初三上学期圆知识点和典型基础例题复习

1、第三章：圆一、圆的概念集合形式的概念：1 、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合（平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图像叫做圆；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线圆弧（简称：弧） ：圆上任意两点的部分弦：连接圆上任意两点的线段（经过圆心的弦叫做直径）如图所示，以A，B 为端点的弧记做AB ，读作：“圆弧 AB”或者“弧 AB”；线段 AB是 O 的一条弦，弦CD是O

2、的一条直径；【典型例题】例 1有下列四个命题：直径是弦；经过三个点一定可以作圆；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；半径相等的两个半圆是等弧其中正确的有（）A4个B3个C2个D1个例 2点 P 到 O 上的最近距离为3cm ，最远距离为5cm ，则 O 的半径为cm 二、点与圆的位置关系1、点在圆内d r点 C 在圆内；Ad2、点在圆上d r点 B 在圆上；rBO3、点在圆外d r点 A 在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离dr无交点；2、直线与圆相切dr有一个交点；3、直线与圆相交dr有两个交点；dCrd=rrdd第1页共19页知人善教 培养品质 引发成长动力四、圆与圆的位置关

3、系考查形式： 考查两圆的位置关系与数量关系（圆心距与两圆的半径）的对应，常以填空题或选择题的形式出现题目常与图案、方程、坐标等进行综合外离（图1）无交点dRr；外切（图2）有一个交点dRr；相交（图3）有两个交点RrdR r ；内切（图4）有一个交点dRr ；内含（图5）无交点dRr ；dddRrRrRr图 1图 2图 3ddrRrR图 4图 5例、 1、若两圆相切，且两圆的半径分别是2， 3，则这两个圆的圆心距是（）A. 5B. 1C.1 或5D. 1或 42、若两圆半径分别为R和 r （ R r ），圆心距为d，且 R2 d2 r 2 2Rd，则两圆的位置关系是（）A.内切B.外切C.内切

4、或外切D.相交3.若半径分别为6 和 4 的两圆相切，则两圆的圆心距d 的值是 _。【变式训练】1、 O1 和 O2 的半径分别为1 和 4，圆心距O1O2 5，那么两圆的位置关系是（）A.外离B.内含C.外切D.外离或内含2、如果半径分别为1cm和 2cm的两圆外切，那么与这两个圆都相切，且半径为3cm的圆的个数有（）A.2 个B.3个C.4个D.5个3、已知： O1 和 O2 的半径是方程x2 5x 6 0 的两个根， 且两圆的圆心距等于5 则 O1 和 O2 的位置关系是（）A.相交B.外离C.外切D.内切第2页共19页知人善教 培养品质 引发成长动力二、填空题4. O1 和 O2 相切

5、， O1 的半径为 4cm，圆心距为 6cm，则 O2 的半径为 _; O1 和 O2 相切， O1 的半径为 6cm，圆心距为 4cm，则 O2 的半径为 _5. O1、 O2 和 O3 是三个半径为1 的等圆，且圆心在同一直线上，若O2 分别与 O1， O3 相交， O1 与 O3不相交，则 O1 与 O3 圆心距d 的取值范围是 _。五、垂径定理考查形式：主要考查借助垂径定理的解决半径、弧、弦、弦心距之间的计算和证明，填空题、选择题或解答题中都经常出现它的身影解决是应注意作出垂直于弦的半径或弦心距，构造直角三角形进行解决A垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1：（ 1）

6、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（ 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；OECDB（ 3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理， 简称 2 推 3 定理：此定理中共5 个结论中， 只要知道其中2 个即可推出其它3 个结论，即：AB是直径ABCDCEDE 弧BC弧BD 弧AC弧AD中任意 2 个条件推出其他3 个结论。推论 1：圆的两条平行弦所夹的弧相等。CD即：在 O 中， AB CDOAB弧 AC弧BD例 1、如图 23-10 ，AB是 O的直径，弦 CD AB，垂足为 E，如果 AB 10，CD 8，那么

