复变函数与积分变换第四章级数PPT学习教案

1、会计学1复变函数与积分变换第四章级数复变函数与积分变换第四章级数第1页/共87页 本章介绍复变函数级数的概念,重点是Taylor级数、Laurent级数及其展开.第2页/共87页1 复数序列2 复数项级数3 复变函数项级数4 幂级数5 幂级数的运算性质第3页/共87页称 为复数列, 简称 (1,2,3,)nnnaibn 为数列, 记为 .n 定义4.1设 是数列， 是常数. n aib 如果e 0, 存在正整数N, 使得当nN 时, 不等式 n e e 成立, 则称当n时, 收敛于 na, 或称 是 的极限, 记作 n lim,nn 或 .nn 第4页/共87页复数列收敛与实数列收敛的关系.l

2、im,limbbaannnn 定理4.1 limnn 的充分必要条件是 该结论说明: 判别复数列的敛散性可转化为判别两个实数列的敛散性.第5页/共87页 nnn 211为复数项级数.称nnkknS 211为该级数的前 n 项部分和.设 是复数列, 则称 nnnaib 第6页/共87页级数收敛与发散的概念定义4.2如果级数 nnn 211的部分和数列 收敛于复数 S, 则称级数收敛, nS这时称S为级数的和, 并记做 1.nnS 如果 不收敛，则称级数发散. nS第7页/共87页复数项级数与实数项级数收敛的关系定理4.2 级数 收敛的充要11()nnnnnaib 条件是 都收敛, 并且 11,

3、nnnnab111.nnnnnnaib 说明 复数项级数的收敛问题两个实数项级数的收敛问题第8页/共87页解 因为级数2111 nnnbn 收敛, 所以原复数项级数发散. 练习 级数 是否收敛?111ninn 111nnnan 发散, 而级数第9页/共87页级数收敛的必要条件lim0.nn 推论4.1如果级数 收敛, 则 1nn 重要结论: 发散.1lim0nnnn 于是在判别级数的敛散性时, 可先考察lim0.nn ?第10页/共87页非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.定义4.3设 是复数项级数, 如果正项1nn 级数 收敛, 则称级数 绝对收敛. 1nn 1nn 绝对收敛级数的性质定理

4、4.3若级数 绝对收敛, 则它收敛, 1nn 并且11.nnnn 第11页/共87页补充 因为 所以22,nnnnnabab 221111.nnnnkkkkkkkkkabab 综上可得:因此, 如果 和 都绝对收敛时, 也 1nna 1nnb 1nn 绝对收敛. 1nn 绝对收敛 和 都绝对收敛. 1nna 1nnb 第12页/共87页都收敛, 故原级数收敛. 但是级数条件收敛, 所以原级数非绝对收敛, 是条件收敛的.解 因为例4.1 级数 是否绝对收敛? 1( 1)1 2nnnin 11( 1)1, 2nnnnn 1( 1)nnn 第13页/共87页1. 复变函数项级数的定义(2) 称 为区

5、域 G 内 )()()()(211zfzfzfzfnnn(1) 称 为区域 G 内的复变函数序列。,2,1)( nnzf定义设复变函数 在区域 G 内有定义，)(zfn的复变函数项级数，简记为. )( zfn4.1.3 复变函数项级数第14页/共87页2. 复变函数项级数收敛的定义(1) 称 为级数 的部分和。 nkknzfzs1)()( )(zfn定义设 为区域 G 内的复变函数项级数， )(zfn称级数 在 点收敛。 )(zfnz0则称级数 在区域 D 内收敛。 )(zfn, )()(limzszsnn (3) 如果存在区域 D G ， 有 ,Dz 此时，称)(zs, )()(lim00z

6、szsnn (2) 如果对 G 内的某一点 ，有z0则为和函数，D 为收敛域。4.1.3 复变函数项级数第15页/共87页1 幂级数的概念2 幂级数的敛散性3 幂级数的性质第16页/共87页(1) 下面主要是对 型幂级数进行讨论，所得到的结论()注1. 幂级数的概念其中， 为复常数。aan,定义 称由下式给出的复变函数项级数为幂级数：,)()()(22100 azaazaaazannn( I )特别地，当 时有0 a.22100 zazaazannn()只需将 换成 即可应用到 型幂级数。( I )(az z(2) 对于 型幂级数，在 点肯定收敛。0 z()第17页/共87页定理4.6 (Ab

