山东省自学考试强化复变函数与积分变换实践习题及答案.

1、山东大学高等教育自学考试强化实践能力培养考核复变函数与积分变换教学考试大纲一、课程性质及课程设置的目的和要求(一）课程的性质、地位与任务本课程是全国高等自学考试工科类各专业的一门重要的基础理论课，它包含复变函数与积分变换两部分内容。复变函数是研究复自变量复值函数的分析课程，在某些方面它是微积分学的推广，独立成为一门课程则是因为它有其自身的研究対象及独特的处理方法。解析函数是复变函数研究的中心内容，留数的计算及其应用以及保角映射是复变函数特有的问题。积分变换有时也称为运算微积，是通过积分运算把一个函数转变为另一个更为简单的且易于处理的函数。本课程介绍傅里叶变换和拉普拉斯变换，可以应用它们求解某些

2、积分方程，微分方程以及计算积分。通过本课程的学习，为以后学习工程力学、电工学、电磁学、振动力学及无线电技术等课程奠定必要的基础。要学好本课程必须具备高等数学的基础。(二)课程的基本要求通过对本课程的学习，要求考生系统地获得复变函数和积分变换的基本知识(对积分变换未作要求的专业考生可不学积分变换部分),切实掌握有关内容的基本概念、基本理论和基本方法，并具有比较熟练的运算能力和初步解决实际问题的能力，同时注意培养抽象思维能力与一定的逻辑推理能力，从而为学习后继课程奠定良好的基础。（三）本课程与有关课程的联系本课程与高等数学有密切的联系，如导数、积分、级数和微分方程等,要学好本课程，必须把高等数学中

3、的有关知识掌握好，进行必要的复习。本课程是一门重要的基础课，它与工程力学、电工技术、电子技术和自动控制等课程的联系十分密切，因此在学习时。要切实掌握本课程的主要内容，这对以后的学习将会带来很大的帮助。二、课程内容和考核要求第一篇复变函数第一章复数(一）学习目的与要求本章的学习目的与要求是:深刻理解复数的概念;熟悉复数的多种表示法，复数的四则运算及开方运算；理解复数运算的几何意义；理解区域、单连域、多连域和简单曲线等概念；掌握用复变数的方程来表示常用曲线以及用不等式表示区域。本章的知识点中，重点是:复数的运算以及用复变数方程表示曲线，用不等式表示区域。难点是：复数的运算，复数方程表示曲线，不等式

4、表示区域。(二）课程内容1.复数及其表示法1.1复数的概念1.2复数的表示法2.复数的运算及几何意义2.1复数的加法和减法2.2复数的乘法和除法2.3复数的方根2.4共轭复数及其运算性质3.平面点集和区域3.1点集概念3.2区域3.3简单曲线3.4单连通区域与多连通区域(三）考核知识点与考核要求1.复数的概念及其表示法，要求达到“领会”层次。(1)熟知并掌握复数的概念。(2)掌握复数的各种表示法。2.复数的运算及几何意义，要求达到“简单应用”层次。(1)熟悉与掌握复数的四则运算及开方运算。(2)掌握上述各种运算的几何意义。(3)会进行一些简单的运算。3.点集、区域和简单曲线，要求达到“领会”层

5、次。(1)正确理解区域、简单曲线等概念。(2)掌握用复变数的方程来表示常用曲线以及用不等式表示区域。（四）强化实践能力培养考核考试大纲1熟悉复数的多种表示法，复数的四则运算及开方运算；理解复数运算的几何意义。2理解区域、单连域、多连域和简单曲线等概念；掌握用复变数的方程来表示常用曲线以及用不等式表示区域。（五）作业题1.已知，求，。2.已知，求及。3.设、是两个复数。求证：。4.证明：函数在原点不连续。5.证明：z平面上的直线方程可以写成（a是非零复常数，c是常数）第二章解析函数(一）学习目的与要求解析函数是复变函数的研究对象。本章总的要求是：深刻理解复变函数以及映射的概念，了解一个复变函数等

6、价于一对实二元函数；理解函数解析的概念与柯西-黎曼条件;掌握判别函数解析性的方法；了解解析函数与调和函数的关系，并且掌握由已知的调和函数求其共轭调和函数从而得到解析函数的方法;记住复自变量的初等函数的定义以及它们的一些重要性质。本章的知识点中，重点是：函数解析性的判别，掌握和运用柯西黎曼条件，能从已知调和函数求其共轭调和函数。难点是：函数解析性的判断，已知调和函数求其共轭调和函数。(二）课程内容1.复变函数1.1复变函数的概念1.2复变函数的极限和连续性2.解析函数的概念2.1复变函数的导数2.2解析函数的概念3.柯西黎曼条件4.解析函数与调和函数的关系5.初等函数5.1指数函数5.2对数函数