7、AE的长为 ( )A2B3C4D5例 2、如图， O的直径为 10 厘米，弦 AB的长为 6cm，M是弦 AB上异于 A、 B 的一动点，则线段 OM的长的取值范围是（）OA. 3 OM 5B. 4 OM5C. 3 OM5D. 4 OM5AMB第3页共19页知人善教 培养品质 引发成长动力例 3、如图，在O中，有折线 OABC ，其中 OA8， AB12， AB 60，则弦 BC 的长为（）。 19 16 18 20CEOFAB【变式训练】1、“圆材埋壁”是我国古代九章算术中的问题：“今有圆材，埋在壁冲，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何” 用数学语言可表述为如图， CD为 O的

8、直径，弦AB CD于点 E，CE 1 寸， AB=10 寸，则直径CD的长为（）A125 寸 B 13寸C25寸 D 26寸2、在直径为 52cm的圆柱形油桶内装入一些油后， 截面如图 23-16 所示，如果油的最大深度为 16cm，那么油面宽度为 _cm3、如图 23-14 ， O的直径为 10，弦 AB8，P 是弦 AB 上一个动点，那么 OP的长的取值范围是 _4、 O的半径为 10cm，弦 ABCD， AB12cm，CD 16cm，则 AB和 CD的距离为 ()A2cmB 14cmC2cm或 14cmD 10cm或 20cm第4页共19页知人善教 培养品质 引发成长动力六、圆心角定理圆

9、心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1 推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1 个相等，则可以推出其它的3 个结论，即：AOBDOE ； ABDE ； OC OF； 弧BA 弧DE七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：AOB 和ACB 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角B AOB 2 ACB2、圆周角定理的推论：推论 1：在同圆或者等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；即：在 O 中，C 、D 都是所对的圆周角CD推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径（90

10、的圆周角所对的弦是直径） ；B即：在 O 中， AB 是直径或C90 C90 AB 是直径例 1、如图， A、 B、C 是 O上的三点，BAC=30°则 BOC的大小是（）A60B 45C 30D 152、如图，在O中，已知 ACB CDB 60 ， AC 3，则 ABC的周长是 _.EFODACBCOAD CBOACAO第5页共19页知人善教 培养品质 引发成长动力【变式训练】1. 如图，在 O中，弦 AB=1.8m，圆周角 ACB=30，则 O的直径等于 _cm2. 如图， O内接四边形 ABCD中， AB=CD 则图中和 1 相等的角有 _3. 用直角钢尺检查某一工件是否恰好是

11、半圆环形，根据图所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形（）4. O的半径是 5， AB、 CD为 O的两条弦，且 AB CD， AB=6， CD=8，求 AB 与 CD之间的距离八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在 O 中，四边形 ABCD 是内接四边形 CBAD 180BD180DAECCBD例 1. 如图，四边形ABCD内接于 O，若 BOD=100°，则 DAB的度数为（）A 50°B80°C100°D 130°AE第6页共19页知人善教 培养品质 引发成长动力2. 如图，四边形 A

12、BCD为 O的内接四边形，点 E 在 CD的延长线上，如果 BOD=120°，那么 BCE等于（ ）A 30°B 60°C 90°D120°九、切线的性质与判定定理考查形式：对切线的判定和性质的考查是圆中常见的题目类型，常以解答题的形式出现题目经常与翻折、旋转、平移等动态过程相结合，以探索的形式出现（ 1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即： MNOA 且 MN 过半径 OA 外端 MN 是 O的切线O（ 2）性质定理：切线垂直于过切点的直径（如上图）MAN推论 1：过圆心垂直于切

13、线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。例 1. 如图， PA、 PB是 O的切线，切点分别为A 、 B，点 C 在 O上如果 P 50，那么 ACB等于（）A 40B 50C 65D 1302、如图， MP 切 O 于点 M ，直线 PO 交 O 于点 A 、B，弦 AC MP，求证： MO BC第7页共19页知人善教 培养品质 引发成长动力3、已知：如图，ABC中， AC BC，以 BC为直径的 O交 AB于点 D，过点 D 作 DEAC于点 E，交 BC的延长线于点 F(10 分)求证：（ 1）

