多元函数微分学55737PPT学习教案

1、会计学1多元函数微分学多元函数微分学55737多元函数微分法 在前面各章的学习中，我们讨论的函数都只限于一个自变量的函数，称为一元函数在更多的问题中所遇到的是多个自变量的函数一.多元函数的概念第1页/共62页 例如：矩形的面积s=xy，描述了面积s与长x、宽y这两个量之间的函数关系。又如，烧热的铁块中每一点的温度T与该点的位置之间有着密切的函数关系，即当铁块中点的位置用坐标(x,y,x)表示时，温度T由x、y、z这三个变量确定，如果进一步考虑到冷却过程，那么T还和时间t有关，即T由x、y、x、t四个变量所决定。以上例子中两个、三个、四个变量，分别称为二元、三元、四元函数，一般称为多元函数。第2

2、页/共62页fnRnxxx,21nRf定义1： 的非空子集D到R的映射f，称为D上的一个点函数或n元函数。D称为这个函数的定义域。由以上定义，任意p D，p为( ) y R,记为y=f(p)，称 为函数f的第i个变量。Y称为f的因变量或y的自变量 的函数。又有：nRnxxx,21ixnxxx,21 多元函数是一元函数的推广，因此它仍然保留了一元函数的许多性质。 一元函数 y=f(x) 定义D： R x：D中的一个点p的坐标将P扩大到平面或几何空间或n维抽象n维空间 的点，所以称n元有序实数组( )是n维空间 的一个点。由此可有第3页/共62页 定义2：如果独立变量 在它们的变化范围内任取一组值

3、时，变量y按照一定的法则，总有一个实数与之对应，则y叫做 的n元函数，记为y=f( ). 叫做自变量，y叫做因变量，自变量 的变化范围叫做这个函数的定义域。当n=1时，y=f(p)即为一元函数。n 2时，n元函数称为多元函数。若强调一组 对应唯一的函数值时，函数称为单值函数。否则称为多元函数，今后一般的多元函数均为单值函数。 nxxx,21nxxx,21nxxx,21nxxx,21nxxx,21nxxx,21第4页/共62页二： 二元函数的几何表示 二元函数z=f(x,y)，定义域D为XOY面上的某一区域D。对 P(x,y) D,空间中有点M(x,y,z)与P(x,y)中的(x,y)对应，其中

4、z=f(x,y)。这样，p在D中变动时，M也在空间中变动。M形成轨迹就是z=f(x,y)的图像，一般来说，它是一曲面。例如：z= 为半球面。222yxa第5页/共62页0limxx0 x0limxx0 x0 x0 x0p0p0p0limpp0p0p0 x0y0p2020)()(yyxx2020)()(yyxx00limyyxx0p第6页/共62页二元函数的极限也称为二重极限。0p0 x0y0p2020)()(yyxx2020)()(yyxx00limyyxx0p第7页/共62页例题分析：1.求证 : 证明：对 ,要证因为只须令 即可 对 当 时，有 0222211yxyxyxysinxsiny

5、, x22yx2,20000)y,x(flimyxysinxsinyxy, xf110yxyxyxfz11sinsin)(),(第8页/共62页220yxy, xf对于二重极限，务必注意： 二重极限存在，是指 以任何方式趋近于 时，函数 都无限接近于 ,故若 是以某一特定方式趋近于 ；即使 无限接近于A,也不能断定 的极限存在。反过来，若当 以不同方式趋近于 时， 的极限不同，则可断定 的极限不存在。同理，当取某一特定路径时， 的极限不存在，则可确定 的极限不存在。这与一元函数的极限存在一定是左右极限存在且相等的道理相同。y, xfz y, xfz y, xfz y, xfz y, xfz y

6、, xfz y, xfz y, xy, x0A00y ,ox00y ,ox0y ,oxf000y,xflimyxy, x第9页/共62页例2：证明： ，当 时极限不存在。证明：取 时的路径。极限不存在。 得证。例3：以知00,y, x0 xy022002222yx ,yx ,yxxyy , xf2222221yxyxyxcosy, xf222222100yxyxyxcosy,xfyxlim21006222200 xlimyxxxsinlimyx第10页/共62页求解：沿沿 极限不存在。四。多元函数的连续性：1。一元函数的连续性： 在点 连续 多元函数的连续性： 在点 连续000,k,kxy p