7、5.3幂函数5.4三角函数5.5反三角函数(三）考核知识点与考核要求1.复变函数的概念，要求达到“领会”层次。(1)正确理解复变函数以及映射的概念。(2)理解一个复变函数与一对二元实函数的关系。2.复变函数的极限和连续性，要求达到“识记”层次。3.复变函数的导数，要求达到“领会”层次。(1)理解复变函数的导数的定义。(2)掌握可导与连续的关系及求导方法。4.解析函数的概念，要求达到“领会”层次。(1)正确理解解析函数的概念。(2)掌握解析函数的判别法。5.柯西黎曼条件，要求达到“简单应用”层次。(1)正确理解和掌握柯西黎曼条件。(2)熟练运用柯西黎曼条件。6.解析函数与调和函数的关系，要求达到

8、“简单应用”层次。(1)理解调和函数的定义。(2)了解调和函数与解析函数的关系。(3)掌握共轭调和函数的求法。7.初等函数，要求达到“识记”层次。(1)记住指数函数、三角函数、对数函数、幂函数与反三角函数的定义。(2)了解它们的主要性质。（四）强化实践能力培养考核考试大纲1深刻理解复变函数以及映射的概念，了解一个复变函数等价于一对实二元函数。2. 理解函数解析的概念与柯西-黎曼条件，掌握判别函数解析性的方法。3. 掌握解析函数与调和函数的关系，并且掌握由已知的调和函数求其共轭调和函数从而得到解析函数的方法，记住复自变量的初等函数的定义以及它们的一些重要性质。（五）作业题1.试判断函数的可微性和

9、解析性。2.解方程3.求4.设确定在从原点z=0起沿负实轴割破了的z平面上，并且（这是边界上岸点对应的函数值），试求的值。5.设，问在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值。第三章复变函数的积分(一）学习目的与要求复变函数的积分在实用和理论两个方面都是十分重要的。利用复变函数的积分可以求一些定积分的值，也可以证明解析函数的一些重要性质。本章总的要求是:正确理解复变函数积分的概念并掌握它的基本性质；掌握复变函数积分的一般计算方法；掌握柯西定理以及当函数fz在闭区域上具有连续导数时的证明，并且知道推广到多连域的情形；熟练掌握用柯西积分公式及高阶导数公式计算积分；了解莫累拉定理。本章知识点中，重点

10、是:柯西定理；柯西积分公式及高阶导数公式的用法。难点是:复变函数积分的计算。(二）课程内容1.复变函数的积分1.1复变函数积分的概念1.2积分的存在性及其计算公式1.3积分的基本性质2.柯西定理2.1柯西定理2.2原函数与不定积分2.3柯西定理的推广3.柯西积分公式4.解析函数的高阶导数4.1解析函数的高阶导数4.2柯西不等式4.3解析函数的等价概念(三）考核知识点与考核要求1.复变函数积分的概念，要求达到“领会”层次。(1)知道复变函数积分的定义。(2)了解复变函数积分可转化为两个实二元函数的线积分。2.积分的存在性及其计算公式，要求达到“领会”层次。(1)知道复积分的存在性。(2)掌握复积

11、分的计算公式。3.积分的基本性质，要求达到“领会”层次。4.柯西定理，要求达到“简单应用”层次。5.原函数与不定积分，要求达到“领会”层次。(1)掌握用原函数求解析函数的积分值。(2)了解变上限函数的有关概念。6.柯西定理的推广，要求达到“简单应用”层次。(1)正确理解复合闭路定理。(2)会应用路线变形原理计算某些积分。7.柯西积分公式，要求达到“简单应用”层次。(1)正确理解柯西积分公式。(2)熟练应用柯西积分公式计算某些积分。8.解析函数的高阶导数公式，要求达到“简单应用”层次。(1)正确理解高阶导数公式。(2)应用高阶导数公式计算某些积分。9.解析函数的等价概念，要求达到“识记”层次。（

12、1)知道柯西定理的逆定理莫累拉定理。（2）知道解析函数的一个等价概念（四）强化实践能力培养考核考试大纲1.正确理解复变函数积分的概念并掌握它的基本性质，掌握复变函数积分的一般计算方法。2.掌握柯西定理，并且知道推广到多连域的情形，熟练掌握用柯西积分公式及高阶导数公式计算积分。（五）作业题1.计算其中C为单位圆周|z|=12.求积分3.已知：，求解析函数4.计算积分,其中积分路径为(1)中心位于点,半径为的正向圆周(2) 中心位于点,半径为的正向圆周第四章级数(一）学习目的与要求本章在复数范围内讨论级数，其中罗朗级数是研究解析函数在它的孤立奇点的邻域内的性质及计算留数的重要工具。本章总的要求是：

