几何体中的截面问题.

1、几何体中的的截面问题1定义及相关要素用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面此平面与几何体表面的交集(交线 )叫做截线此平面与几何体的棱的交集(交点 )叫做截点2作多面体的截面方法 (交线法 )：该作图关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面题型一、截面的形状1P、Q、R 三点分别在直四棱柱AC1 的棱 BB1 、CC1 和 DD1 上，试画出过P、Q、R 三点的截面D1C1B1A1QRDPCAB1 解答： (1)连接 QP、 QR 并延长，分别交 CB、 CD 的延长线于 E、 F. D1C1A1B1(2)连接 EF 交 AB

2、于，交 AD 于 SQ(3)连接 RS、 TP。则多边形 PQRST 即为所求截面。RFSDPCATBE2已知1 11D1 的棱 CD、DD 1 和 AA1 上的点，且 QRP、Q、R 分别是四棱柱 ABCD A B C与 AD 不平行，求作过这三点的截面D1A1QC1RDB1D 1A1AP1CQCBRDB12 解答：(1)连接 QP 并延长交 DA 延长线于点 I。(2)在平面 ABCD 内连接 PI 交 AB 于点 M。APCIM(3)连接 QP、 RM 。则四边形PQRM 即为所求。B注：若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的一个面的截线。若面上只有一个已知点，

3、应设法在同一平面上再找出第二确定的点。若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个平面的交线与截面的交点。3 一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能是ABCD3答案： D解析：考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D 。题型二、截面面积、长度等计算4过正方体 ABCD A1 B1C1D1 的对角线 BD1 的截面面积为S，Smax 和 Smin 分别为 S 的最大值和最小值，则Sm ax 的值为 ()Sm inA3B6C2 3D2 622334答案：C解析： 设 M、N 分别为 AA1 、CC1的中点 .易证截面 BM

4、D 1N 是边长为5 的菱形 ( 正方体棱长2设为 1), 其面积S(min)=62 . 而截面 BB1D 1D 是矩形 ,其面积 S(max)=25. 如图，已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1 D1 的内切球，则平面ACD 1 截球 O 的截面面积为5 答案：解析：平面ACD1 是边长为的正三角形，且球与以点D 为公共点的三个面的切点恰为三角形ACD1 三边的中点， 故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，ACD1 内切圆的半径是×tan30=°，则所求的截面圆的面积是××=6已知球的半径为2 ，相互垂直的两个平面

5、分别截球面得两个圆若两圆的公共弦长为 2 ，则两圆的圆心距等于（）2A 1B 2C 3D 26答案： C解析： O1 与 O2 的公共弦为 AB ，球心为，AB 中点为 C，则四边形 O1OO2 C 为矩形， |O1O2 | |OC |,|OA|2,所以 |AC|1, AC OC |OC | |OA|2|AC|237已知正四棱锥 PABCD 的棱长都等于 a ,侧棱 PB、PD 的中点分别为M、N，则截面 AMN与底面 ABCD 所成二面角大小的正切值为17 答案：2解析：过 A 在平面 ABCD内作直线 lBD ，连接 AC,BD交于 O，连接 PO，MN 记 PO、 MN 交于 O因为 P

6、B、PD 的中点分别为 M、 N ，所以 MN /BD，因为 lBD ，所以 l MN ， Al ，所以 l平面 AMN， l平面 AMN平面 ABCD 易知O AO 即为面 AMN与底面 ABCD 所成二面角的平面角AOPO2 aO O2 atan O AO12428如图，正方体 ABCDA1 B1C1 D1 的棱长为1，P 为 BC 的中点， Q 为线段 CC1 上的动点，过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S。则下列命题正确的是_当 0CQ1时， S 为四边形2当 CQ1时， S 为等腰梯形2当 CQ3的交点 R 满足 C1 R11时， S 与 C1D1334CQ1 时， S

7、 为六边形当4当 CQ1时， S 的面积为628答案： 解析： 设截面与 D1D相交于 T，则 AT / PQ且 AT 2PQ DT2CQ .对， .当0CQ1时,则0DT1.所以截面 S为四边形，且 S为梯形 .所以为真 .2对 ,.当 CQ1 时, DT = 1 , T与 D1 重合 ，截面 S为四边形 APQD1 ,所以 APD1Q. 截面2S为等腰梯形 . 所以为真 .对 ,.当 CQ3 时QC11 ,DT3,D1T1 .利用三角形相似解得 C1 R11 .44223所以为真 .对 ,.当 3CQ 1时, 3DT 2.截面 S与线段 A 1D 1 , D 1C1 相交，所以四边形S为五

