河南省洛阳市2016届高三3月统一考试数学(理)试题(A卷)

1、2015-2016学年高中三年级第二次统一考试数学（理）试卷一、 选择题：1. 设复数z满足 （i为虚数单位），则|z|A.1 B.5 C. D. 2. 若命题 ，命题，则下列命题为真命题的是A. B. C. D. 3. 若 为奇函数，则的解集为A. B. C. D. 4. 执行如图所示的程序框图，则输出i的值为A.4 B.5 C.6 D. 555. 已知 满足，则在区间上的最大值为A.4 B. C.1 D. 26. 在矩形ABCD中，AB=3,BC=,，点F在边CD上，若，则的值为A.4 B. C.0 D. 47. 设D为不等式组 表示的平面区域，圆C: 上的点与区域D上的点之间的距离的取值

2、范围是A. 1, ) B., C., D. 1, 18. 如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A.57+24 B. 57+15 C. 48+15 D. 48+249. 已知双曲线C：的左右焦点分别是，过的直线与C的左右两支分别交于A,B两点，且，则=A. B.3 C.4 D. 10. 设等比数列的公比为，其前项之积为，并且满足条件：给出下列结论：（1）；（2）（3）的值是中最大的（4）使成立的最大自然数等于4030.其中正确的结论为A.（1）,（3） B.（2）,（3） C. （1）,（4） D. （2）,（4）11. 已知正四面体的外接球的半径为，过中点作球的截面，则截面面积的最

3、小值为A. B. C. D. 12. 若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实根个数为A.0 B.3 C.4 D.5二、 填空题1. 的展开式中常数项为_.2. 已知F为抛物线的焦点，是该抛物线上的动点，点A是抛物线的准线与x轴的交点，当最小时，点P的坐标为_.3. 如图所示，若在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为_.4. 对于数列，若，都有成立，则称数列具有性质若数列的通项公式为 ，且具有性质，则实数a的取值范围是_.三、 解答题（本小题满分12分）1. 在中，角所对的边分别为， （1）求角的大小；（2）求的最大值.（本小题满分12分）2. 如图

4、1，在边长为4的正方形中，、分别为、的中点，沿将矩形折起使得二面角的大小为（如图2），点是的中点（1）若为棱上一点，且，求证：平面；（2）求二面角的余弦值（本小题满分12分）3. 已知某水库近50年来年入流量（单位：亿立方米）的频数分布如下表：年入流量年数将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.现计划在该水库建一座至多安装3台发电机组的水电站，已知每年发电机组最多可运行台数受当年年入流量的限制，并有如下关系：年入流量最多运行台数（1）求随机变量的数学期望；（2）若某台发电机组正常运行，则该台发电机组年利润为5000万元；若某台发电机组未运行，则该台发电机组年亏

5、损800万元为使水电站年总利润的期望达到最大，应安装发电机组多少台？（本小题满分12分）4. 已知椭圆C:的左右顶点分别为A,B，右焦点为，离心率，点是椭圆C上异于A,B两点的动点，APB的面积最大值为（1）求椭圆的方程；（2）若直线AP与直线交于点，试判断以为直径的圆与直线的位置关系，并作出证明（本小题满分12分）5. 设函数，为函数的极值点（1）若为函数的极大值点，求的单调区间（用表示）；（2）若函数恰有一个零点，求实数的取值范围四、 选做题（本小题满分10分）1. 选修41：几何证明选讲MNPDBCAO如图所示，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB

6、，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连接PB交圆O于点D，若MCBC（1）求证：APMABP；（2）求证：四边形PMCD是平行四边形2. 选修44：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是.求曲线C的直角坐标系方程与直线l的普通方程.设点P(m,0)，若直线l与曲线C交于A,B两点，且|PA|·|PB|=1，求实数m的值.3. 选修45：不等式选讲设函数(1)解不等式f(x)>0;(2)若，使得，求实数m的取值范围.2015-2016学年高中三年级第二次统一考试数学（理）试卷

