x) ln xf 1 (x)x二、导数运算法则1已知 f(x) x， g(x) x.问题 1： f(x)， g(x)的导数分别是什么？11问题 2：试求 Q(x)x x，H(x) x x的导数11 x提示： y (xx)x x xx xx x x ，y 11，Q (x) limy lim111.xx x xxx x x1 2x

3、0x 0x1同理 H(x)1x2.问题 3： Q(x)，H(x)的导数与 f(x)，g(x)的导数有何关系？提示： Q(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的和， H(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的差导数运算法则1 f(x) ±g(x) f(x) ±g(x)2 f(x) ·g(x) f(x)g(x)f(x)g (x)f xf x g x f x g x3. g xg x 2(g(x)0)题型一利用导数公式直接求导例 1求下列函数的导数： (1)y 10x； (2)ylg x；(3) ylog 1x ；2(4)y 4 x3；(5) y sin xcos x2

4、1.22xx1解 (1)y (10 )10ln 10；(2)y (lg x)xln 10；11433sinxcosx；(4)y (x )；(5) y(3)y1xln 2422xln 2x422xx x2x 1 sin 22sin2cos2cos 21sin x， y (sin x) cos x.练习 求下列函数的导数：1 x1x32x(1)y e ； (2)y10；(3)y lg 5；(4)y3lgx；(5)y 2cos21.解： (1)y 1 x1 x11 x；(2)y 1 x1e eln e ex e10 101 ln 10xln 10；(3)y lg 5 是常数函数， y (lg 5)x

5、ln10 10x 100；312x(4)y 3lgx lg x， y(lg x) xln 10；(5)y2cos 21cosx，y (cos x) sin x.题型二利用导数的运算法则求函数的导数例 2求下列函数的导数：x3xxx2e 1(1)yx ·e ；(2)y xsin2cos2；(3)y x log3x；(4)y ex1.解 (1)y (x3)ex x3(ex) 3x2exx3exx2(3 x)ex.111(2)y x 2sin x， y x 2(sin x)12cos x.2213.(3)y (x log3x)(x ) (log3x) 2x xln(4)y ex 1 ex1

6、 ex1 ex1 ex ex 1 ex 1 exex1 2ex1 22exex 1 2.练习 求下列函数的导数：cos x1 x1 x1(1)yx；(2)yxsin xx；(3)y1 x1 x；(4)ylg x x2.解： (1)y cos xcos x ·x cos x·x x·sin xcos xx x2x2xsin xcos xx2.(2)y (xsin x)(1x) sin xxcos x.2x1x2222x41x 2(3) y1x1x 4 2， y 1 x 1x1x4 1x 41x 21x 2.1112(4)y lg xx2 (lg x) x2 xln

7、10x3.题型三导数几何意义的应用例 3(1)曲线 y 5ex3 在点 (0， 2)处的切线方程为 _(2)在平面直角坐标系xOy 中，点 P 在曲线 C：yx3 10x13 上，且在第一象限内，已知曲线C 在点 P 处的切线的斜率为2，则点 P 的坐标为_解析 (1)y 5ex，所求曲线的切线斜率k y |x 0 5e0 5，切线方程为 y (2) 5(x0)，即 5x y 2 0.22(2)设点 P 的坐标为 (x0，y0)，因为 y3x10，所以 3x0 102，解得x0±2.又点 P 在第一象限内，所以 x0 2，又点 P 在曲线 C 上，所以 y0 23 10×2

8、131，所以点 P 的坐标为 (2,1)(1)5xy 2 0 (2)(2,1)练习 若曲线 f(x) acos x 与曲线 g(x)x2bx1 在交点 (0，m)处有公切线，则 ab_.解析： f (x) asin x，g(x)2xb，曲线 f(x)acos x 与曲线 g(x) x2bx 1 在交点 (0，m)处有公切线， f(0) a g(0)1，且 f(0)0g(0)b， ab 1.答案： 11.切线方程的求法典例 已知 a R，函数 f(x)x33x23ax 3a3，求曲线 y f(x)在点(1， f(1)处的切线方程解 由已知得 f (x) 3x26x3a，故 f(1) 3 6 3a

9、3a3，且 f(1)1 3 3a3a31.故所求切线方程为y 1 (3a 3)(x1)，即 3(a1)xy43a 0.一、已知斜率，求切线方程此类问题可以设出切点，利用导数与已知直线的斜率关系来确定切点，进而求出切线方程例：求与直线 x4y 1 0 垂直的曲线 f(x) 2x2 1 的切线方程解：所求切线与直线 x4y 1 0 垂直，所以所求切线的斜率k4.设切点坐标为 (x0，y0)，则 f (x0)4x04，即 x01.所以切点坐标为 (1,1)故所求切线方程为y 1 4(x 1)，即 4xy30.二、已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点不一定是切点，故应先设出切点，再利用

10、该点在切线上来确定切点，进而求出切线方程例：求过曲线 f(x)x3 2x 上的点 (1， 1)的切线方程解：设切点坐标为 (x0，y0)，因为 f (x)3x22，所以 f (x0)3x022，且 y0 f(x0)x30 2x0.所以切线方程为yy0 (3x202)(x x0)，即 y (x302x0) (3x202)(x x0)因为切线过点 (1， 1)，故 1 (x302x0)(3x202) ·(1x0)即 2x30 3x20 1 0，1解得 x01 或 x0 2，故所求切线方程为x y 2 0 或 5x 4y1 0.三、已知过曲线外一点，求切线方程这一题型要设出切点，再利用斜率

11、公式及导数的几何意义列方程求出切点，从而求出切线方程例：已知函数 f(x)x3 3x，过点 A(0,16)作曲线 y f(x)的切线，求切线方程解：由题意知点 A(0,16)不在曲线 f(x)x33x 上，设切点坐标为 M(x0，y0)则 f(x0) 3x20 3，故切线方程为 yy03(x201)(xx0)又点 A(0,16)在切线上，所以 16 (x303x0) 3(x201)(0 x0)，化简得 x30 8，解得 x0 2，即切点为 M(2， 2)，故切线方程为 9x y 160.课后练习1给出下列结论：(cos x) sin x； sin3 cos3；11 11若 y2，则 yx；.x

12、x2x x其中正确的个数是 ()A0B1C2D333 0，所以解析： (cos x) sin x，所以 错误；sin 2，而3210 x2 2x3错误 ； x2 x4 x4 2x，所以 错误 ；11 1 30 x 221 2x1 21xxx 2x2xx，所以 正确答案： B2函数 y sin x·cos x 的导数是 ()2222A y cos x sin xBy cos xsin xCy 2cos x·sin xDy cos x·sin x解析：y (sin x·cos x) cos x·cos xsin x·( sin x) co

13、s2x sin2x.3若 f(x) (2x a)2，且 f(2) 20，则 a_.解析： f(x) 4x24ax a2， f(x) 8x4a， f(2) 16 4a20，a1.答案： 14已知曲线 y x4ax21 在点 (1，a2)处切线的斜率为8，则 a_.解析： y 4x3 2ax，因为曲线在点 (1，a2)处切线的斜率为8，所以 y |x 1 4 2a8，解得 a 6.答案： 65求下列函数的导数：211(1)yx x xx3 ；1cos x(2) y x2 ；(3) y(4xx)(ex1)211解： (1)yx x x x31232 x 1x2， y 3x x3.·2 1 cos x x2 xsin x2cos x 21 cos xx.(2)yx4x3(3)法一： y