初中数学函数知识点归纳新

1、.函数知识点总结( 掌握函数的定义、性质和图像)平面直角坐标系1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系2、各个象限内点的特征 :第一象限：（ +， +）第二象限：（ - ，+）第三象限：（- ，- ）第四象限：（ +，- ）3、坐标轴上点的坐标特征：x 轴上的点， y 为零； y 轴上的点， x 为零；原点的坐标为（ 0 , 0 ）。4、点的对称特征：已知点P(m,n),关于 x 轴的对称点坐标是 (m,-n),横坐标相同，纵坐标反号关于 y 轴的对称点坐标是 (-m,n)纵坐标相同，横坐标反号关于原点的对称点坐标是(-m,-n)横，纵坐标都反号5、平

2、行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：平行于 x 轴的直线上的任意两点：纵坐标相等；平行于 y 轴的直线上的任意两点：横坐标相等。6、各象限角平分线上的点的坐标特征：第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。7、点 P（x,y ）的几何意义：点 P（x,y ）到 x 轴的距离为 |y|，点 P（x,y ）到 y 轴的距离为 |x| 。点 P（x,y ）到坐标原点的距离为x 2y28、两点之间的距离：X 轴上两点为 A(x1 ,0) 、B( x2 ,0)|AB| x2x1 |Y 轴上两点为 C(0, y1 ) 、 D(0, y2 )|CD| y 2y1

3、 |已知 A( x1 , y1 ) 、B( x2 , y2 ) AB|=( x2x1 ) 2( y2y1 ) 2;.9、中点坐标公式：已知A( x1 , y1 ) 、B(x2 , y2 ) M 为 AB的中点 , 则： M=( x2 x1 ,y2y1 )2210、点的平移特征：在平面直角坐标系中，将点（ x,y ）向右平移 a 个单位长度，可以得到对应点（x-a ，y）；将点（ x,y ）向左平移 a 个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y）；将点（ x,y ）向上平移 b 个单位长度，可以得到对应点（x，yb）；将点（ x,y ）向下平移 b 个单位长度，可以得到对应点（x，yb）。函数的

4、基本知识 ：基本概念1、变量： 在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量： 在一个变化过程中只能取同一数值的量。2、函数： 一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和 y，并且对于 x 的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量， y 是x 的函数。* 判断 A 是否为 B 的函数，只要看 B 取值确定的时候， A 是否有唯一确定的值与之对应3、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，

5、底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。4、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象5. 函数解析式： 用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。6、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点） ；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。7、函数的表示方法: 列表法、解析式法

6、、图象法;.一次函数图象和性质【知识梳理】一、一次函数的基础知识1、定义 ：一般地，形如y=kx b(k,b 是常数， k0)，那么 y 叫做 x 的一次函数当 b=0 时， y=kxb 即 y=kx，称为正比倒函数，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的一般形式：y=kx+b (k0)说明： k 不为零 x 指数为 1 b 取任意实数2、解析式 ： y=kx+b(k 、b 是常数， k0)3、图像： 一次函数y=kx+b 的图象是经过（0， b）和（ - b ，0）两点的一条直线，我们称它为直k线 y=kx+b,4、增减性（单调性） ： k>0 ， y 随 x 的增大而增大（

7、单调增）； k<0，y 随 x 而增大而减小 （单调减）5、必过点 ：（ 0， b）和（ - b ， 0）：理由如下： y=kx+b 中，k当 x=o,时， y=？所以，该函数经过（，）点当 y=o,时， x= ？所以，该函数经过（，）点b所以，一次函数ykxb 的图象是必经过（k， 0）和（ 0， b）两点的一条直线.，注：两点确定一条直线。画图时，可通过这两点来确定直线。6、一次函数图像的画法：两点法、计算必过点 （ 0， b）和（ - b ， 0）、 描点、连线（从左到右光滑的直线）k7、增减性 ： k>0 ， y 随 x 的增大而增大；k<0， y 随 x 增大而减小