7、el定理)若级数 在 0nnnc z 10z 处收敛，则当 时, 级数 绝对收敛; 0nnnc z 1zz 若级数 在 处发散，则当 时, 级数 0nnnc z 2z2zz 0nnnc z 发散. 2. 幂级数的敛散性第18页/共87页(1) 对所有的复数z都收敛.由阿贝尔定理知:级数在复平面内处处绝对收敛.由 , 幂级数 收敛情况有三种:0nnnc z (2) 除 z=0 外都发散.此时, 级数在复平面内除z=0外处处发散.第19页/共87页 (3)存在一点z10,使级数收敛(此时,根据阿贝尔定理知,它必在圆周|z|=|z1|内部绝对收敛), 另外又存在一点z2,使级数发散.(肯定|z2|z

8、1|);根据阿贝尔定理的推论知,它必在圆周|z|=|z2|外部发散.)如下图第20页/共87页xyo1z.2z.R收敛圆收敛半径收敛圆周 在这种情况下,可以证明,存在一个有限正数R,使得级数在圆周|z|=R内部绝对收敛,在圆周|z|=R外部发散.幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域动画演示第21页/共87页 幂级数00()nnnczz 的收敛范围是因此，事实上, 幂级数在收敛圆周上敛散性的讨问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?以 为中心的圆域.0zz 收敛半径根据前面所述的三种情形, 分别, 0, . R规定为论比较复杂, 没有一般的结论, 要对具体级数进行具体分析.第22页/共87页例如,

9、 级数: 0200nnnnnnnznzz1, 1 zR收敛圆周收敛圆周均为均为收敛圆周上无收敛点;,1在在其其它它点点都都收收敛敛发发散散在在点点 z在收敛圆周上处处收敛.第23页/共87页解2111(1).1nnnzSzzzzz 1 z1lim1nnSz 级数 0nnz收敛,1 z0lim nnz级数 0nnz发散.绝对收敛, 且有在 内, 级数1z 0nnz例4.2 求级数 的和函数与收敛半径.0nnz 所以收敛半径1,R 11.1nnzz 第24页/共87页收敛半径的计算方法(一)(3) 当 时, 收敛半径 .1 R0 1lim,nnncc ;R (1) 当 时, 收敛半径 0 0;R

10、(2) 当 时, 收敛半径 定理4.7 (比值法)设级数 如果0.nnnc z 则第25页/共87页收敛半径的计算方法(二)(3) 当 时, 收敛半径 .1 R0 lim,nnnc ;R (1) 当 时, 收敛半径 0 0;R (2) 当 时, 收敛半径 定理4.8 (根值法)设级数 如果0.nnnc z 则第26页/共87页例 求幂级数的收敛半径与收敛圆。 02nnnz由解221)1(lim|lim nnaannnn,1 收敛圆为.1| z收敛半径为,1 R例 求幂级数的收敛半径与收敛圆。 0!nnnz由解)!1(!lim|lim1 nnaannnn,011lim nn收敛圆为.| z收敛半

11、径为, R得得第27页/共87页例 求幂级数的收敛半径与收敛圆。 0)1(112)(nnnzn收敛圆为.1| 1|e z故级数的收敛半径为,1e R由于解nnna |limnnnn2)(11lim nnn)(11lim ,e 第28页/共87页1limlim1.1pnnnncncn 练习 求幂级数 1npnnz的收敛半径, 其中p为正整数.解 因为 所以1npcn ，于是收敛半径11.R 第29页/共87页 00)()(nnnnnnzbzazgzf;)(0 nnnnzba 00)()(nnnnnnzbzazgzf, ),min(21rrr 令则在 内有rz | 00)(nnnkknkzba1.

12、 幂级数的四则运算性质P68 4.1.5 幂级数的运算性质第30页/共87页2. 幂级数的分析性质即 110.)()(nnnzznazf(3) 在收敛圆内可以逐项积分，即)(zf(1) 函数在收敛圆 内解析。Rzz |0设性质,|,)()(000Rzzzzazfnnn 则(2) 函数 的导数可由其幂函数逐项求导得到，)(zfP69 4.1.5 幂级数的运算性质第31页/共87页3. 幂级数的代换(复合)性质 在把函数展开成幂级数时，上述三类性质有着重要的作用。又设函数 在 内解析，且满足)(zgrz |,| )(|Rzg 设级数 在 内收敛，和函数为性质 0nnnzaRz |,)(0 nnnz

13、azf. )( )(0 nnnzgazgf当 时，有rz |则4.1.5 幂级数的运算性质第32页/共87页解 方法一 利用乘法运算性质zzz 1111)1(12)1( )1(22 zzzz,)1(3212 nznzz.1| z方法二 利用逐项求导性质)(11)1(12 zz)1(2 zz,)1(3212 nznzz.1| z第33页/共87页,)()()()()()(11322 nnabazabazabazababazab 111解)()(11abazbz 其收敛半径为, |abR 收敛圆为. |abaz 第34页/共87页一 Taylor定理二 将函数展开成Taylor级数第35页/共87