7、f0 x 00 xfxflimxx pf0p,x ,y000000limyx02122220220kkxkxkxlimxyxxylimkxyx)y,x(flimyx00第11页/共62页 00pfpflimpp二元函数 在 连续:若 在D上每一点均连续，称 在D内连续.2。间断点： 在 不连续，称 为的间断点。以下情形的 为间断点：1） 在 处极限不存在2） 在 处无定义3）y , xfz 00y ,ox pf0p0p0p0p0p pf 00pfApflimpp pf pf pf 00pfApflimpp第12页/共62页3。连续函数的性质。定理1（最值定理）： 在有界闭区域D上有定义，且在D

8、上连续，则 ,使得 , 称为 在D上的最小值和最大值.定理2（介值定理） 在有界闭区域D上连续，且m,M分别为 在D上的最小值，最大值。若数u满足 ，则 使得4.运算：多元连续函数的和，差，积均连续。分母不为零时，连续函数的商是连续的，多元连续函数的复合 21pfpfpfDp有 pf21pfpf， pfMumDp 0upf0 pfDp,p21 pf第13页/共62页函数也是连续的。多元初等函数在其定义区域上连续。五：本节例题1.已知 ， 若当y=1，z=x时，求 及z.解： y=1，z=x 有又 tf111xfyzxfx1yxz1221222111xxxxxxf tttf22ttxfz2211

9、111xfyyx11xfyyx第14页/共62页2.求极限.1) 2)3)解:1) 2 ) 3)1100 xyxylimyx211001100 xylimyxxyxyxylimyx10101原式0000ylimyxxylimyx原式原式22110yxxylimyxxxysinlimyx00第15页/共62页2. 全微分与偏导数一。偏导数 回忆y=f(x) 在x0的导数：f (x0)= 对于多元函数来说，由于有n个变量，其偏导数即是对于某一个自变量的导数，其它的自变量看成是不变的量的导数，故有定义1：设z=f(x,y)在P0的某一领域上有定义，当自变量x 取增量， ，y不变， z取得偏增量xxf

10、xxfx)()(lim000 xx),(),(0000yxfyxxfzx第16页/共62页0 xxzxx0lim),(),(000000,),(yxyxxzxfxyxf第17页/共62页xxfxxfx)()(lim000 xf第18页/共62页从定义看，求z=f(x,y)对x的偏导数的偏微分法，实际上与一元函数的微分法是一致的。同理，可以得到其他的多元函数的偏导数，u=f(x1,x2,xn)给x1以增量ixixxnnxxxuxuxuxuxxxfxxxxfui以及1012, 121111lim),.(),.,(,第19页/共62页例1。F(x,y)=x3+2x2y-y3在点（1，3）关于x与y的

11、偏导。解：25)32 (15)43 () 3 , 1 (22) 3 , 1 () 3 , 1 (2) 3 , 1 (yxyuxyxxu第20页/共62页例2。)sin()cos()sin()cos()cos(eeueeueu解：第21页/共62页2343214143)3.(1121)2.(114111)1,1,1(232)1,1,1(32)1,1,1(32原式解。zzyxzuyzyxyuzyxxu第22页/共62页axxbxf),(为交线在（a,b)处对x轴的斜率二。全微分1。全微分的概念： 一元函数y=f(x),给x以增量),(,yxxfyx第23页/共62页x,y给y则),(),(yxfy

12、yxxfz称为z=f(x,y)在点P(x,y)对的全增量yx ,(2)定义: 如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)的全增量z可表示为其中A,B与x, y无关z=A x+B y+o(p)处的全微分，记作在点称为函数处可微。在点则称),(),(),(,)()(22yxpyxfzyBxAyxpzyxp第24页/共62页yBxA,)()(0),()(),.,(),.(),.,(1101210_11_1021iniiniiiiniiiiiniinnnnxAduuxAMuAxxAxAuMfMfuxxxMxxMxxxfu的全微分。记为为可微，在称为常数无关，与其中若第25页/共62页),00yx处的可微