8、 .8、倾斜度 ( 只与 k 相关 ) ：|k| 越大，图象越接近于y 轴； |k| 越小，图象越接近于x 轴 .9、与 y 轴交点当 b>0 时直线与 y 轴交于原点上方（即y 轴的正半轴）；当 b<0 时，直线与 y 轴交于原点的下方。 （即 y 轴的负半轴）10、图像的上下平移（只与b 相关）：直线 y=kx+b, 它可以看作由直线y=kx 平移 |b| 个单位长度得到 .上加下减例如： y=2x+3,将直线向平移个单位； y=5x-6,将直线的图象向平移个单位11、一次函数y kxb 的图象与性质;.b>0b<0b=0（正比例函数）经过：第一、二、三象限经过：第

9、一、三、四象限经过：第一、三象限不经过：第四象限不经过：第二象限不经过：第二、四象限k>0增减性（单调性）：图象从左到右上升，y 随 x 的增大而增大，单调增经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限不经过：第三象限不经过：第一象限不经过：第一、三象限k<0增减性（单调性）：图象从左到右下降，y 随 x 的增大而减小，单调减必过点： 经过（b经过原点（ 0，0）， 0）和（ 0， b）两点，正比例函数即是k（3）若直线 l1 ：yk1 xb1l 2 ： y k2 x b212、两直线之间的位置关系 （平行或相交） ：平行：k时， ll；当 bbb时， l与 l交于，

10、b 点。当k1122/ / 2121( 0 )相交：将两直线方程联立成一个方程组， yk1b1yk 2b2 ，解得结果，即为交点。13、二元一次方程组与一次函数的关系：两元一次函数图象的交点的坐标即为所对应方程组的解。反比例函数图象和性质【知识梳理】一、反比例函数的基础知识1、定义 ： 一般地，形如 yk （ k 为常数， ko ）的函数称为反比例函数。xyk 还可以写成 ykx1x2、解析式 ： yk （ k 为常数，）x注：反比例函数解析式的特征：等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k（也叫做比例系数 k ），分母中含有自变量x ，且指数为 1.比例系数 k0;.自变

11、量 x 的取值为一切 非零实数。（反比例函数有意义的条件：分母0）函数 y 的取值是一切 非零实数。3、增减性（单调性） ： k>0 ， y 随 x 的增大而减小（单调减）； k<0，y 随 x 增大而增大 （单调增）4、反比例函数的图象：双曲线（ 1） 图像的画法：描点法 列表（应以 O为中心，沿 O的两边分别取三对或以上互为相反的数） 描点（有小到大的顺序）连线（从左到右光滑的曲线）(1)是中心对称图形，对称中心是原点（ 2）对称性：(2)是轴对称图形，对称轴是直线y和yxx（ 3） 反比例函数 yk （ k 为常数， k0 ）中自变量 x0 ，函数值 y0 ， 所以双曲线是不

12、x经过原点，断开的两个分支（称为左、右支），延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。k0时两支曲线分别位于一、三象限且每一象限内y随x的增大而减小3）k0时两支曲线分别位于二、四象限且每一象限内y随x的增大而增大（ 4）比例系数 k 的几何含义（右图） ：反比例函数y kx(k 0)中比例系数k 的几何意义，即过双曲线y k(k 0)上任意一点 P 作 x 轴、 y 轴垂线，设垂足分x别为 A 、 B，则所得矩形OAPB 的面积 (阴影面积 )为k .（由 y k 变形可得： k=xy因为面积为正数，所以 k 取绝对值。）x5、反比例函数性质如下表：k 的符号k0k0yy图像的大致位置

13、oxox经过象限第象限第象限增减性（单调性：单在每一象限内，从左到右看，y在每一象限内 ,从左到右看调区间内讨论）随 x 的增大而减小；y 随 x 的增大而增大（ - ， 0） U（ 0， +）区间内，（ - ， 0） U（ 0， +）区间内，单调减单调增图像的对称性中心称图形，对称中心是原点；同时，也是轴对称图形，对称轴是直线y=x 和直线 y=-x;.二次函数图象和性质【知识梳理】一、二次函数的基础知识：1定义 ：一般地，形如yax2bxc （ a，b ，c是常数， a0 ）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而 b，c 可以为零二次函数的定义域（x 的