14、 AD BD；（ 2） DF是 O的切线ADEBOCF第8页共19页知人善教 培养品质 引发成长动力课后习题：1.已知一个圆的半径为3cm,另一个圆与它相切，且圆心距为2cm,则另一个圆的半径是（）A 5cmB 1cmC 5cm或 1cmD不能确定2. 下列说法不正确的是（）A直径所对的圆周角是直角B圆的两条平行弦所夹的弧相等C相等的圆周角所对的弧相等D相等的弧所对的圆周角相等3.已知 O、 O 的半径分别是r12 、 r24 ，若两圆相交，则圆心距OO 可能取的值是（）1212A、 2B、 4C、 6D、 84.高速公路的隧道和桥梁最多如图3 是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的

15、一部分，路面AB =10 米，净高 CD =7 米，则此圆的半径OA=（）A 5B 737D 37C75CCOAOBADBD图 4图 7图 8图 5图 65. 如图 5，将半径为 2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕 AB 的长为（）A 2cmB 3 cmC 2 3 cmD 2 5 cm6. 已知O 的半径为 R，弦 AB的长也是 R，则 AOB的度数是 _7.如图 6， AB 为 O 的直径，点 C，D 在 O 上， BAC50 ，则 ADC8.如图 7， O 中， OA BC,AOB 60°,则 ADC .9.如图 8， O 中， MAN 的度数为 320

16、6;，则圆周角 MAN _10如图 12， AB 为 O 的直径， D 是 O 上的一点，过 O 点作 AB 的垂线交 AD 于点E，交 BD 的延长线于点 C， F 为 CE 上一点，且 FD FE (1) 请探究 FD 与 O 的位置关系，并说明理由；(2) 若 O 的半径为 2， BD 3 ，求 BC 的长CFDEAOB图 12第9页共19页知人善教 培养品质 引发成长动力11、如图，已知AB为 O的直径， CD是弦，且ABCD于点 E。连接 AC、OC、BC。（ 1）求证：ACO=BCD。（ 2）若 EB=8，CD=24，求 O的直径。AOECDB12. 如图， O的直径 AB=10，

17、 DE AB于点 H， AH=2（ 1）求 DE的长；（ 2）延长 ED到 P，过 P 作 O的切线，切点为C，若 PC=22 5 ，求 PD的长第10页共19页知人善教 培养品质 引发成长动力附加基础题：1下列五个命题: (1)两个端点能够重合的弧是等弧；(2)圆的任意一条弧必定把圆分成劣弧和优弧两部分；(3)经过平面上任意三点可作一个圆；(4) 任意一个圆有且只有一个内接三角形；(5)三角形的外心到各顶点距离相等.其中真命题有 （）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个2如图 1， O外接于 ABC， AD为 O的直径， ABC=30°，则 CAD=（）A30°B40&

18、#176; C 50° D 60°3 O是 ABC的外心，且ABC+ ACB=100°，则 BOC=（）A 100° B 120° C 130° D 160°4如图 2， ABC的三边分别切O于 D， E， F，若 A=50°，则 DEF=（）A 65°B50°C 130°D 80°5 Rt ABC中， C=90°， AB=5，内切圆半径为1，则三角形的周长为（）A 15B12C13D146已知两圆的圆心距为3，两圆的半径分别是方程x2-4x+3=0 的两根，那么这

19、两个圆的位置关系是（）A外离 B 外切 C相交 D 内切7 O的半径为3cm，点 M是 O外一点， OM=4cm，则以 M为圆心且与O?相切的圆的半径一定是（）A 1cm 或 7cm B1cm C7cm D不确定8一个扇形半径30cm，圆心角120°，用它作一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为（）A 5cmB 10cmC 20cmD 30cm二、填空题1 O 中，弦 MN把 O分成两条弧，它们的度数比为4： 5，如果 T 为 MN中点，则 TMO=_，则弦 MN所对的圆周角为_2 O到直线 L 的距离为 d， O的半径为 R，当 d，R是方程 x2-4x+m=0 的根，且 L?与 O相切