7、解析五、 选择题：1. 设复数z满足 （i为虚数单位），则|z|A.1 B.5 C. D. 【答案】C【考点】复数运算，复数的模【解析】因式展开得从而复数，分母实数化得到因此，故选C【点评】：分式形式的复数运算，注意分母实数化的步骤，分子分母要求同乘分母的共轭复数；求模运算注意正确选取实部和虚部；本题属于基本题型2. 若命题 ，命题，则下列命题为真命题的是A. B. C. D. 【答案】A【考点】命题的逻辑运算，基本不等式，对数运算，二次函数【解析】命题p，由基本不等式可判定为真命题关于命题q，使用配方法可得，故为假命题综上可知，选项A为正解【点评】：命题的逻辑运算并不难，但首先要对命题做出基

8、本判断；本题属于基本题型3. 若 为奇函数，则的解集为A. B. C. D. 【答案】D【考点】函数奇偶性和单调性的综合运用【解析】根据奇函数特性得 即a=1得到，因此这是单调递减函数， 故 即x>0【点评】：严格按照定义挖掘已知条件，注意观察函数特殊值；本题属于中档题4. 执行如图所示的程序框图，则输出i的值为A.4 B.5 C.6 D. 55【答案】B【考点】流程图，平方数列前n项和公式【解析】本程序作用是对平方数列求和容易得到，故输出5【点评】：注意识记典型数列前n项和公式；本题属于基本题型5. 已知 满足，则在区间上的最大值为A.4 B. C.1 D. 2【答案】B【考点】三角函

9、数的频率、相位及初相，诱导公式【解析】由f(0)确定三角函数的初相，由诱导公式可知因此且故【点评】：考查三角函数相关知识，属于基本题型6. 在矩形ABCD中，AB=3,BC=,，点F在边CD上，若，则的值为A.4 B. C.0 D. 4【答案】D【考点】平面向量，建系知识【解析】如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，AD为x轴，AB为y轴，则B(0,3)，F(,1)，E(, 3)，因此【点评】：平面解析几何问题，可以使用三角函数，也可以使用建系方法，利用平面向量的坐标运算，统一处理；属于中档题型7. 设D为不等式组 表示的平面区域，圆C: 上的点与区域D上的点之间的距离的取值范围是A. 1,

10、 ) B., C., D. 1, 1【答案】B【考点】简单线性规划，点与圆位置关系【解析】首先求解平面区域的顶点，确定各顶点到圆心的距离最后求出最小距离减半径和最大距离加半径，即为所求范围交点(0,0)(0,3)(1,1)距离d5所求范围 , 【点评】：锁定目标函数，完成线性规划；本题属于中档题型8. 如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A.57+24 B. 57+15 C. 48+15 D. 48+24【答案】D【考点】三视图，简单空间组合体【解析】本题为圆锥与直四棱柱的组合体注意表面积分为三部分，圆锥侧面展开图，即扇形面积圆锥底面圆，直四棱柱侧面积，总面积为48+24【点评】：

11、简单空间组合体，注意表面积可用投影法求得，不易误算；本题属于基本题型9. 已知双曲线C：的左右焦点分别是，过的直线与C的左右两支分别交于A,B两点，且，则=A. B.3 C.4 D. 【答案】：C【考点】：双曲线的概念【解析】：由双曲线定义可知：，; 两式相加得： 又，式可变为=4 即=4【点评】：属于基本题，考查学生的转化能力10. 设等比数列的公比为，其前项之积为，并且满足条件：给出下列结论：（1）；（2）（3）的值是中最大的（4）使成立的最大自然数等于4030.其中正确的结论为A.（1）,（3） B.（2）,（3） C. （1）,（4） D. （2）,（4）【答案】：C【考点】：等比数列

12、性质【解析】：由可知：或如果，那么，若，则；，又因为，所以应与异号，即，这假设矛盾，所以若，则且，与退出的结论矛盾，所以，故（1）正确，故（2）错误由结论（1）可知，所以数列从2016项开始小于1，所以最大故（3）错误由结论（1）可知数列从2016项开始小于1，而，所以当时，求得对应的自然数为4030，故（4）正确【点评】：本题难度中等，解题的关键是熟练等比数列的性质11. 已知正四面体的外接球的半径为，过中点作球的截面，则截面面积的最小值为A. B. C. D. 【答案】：A【考点】：正四面体的特征，圆的面积公式以及空间想象能力【解析】：由正四面体的外接球的半径R与棱长关系可知：即=，所以正

