多元函数的概念52837PPT学习教案

1、会计学1多元函数的概念多元函数的概念52837设设),(000yxP是是xoy平面上的一个点，平面上的一个点， 是某一正数，是某一正数， （1）邻域）邻域0P ),(0 PU |0PPP.)()(| ),(2020 yyxxyx一、多元函数的概念 |0|),(00 PPPPU.)()(0| ),(2020 yyxxyx与点与点),(000yxP距离小于距离小于 的点的点),(yxP的全体，的全体， 称为称为点点 0P 的的 邻域，记为邻域，记为 ),(0 PU，简记为，简记为 )(0PU P第1页/共76页（2）区域）区域EP 41),(221 yxyxE例如，例如，即为开集即为开集 内点：内

2、点：，EPU )(设设 E 是平面上的一个点集，是平面上的一个点集，P 是平面上的一个点是平面上的一个点如果存在点如果存在点 P 的某一邻域的某一邻域则称则称为为的内点的内点的内点属于的内点属于如果点集如果点集的点都是内点，的点都是内点，则称则称为开集为开集第2页/共76页的点，的点，于于的任一个邻域内既有属的任一个邻域内既有属如果点如果点EPEP 记为记为的边界的边界的边界点的全体称为的边界点的全体称为EEE ,内内是开集如果对于是开集如果对于设设DD 边界点：边界点：外点：外点：如果存在如果存在 U( P ) , 使得使得,)( EPU则称点则称点P 为为 E 的外点的外点P ，本身可以属

3、于本身可以属于的点（点的点（点也有不属于也有不属于EPE的边界点的边界点为为），则称），则称也可以不属于也可以不属于EPE连结起来，连结起来，任何两点，都可用折线任何两点，都可用折线，且该折线上的点都属于且该折线上的点都属于 D是连通的是连通的则称开集则称开集 D连通集：连通集：连通的开集称为开区域，简称区域连通的开集称为开区域，简称区域第3页/共76页.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo开开区区域域连连同同它它的的边边界界一一起起称称为为闭闭区区域域. .41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo第4页/共76页0| ),( yxyx有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区

4、域xyo例如，例如，),(rOUErE ，使得，使得如果存在正数如果存在正数对于点集对于点集41| ),(22 yxyx9| ),()3,(22 yxyxOU无界点集无界点集为有界点集，否则称为为有界点集，否则称为则称则称 E第5页/共76页（3）聚点）聚点I： 内点一定是聚点；内点一定是聚点；如果对于任意的如果对于任意的 0 , 点点 P 的去心邻域的去心邻域),( PU内总有内总有 E 中的点，则称点中的点，则称点 P 是点集是点集 E 的聚点的聚点II： 在在 内，总有内，总有 E 的无穷多个点；的无穷多个点；),( PUIII： 点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，

5、也可以不属于E10| ),(22 yxyxE例如例如,(0,0) 是聚点但不属于是聚点但不属于Exy 第6页/共76页 E中任何一点都是中任何一点都是 E 的边界点，的边界点，1| ),(22 yxyxE又如又如,xyo1P E 中的任何一点都是中的任何一点都是 E 的聚点。的聚点。思考题：边界点是否一定是聚点？反之，聚点是否思考题：边界点是否一定是聚点？反之，聚点是否一定是边界点？一定是边界点？E第7页/共76页（4）n 维空间维空间设设n为取定的一个自然数，我们用为取定的一个自然数，我们用 nR 表示表示 n 元元 , 2 , 1,| ),(21niRxxxxxRinn 当当 n = 3

6、时，时，( x , y , z ) 表示空间中的一个点或向量表示空间中的一个点或向量,| ),(3RzyxzyxR 表示空间中的全体点或全体向量。表示空间中的全体点或全体向量。因此，我们也称因此，我们也称),(21nxxxx 为为nR中的一个点中的一个点或一个或一个 n 维向量。维向量。有序实数组有序实数组),(21nxxx的全体所构成的集合，即的全体所构成的集合，即 第8页/共76页因此，我们也称因此，我们也称),(21nxxxx 为为nR中的一个点中的一个点或一个或一个 n 维向量。维向量。.个分量个分量第第维向量维向量个坐标或个坐标或的第的第称为点称为点ixnixxi),(21nxxxx