14、页实函数在一点的邻域内展开成Taylor级数是非常重要的问题，它是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种工具. 对于复变函数, 我们已经知道幂级数在收敛圆域内收敛于解析函数. 在本节我们将证明解析函数在解析点的某邻域内一定能够展开成幂级数Taylor级数. 这是解析函数的重要特征. 第36页/共87页z0DC一、泰勒(Taylor)定理,)()(00 nnnzzazf则当 时，有Rzz |0定理 设函数 在区域 D 内解析，)(zfC 为 D 的边界，,0Dz , |min0zzRCz . )(!10)(zfnann 其中，证明 (略) R.d)()(2110 lnzzzzfil 为 D

15、 内包围 点的z0的任意一条闭曲线。 l P70定理 4.10 (进入证明?)第37页/共87页一、泰勒(Taylor)定理注 (1) 为什么只能在圆域 上展开为幂级数，Rzz |0z0RDC而不是在整个解析区域 D 上展开？回答这是由于受到幂级数本身的收敛性质的限制： 幂级数的收敛域必须是圆域。 幂级数一旦收敛，其和函数一定解析。第38页/共87页一、泰勒(Taylor)定理注 (2) 展开式中的系数 还可以用下列方法直接给出。na方法一 101010)()()(nnzzazzaazf,)()(1010 nnnnzzazza, )()(!0)(0)(zpzzanzfnn ,!)(0)(nna

16、nzf . )(!10)(zfnann 第39页/共87页一、泰勒(Taylor)定理注 (2) 展开式中的系数 还可以用下列方法直接给出。na方法二. )(!1d)()(210)(10zfnzzzzfianlnn 20110010)()()()(zzazzazzzfnnn,10 nnazza nnzzaazf)()(00z0RDCl,020 nai lnzzzzfd)()(10第40页/共87页一、泰勒(Taylor)定理注 (3) 对于一个给定的函数，用任何方法展开为幂级数，其结果都是一样的，即具有唯一性。将函数 在 点展开为幂级数。比如zzf 11)(0 z方法一 利用已知的结果(4.2

17、 ):方法二 利用泰勒定理 :. )1| (,1112 zzzz方法三 利用长除法。.1!)0()( nfann(长除法)第41页/共87页一、泰勒(Taylor)定理注 (4) 对于一个给定的函数，能不能在不具体展开为幂级数的情况下，就知道其收敛域？ 可以知道。函数 在 点展开为泰勒级数，其收敛半径)(zf0z结论等于从 点到 的最近一个奇点 的距离。0zz)(zf(1) 幂级数在收敛圆内解析， 因此奇点 不可能理由z在收敛圆内；(2) 奇点 也不可能在收敛圆外，不然收敛半径z还可以扩大，故奇点 只能在收敛圆周上。z第42页/共87页将函数展开为Taylor级数的方法:1. 直接方法; 2.

18、 间接方法.1. 直接方法 ( )01()0,1,2,!nncfznn由Taylor定理计算级数的系数然后将函数 f (z)在z0 展开成幂级数.二、将函数展开成泰勒级数第43页/共87页例 求( )zf ze 在0z 的Taylor展开式.( )( )00(0)()1,nznzzzfee 所以它在 0z 处的Taylor级数为( )00(0)!nnznnnfzeznn 21,2!nzzzn并且收敛半径.R 因为( )zf ze 在复平面上解析，且 第44页/共87页2. 间接方法 借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 逐项积分等)和其它的数学技巧

19、 (代换等) , 求函数的Taylor展开式.间接法的优点: 不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛 .第45页/共87页附: 常见函数的Taylor展开式20(1)1,2!nnznzzzeznn 201(2)1,1nnnzzzzz 201(3)1( 1)( 1),1nnnnnzzzzz 3521(4)sin( 1),3!5!(21)!nnzzzzzn )1( z)1( z)( z)( z第46页/共87页242(5)cos1( 1),2!4!(2 )!nnzzzzn )( z231(6) ln(1)( 1),231nnzzzzzn 011)1(nnnn

20、z)1( z23(1)(1)(2)(7)(1)12!3!zzzz ,!)1()1( nznn )1( z第47页/共87页 211( 1) 1 ,1nnzzzzz 例 求 21( )(1)f zz 在0z 点邻域内 的Taylor级数. 解11z 是( )f z的惟一奇点, 且 101,z 故收敛半径1.R 逐项求导，得 221123( 1) (1) 1 .(1)nnzznzzz 因为第48页/共87页1111( )111,111(1)2212zf zzzzz 例 将函数 ( )1zf zz 在01z 处展开 成Taylor级数，并指出该级数的收敛范围. 10011(1)( )1( 1)1(