13、四面体的棱长=4因为过作球的截面，当截面与垂直时，截面圆的半径最小，此时截面圆的面积有最小值此时截面圆的半径，截面面积【点评】：本题属于基础题目，正四面体外接球的半径与棱长关系是解题的关键12. 若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实根个数为A.0 B.3 C.4 D.5答案：B【考点】：导数、解一元二次方程、分析转化与数形结合能力【解析】：函数有两个不相同的极值点，即=0有两个不相同的实数根，也就是方程有两个不相同的实数根，所以由于方程的判别式，故此方程的两个解为或由于函数的图像和直线的交点个数即为方程的解的个数，函数的图像和直线的交点个数即为方程的解的个数根据函数的单调性以及，我们作出函

14、数的大致图像由图可知的图像和直线的交点个数为2，的图像和直线的交点个数为1.所以或共有三个不同的实数根，即关于的方程的不同实根个数为3【点评】：本题难度中等偏上，是导数单调性、极值点与解一元 二次方程的综合题目，求解的关键是判断出函数的单调性，画出大致图像，并将方程解的个数问题转化为函数图像的交点个数问题六、 填空题1. 的展开式中常数项为_.【答案】141【考点】二项式定理【解析】将原式看做，由二项式定理可得展开式的通项为又的展开式通项为，则取常数项时，由题可知，则m的可能取值为0,1,2,3，对应的r分别为0,2,4,6时，常数项为1；时，常数项为30；时，常数项为90；时，常数项为20；

15、故原式常数项为【点评】：利用已知的二项式定理，将多项式合理组合，变形为二项式，进而再用公式逐步分析2. 已知F为抛物线的焦点，是该抛物线上的动点，点A是抛物线的准线与x轴的交点，当最小时，点P的坐标为_.【答案】【考点】抛物线焦半径公式，基本不等式【解析】由题可知焦半径，则，则，因为点在抛物线上，所以，则(当且仅当时取等号)，则，且取最小值时，此时点P的坐标为【点评】：会利用焦半径公式将几何意义转化为函数运算，分式型最值要善于变形，联想基本不等式3. 如图所示，若在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为_.【答案】【考点】定积分，几何概型【解析】由图可

16、知正方形关于直线对称，又与图象也关于直线对称，如下图，则，正方形面积为，则概率为【点评】：遇到较难的指数或对数函数问题，可以先联系反函数，被积函数为对数函数时不好求，可根据图象特征等价转化为指数函数4. 对于数列，若，都有成立，则称数列具有性质若数列的通项公式为 ，且具有性质，则实数a的取值范围是_.【答案】【考点】全称命题，推理运算【解析】由数列通项公式且数列具有性质可知，则恒成立，则数列为单调递增数列，则有恒成立，化简得，由数轴标根法作图观察可知时最值成立，则带入可得【点评】：恒成立问题一般转化为求最值，构造新的数列形式后要利用递推关系建立不等式七、 解答题（本小题满分12分）1. 在中，

17、角所对的边分别为， （1）求角的大小；（2）求的最大值.【答案】（1） （2）【考点】正弦定理，三角恒等变换【解析】 【点评】：正确使用正弦定理和三角恒等变换是解决问题的关键，解题时要注意三角形内角和的应用本题考查学生逻辑推理能力和灵活运用知识的能力（本小题满分12分）2. 如图1，在边长为4的正方形中，、分别为、的中点，沿将矩形折起使得二面角的大小为（如图2），点是的中点（1）若为棱上一点，且，求证：平面；（2）求二面角的余弦值【考点】：（1）线面垂直；（2）空间向量求二面角余弦值【解析】：解法一（几何法）： （1）证明：在矩形中，由得：又由勾股定理得：，所以：，所以：，即：为正方形，二面角