13、了解复数项级数的敛散性及有关概念，主要性质及重要定理；理解幂级数收敛的阿贝尔定理以及幂级数的收敛圆、收敛半径等概念，掌握幂级数的收敛半径的求法以及幂级数在收敛圆内的性质；知道把函数展开成泰勒级数的证明；记住几个主要的初等函数的泰勒展开式，能熟练地把一些比较简单的初等函数展开成泰勒级数或求得展开式的起首几项并确定其收敛半径；理解罗朗级数的作用,并能把比较简单的函数在不同环域内展开成罗朗级数;理解孤立奇点的概念，孤立奇点的分类以及判别其类型的方法。本章知识点中，重点是：函数展开成泰勒级数；在不同环域内展开成罗朗级数;孤立奇点类型的判别。难点是：函数展开成罗朗级数; 孤立奇点类型的判别。(二）课程内

14、容1复数项级数与复函数项级数1.1数列的极限1.2复数项级数1.3复函数项级数2.幂级数2.1幂级数的概念2.2收敛圆与收敛半径3.泰勒级数3.1解析函数的泰勒展开式3.2初等函数的泰勒展开式4.罗朗级数5.孤立奇点5.1可去奇点5.2极点5.3本性奇点(三）考核知识点与考核要求1.数列的极限，要求达到“识记”层次。(1)知道复数列的极限概念。(2)知道复数列收敛的充分必要条件。2.复数项级数，要求达到“识记”层次。(1)了解复数项级数的基本概念。(2)了解有关复数项级数敛散性的几个定理。3.复函数项级数，要求达到“识记”层次。(1)了解复函数项级数的有关概念。(2)了解复函数项级数的绝对收敛

15、的概念。4.幂级数的概念，要求达到“领会”层次。(1)了解幂级数的概念。(2)深刻理解阿贝尔定理。5.收敛圆与收敛半径，要求达到“简单应用”层次。(1)理解收敛圆与收敛半径的概念。(2)会用比值法和根值法求幂级数的收敛半径。(3)了解幂级数在其收敛圆内的两个性质。6.解析函数的泰勒展开式，要求达到“领会”层次。(1)知道解析函数展开成泰勒级数的证明。(2)知道利用奇点求收敛半径的方法。(3)理解4个等价的解析函数的定义。7.初等函数的泰勒展开式，要求达到“简单应用”层次。(1)掌握常用初等函数的泰勒展开式。(2)会应用已知函数的泰勒展开式求另一些函数的泰勒展开式，并能确定其收敛半径。8.罗朗级

16、数，要求达到“简单应用”层次。(1)理解罗朗级数的作用。(2)能熟练地把比较简单的函数在不同环域内展开成罗朗级数。9.孤立奇点，要求达到“领会”层次。(1)理解可去奇点、极点及本性奇点的概念。(2)理解孤立奇点的分类及判别其类型的方法。（四）强化实践能力培养考核考试大纲1.掌握复数项级数的敛散性及有关概念，主要性质及重要定理。2.理解幂级数收敛的阿贝尔定理以及幂级数的收敛圆、收敛半径等概念，掌握幂级数的收敛半径的求法以及幂级数在收敛圆内的性质。3记住几个主要的初等函数的泰勒展开式，能熟练地把一些比较简单的初等函数展开成泰勒级数或求得展开式的起首几项并确定其收敛半径。4.理解罗朗级数的作用,并能

17、把比较简单的函数在不同环域内展开成罗朗级数；理解孤立奇点的概念，孤立奇点的分类以及判别其类型的方法。（五）作业题1将函数在点展开为洛朗(Laurent)级数2讨论级数的敛散性3求下列级数的和函数.(1) (2)4用直接法将函数在点处展开为泰勒级数,(到项),并指出其收敛半径.第五章留数(一）学习目的与要求留数是复变函数的一个重要概念，它与解析函数在孤立奇点处的罗朗展开式有密切的关系。留数概念及留数定理在一些理论问题和实际问题中有着十分广泛和重要的应用。本章总的要求是:深刻理解函数在孤立奇点留数的概念；掌握并能熟练应用留数定理;掌握好留数的计算，尤其要熟悉较低阶极点处留数的计算；能用留数来计算3

18、种标准类型的定积分，知道一两个典型的特殊围通积分的计算。本章知识点中，重点是：留数的计算及应用留数计算某些定积分。难点是：留数的计算。(二）课程内容1.留数1.1留数的概念及留数定理1.2留数的计算2.留数在定积分计算上的应用2.1计算02R(cosx,sinx)dx型积分2.2计算-+P(x)Q(x)dx型积分2.3计算-+f(x)eixdx型积分(三）考核知识点与考核要求1.留数的概念及留数定理，要求达到“领会”层次。(1)深刻理解留数的概念。(2)掌握并能应用留数定理。2.留数的计算，要求达到“领会”层次。(1)熟练掌握较低阶极点处的留数的计算。(2)熟练掌握本性奇点处的留数的计算。3.