13、性),(, 0lim).( 0),.).( 0).( 001 . 1 .)(),(),(,00000000000000000000yxyxfzyBxAyxxyzyxxydzyxxyzyxyxyxyxyxxyyxyyxxyxfyyxxfzxyzyx，在（由连续性定义，又处可微。在（解：第26页/共62页),(0yxodxxfdy)(0)(0 xfAyzxz,yyzxxzdz第27页/共62页)(oyBxAz),(),(yxfyxxfzx0yzxz )(,xoxAzxxyzBAxxxAxzxxzxx同理,)(limlim00yyzxxzdz),(21nxxxfunnnnxxzxxzxxzdu21第

14、28页/共62页022002222),(yxyxyxxyyxf0limlim)0 , 0(000)0,0()0,(0 xxxfxfxxf0)0 ,0(yf22)()()()0 ,0(yxyxyxyfxfyxfdzz22)()(000limlimyxyxyxdzz第29页/共62页),(),(yxfyxfyx),(),(),(),(),(),(yxfyyxfyyxfyyxxfyxfyyxxfzyyyxfxyyxxfzyx),(),(21),(yxfx)0(0,),(),(),(),(11yxfyyxxfyxfyyxxfxyxxyxyyxfxyxfzyxfyyxfyxyy),(),()0(0,),

15、(),(2第30页/共62页dydxyx,为dydxdzyzxz),(21nxxxfunxuxuxudxdxdxdun2121)(),(),()()0( ,0oyyxfxyxfzoyxyxyxyx第31页/共62页duxuyz求,xdzyxxdyzxdxyzxduxyxxzxyzxyzyzyzyzzuyzyuyzxulnlnln,ln,11dzxxezy求, 3ln3 dyxedxedzyy)()3(dzeyxxzyx求,)sin(dyeyxxdxeyxxyxdzyxyx)cos()cos()sin(第32页/共62页yvvzyuuzyzxvvzxuuzxz),(),(,yxuyxxuuxxx

16、),(),(yxvyxxvv第33页/共62页)()(22vuovuzvzuzxvuoxvvzxuuzxz)()(22xvxu,0 xxvvzxuuzxzxvxuvuvuoxxvuoxxvuoxxvvzxuuzxzxzx0)()(limlimlimlim22)()()()(0)()(0)()(0022222222第34页/共62页例1：z= ,x=rcos ,y=rsin . 求 ， . 解： = =2xcos +2ysin =2rcos +2rsin =2r. = =2x(-rsin )+2yrcos =-2r cos sin +2r sin cos =0.22xyzrzzrzxzyxryr

17、22zzxzyxy22第35页/共62页以上规则称为连锁规则。如下图所示：对于复合函数的微分法，注意以下几点： 1. z=f(u.v),u=u(x).v=v(x).则： ，这时z实际上是x的一元函数。 2.z=f(u,v,w).u=u(x,y),v=v(x,y),w=w(x,y).则：3.z=f(u,v,x).u=u(x,y),v=v(x,y).则： （令w=x）dzzuzvdxuxvxzzuzvzwxuxvxwxzzuzvzwyuyvywyzfufvfwxuxvxwx第36页/共62页 = .这里的 是z=f(u,v,x)=f(u(x,y),v(x,y),x)中将y看成是常量，对x的偏导。而

18、 是z=f(u,v,x)中将u,v看成常量对x的偏导。这二者意义不一样。所以：4.实际上,也可以将u=u(x,y),v=v(x,y)代入到z=f(u,v)中，变成z是x,y的函数，再对求偏导，效果应是一致的，只是用连锁规则会更简洁一些例题解析：Z=arcsin ,y=x .求，解： fufvfuxvxxzxfxzfufvyuyvyyx2zxzyzx221yxyxdzdx第37页/共62页zyx=2.z=uv+sinx,u=e ，v=cosxy.求 解： cosx =v +u-sin(xy) y+cosy211 ( )xyxdzdx1zzyxyx221 ( )yxyx211 ( )xyx211x