7、 设设定义线性运算如下：定义线性运算如下：),(21nxxxx ),(2211nnyxyxyxyx 这样定义了线性运算的向量集合这样定义了线性运算的向量集合nR称为称为 n 维空间维空间,),(21nnRyyyy R 第9页/共76页),(21nxxxx ),(21nyyyy ),(yx 定义定义称称 ( x, y ) 为为空间两点空间两点 x 和和 y 之间的距离之间的距离设设中两点间的距离公式中两点间的距离公式nR )0 ,(x | x记作记作 )0,(),(yxyx 中变元中变元 x 的极限的极限nR,),(),(2121nnnRaaaaxxxx 设设如果如果, 0| ax则称变元则称变

8、元 x 趋于固定元趋于固定元 a , 记作记作, ax.)()()(2222211nnyxyxyx 22221nxxx |yx 第10页/共76页),(,|),( axRxxaUn类似地，内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义中变元中变元 x 的极限的极限nR,),(),(2121nnnRaaaaxxxx 设设如果如果, 0| ax则称变元则称变元 x 趋于固定元趋于固定元 a , 记作记作, ax结论：结论：,11axax,22ax .nnax 中邻域、区域等概念中邻域、区域等概念nR, 0,),(21 nnRaaaa点点设设则称则称 中的点集中的点集nR为为 中点中点 a 的的 邻域。邻域

9、。nR第11页/共76页定义定义: :设设D D是是2R的一个非空子集的一个非空子集. . 二、多元函数的概念二、多元函数的概念 f 称为对应规则或函数，称为对应规则或函数，f ( x , y ) 称为称为 f 在点在点 ( x , y )处的函数值。处的函数值。函数值的全体所构成的集合称为函数函数值的全体所构成的集合称为函数 f 的值域，记作的值域，记作 DyxyxfzzDf ),(),(|)(函数与选用的记号无关，如函数与选用的记号无关，如),(),(yxzzyxz 如果如果 ,),(DyxP 按照某种法则按照某种法则f f, ,都有唯一确定的实数都有唯一确定的实数z z与之对应与之对应,

10、 , Dyxyxfz ),( , ),( 或或 DPPfz , )(. . 其中其中D D称为函数的定义域，称为函数的定义域， yx,称为自变量，称为自变量，z为因变量为因变量. . 则称则称 f 是是 D 上的二元函数上的二元函数, 记为记为 第12页/共76页当当2 n时，时，n元函数统称为多元函数元函数统称为多元函数. 与一、二元函数一样，多元函数中同样有定义与一、二元函数一样，多元函数中同样有定义 类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数 n 元函数通常记为元函数通常记为nnnRDxxxxxxfu ),(),(2121或简记为或简记为nnRDxxxxxfu ),()

11、,(21nnRDxxxPPfu ),(),(21.)(又称为点函数又称为点函数其中其中Pfu .)(,即为一元函数即为一元函数时时当点当点PfuRP .)(,2即为二元函数即为二元函数时时当点当点PfuRP 域、值域、自变量、因变量等概念域、值域、自变量、因变量等概念. 第13页/共76页一元函数与多元函数的概念比较一元函数与多元函数的概念比较 一一 元函数元函数 y = f (x): ,:RDf:)(Pfu 点函数点函数,时时当点当点RP ,2时时当点当点RP ,RD ,Dx 二元函数二元函数 y = f (x, y): ,:RDf,2RD ,),(Dyx n 元函元函数数,:RDf,nRD

12、 ,),(21Dxxxn :),(21nxxxfu .)(即为一元函数即为一元函数Pfu .)(即为二元函数即为二元函数Pfu ,时时当点当点nRP .)(元函数元函数即为即为nPfu 第14页/共76页例例1 1 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxD 2yx 第15页/共76页二元函数二元函数 的图形的图形),(yxfz 设函数设函数),(yxfz 的定义域为的定义域为D，对于任意取定，对于任意取定 （如下页图）（如下页图） 这样，以这样，以 x 为横坐标、为横坐