19、留数在定积分计算上的应用，要求达到“简单应用”层次。(1)熟练应用留数计算02R(cosx,sinx)dx 型积分(2)熟练应用留数计算-+P(x)Q(x)dx 型积分(3)熟练应用留数计算-+f(x)eixdx 型积分（四）强化实践能力培养考核考试大纲1.深刻理解函数在孤立奇点留数的概念。2.掌握并能熟练应用留数定理;掌握好留数的计算，尤其要熟悉较低阶极点处留数的计算。3.能用留数来计算3种标准类型的定积分，知道一两个典型的特殊围通积分的计算。（五）作业题1. 计算积分2求出在所有孤立奇点处的留数3 4 c:|z|=2取正向第六章保角映射(一）学习目的与要求解析函数所实现的映射能把区域映射成

20、区域，且在其导数不为零的点的邻域上，具有伸缩率及旋转角不变的特性，因此称为保角映射。保角映射在数学上及物理学的各个领域里有着非常广泛的应用。本章总的要求是：理解导数的辐角和模的几何意义以及保角映射的概念；知道有关保角映射的几个重要定理，如黎曼定理，边界对应原理等;掌握分式线性映射的重要性质：保角性、保圆性、保对称性和保交比性；掌握好确定半平面到半平面、半平面到单位圆、单位圆到单位圆的分式线性映射；对于适当的区域能求得由分式线性函数、幂函数、指数函数、对数函数或其复合函数构成的映射。本章知识点中，重点是：保角映射的概念和分式线性映射。难点是：以分式线性函数为主的复合函数的映射。（二）课程内容1.

21、保角映射的概念1.1导数的几何意义1.2保角映射的概念1.3关于保角映射的几个一般性定理2分式线性映射2.1分式线性映射2.2分式线性映射的性质2.3三类典型的分式线性映射3几个初等函数所构成的映射3.1幂函数与根式函数3.2指数函数与对数函数(三）考核知识点与考核要求1.导数的几何意义,要求达到“领会”层次。(1)理解导数的辐角的几何意义。(2)理解导数的模的几何意义。2.保角映射的概念，要求达到“领会”层次。3.关于保角映射的几个一般性定理，要求达到“识记”层次。(1)知道黎曼定理。(2)知道边界对应原理。4.分式线性映射及其性质，要求达到“领会”层次。(1)深刻理解分式线性映射的概念。(

22、2)掌握分式线性映射的重要性质：保角性，保圆性，保对称性和保交比性。5.三类典型的分式线性映射，要求达到“综合应用”层次。(1)掌握半平面到半平面的分式线性映射。(2)掌握半平面到单位圆的分式线性映射。(3)掌握单位圆到单位圆的分式线性映射。6.幂函数与根式函数所构成的映射，要求达到“综合应用”层次。(1)掌握幂函数与根式函数所构成的映射的特点。(2)会应用幂函数或根式函数确定适当的区域间的映射。7.指数函数与对数函数所构成的映射，要求达到“综合应用”层次。(1)掌握指数函数与对数函数所构成的映射的特点。(2)会应用指数函数或对数函数确定适当的区域间的映射。（四）强化实践能力培养考核考试大纲1

23、.理解导数的辐角和模的几何意义以及保角映射的概念。2.知道有关保角映射的几个重要定理，如黎曼定理，边界对应原理等。3.掌握分式线性映射的重要性质:保角性、保圆性、保对称性和保交比性。4.掌握好确定半平面到半平面、半平面到单位圆、单位圆到单位圆的分式线性映射。（五）作业题1求一映射，将半带形域映射为单位圆域.2求上半单位圆域在映射下的象.3求把区域映射到单位圆内部的共形映射第二篇积分变换第一章傅里叶变换(一）学习目的与要求傅里叶变换在电学、力学和控制论等工程与科学领域中有着广泛的应用。本章总的要求是：掌握傅里叶积分公式、余弦傅里叶积分公式和正弦傅里叶积分公式以及用它们来计算某些积分；理解傅里叶变

24、换、余弦傅里叶变换、正弦傅里叶变换和它们的逆变换的概念，掌握某些函数的傅里叶变换及逆变换的求法；了解函数(单位脉冲函数）的概念和性质;记住函数、u(t)（单位阶跃函数）、指数衰减函数、正弦函数和余弦函数的傅里叶变换；掌握傅里叶变换的下列性质：线性性、对称性、相似性、平移性、微分性、积分性以及卷积定理；掌握用傅里叶变换解某些积分方程和计算某些积分。本章知识点中，重点是：计算函数的傅里叶变换；傅里叶变换的微分和积分性质以及用傅里叶变换解某些积分方程。难点是:用傅里叶变换的性质计算某些函数的傅里叶变换。(二）课程内容1.傅里叶积分公式1.1傅里叶级数的复数形式1.2傅里叶积分公式2.傅里叶变换2.1