14、取值范围）：全体实数， R2. 解析式（表达式） ：一般式： y ax 2bxc （ a0 ， a ，b ，c 是常数）：说明：等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式， x 的最高次数是 2 a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项对于二次函数 yax2bxc，经过配方变形为顶点式：y=a(x+b)24acb2b4acb22a4a, 其顶点坐标为（ -2a，）4a补充： 二次函数解析式的表示方法（三种）一般式： yax2bx c （ a ， b ， c 为常数， a0 ）；顶点式： ya( xh) 2k （ a ， h ， k 为常数， a0 ）； 抛物

15、线的顶点 P（h，k）对于二次函数 yax2bxc，经过配方变形顶点式：b24ac b2b4ac b2）y=a(x+)4a, 其顶点坐标为（ -，4a2a2a两根式（交点式） ： y a (xx1 )(xx2 ) （ a0 ， x1， x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） . 仅限于与 x 轴有两个交点 A（ x1 ，0）和 B（x2， 0）的抛物线，即 0其中 x1bb24ac ,x2bb24ac (即一元二次方程求根公式 )2a2a注：在 3 种形式的互相转化中，有如下关系:h=- bk=4ac b2x1bb24ac ,x2bb24ac2a4a2a2a注意：任何二次函数的解析式都可以化

16、成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化 .二次函数 yax2k 与 yax2bx c的比较h从解析式上看，ya2k 与 y ax2bxc 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前x h;.22b ，k4 ac b2者，即 y a xb4ac b，其中 h2a4a2a4a3、二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛

17、物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式4、二次函数 y ax2bx c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax2bx c 化为顶点式 ya(x h)2k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标 ;然后在对称轴两侧， 左右对称地描点画图 . 一般我们选取的五点为： 顶点、与 y 轴的交点 0 ，c、以及 0，c 关于对称轴对称的点2h ，c 、与 x 轴的交点 x1 ，0， x2 ，0 （若与 x 轴没有交点，则取两组关于对

18、称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与 y 轴的交点 .3、二次函数的图像：抛物线（ 1）对称性 ：抛物线是轴对称图形。 对对称称轴轴：直直线线 x =- b ,对称轴与抛物线唯一的交点为抛2a物线的顶点 P。特别地，当 b=0 时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线 x=0）（2）抛物线有一个顶点 P， 坐标为 P（-b4acb22a，）4a当 - b =0 时， P 在 y 轴上；当 =b24ac =0 时， P 在 x 轴上。2a4、a.b.c 与抛物线的关系（ a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项 ）y（ 1） a 决定抛物线的开口方

19、向和大小：开口方向： a 为正 ( a0) ，开口朝上，有最小值；a 为负 ( a0) ，开口朝下，有最大值；开口大小： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。（ 2） a、 b 共同决定 对称轴：直线x=- bb2a的位置， 分两种情况：ab 的符号决定对称轴 x2a当 a 与 b 同号时（即 ab 0），对称轴在 y 轴左侧；当 a 与 b 异号时（即 ab 0），对称轴在 y 轴右侧。概括的说就是“左同右异”y=5x2y=x2x（ 3） 常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点。抛物线与 y 轴交于（ 0，c），分三种情况：;. 当 c0 时，抛物线与y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与y

20、轴交点的纵坐标为正； 当 c0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为 0； 当 c0 时，抛物线与y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负总之，只要a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的6、 抛物线与 x 轴交点个数= b2xx4ac 0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点。 A（1,0）和 B（ 2,0）= b24ac =0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点。顶点 P(b ,0)2a= b2 4ac 0 时，抛物线与 x 轴没有交点。配图：开口向上 (开口向下，情况类似 )yy=0y 0 0ABxPxx7、类比一元二次方程的根

