初中数学-一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

1、初中数学初中数学)0(02acbxax0 0a ac cx xa ab b两两边边除除以以a a，得得：x x0 00 0中中a ac cb bx xa ax x2 22 22 22 22 22 22 22 22 24 4a a4 4a ac cb b2 2a ab bx x变变形形得得：2 2a ab ba ac c2 2a ab b2 2a ab b2 2x x配配方方得得：x xa ac cx xa ab b移移项项得得：x x：则要开平方，必须满足则要开平方，必须满足0 0故4a故4a0,0,因a因a2 20 04 4a ac cb b2 2。2 2a a4 4a ac cb bb b

2、整整理理即即得得：x x2 2a a4 4a ac cb b2 2a ab b故故：x x2 2a a4 4a ac cb b2 2a ab b开开方方得得：x x2 22 22 22 2a a4 4a ac cb bb bx x2 24 4a ac cb b2 20 04 4a ac cb b2 20 04 4a ac cb b2 2 。0 0时时，方方程程没没有有实实数数根根4 4a ac c当当b b3 3的的实实数数根根；0 0时时，方方程程有有两两个个相相等等4 4a ac c当当b b2 2等等的的实实数数根根；0 0时时，方方程程有有两两个个不不相相4 4a ac c当当b b1

3、 1二二次次方方程程的的根根的的情情况况：由由它它可可以以直直接接判判断断一一元元程程的的根根的的判判别别式式，4 4a ac c叫叫做做一一元元二二次次方方b b2 22 22 22 21 14 4x x( (4 4) )5 5x xy y2 22 22 2( (3 3) )y y1 14 4x x( (2 2) )3 3x x0 04 47 7x x( (1 1) )2 2x x2 22 22 22 20 03 3) )( (a a1 1) )x x( (2 2a ax x2 21 13 38 8a a4 4a a 3 3) )( (a a1 14 41 1) ) ( (2 2a a解解：

4、 2 22 29 91 1) )4 4( (a a9 91 1) )2 2a a4 4( (a a2 22 2的的实实数数根根。则则原原方方程程有有两两个个不不相相等等0 09 91 1) )所所以以( (a a0 0, ,1 1) )因因( (a a2 22 20 0m m2)x2)x(m(mx x4 41 12 22 2。，m m的的最最大大整整数数值值为为所所以以原原方方程程有有实实数数根根时时1 1解解得得：m m0 04 44 4m m化化简简得得：0 0m m4 41 14 42 2) ) ( (m m即即 0 04 4a ac c则则b b解解：因因方方程程有有实实数数根根，2

5、22 22 20 02 2x xx x2 20 04 43 3x xx x2 20 06 65 5x xx x2 2方方程程1 1x x2 2x x2 21 1x xx x 2 21 1x xx x 0 0q qp px xx x2 22 21 1、x xx xp p、q qq q。x xp p；x xx xx x2 21 12 21 1。a ac cx x；x；xa ab bx x则：x则：x0的两根，0的两根，c cbxbx是一元二次方程ax是一元二次方程ax、x、x若x若x2 21 12 21 12 22 21 10 0。x xx x) )x xx x( (x xx x程程可可以以是是：

6、为为两两个个根根的的一一元元二二次次方方、x x以以x x应应用用：2 21 12 21 12 22 21 10 0 x x2 2x x3 3( (4 4) )3 3m mm mx x( (3 3) )x x0 01 1x x( (2 2) )2 2x x1 15 5x x( (1 1) )3 3x x积积。口口答答两两根根之之和和与与两两根根之之练练习习：不不解解方方程程，2 22 22 22 23 31 1x x；x x3 35 5x xx x2 21 12 21 12 21 1x x；x x2 21 1x xx x2 21 12 21 1mmx xmm；x xx xx x2 21 12

7、21 10 0 x x；x x3 36 6x xx x2 21 12 21 1。x x；(3)x；(3)xx xx xx xx x；(2)；(2)x xx xx x(1)x(1)x的值。的值。0的两根，求下列各式0的两根，求下列各式6 64x4x是方程x是方程x、x、x例1：设x例1：设x2 21 12 21 11 12 22 22 22 21 12 21 12 22 21 12 22 2；x xx x) )x x( (x xx xx xx x( (1 1) )x x6 6x x4 4，x xx x解解：由由根根系系关关系系得得x x2 21 12 22 21 12 22 22 21 12 2

8、1 12 21 12 21 1；3 31 14 4x xx xx x2 2x x) )x x( (x xx xx xx xx xx xx xx xx x( (2 2) )2 21 12 21 12 22 21 12 21 12 22 22 21 12 21 11 12 2。1 10 02 24 40 0 x x故故x x 4 40 0 x x4 4x x) )x x( (x x) )x x( (3 3) )( (x x2 21 12 21 12 22 21 12 22 21 1抓住代抓住代数式的数式的恒等变恒等变形。形。求求k k的的值值及及另另一一个个根根。 1 1，0 0的的一一个个根根是

9、是2 2k kx x例例2 2：若若方方程程x x2 22 2x x1 1) )( (k kx x1 1则则有有 ，解解：设设另另一一个个根根是是x x1 11 11 11 1。2 2，k k2 2解解得得：x x1 1若用法若用法2 2就得先解就得先解一元一次一元一次方程，再方程，再解一元二解一元二次方程。次方程。(1)有两个正根？(1)有两个正根？ 0 04)4)(2k(2k3)x3)x(2k(2k于x的方程x于x的方程x例3：k取何值时，关例3：k取何值时，关2 2有有两两个个实实数数根根。故故k k取取任任何何数数原原方方程程都都0 05 5) )( (2 2k k4 4) )4 4(

10、 (2 2k k3 3) ) ( (2 2k k 4 4a ac c因因b b0 04 4a ac c由由题题意意b b解解2 22 22 22 2：2 2。解解不不等等式式组组得得：k k0 04 42 2k kx xx x0 03 32 2k kx xx x数数，则则有有( (1 1) )若若方方程程两两根根为为正正2 21 12 21 1将根的特将根的特点与根系点与根系关系联系关系联系起来。起来。根绝对值较大？根绝对值较大？(2)两根异号，且正(2)两根异号，且正 0 04)4)(2k(2k3)x3)x(2k(2k于x的方程x于x的方程x例3：k取何值时，关例3：k取何值时，关2 20 04 42 2k kx xx x0 03 32 2k kx xx x绝绝对对值值大大，则则有有( (2 2) )两两根根异异号号且且正正根根2 21 12 21 12 2。k k2 23 3解解上上不不等等式式组组得得：一根小于3？一根小于3？(3)一根大于3，(3)一根大于3，0 04)4)(2k(2k3)x3)x(2k(2k于x的方程x于x的方程x例3：k取何值时，关例3：k取何值时，关2 2。2 27 7解得：k解得：k0