25、傅里叶变换的概念2.2单位脉冲函数及其傅里叶变换3.傅里叶变换的基本性质3.1线性性3.2对称性3.3相似性3.4位移性3.5微分性3.6枳分性3.7卷积与卷积定理(三）考核知识与考核要求1.傅里叶级数的复数形式，要求达到“识记”层次。(1)知道周期函数的傅里叶级数。(2)知道傅里叶级数的复数形式。2.傅里叶积分公式，要求达到“识记”层次。(1)了解傅里叶积分公式。(2)了解余弦傅里叶积分公式。(3)了解正弦傅里叶积分公式。3.傅里叶变换的概念及其逆变换，要求达到“领会”层次。(1)理解傅里叶变换的概念。(2)理解傅里叶逆变换的概念。(3)掌握某些函数的傅里叶变换及逆变换的求法4.余弦傅里叶变

26、换、正弦傅里叶变换及其逆变换，要求达到“领会”层次。(1)理解余弦傅里叶变换的概念。(2)理解正弦傅里叶变换的概念。(3)理解它们的逆变换的概念。5.单位脉冲函数与单位阶跃函数及其傅里叶变换，要求达到“领会”层次。(1)理解单位脉冲函数的概念和性质。(2)理解单位阶跃函数的概念和性质。(3)记住单位脉冲函数和单位阶跃函数的傅里叶变换。6.傅里叶变换的基本性质，要求达到“简单应用”层次。(1)掌握傅里叶变换的下列性质:线性性、对称性、相似性、位移性、微分性、积分性以及卷积定理。(2)掌握用傅里叶变换理解某些积分方程和计算某些积分的方法。（四）强化实践能力培养考核考试大纲1.掌握傅里叶积分公式、余

27、弦傅里叶积分公式和正弦傅里叶积分公式以及用它们来计算某些积分。2.理解傅里叶变换、余弦傅里叶变换、正弦傅里叶变换和它们的逆变换的概念，掌握某些函数的傅里叶变换及逆变换的求法。3.掌握傅里叶变换的下列性质：线性性、对称性、相似性、平移性、微分性、积分性以及卷积定理；掌握用傅里叶变换解某些积分方程和计算某些积分。（五）作业题1证明：如果f(t)满足傅里叶变换的条件，当f(t)为奇函数时，则有其中当f(t)为偶函数时，则有 其中2 求下列函数的傅里叶变换(2)3.已知函数的傅里叶变换求4.设函数f(t)的傅里叶变换，a为一常数. 证明第二章拉普拉斯变换(一）学习目的与要求拉普拉斯变换在电学、力学和无

28、线电技术等很多工程与科学领域中有着广泛的应用。由于它对像原函数要求的条件比傅里叶变换要弱，因此对某些问题，它比傅里叶变换的适用面要广。本章总的要求是：深刻理解拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换的概念，知道指数级函数的概念及拉普拉斯变换的存在定理；记住单位脉冲函数、单位阶跃函数、指数函数、正弦函数、余弦函数和幂函数tmm>1等一些常用函数的拉普拉斯变换；掌握拉普拉斯变换的下列性质；线性性、相似性、位移性、微分性和积分性，并熟悉用这些性质求函数的拉普拉斯变换；掌握卷积的概念和卷积定理；知道复反演公式，掌握用留数求像原函数的方法；掌握当像函数为有理分式函数时求像原函数的海维赛德展开式；熟练掌握用拉普

29、拉斯变换解常系数线性微分方程和微分方程组以及某些微分积分方程。本章知识点中，重点是：拉普拉斯变换的性质；海维赛德展开式；用拉普拉斯变换解微分方程或微分方程组。难点是：用拉普拉斯变换的性质计算某些函数的拉普拉斯变换。(二）课程内容1.拉普拉斯变换的概念1.1从傅里叶变换到拉普拉斯变换1.2拉普拉斯变换的概念1.3些常用函数的拉普拉斯变换1.4拉普拉斯变换的存在定理2.拉普拉斯变换的基本性质2.1线性性2.2相似性2.3位移性2.4微分性2.5积分性2.6初值定理和终值定理3.拉普拉斯逆变换3.1复反演积分公式3.2像原函数的求法4.卷积与卷积定理4.1卷积的概念4.2卷积定理5.拉普拉斯变换的应