19、xyzxzxzuzvuxvxx ye第38页/共62页 =cosxy +e (-ysinxy)+cosx3.y=x .求解：令y=u ,u=x,v=x,则：vuu lnu 1 =xx+x lnx =x (1+lnx)4.z= ,f为可微函数,验证:解:令v=x y ,z= =F(y.v)x yexyxd yd xvd yd xyuyvuxvx1vv1xxx22()yf xy211zzzx xy yy22( )yf v第39页/共62页所以 = = 2x, = = 故 + =2 - + = 而 =上式. 得证. 二.一阶微分形式不变性:在一元函数中,y=f(x), dy=f (x)dx, y=f

20、(u), u是自变量时, dy=f (u)du. u是中间变量时, u=u(x),dy=f (u)du FvvxFvzyzxFvFvyy1( 2 )( )Fyvf v1xzx1yzyFvFv1( )yf v1( )yf v22222211()()( )yzf xyyyyf xyyf v第40页/共62页 即不论u是中间变量还是自变量,dy=f (u)du,这就是一元函数二阶微分形式具有不变性. 对于多元函数(以二元函数为例).z=f(u,v).u,v为自变量时, dz= du+ dv而当z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)时,因dz= dx+ dy = ( )dx+( )dy

21、= dx+ dy+ dx+ dy = du+ dv. 所以不论u,v是自变量,还是中间变量,z=f(u,v),均有dz= du+ dv多元函数一阶全微分形式只有不变性.zuzvdzdxzyzuzvuxvxzuzvuyvyzuuxuyzvuxuyzuzvzuzv第41页/共62页 4 隐函数微分法一. 一元函数隐函数微分法 设y=f(x)是由方程F(x,y)=0确定的隐函数,求 =f(x). 对F(x,y)=0两边对x求导,将y看成是中间变量, =0. 例: e -xy=0,确定y是x的函数.求 . 解: e -y-x =0 = .二. 由方程确定的隐函数 Th1.(隐函数存在定理) 设(n+1

22、)元函数F(x ,x ,x ,u)在点p ( )的某一邻域上具有偏导数,且F( )=0,F ( ) 0,则在P 的某个邻域上,由方程F(x ,x ,x ,u)=0确定的唯一单值连续函数且具有连续偏导的n元函数.u=f(x ,x ,x ),它满足条件: dydxdFdxxyxyyyyyex12n0120,.,nx xx u120,.,nx xx uu120,.,nx xx un12n12n第42页/共62页 u =f( ) F , f( )=0而且有: =- 事实上:将F(x ,x ,x ,u)看成是复合函数,则两边对x 求偏导: + =0 =- = 这就是隐函数的求导公式. 例1: 设 ,决定

23、z=z(x,y),求 , . 解: = , F(x,y,z)= , =2x, =2z-4.故 =- = .012,.,nx xx12,.,nx xx12,.,nx xxiuxixuFF12niiFxFuiuxiuxiFxFuixuFF22240 xyzzzxzyzxxzFF2224xyzzxFzFzx2xz 2xz第43页/共62页 例2: 2sin(x+2y-3z-u )-4x +siny=0决定u=u(x,y,z).求 . 解:令F(x,y,z,u)=2sin(x+2y-3z-u )-4x +siny 所以 = =4cos(x+2y-3z-u )+cosy =2cos(x+2y-3z-u

24、) 2u 所以 =- 例3: siny+e xy =0,决定y=f(x).求 . 解: =- =e y , =cosy-2xy 所以 =22uy22zyyzFFyF2uF2uy224cos(23)cos4 cos(23)xyzuyuxyzu2xdydxdydxxyFFxFx2yFdydx2cos2xeyyxy第44页/共62页同时对上述各题,也可直接对方程两边求偏导,但必须注意到其中一个变量是中间变量.例如: = ln ,决定z=z(x,y),求 .解:两边对求x偏导.有: = 故 = 三.由方程组确定的隐函数 一般情况下: 当只有量x,y独立变化时,这方程组就可以确定两个二元函数u=u(x,