21、的情况：特别地，二次函数（以下称函数）y ax2bxc当 y=0 时，二次函数为关于 x 的一元二次方程（以下称方程） ，即 ax2bx c 0此时，函数图像与 x 轴有无交点即方程有无实数根。函数与 x 轴交点的横坐标即为方程的根。28、二次函数 ya xb4ac b2的图像和性质2a4aa 0a 0y图象xO开口对 称 轴顶点坐标最值当 x时，当 x时，y 有最值， yy 有最值， y在对称轴左y 随 x 的增大而y 随 x 的增大而增侧减在对称轴右y 随 x 的增大而y 随 x 的增大而性侧;.9. 应用：（ 1）最大面积；（2）最大利润；（ 3）其它10、二次函数图象的平移1. 平移步

22、骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式y a x h2h ，k ；k ，确定其顶点坐标 保持抛物线 y ax2 的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移？2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二： yax 2bxc 沿 y 轴平移 : 向上（下）平移m 个单位， yax 2bxc 变成yax2bxcm （或 yax 2bxcm ） yax 2bxc 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， yax2bxc 变成ya( xm) 2b( xm)c （或 ya( xm)2b(xm)c）综合练习（ 1）下列函数，x(

23、y2) 1 . y1 y1 . y1 yx y1；其中是 yx1x22x23x关于 x 的反比例函数的有：_ 。（ 2）函数 y( a2) xa 22 是反比例函数，则a 的值是（）A1B 2C 2D2 或 23y是 m 的反比例函数，m 是 x 的反比例函数，那么y是 x 的（）（ ）如果A反比例函数B正比例函数C 一次函数D 反比例或正比例函数4y是 m 的正比例函数，m 是 x 的反比例函数，那么y是 x 的（）（ ）如果（ 5）如果 y 是 m 的正比例函数，m 是 x 的正比例函数，那么y 是 x 的（）（ 6）反比例函数yk (k02 ， n ），x）的图象经过（ 2， 5）和（求

24、（ 1） n 的值；（2）判断点 B（ 4 2 ，2 ）是否在这个函数图象上，并说明理由（ 7）已知函数 yy1 y2 ，其中 y1 与 x 成正比例 , y2 与 x 成反比例，且当x 1 时， y 1； x 3 时，y 5求：（1）求y 关于 x 的函数解析式；（ 2）当 x 2 时， y 的值（ 8）若反比例函数y (2m 1) x m2 2的图象在第二、四象限，则m 的值是（）;.A、 1或 1;B 、小于1 的任意实数 ; C 、 1;、不能确定2（ 9）已知 k0 ，函数 ykx k 和函数 yk）在同一坐标系内的图象大致是（xyyyyxxxx(10) 、如图，正比例函数y2的图象

25、相交于A、C 两点，kx (k 0) 与反比例函数 yxy过点 A 作 AB x 轴于点 B，连结 BC则 ABC的面积等于（）A 1B 2C 4D随 k 的取值改变而改变x11 、 已 知 函 数 y y1y2， 其 中与 x 成 正 比 例 ,与 x 2 成 反 比 例 ,且 当y1y2x 1时 , y当1 ; x 时 3y ,求当 5 . 时x的值2y12、（ 8 分）已知 , 正比例函数 yax 图象上的点的横坐标与纵坐标互为相反数, 反比例函数 yk 在每一象限内 y随x 的增大而减小 , 一次函数 y k 2xxk a 4 过点2,4 .（ 1）求 a 的值 .（ 2）求一次函数和

26、反比例函数的解析式.二次函数提高题 :1 ymxm2 3m 2 是二次函数，则m 的值为（）A0或 3B0或 3C 0D 32已知二次函数y(k 21)x22kx4与 x 轴的一个交点 A（ 2， 0），则 k 值为（）A 2B 1C2 或 1D任何实数3与 y2( x 1)23 形状相同的抛物线解析式为（）A y 1 1 x 2B y (2 x 1)2C y ( x 1)2D y 2 x224关于二次函数yax2b ，下列说法中正确的是（）A若 a0 ，则 y 随 x 增大而增大B x0时， y 随 x 增大而增大。C x0时， y 随 x 增大而增大D若 a0，则 y 有最小值5函数 y2