30、用5.1解常系数线性微分方程5.2解常系数线性微分方程组5.3解某些微分积分方程(三）考核知识点与考核要求拉普拉斯变换的概念，要求达到“领会”层次。(1)理解拉普拉斯变换的概念。(2)注意拉普拉斯变换和傅里叶变换的区别。2.一些常用函数的拉普拉斯变换，要求达到“领会”层次。(1)掌握单位脉冲函数和单位阶跃函数的拉普拉斯变换。(2)掌握指数函数、正弦函数、余弦函数和幂函数tmm>1的拉普拉斯变换。3.拉普拉斯变换的存在定理，要求达到“识记”层次。4.拉普拉斯变换的基本性质，要求达到“简单应用”层次。(1)掌握拉普拉斯变换的下列性质:线性性、相似性、位移性、微分性、积分性和初值定理与终值定理

31、。(2)熟悉用这些性质求函数的拉普拉斯变换。5.复反演积分公式，要求达到“识记”层次。6.像原函数的求法，要求达到“简单应用”层次。(1)掌握利用留数求像原函数的方法。(2)理解并掌握海维赛德公式。7.卷积的概念，要求达到“领会”层次。8.卷积定理，要求达到“领会”层次9.拉普拉斯变换的应用，要求达到“综合应用”层(1)能熟练求解常系数线性微分方程。(2)会求解常系数线性微分方程组。(3)能熟练求解某些微分积分方程。（四）强化实践能力培养考核考试大纲1.深刻理解拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换的概念。2.记住单位脉冲函数、单位阶跃函数、指数函数、正弦函数、余弦函数和幂函数等一些常用函数的拉普拉斯变

32、换。3.掌握拉普拉斯变换的下列性质；线性性、相似性、位移性、微分性和积分性，并熟悉用这些性质求函数的拉普拉斯变换。4.掌握卷积的概念和卷积定理；知道复反演公式，掌握用留数求像原函数的方法。（五）作业题1用Laplace变换求解常微分方程：2.求下列函数的拉普拉斯变换 （1）(2)3. 计算下列函数的卷积 （1） （2）三、有关说明与实施要求（一）强化实践能力培养考核考试大纲的目的与作用强化实践能力培养考核考试大纲是在本课程自学考试大纲基础上根据专业考试计划的要求，并结合自学考试的特点制订的，其目的是对个人自学、社会助学和课程考试命题进行指导和约定.实践教学是高等教育的重要组成部分，是学生实践能

33、力和创新能力培养的必要环节。因此我们必须高度重视实践教学，强化考生职业素质和实践能力培养，满足社会对高素质技能型、应用型人才的需求。大纲明确了课程自学内容及其深广度，规定了实践能力考核和理论考试的范围和标准，是社会助学组织进行自学辅导的依据，是自学者学习教材、掌握课程内容中知识范围和程度的依据，也是进行自学考试命题的依据.（二）强化实践能力培养考核考试大纲的有关说明1.实践教学是高等教育的重要组成部分，它具有直观性、实践性和探索性的特点，具有传授知识、训练技能、培养创造能力、科学素养的作用。由主考院校以“非考试”方式对学生的实践能力进行考核评分，占课程整体分数的30%，课程的理论部分参加自学考

34、试国考，成绩占70%。2.自学考试（国考）部分的试卷结构和考试说明.本大纲各章所提到的考核要求中各条知识细目都是考试的内容。试题覆盖到章，适当突出重点章节，加大重点内容的覆盖密度。.试卷中对不同能力层次要求的试题所占的比例大致是：“识记”为15%；“领会”为30%，“简单应用”为35%，“综合应用”为 20%。.试题难易程度要合理。一般可分为4档：易、较易、较难、难：这4档在每份试卷中所占的比例依次约为2:3:3: 2,但必须注意试题的难易程度与能力层次不是一个概念，切勿混淆。.试题主要题型有单项选择题、填空题、计算题、证明题、应用题和简答题等6种.考试方式为闭卷、笔试。考试时间为150分钟。

35、试题份量应以中等水平的考生在规定时间内答完全部试题为度。评分采用百分制，60分为及格。考试时只允许带钢笔、铅笔、圆规和三角板。不允许带数学手册、积分表和计算器等。答卷不准用铅笔。（三）关于教材及课程学分与学时复变函数与积分变换，全国考办组编贺才兴编著，辽宁大学出版社，1998年版。本课程共3学分，建议自学时间安排如下：课程内容自学时间（小时）第一篇第一章 复数12第二章 解析函数21第三章 复变函数的积分21第四章 级数21第五章 留数16第六章 保角映射21第二篇第一章 傅里叶变换24第二章 拉普拉斯变换24（四）强化实践能力培养考核考试大纲的学习要求自学要求中确定了课程的基本内容以及对基本