20、时，m的值为 _3如图 3， ABC三边与 O分别切于D， E，F，已知 AB=7cm， AC=5cm， AD=2cm，则BC=_4已知两圆外离，圆心距d=12，大圆半径R=7，则小圆半径r? 的所有可能的正整数值为 _第11页共19页知人善教 培养品质 引发成长动力十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即： PA 、 PB 是的两条切线BPAPBPO平分BPAOPA例 1、如图 2， ABC的三边分别切O于 D， E， F，若 A=50°，则 DEF=（）A 65°B50°C 130°

21、D 80°2、如图 3， ABC三边与 O分别切于D， E， F，已知 AB=7cm， AC=5cm， AD=2cm，则 BC=_【变式训练】3、如图，正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为（）A2B23C3D3P4、如图，从点P 向 O引两条切线PA， PB，切点为 A， B， AC为弦， BC为 O?的直径，若 P=60°， PB=2cm，求 AC的长ACBO第12页共19页知人善教 培养品质 引发成长动力十一、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图： O1O2 垂直平分 AB 。即： O1 、 O2 相交于 A 、 B 两

22、点 O1O2 垂直平分 AB十二、圆内正多边形的计算（ 1）正三角形在 O 中 ABC 是 正 三 角 形 ， 有 关 计 算 在 Rt BOD 中 进 行 ：OD: BD: OB 1:3 :；2（ 2）正四边形同理，四边形的有关计算在Rt OAE 中进行， OE : AE : OA1:1:2 ：（ 3）正六边形同理，六边形的有关计算在Rt OAB 中进行， AB : OB : OA1:3 : 2 .AO1O2BCOBADBCOAEDOBA例 1、两等圆半径为 5，圆心距为8，则公共弦长为 _例 2、正六边形内接于圆，它的边所对的圆周角是（）A.60 °B.120 °C.6

23、0或 120D.30 °或 150°A例 3、如图 , O是等边三角形 ABC 的外接圆， O的半径为2，O则等边三角形ABC 的边长为（）BC 535（第 35 题）A 2 3BCD 2【变式训练】1、半径分别为 8 和 6 且圆心距为10 的公共弦长为 _2、如果圆的内接正六边形的边长为6cm，则其外接圆的半径为_.3、如图 5， O的半径为 3 ， ABC是 O的内接等边三角形，将ABC折叠，使点 A 落在 O上，折痕 EF 平行 BC，则 EF 长为 _第13页共19页知人善教 培养品质 引发成长动力十三、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式（p132）考查形式：考查运用

24、弧长公式（ln r ）以及扇形面积公式（Sn r 2和180360S 1 lr ）进行有关的计算，常以填空题或选择题的形式进行考查21、扇形：（1）弧长公式： ln R ；（ 2）扇形面积公式：Sn R21 lR1803602n ：圆心角R ：扇形多对应的圆的半径l ：扇形弧长S ：扇形面积2、圆柱：（ 1）圆柱侧面展开图ADS表S侧 2S底 = 2 rh 2 r 2底面圆周长BC（ 2）圆柱的体积：Vr 2hB13、圆锥：（ 2）圆锥侧面展开图O（1） S表S侧 S底 = Rrr 2R（ 2）圆锥的体积： V1r 2h3CArB例 1、已知扇形的圆心角为120°，弧长等于半径为 5

25、 的圆的周长，则扇形的面积为（A、75 2B 、75 2C 、1502D 、150 2例 2、底面面积为8 ，高为 3 的圆柱的表面积和体积分别为：_OSD1母线长C1）AlB例 3、圆锥的母线长5cm, 底面半径长3cm,那么它的侧面展开图的圆心角是()A.180°B.200°C.225°D.216°例 4、 AB 为 O 的直径，点 C 在 O 上，过点 C 作 O 的切线交 AB 的延长线于点 D，已知 D 30°. 求 A 的度数；若弦 CF AB，垂足为E，且 CF 43 ，求图中阴影部分的面积.（ 15 分）CAOEBF第14页共1