8、边42形.所以为假 .对 , .当 CQ1时， Q与 C 1 重合 , 截面 S与线段 A1 D1相交于中点 G1即为菱形 APC1G1 A .对角线长度分别为2和3，S的面积为6 . 所以为真 .29如图，ABCDA1 B1C1 D1 为正方体。任作平面与对角线AC 垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为 l . 则（）A S 为定值， l 不为定值BS 不为定值，l 为定值C S 与 l 均为定值DS 与 l 均不为定值9答案:B解析 :将正方体切去两个正三棱锥AABD与CD B C 后，得到一个以平行平面A BD与 D B C 为上、下底面的几何体

9、V ，V 的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W 的每一条边分别与V 的底面上的一条边平行，将 V 的侧面沿棱A B 剪开，展平在一张平面上，得到一个平行四边形A B B1 A1 ，而多边形W 的周界展开后便成为一条与A A1 平行的线段（如图中 E E1 ），显然 A A1E E1 ，故 l 为定值。当 E 位于 A B 中点时，多边形W为正六边形，而当E 移至 A 处时， W为正三角形，易知周长为定值l 的正六边形与正三角形面积分别为3 l 2 与3 l 2 ，故S 不为定值。2436题型三、截面图形的计数10设四棱锥PABCD的底面不是平行四边形,用平面去截此四棱锥,使得截面四边形是

10、平行四边形,则这样的平面()A.不存在B.只有1 个C.恰有4 个D.有无数多个10 答案：D解析：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m， n，直线m 、n确定了平面，作与 平行的平面 与四棱锥侧棱相截，则截得的四边形是平行四边形这样的平面有无数多个11过正四面体ABCD 的顶点A 做一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面BCD 成75 角，问这样的截面可作几个？11 答案： 6 个解析：可以证明正四面体的棱、 侧面与底面成角均小于75 度，这样过顶点与底面成75 度角，且平行与底面一条边的截面也就是符合题意的截面，有两个。三条边就是6 个。题型四、截面图形的性质12 如图 4，在透明的塑

11、料制成的长方体ABCD-A 1B 1C1D1 容器内灌进一些水，固定容器底面一边 BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题：水的部分始终呈棱柱状；水面 EFGH 的面积不改变；棱 A 1D1 始终与水面EFGH 平行； 当容器倾斜到如图 4（ 2）时， BE · BF 是定值；其中正确的命题序号是 _12 答案：解析当长方体容器绕BC 边转动时，盛水部分的几何体始终满足棱柱定义，故正确；在转动过程中EH/FG ，但 EH 与 FG的距离 EF 在变， 所以水面 EFGH 的面积在改变， 故错误；在转动过程中， 始终有 BC/FG/A 1D 1，所以 A 1D1

12、/ 面 EFGH ，正A 1D1EB1HDC1AGBF图 4（1）CA 1D 1B1DC1AHEFGCB图 4（2）确；当容器转动到水部分呈直三棱柱时如图5（2），因为 V水1BE BFBC 是定值，又2BC 是定值，所以 BE · BF 是定值，即正确。13有一容积为 1 立方单位的正方体容器ABCD-A 1B 1C1D1，在棱CAB 、BB 1 及对角线 B 1C 的中点各有一小孔DE、F、G，若此容器可B以任意放置，则该容器可装水的最大容积是AE1B711D47D 1F GC1A C482812A 1B 113 答案： C图（ 1）解析：本题很容易认为当水面是过E、 F、G 三

13、点的截面时容器可1117DC装水的容积最大图6（ 1），最大值为 V立方单1221B28AEG位,这是一种错误的解法， 错误原因是对题中 “容器是可以任意放置”FD1C1的理解不够，其实，当水平面调整为图6（ 2） EB1 C 时容器的容11111A 1B 1积最大，最大容积为V 1211图（ 2）321214 (08 年江西 )如图 1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P。如果将容器倒置，P水面也恰好过点P （图 2）。有下列四个命题：A 正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半PB将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC任意摆放该容器， 当水面静止时