36、内容要求掌握的程度.属于自学要求中的知识点构成了课程内容的主体部分.自学要求中的内容是自学考试考核的主要内容.自学要求中对内容掌握程度的要求是依照专业考试计划和专业培养目标确定的.因此，在自学考试中将按自学要求中提出的掌握程度对基本内容进行考核.在自学要求中，对其各部分内容掌握程度的要求由低到高分为四个层次，其表达术语依次是：了解、知道；理解、清楚；会用、掌握；熟练掌握。为有效地指导个人自学和社会助学，在各章的自学要求中还明确指出了基本内容中的重点和难点。（五）关于考核知识点及考核要求 课程中各章的内容均由若干知识点组成。在自学考试命题中知识点就是考核点。因此， 大纲所规定的考试内容是以分解知

37、识点的形式给出的。因各知识点在课程中的地位、作用及知识自身的特点不同，自学考试中将对各知识点 分别按四个认知层次确定其考核要求.这四个认知层次是：识记、领会、简单应用、综合 应用.其含义分别是：“识记”要求考生能够对大纲中的知识点，如定义、定理、公式、性质、法则等 有清晰准确的认识，并能做出正确的判断和选择。“领会”要求考生能够对大纲中的概念、定理、公式、法则等有一定的理解，清 楚它与有关知识点的联系和区别，并能作出正确的表述和解释。“简单应用”要求考生能够运用大纲中各部分的少数几个知识点，解决简单的计算、证明或应用问题。“综合应用”要求考生在对大纲中的概念、定理、公式、法则熟悉和理解的基础上

38、，会运用多个知识点，分析、计算或推导解决稍复杂的一些问题。需要特别说明的是，试题的难易与认知层次的高低虽有一定的联系，但两者并不完全一致，在每个认知层次都可以有不同的难度。（六）对各试点院校的教学要求要熟知考试大纲对本课程总的要求和各章的知识点，准确理解对各知识点要求达到的 认知层次和考核要求，并在辅导过程中帮助考生掌握这些要求，不要随便增删内容和提高 或降低要求.要注重基础，突出重点，启发引导。试点院校要根据强化实践能力培养考核方案要求，严格管理，认真教学，注重考生实践能力培养。助学单位在安排本课程辅导时，授课时间建议不少于54学时。（七）课程实践部分的考核要求复变函数与积分变换是自学考试工

39、科类(本科)的一门重要的基础理论课, 适用于电子电工与信息类等专业。通过本课程的学习，进一步加深学生对复数和复变函数及有关理论的理解，能应用复变函数的积分理论、留数理论解决一些实际问题，初步建立起平面区域之间的共形映射的概念；使学生掌握工程技术中常用的数学方法，并以此为工具学会分析和处理工程实际中的一些问题，同时还可以巩固和复习高等数学的基础知识，提高数学素养，为学习有关的后续课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。在培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和科学计算能力等方面起着特别重要的作用。实践能力考核以作业题为主，每章由学生自主选择一道作业题作为考核题目。四、强化实践能

40、力培养的等级评价标准总分为30分，按3个档次给分，依据学生对作业的完成情况与读书报告写作情况先确定其所属档次，再根据题目具体完成情况给分。题目完成情况按照应用知识点是否正确，结果是否正确给分。结果不对，但依然应用了正确知识点，认为基本正确。第一档（优）：（20-30分）（1）每章至少完成了一道大纲作业题，题目完成基本正确，给予满分30分。（2）如果能完成8道以上大纲作业题（允许存在部分基本准确题目）外加一篇对课程有基本准确认识的读书报告，也给予满分30分。（3）每章至少完成了一道大纲作业题，部分题目结果不准确，但应用了正确的课程知识点，识大纲作业完成情况给予23-28分。第二档（良）：（10-

41、20分）（1）所完成大纲作业题涉及不超过50%章节且没有读书报告。（2）未完成任何大纲作业题目仅提交读书报告最多给20分。（3）完成5道以下大纲作业题加读书报告给15-20分。第三档（差）（0-10分）（1）仅完成5道以下大纲作业题。（2）没有自己的课程读书报告。五、综合试题复变函数与积分变换 综合试题（一）一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1设z=cosi，则（）AImz=0 BRez= C|z|=0 Dargz=2复数的三角表示式为（）A BC D3设C为正向圆周

42、|z|=1，则积分等于（）A0B2i C2 D24设函数f(z)=，则f（z）等于（）A B C D5z=-1是函数的（）A 3阶极点B4阶极点C5阶极点D6阶极点6下列映射中，把角形域保角映射成单位圆内部|w|<1的为（）A B CD7. 线性变换= ( ）A.将上半平面>0映射为上半平面Im>0B.将上半平面>0映射为单位圆|<1C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im>0D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|<18. 若f(z)=u(x，y)+iv(x，y)在Z平面上解析，则u(x，y)=（ ）A.)B.C.D.9.f(z)=在0<