18、为直二面角，、为中点所以：面；所以：故有：，所以，面解法二（坐标法）（略）（2）以F为坐标原点，分别以FD,FC,FE为x,y,z轴，如图所示构建空间直角坐标系，则：，设面EFG的法向量为，面BFG的法向量为，则有：，即：，故可取：，【点评】：（1）本小题考察巧妙，打破一部分同学认为证明题无需计算的思维误区，同互余角三角函数关系证明垂直；（2）常规向量法求二面角余弦值，同学们在备考中要注意：图形中二面角锐钝不明显的情况（本小题满分12分）3. 已知某水库近50年来年入流量（单位：亿立方米）的频数分布如下表：年入流量年数将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.现

19、计划在该水库建一座至多安装3台发电机组的水电站，已知每年发电机组最多可运行台数受当年年入流量的限制，并有如下关系：年入流量最多运行台数（1）求随机变量的数学期望；（2）若某台发电机组正常运行，则该台发电机组年利润为5000万元；若某台发电机组未运行，则该台发电机组年亏损800万元为使水电站年总利润的期望达到最大，应安装发电机组多少台？【答案】（1）1.9 （2）2台【考点】离散随机变量的分布【解析】（1）依题意，随机变量的分布列为随机变量的数学期望为 记水电站总利润为（单位：万元） 安装台发电机的情形.由于水库年流入量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润 安装台发电机的情形.依

20、题意，当时，一台发电机运行，此时因此；当时，两台发电机运行，此时 因此.由此 的分布列如下： 安装台发电机的情形. 依题意，当时，一台发电机运行，此时 因此；当时，两台发电机运行，此时 因此.当时，三台发电机运行，此 因此由此的分布列如下：综上，欲使水电站年总利润的期望达到最大，应安装发电机台【点评】正确理解题意是基础，准确写出各分布列是关键本题考查学生逻辑推理能力和离散随机变量的分布（本小题满分12分）4. 已知椭圆C:的左右顶点分别为A,B，右焦点为，离心率，点是椭圆C上异于A,B两点的动点，APB的面积最大值为（1）求椭圆的方程；（2）若直线AP与直线交于点，试判断以为直径的圆与直线的位

21、置关系，并作出证明【考点】（1）椭圆基本量；（2）联消判韦，点线距离，线圆位置关系，分类讨论【解析】（1）由题意得，解得：所以，椭圆方程为：.（2）以为直径的圆与直线相切证明：设直线：，则：，的中点为为联立，消去整理得：设，由韦达定理得：，解得：，故有：又，所以当时，此时轴，以为直径的圆与直线相切当时，所以直线，即：，所以点到直线的距离而，即知：，所以以为直径的圆与直线相切【点评】：解法常规，难度适当（本小题满分12分）5. 设函数，为函数的极值点（1）若为函数的极大值点，求的单调区间（用表示）；（2）若函数恰有一个零点，求实数的取值范围【点评】：本题属于导数问题的中档题，主要考查导数和函数单

22、调性、零点问题，涉及的主要思路是对参数范围的分类讨论，其中的正负问题用到构造函数再求导分析，难度不大【解析】：由题意可得：定义域为且为极值点，故 且 （）（1）为函数的极大值点 当时，的单调递增；时，的单调递减；时，的单调递增.（2）若时，在的单调递减；在时单调递增恰有一个零点，若时，在单调递增；在单调递减；在单调递增.为极大值点 为极小值点又 恰有一个零点若时，在单调递增；在单调递减；在单调递增.为极大值点 为极小值点设 则，故 又 恰有一个零点综上所述：若函数恰有一个零点，则实数八、 选做题（本小题满分10分）1. 选修41：几何证明选讲MNPDBCAO如图所示，已知圆O外有一点P，作圆O

23、的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连接PB交圆O于点D，若MCBC（1）求证：APMABP；（2）求证：四边形PMCD是平行四边形【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定【解析】（1）PM是圆O的切线，NAB是圆O的割线，N是PM的中点，MN2PN2NA·NB，又PNABNP，PNABNP，APNPBN，即APMPBAMCBC，MACBAC，MAPPAB，APMABP(2)ACDPBN，ACDPBNAPN，即PCDCPM，PMCD，APMABP，PMABPA，PM是圆O的切线，PMAMCP，PMABPAMCP，即MCPDPC，MCPD，四边形PMCD是平行四边形【点评】本题考查的知识点是和圆有关的切