13、标、y 为纵坐标、为纵坐标、z为竖坐标为竖坐标 这个点集称为二元函数的图形这个点集称为二元函数的图形. ),(),(| ),(Dyxyxfzzyx ， 的的DyxP ),(，对应的函数值为，对应的函数值为),(yxfz ， 在空间就确定一点在空间就确定一点),(zyxM， 当当 P ( x, y ) 取遍取遍 D 上一切点时上一切点时, 得到空间点集得到空间点集第16页/共76页二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.第17页/共76页xyzoxyzsin 2222azyx 例如例如,.),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 单值分支单值分支:第18页/共

14、76页一元函数极限回顾：一元函数极限回顾：如果在如果在 的过程中，的过程中，0 xx f (x) 无限接近一个确定常数无限接近一个确定常数 A ，就称，就称 A 是是 f (x) 当当 时的极限，记为时的极限，记为0 xx Axfxx )(lim0:语言语言 , 0, 0 ,|00时时当当 xx,|)(| Axf有有Axfxx )(lim0则记则记二元函数的极限：二元函数的极限：如果在如果在 的过程中的过程中),(),(00yxPyxP f (x, y ) 无限接近一个确定常数无限接近一个确定常数 A ，就称，就称 A 是是 f (x, y ) 当当 时的极限，记为时的极限，记为),(),(0

15、0yxPyxPAyxfyxyx ),(lim),(),(00或或,),(lim0AyxfPP 第19页/共76页定义定义 1 1 设函数设函数),(yxfz 的定义域为的定义域为 D,D, 如果如果0 ， 则称则称 A A 为函数为函数),(yxfz 当当0 xx ，0yy 时的极限，时的极限， （或（或)0(),( Ayxf这里这里|0PP ） . 20200)()(|0yyxxPP， |),(|Ayxf都都有有),(000yxP是其聚点，是其聚点， 0 ， 当当),(),(0 PUDyxP 即即 ,DP 记为记为 Ayxfyyxx ),(lim00 第20页/共76页说明：说明：（2）二元

16、函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似（1）定义中）定义中 的方式比的方式比 的方式复杂的的方式复杂的多多0PP 0 xx o 0 x0P xyo第21页/共76页例例2 2 求证求证 证证01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 取取当当 时，时， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原结论成立原结论成立 第22页/共76页例例3 3 求极限求极限 .)sin(lim2

17、2200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 第23页/共76页证证例例4 4 证明证明 不存在不存在 26300limyxyxyx （2）取取, 0, kxky26300limyxyxyx 22630limxkxkxxxkyx 此时，仍不能确定极限是否存在（1） P ( x , y ) 沿沿 x 轴趋于轴趋于 ( 0 , 0 )， 此时此时 y = 0 ,

18、x 026300limyxyxyx 00lim6300 xxyx00lim600 xyx0lim26300 yxyxxy同理同理)0 , 0(),(),( ,0 xkxyxx时时当当2620limkxkxxkyx 0 xyo第24页/共76页例例4 4 证明证明 不存在不存在 证证26300limyxyxyx （3）取取, 0,3 kkxy26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx 21kk 极限值随极限值随 k 的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在)0 , 0(),(),( ,03 xkxyxx时时此时当此时当 xyo0 第25页/共76页不存在.观观察察26

19、300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 第26页/共76页不存在.观观察察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 第27页/共76页不存在.观观察察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 第28页/共76页不存在.观观察察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 第29页/共76页不存在.观观察察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 第30页/共76页不存在.观观察察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 第31页/共76页不存在.观观察察26300limyxyxyx ,263图形图形yxy

20、xz 第32页/共76页不存在.观观察察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 第33页/共76页不存在.观观察察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 第34页/共76页不存在.观观察察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 第35页/共76页不存在.观观察察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 第36页/共76页不存在.观观察察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 第37页/共76页不存在.观观察察26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 第38页/共76页不存在.观观察察2630

21、0limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 第39页/共76页（1） 令令),(yxP沿沿nxky 趋向于趋向于)0 , 0(0P， （2） 找两种不同趋近方式， 使找两种不同趋近方式， 使),(lim00yxfyyxx均均存在，存在， 确定极限确定极限不存在不存在的常用方法：的常用方法：若极限值与若极限值与k有关，则可断言极限不存在；有关，则可断言极限不存在； 但两者不相等，但两者不相等， 此时也可断言此时也可断言),(yxf在点在点),(000yxP处极限不存在处极限不存在 第40页/共76页求二元函数的极限求二元函数的极限常用常用的方法：的方法：（1）用定义验证其存在或不存在；）用