27、x 2x3 经过的象限是（）A第一、二、三象限B 第一、二象限C 第三、四象限D 第一、二、四象限6已知抛物线 yax2bx ，当 a 0，b 0 时，它的图象经过（）A第一、二、三象限B 第一、二、四象限C 第一、三、四象限D 第一、二、三、四象限;.7对 y7 2xx2 的叙述正确的是（）A当 x 1 时， y 最大值 2 2B当 x 1 时， y 最大值 8C当 x 1 时， y 最大值 8D当 x 1 时， y 最大值 2 28二次函数 y ax2bx c 的图象过点（1， 0）、（ 0， 3），对称轴 x 1求函数解析式；5、图象与x 轴交于 A、 B（ A 在 B 左侧），与 y

28、轴交于 C，顶点为 D，求四边形ABCD的面积9、抛物线 y1 x23x2 与 yax2 的形状相同，而开口方向相反，则a =（）3（ A）1（B） 3（C） 3（ D）13310把二次函数 yx 22x1配方成顶点式为（）A y (x 1) 2B y ( x 1) 22 C y ( x 1) 21D y ( x 1) 2211函数 ykx26x3 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是（）A k 3B k 3且k0 C k 3D k 3且k 012、若抛物线 ya(xm2n 的开口向下，顶点是（，），y随 x 的增大而减小，则x 的取值范围是)1 3（）（ A） x3（ B） x 3（

29、 C） x1(D)x013抛物线 yax2bxc(a0) 过第二、三、四象限，则a0 ， b0， c 014抛物线 y6( x1) 22可由抛物线 y 6x 22向平移个单位得到15顶点为（ 2， 5）且过点（1， 14）的抛物线的解析式为16对称轴是 y 轴且过点 A（ 1， 3）、点 B（ 2， 6）的抛物线的解析式为17已知抛物线yx 2bxc 与 y 轴交于点 A，与 x 轴的正半轴交于B、C 两点，且 BC=2， S ABC=3，则b =， c =18、已知二次函数yax 2bx c 的图象经过点（1， 0）和（ -5 ， 0）两点，顶点纵坐标为9 ，求这个2二次函数的解析式。对称轴

30、、顶点、平移：1. 抛物线 yx123 的顶点坐标为2. 抛物线 y x2 1的顶点坐标是3.抛物线 y2x26xc 与 x 轴的一个交点为(1，0) ，则这个抛物线的顶点坐标是4.二次函数 y( x1) 22 的最小值是;.5.已知二次函数 yx22x c2 的对称轴和 x 轴相交于点m，0 ，则 m 的值为 _6.抛物线 yx 22x3 的对称轴是直线7.将抛物 y( x2向左平移 1 个单位后，得到的抛物线的解析式是1)8. 把抛物线 yx2bx c 向右平移 3 个单位，再向下平移2 个单位，所得图象的解析式是y x23x5 ，则有 a、b、 c 的值分别是图像交点、判别式：9. 已知

31、抛物线 yx2(m 1)x (m 2) 与 x 轴相交于 A，B 两点，且线段AB 2 ，则 m 的值为10. 已知二次函数不经过第一象限，且与x 轴相交于不同的两点，请写出一个满足上述条件的二次函数解析式11. 若抛物线 yx22xa 的顶点在 x 轴的下方，则a 的取值范围是（） a 1 a 1 a 1 a 112. 已知二次函数yax2bxc ，且 a0 ， ab c0 ，则一定有（）A.240222B.b4ac0C. b4ac 0D. b4ac 0bac利用图像：x2（ x 2）1若直线 ym（m为常数）与函数y4的图像恒有三个不同的交点，m 的取值范围是。x（ x2）2. 下列图形：yyyyy3x2yx2yx21yOxOO1xxOx其中，阴影部分的面积相等的是（）3.若A13， y1， B1， y2， C5， y3为二次函数 yx24x5的图象上的三点，则43y1， y2， y3 的大小关系是（） y1y2y3 y3y2y1 y3y1y2 y2 y1