43、;|z-2|<1内的罗朗展开式是（）A.B.C.D.10.=（ ）A.sin9B.cos9C.cos9D.sin9二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11方程Inz=的解为_。12幂极数的收敛半径为_。13设，则Imz_。14设C为正向圆周|z|=1，则=_。15设C为正向圆周| |=2，其中|z|<2，则=_。16函数f(z)=在点z=0处的留数为_。三、计算题(本大题共8小题，共52分)17. 计算积分的值，其中C为正向圆周|z-1|=3。18. 函数 (n为正整数)在何处求导？并求其导数19.求的共轭调和函数v(

44、x,y)，并使v(0,0)1.20.计算积分的值，其中C为正向圆周|z|=2.21.试求函数f(z)=在点z=0处的泰勒级数，并指出其收敛区域.22.求出在所有孤立奇点处的留数.23.求级数的和函数.24.用级数展开法指出函数在处零点的级.四、综合题(下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。每小题8分，共16分)25利用留数求积分的值26设Z平面上的区域为，试求下列保角映射（1）把D映射成W1平面上的角形域；(2) 把D1映射成W2平面上的第一象限;（3）w=f3(w2)把D2映射成W平面的上半平面：Imw>0;（4）w=f(z)把D映射成G。27利用拉氏变换解常微分方

45、程初值问题：复变函数与积分变换 综合试题（二）一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 复数的辐角为（）A B C D2设,则等于（）A BC D3 函数把Z平面上的扇形区域：映射成W平面上的区域（）ABCD4若函数f(z)在正向简单闭曲线C所包围的区域D内解析，在C上连续，且z=a为D内任一点，n为正整数，则积分等于（）A B C D5幂级数的收敛区域为（）ABCD6是函数f(z)=的（）A 一阶极点B可去奇点C一阶零点D本性奇点7，则(A)(B)(C)2(D) 以上都

46、不对8，则(A).(B).(C).(D) 以上都不对9C为的正向，(A).1 (B)2 (C)0 (D) 以上都不对10. 沿正向圆周的积分 =(A).0. (B).2 (C).2+i. (D). 以上都不对.二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.C为正向，则=12.为解析函数，则l, m, n分别为 .13.14. 设C为正向圆周| |=2，其中|z|<2，则f'(1)=_15. 级数.收敛半径为16. -函数的筛选性质是三、计算题(本大题共8小题，共52分)17. 计算复数z=的值.18，设C为正向圆周。19

47、，C为正向圆周。20. 利用牛顿-莱布尼兹公式计算积分21. 计算积分,其中为22.用直接法将函数在点处展开为泰勒级数,(到项),并指出其收敛半径.23. 设z沿通过原点的放射线趋于点，试讨论f(z)=z+ez的极限24. 将函数在有限孤立奇点处展开为Laurent级数.四、综合题(下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。每小题8分，共16分)25证明题：设在内解析，在上连续，试证：当时，26求一保形映射，把区域映成单位圆内部。27用Laplace变换求解常微分方程：复变函数与积分变换 综合试题（三）一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备

48、选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1方程所表示的平面曲线为（）A 圆 B直线 C椭圆 D双曲线2复数对应的点在（）A第一象限B第二象限 C第三象限 D第四象限3设C为正向圆周z+1|=2,n为正整数，则积分等于（）A 1B2iC0 D4设积分路线C是帖为z=-1到z=1的上半单位圆周，则等于（）A BCD5幂极数的收敛半径为（）A 0B1 C2D6设Q（z）在点z=0处解析，,则Resf(z),0等于（）A Q（0）BQ（0）CQ（0）DQ（0）7下列积分中，积分值不为零的是（）ABCD8映射下列区域中每一点的伸缩率都大于1的是（）ABCD9

49、. f(z)=在0<|z-2|<1内的罗朗展开式是（ ）A.B.C.D.10函数f(t)=t的傅氏变换Jf(t)为（）A.()B.2i()C.2i() D.()二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11的值为_，主值为_. 12_ 。 13在映射下，集合的像集为：_. 14为的 _ 阶极点。 15在 处展开成Taylor级数的收敛半径为_. 16已知，其中，则_。三、计算题(本大题共8小题，共52分)17.已知.求：18. 解方程 19. ，求20. 求积分I=值，其中C：|z|=2为正向.21. 22. 设a、b是实数，函数在复平面解析，则分别求a、b之值，并求23. 将在处展成Laurent级数。24. 讨论级数的敛散性四、综合题(下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。每小题8分，共16分25验证是z平面上的调和函数，并求以为实部的解析函数，使.26求一映射，将半带形域映射为单位圆域.27利用Laplace变换求解微分方程