26、9页D知人善教 培养品质 引发成长动力【变式训练】1、方格纸中4 个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为（结果保留 ）2、已知 O的半径为 8cm，点 A 为半径 OB的延长线上一点，射线 AC切 O于点 C，弧 BC 的长为 8 cm ，求线段 AB的长。3综合复习题：1下列命题中，正确命题的个数为（） .平分弦的直径垂直于弦；圆周角的度数等于圆心角度数的一半；90 的圆周角所对的弦是直；圆周角相等，则它们所对的弧相等AA1个B2个C3个D 4 个2如图， ABC内接于 O， AC是 O的直径， ACB500，点 D 是弧 BAC上一点，D则 D 的度数 _.BC3、如图

27、 1，四个边长为 2 的小正方形拼成一个大正方形，A 、B 、O 是小正方形顶点，P O 的半径为 2， P 是 O 上的点，且位于右上方的小正方形内，则APB 等于（） AOA 30°B 45°C 60°D 90°B、一条弦把半径为8 的圆分成长度为1 2 的两条弧，则这条弦长为（）A、43B、83C、8D、16、如图，以AB 为直径的半圆O 上有两点D、 E， ED 与 BA 的延长线交于点 C，且有 DC=OE ，若 C=2 0°，则 EOB 的度数是（）A.40 °B.5 0°C.60°D.8 0°

28、;EDCBAO第15页共19页知人善教 培养品质 引发成长动力、在半径为 1 的圆中，弦 AB、 AC分别是 3 和2 ，则 BAC的度数为 _A7、如图，CD是 O的直径，弦 AB CD，连接 OA，OB，BD 若 AOB 100°，则 ABD度 CD，O8、 如图， AB 是 O的直径， CD AB于点 E，交 O于点 D， OF AC于点 F.B D 30°， BC 1，求圆中阴影部分的面积为：_9、如图， AB 为半 O 的直径， C 为半圆弧的三等分点，过B， C 两点的半 O 的切线交于点P，若 AB 的长是 2a，则 PA 的长10、如图， PA ， PB 切

29、 O于 A ， B 两点， CD 切 O于点 E ，分别交 PA 、 PB与 点 C 、 D ， 若 PA ， PB 的 长 是 关 于 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程x2mx( m1)0 的两个根，求PCD 的周长ACEOPDB11、如图，在 M中，弧 AB所对的圆心角为 1200，已知圆的半径为 2cm，并建立如图所示的直角坐标系，点 C是 y 轴与弧 AB的交点。（ 1）求圆心M的坐标；（ 2）若点 D 是弦 AB 所对优弧上一动点，求四边形ACBD的最大面积YDMAOBXC第16页共19页知人善教 培养品质 引发成长动力课后习题：一、选择题：1、下列说法正确的是( )A. 垂直

30、于半径的直线是圆的切线B.经过三点一定可以作圆C. 圆的切线垂直于圆的半径D.每个三角形都有一个内切圆2、两个半径不等的圆相切，圆心距为6cm，且大圆半径是小圆半径的2 倍，则小圆的半径为（）A. 3B. 4C.2 或 4D.2 或 63、已知圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥的侧面积为（）。 10B 12 15 204、已知圆锥的侧面展开图的面积是15 cm2，母线长是5cm，则圆锥的底面半径为（）A 3 cmB3cmC 4cmD 6cm25、一个正多边形的内角和是720°，则这个多边形是正边形（）A. 四B.五C.六D.七6、半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（）A.1 23B.1 23C.32 1D.321二、填空题：AAO1ODCAPBBOBCO2第 7题图第8题图第9题图第10题图7、在 ABC中， AB是 O的直径， B 60°， C 70°，则 BOD的度数是 _8、如图，以点 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，点P 为切点，且 AB4，OP 2，连结 OA 交小圆于点 E ，则扇形 OE