21、1).222nnnnnnnzzf z 当 即 时,11,2z 12z 第49页/共87页.2|1 | iR故收敛半径函数 有奇点解)(zf,1 znniizi 0111 z11(1)iizi 11111,)1()(01 nnniiz.2| iz(2) zz11)1(12 111)1()(nnniizn,)()1(102nnnizin .2| iz)()1(1izi 第50页/共87页4.3 洛朗级数一、含有负幂次项的“幂级数”二、罗朗(Laurent)定理三、将函数展开为洛朗级数的方法第51页/共87页一、含有负幂次项的“幂级数”1. 问题分析引例 根据前面的讨论已知，函数 在 点的幂级数z

22、110 z展开式为. )1| (,1112 zzzz 事实上，该函数在整个复平面上仅有 一个奇点，1 z但正是这样一个奇点，使得函数只能在 内展开1| z为 z 的幂级数， 而在 如此广大的解析区域内不能1| z展开为 z 的幂级数。 有没有其它办法呢？一粒老鼠屎，坏了一锅汤！第52页/共87页一、含有负幂次项的“幂级数”1. 问题分析设想 这样一来，在整个复平面上就有由 ，,1|1 z1| z有 从而可得zzz111111 .11132 zzz; )1| (,1112 zzzz. )1| (,1111132 zzzzz第53页/共87页一、含有负幂次项的“幂级数”1. 问题分析启示 如果不限

23、制一定要展开为只含正幂次项的幂级数的话，即如果引入负幂次项，那么就有可能将一个函数在整个复平面上展开(除了奇点所在的圆周上)。 在引入了负幂次项以后，“幂级数”的收敛特性如何呢？ 下面将讨论下列形式的级数:.)()(202010 zzazzaa101202)()( zzazza nnnzza)(0双边幂级数第54页/共87页一、含有负幂次项的“幂级数”分析2. 级数 的收敛特性 nnnzza)(0将其分为两部分：正幂次项部分与负幂次项部分。;)()(202010 zzazzaa 00)(nnnzza(A) 10)(nnnzza.)()(202101 zzazza(B)(1) 对于 (A) 式，

24、其收敛域的形式为;|20Rzz (2) 对于 (B) 式，其收敛域的形式为;|10Rzz 根据上一节的讨论可知：第55页/共87页nnnzzc)(00 nnnzzc )(0110)( zz 令令nnnc 1收敛半径R收敛收敛时时,R 101RRzz 收敛域收敛半径R220Rzz 收敛域:)1( 21RR 若若两收敛域无公共部分,:)2(21RR 两收敛域有公共部分.201RzzR 第56页/共87页z0R1R2有有公公共共收收敛敛域域21RR z0R2R1无无公公共共收收敛敛域域21RR :)1( 21RR 若若两收敛域无公共部分,:)2(21RR 两收敛域有公共部分H.201RzzR H第5

25、7页/共87页一、含有负幂次项的“幂级数”结论2. 级数 的收敛特性 nnnzza)(0(1) 如果级数 收敛， nnnzza)(0.|201RzzR 则其收敛域“一定”为环域： 如果只含正幂次项(或者加上有限个负幂次项)，特别地则其收敛域为：Rzz |00.|00Rzz 或 如果只含负幂次项(或者加上有限个正幂次项)，则其收敛域为：.|0 zzR 上述两类收敛域被看作是一种特殊的环域。第58页/共87页一、含有负幂次项的“幂级数”结论2. 级数 的收敛特性 nnnzza)(0(1) 如果级数 收敛， nnnzza)(0.|201RzzR 则其收敛域“一定”为环域：而且具有与幂级数同样的运算性

26、质和分析性质。(2) 级数 在收敛域内其和函数是解析的, nnnzza)(0 因此，下面将讨论如何将一个函数在其解析环域内展开为上述形式的级数。第59页/共87页R2z0R1D二、罗（洛）朗(Laurent)定理设函数 在圆环域定理)(zf,)()(0 nnnzzazfC 为在圆环域内绕 的任何一条简单闭曲线。0z解析,201|:RzzRD 内在此圆环域中展开为则 一定能)(zf,d)()(2110 Cnnzfia , ),2,1,0( n其中，证明 (略)C P75定理 4.12 (进入证明?)第60页/共87页说明:函数)(zf在圆环域内的洛朗展开式)(zf在圆环域内的罗朗(Laurent