22、定义验证其存在或不存在；（2）利用变量代换转化为一元函数的极限，）利用变量代换转化为一元函数的极限，再用一元函数中已有的方法；再用一元函数中已有的方法；（3）消去分子分母中极限为）消去分子分母中极限为 0 的因子；的因子；（4）利用极限运算性质（与一元函数相似）；）利用极限运算性质（与一元函数相似）；（5）利用函数的连续性；）利用函数的连续性；第41页/共76页解：解：2322222200)(sinlimyxyxyxyx 例例5：求极：求极限限,:22yx 令令,)0 , 0(),(时时当当yx, 0 2322222200)(sinlimyxyxyxyx 30sinlim 203cos1lim

23、 6sinlim0 61 第42页/共76页解：解：xyxyxsinlim20例例6：求极限：求极限,:yxz 令令,)2 , 0(),(时时当当yx, 0zxyxyxsinlim20yyxyxyx sinlim20yzzxyz020limsinlim yzzyz20limsinlim 221 第43页/共76页解：解：42lim00 yxyxyx例例7：求极：求极限限42lim00 yxyxyx)42)(42()42(lim00 yxyxyxyxyxyxyxyxyx )42(lim00)42(lim00 yxyx)42(lim0 4)402( 第44页/共76页定义定义 2 2 设设 n元函

24、数元函数)(Pf的定义域为点集的定义域为点集 D D, , 三、三、n元函数的极限元函数的极限 0P是其聚点，如果对于任意给定的正数是其聚点，如果对于任意给定的正数 ， 总存在正数总存在正数 ，使得对于适合不等式，使得对于适合不等式 |00PP 的一切点的一切点DP ，都有，都有 |)(|APf成立，成立， 则称则称 A A 为为n元函数元函数)(Pf当当0PP 时的极限，记为时的极限，记为 APfPP )(lim0. . :语言语言 , 0, 0 ,|00时时当当 PP,|)(| APf有有AxfPP )(lim0则记则记第45页/共76页一元函数连续性回顾：一元函数连续性回顾：Dxxfy

25、0),(设设),()(lim00 xfxfxx 若若.)(0处连续处连续在在则称则称xxf二元函数的连续性二元函数的连续性.,),(),(000且为聚点且为聚点设设DyxPyxfz ),(),(lim0000yxfyxfyyxx 若若.),(),(000处连续处连续点点在在则称则称yxPyxf.),(),(000处间断处间断点点在在否则称否则称yxPyxf.),(),(000的间断点的间断点为为点点或称或称yxfyxP第46页/共76页 如果函数如果函数 f ( x, y ) 在在 D 的每一点都连续，的每一点都连续， 二元函数连续的三个要素二元函数连续的三个要素,),(),()1(00处有定

26、义处有定义在点在点yxyxf则称函数则称函数 f ( x, y ) 在在 D 上连续，上连续，或者称 f ( x, y ) 是 D 上的连续函数。),(),(lim0000yxfyxfyyxx ,),(lim)2(00存在存在极限极限yxfyyxx. ),(),(lim)3(0000yxfyxfyyxx 第47页/共76页 二元函数间断的情形比一元函数要复杂的多二元函数间断的情形比一元函数要复杂的多11sin),(:22 yxyxf例如例如因为当因为当,122时时 yx f ( x , y ) 无定义，无定义，所以在整个圆所以在整个圆周周,122上上 yx f ( x , y ) 间断间断。第

27、48页/共76页例例8 8 证明函数证明函数 )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在(0,0)处连续解解 取取,cos x sin y)0 , 0(),(fyxf )cos(sin33 2 ),(yxP xyo 22yx , 0 ,2 取取 220yx当当 2)0 , 0(),( fyxf),0 , 0(),(lim)0,0(),(fyxfyx 故函数在(0,0)处连续., 第49页/共76页例例9 9 讨论函数讨论函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在(0,0)的连续性解解取取,kxy 2200limyxxyyx 2222