25、y),v=v(x,y). 定理2: (隐函数存在定理) F(x,y,u,v),G(x,y,u,v),在 p (x ,y ,u ,v )的某一邻域上是有连续的偏导 xzyzzx2zzxxzzy2()yzzxzxzxz( , , , )0( , , , )0F x y u vG x y u v00000第45页/共62页并且F(p )=0,G(p )=0,若由偏导组成的方程雅可比行列式 J= = ,当J 时,则 在p 的N(p , )上唯一确定单值连续且只有连续的偏导的函数u=u(x,y),v=v(x,y),且 u =u(x ,y ),v =v(x ,y ) =- =- =- =-00( ,)(

26、, )F Gu vFFuvGGuv00p00FG00000000ux1( ,)( , )F GJx vxvxvuvvvFFGGFFGGvx1( ,)( , )F GJu xuy1( ,)( , )F GJy v第46页/共62页，直接运用推导公式。实际运用中不必记公式解出：的方程关于求偏导分别对推导如下：),(),(1,),(),(1,000),(),(,(0),(),(,(),(),(1xuGFJxvvxGFJxuxvxuxvGxuGGxvFxuFFxyxvyxuyxGyxvyxuyxFvuGFJyvvuxvux第47页/共62页.1202412411,01)2(202012,00),(),

27、(22yvvyuyvyuuyuvvxuuvxvxvxvvuxvvxuxvxuuxyvyuxvxuyvuxvuyxvvyxuu求偏导：两边对求偏导解：对方程组两边对决定，求是由方程组例：设第48页/共62页 10222zyxzyx2. 确定了 解:两边对x求导四;反函数微分法则: 若 在区间I上严格单调,可导且 则的反函数也可导,且对于二元函数来说有定理：（反函数微分法）设uvyuyuyuuv411122uvuyv412022201dxdzdxdydxdzdxdyzyx.yzzxdxdy,yzxydxdz xfy xfy xfy yxvuyyvuxx, .,.dxdzdxdyxZzxYy求 .1

28、xfy0 xy第49页/共62页在点(u,v)的某一邻域上连续且有连续偏导，又则由决定唯一一组连续单值函数函数u,v连续，且偏导也连续，且推导如下：上式两边对x求偏导, 0,vyuyvxuxvuyxJvyJxu1uyJxv1uxJyv1vxJyu1vuyyvuxx,0,0,vuyyvuyxGvuxxvuyxFuyJxvvyJxuxvvyxuuyxvvxxuux11,01vuyyvuxx,yxvvyxuu第50页/共62页uvuyvux22yxvvyxuu,xvxu,xvxuxuxvxuuvvu0221,22222vvuuxu.,. 222vuzvuyvuxyxzz由设.,yzxz求.2222x

29、vxuxvvzxuuzxzuvuv解：222221vvuvxv第51页/共62页vuyvux对x求偏导2101xvxuxvxuxvxuyxyxvzuzxzzvuuv2222第52页/共62页高阶偏导数在一元函数中：是x的函数，在可导的情况下，f对x的二阶导数n阶导数对于二元函数来说，仍是x,y的二元函数因而考虑二阶偏导数，乃至高阶的偏导数（在可导的情况下） xfy xfyx, xfxf xfnyxfz,yzxz,yxfz, ,22xzxxz zfyxxyzyxz2第53页/共62页 zfxyyxzxyz2 zfyyyzyyz22若仍可导，它是x,y的二元函数故 zfxxxyzxxz332222xz zfxyxxyxzxxyz32第54页/共62页xyeyxz)(22412122,2221222,2yzxeyxzxexyzxyexzxeyyzxyexxz， yxxyff与xeffyxxy xyzyxz22与 xxyyxxxyxfffyxexyxzyxeyxzyxexzxyxzyxezsin,sin,cos,cos323求第55页/共62页.),(222yxzyxxyfz求22222222,.2),(.2,22 2 22222222222xfxyfxyfxxfxyfyyfyvvfyuvufxyvfxyvvufyuuf