27、)级数. nnnzzczf)()(0 第61页/共87页注 (1) 展开式中的系数 可以用下面得方法直接给出。na.d)()(2110 cnnzzzzfia 20110)()()(zzazzzfnn,10 nnazza,020 nai Cnzzzzfd)()(10二、罗朗(Laurent)定理R2z0R1CD 1010101)()()()(nnnnnnzzazzazzazf第62页/共87页注 (2) 罗朗级数中的正幂次项和负幂次项分别称为罗朗级数二、罗朗(Laurent)定理的解析部分和主要部分。(3) 一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正负幂次项的级数是唯一的。(4) 系数 Cnnzfi

28、a d)()(2110. )(!10)(zfnn ?(5) 若函数 在圆环 内解析，则 在Rzz |00)(zf)(zf在此圆环内的罗朗展开式就是泰勒展开式。第63页/共87页三、将函数展开为罗朗级数的方法1. 直接展开法 根据罗朗定理，在指定的解析环上101( )d .2()nnCfaizR2z0R1CD直接计算展开系数： 有点繁！有点烦！第64页/共87页三、将函数展开为罗朗级数的方法 根据唯一性，利用一些已知的展开式，通过有理运算、代换运算、逐项求导、逐项求积等方法展开。 两个重要的已知展开式,! 3! 21!032e nnzzzznz.| z,111320zzzzznn .1| z2.

29、 间接展开法第65页/共87页三、将函数展开为罗朗级数的方法都需要根据函数的奇点位置，将复平面(或者题目指定无论是直接展开法还是间接展开法，在求展开式之前，注意的展开区域 )分为若干个解析环。比如 设函数的奇点为,321zzz展开点为,0z则复平面被分为四个解析环：0z1z2z3zr1r2r3第66页/共87页1 2函数 有两个奇点：)(zf,2,1 zz以展开点 为中心，0 z将复平面分为三个解析环：解 (1) 将复平面分为若干个解析环;1|0 z;2|1 z.|2 z(2) 将函数进行部分分式分解)2( )1(1)( zzzf.2111zz 第67页/共87页解 当 时，1|0 z(3)

30、将函数在每个解析环内分别展开zzzf 2111)(21121z z 11.21101)( nnnz 0221nnnz 0nnz1 2第68页/共87页解 当 时，2|1 z(3) 将函数在每个解析环内分别展开zzzf 2111)(21121z zz1111 011nnzz 0221nnnz.210101 nnnnnzz1 2第69页/共87页解 当 时， |2z(3) 将函数在每个解析环内分别展开zzzf 2111)(zz2111 zz1111 011nnzz 021nnnzz.1201 nnnz1 2第70页/共87页函数 有两个奇点：)(zf,2,1 zz以展开点 为中心，1 z解 (1)

31、 将复平面分为若干个解析环注意：不需要将函数进行部分分式分解。;1| 1|0 z.| 1|1 z 0将复平面分为两个解析环：12第71页/共87页解 当 时，1| 1|0 z(2) 将函数在每个解析环内分别展开12zzzzf 21)1(11)(2.)1(11)1(111)(2 zzz 0201)1()1()(nnnnzzzf,)1()1(110 nnzz.)1(2)1(1012 nnzz第72页/共87页解 当 时， | 1|1z(2) 将函数在每个解析环内分别展开zzzzf 21)1(11)(2.)1(11)1(111)(2 zzz 1211)1(1)1(1)(nnnnzzzf,)1(1)1

32、(111 nnzz.)1(12)1(132 nnzz12第73页/共87页次积分等计算来获得。次积分等计算来获得。、逐次求导、逐、逐次求导、逐泰勒展开式，经过代换泰勒展开式，经过代换基本初等函数的基本初等函数的展开式，可以利用已知展开式，可以利用已知等函数的洛朗等函数的洛朗对于无理函数及其他初对于无理函数及其他初)1(2)对于有理函数的洛朗展开式，首先把有理 函数分解成多项式与若干个最简分式之和，然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的形式。小结：把f (z)展成洛朗( Laurent )级数的方法：第74页/共87页A 根据区域判别级数方式：在圆域内需要把 f (z) 展成泰勒(Taylor)级数，在环域内需要把f (z)展成洛朗( Laurent )级数。第75页/共87页(1) 01;z(2) 12;z(3) 2;z 内展开成Laurent级数.练习 将函数1 ( )(1)(2)f zzz 在圆环域(4) 011z 处都解析, 并且可分解为 11( ).12f zzz 函数f (z)在z=1和z=2处不解析, 在其它点第76页/共87页