28、0limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在故函数在(0,0)处不连续)0 , 0(),(),( ,0 xkxyxx时时当当第50页/共76页设设n元函数元函数)(Pf的定义域为点集的定义域为点集 D D 设设0P是函数是函数)(Pf的定义域的聚点，的定义域的聚点， 定义定义3 3 如果函数如果函数 f ( P ) 在在 D 的每一点都连续，则称的每一点都连续，则称函数函数 f ( P ) 在在 D 上连续，或者称上连续，或者称 f ( P ) 是是 D 上的上的连续函数。连续函数。0P是其聚点且是其聚点且DP 0， 如果如果)()(lim00Pf

29、PfPP , , 则称则称n元函数元函数)(Pf在点在点0P处连续处连续. . 如果如果)(Pf在点在点0P处不连续，处不连续， 则称则称0P是函数是函数)(Pf的间断点的间断点. n 元函数的连续性元函数的连续性第51页/共76页（2）多元初等函数）多元初等函数：由常数及：由常数及不同自变量表达的一不同自变量表达的一元基本初等函数元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算经过有限次的四则运算和复合运算所构成的可用所构成的可用一个式子表示一个式子表示的多元函数叫的多元函数叫多元初等多元初等函数函数（3）一切多元初等函数在其定义区域内是连续的）一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域定义

30、区域是指包含在定义域内的区域或闭区域是指包含在定义域内的区域或闭区域关于多元函数连续性的几点说明关于多元函数连续性的几点说明（1）一切一元基本初等函数，作为一个二元或二）一切一元基本初等函数，作为一个二元或二元以上的多元函数时，在其定义域内都是连续的。元以上的多元函数时，在其定义域内都是连续的。,sin),(:xyxf 例如例如,),(nyyxf .),(zazyxf 不同自变量表达的一元基本初等函数不同自变量表达的一元基本初等函数zayx,sin,sin第52页/共76页（4）利用多元函数的连续性可以计算在其连续点）利用多元函数的连续性可以计算在其连续点处的极限。处的极限。时，时，一般地，求

31、一般地，求)(lim0PfPP例例.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.211101 ，是初等函数是初等函数如果如果)(Pf的定义域的内点，的定义域的内点，是是且且)(0PfP处连续，处连续，在点在点则则0)(PPf).()(lim00PfPfPP 于是于是第53页/共76页闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域 D D 上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在 D D 上必定有界，且能取得它的最大值和最小值，即上必定有界，且能取得它的最大值和最小值，即（一）有界性及最大值和最小值定理

32、（一）有界性及最大值和最小值定理（2）至少存在两点）至少存在两点MPf | )(|（1）存在正数）存在正数 M ，使得对于任意的点，使得对于任意的点 P D ，均有，均有使得使得,21DPP , | )(max)(1DPPfPf , | )(min)(2DPPfPf ,)(1为最大值为最大值即即Pf.)(2为最小值为最小值即即Pf第54页/共76页（二）介值定理（二）介值定理 在有界闭区域在有界闭区域 D 上连续的多元函数上连续的多元函数 f ( P ) ，必取得介于最小值必取得介于最小值 m 和最大值和最大值 M 之间的任何值。之间的任何值。即对任意的即对任意的 c , m c M , 至少

33、存在一点至少存在一点 P D ,使得：使得：cPf )(第55页/共76页多元函数极限的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质（注意趋近（注意趋近方式的方式的任意性）任意性）多元函数的定义多元函数的定义第56页/共76页习题91: 4(3, 5), 5(2, 4, 6), 6(3), 8 第九章作业第九章作业第一节：第一节：多元函数的基本概念多元函数的基本概念第57页/共76页 若点若点),(yx沿着无数多条平面曲线趋向于沿着无数多条平面曲线趋向于点点),(00yx时，函数时，函数),(yxf都趋向于都趋向于 A，能否，能否断定断定Ayxfyxyx ),(lim),()

34、,(00？ 思考题第58页/共76页思考题解答不能不能.例例,)(),(24223yxyxyxf )0 , 0(),(yx取取,kxy 2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x但是但是 不存在不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx因为若取因为若取,2yx 244262)(),(yyyyyyf .41第59页/共76页一、一、 填空题填空题: : 1 1、 若若yxxyyxyxftan),(22 , ,则则),(tytxf= =_. . 2 2、 若若xyyxyxf2),(22 , ,则则 )3, 2(f_; ; ), 1(xyf_. . 3 3、 若若)0()(22 yyyxxyf, ,则则 )(xf_.