多元函数极值PPT学习教案

1、会计学1多元函数极值多元函数极值（1）极值是一个局部概念，它只是对极值点邻近范围的所有点的函数值进行比较。（2）（极值存在的必要条件）若 f (x) 在极值点处可导，则导数一定为 0 ，反之不成立。（3）（驻点为极值点的充分条件）设,0)( 0 xf存在，则有)( 0 xf（1）如果0)( 0 xf)(0 xf（3）如果0)( 0 xf，则为 f ( x ) 的极小值；（2）如果0)( 0 xf)(0 xf，则为 f ( x ) 的极大值；，定理失效。第1页/共60页（一）二元函数的极值定义 ：设 z = f ( x , y ) 的定义域为 D，DyxP ),(000总有),(),(00yxf

2、yxf 总有是 D 的一个内点，则称),(00yxf是 f ( x , y ) 的极大值；则称),(00yxf是 f ( x , y ) 的极小值。),(),()(01PUyx 当当若存在点 的一个去心邻域0PDPPyxPPU | ),()( 000),(),()(02PUyx 当当),(),(00yxfyxf 极大值和极小值统称为极值 ；第2页/共60页 使函数取得极值的点称为极值点 ； 同一元函数一样，二元函数极值也是一个局部概念(1)例1处有极小值处有极小值在在函数函数)0 , 0(4322yxz 极值点必是 D 的内点 ； 利用点函数的概念，上述二元函数极值的概念可以 推广到 n 元函

3、数的情形第3页/共60页(2)例处有极大值处有极大值在在函数函数)0 , 0(22yxz 例处无极值处无极值在在函数函数),(00 xyz 因为在点 ( 0, 0 ) 处，函数值为 0，而在点 ( 0 , 0 ) 的任何邻域内，即有使函数值大于0 的点，也有使函数值小于 0 的点。xy 0 第4页/共60页定理 1 : （极值存在的必要条件）如果 ),(yxf),(000yxP,),(000 yxfx在点处有极值，且两个一阶偏导数存在，则有问题：什么点可能成为极值点？什么点必定是极值点？000 ),(yxfy ),(0yx),(yx证明：就极大值的情形给予证明，极小值情形类似因为 f ( x

4、, y ) 在点0P有极大值),(000yxP),(0PU ,)(),(时时当当0PUyx ),(),(00yxfyxf ,时时特别当特别当00 xxyy ),(),(000yxfyxf 第5页/共60页定理 1 : （极值存在的必要条件）如果 ),(yxf),(000yxP,),(000 yxfx在点处有极值，且两个一阶偏导数存在，则有问题：什么点可能成为极值点？什么点必定是极值点？000 ),(yxfy ),(0yx),(yx证明：就极大值的情形给予证明，极小值情形类似),(000yxP,时时特别当特别当00 xxyy ),(),(000yxfyxf 这表明一元函数),(0yxf在点0 x

5、x 处取得极大值，因此000 ),(yxfx同理可证000 ),(yxfy第6页/共60页 凡是能使 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点， 但驻点不一定是极值点。同时成立的点 称为函数的驻点 。),(00yx,),(000 yxfx000 ),(yxfy 极值点也可能是使偏导数 不存在的点。 极值点只可能在驻点或使偏导数 不存在的点中产生。第7页/共60页例1：1),(22 xyyxf解：,02 xfx得驻点)0,0(,1)0,0( f,0,0时时当当 xy11)0,(2 xxf,0,0时时当当 yx11),0(2 yyf,1)0,0(不是极值不是极值 f该函数无极值。 )0,(x),0(yx

6、y0)0,0(f )0,0(f ,02 yfy第8页/共60页定理 2 : （极值存在的充分条件）如果 ),(yxf),(00yx,),(000 yxfx（1）（2）在点的某一邻域内有连续的二阶偏导数，且时具有极值，且当 A 0 时，有极小值；02 BAC时没有是极值；（3）02 BAC时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。第9页/共60页具有二阶连续偏导数的函数 f ( x , y ) 的极值的求法：第一步：解方程组求出所有实数解，即求得函数的所有驻点。第二步：对于每一个驻点),(00yx第三步：定出),(00yxf计算二阶偏导数值 A 、B 、 C。的符号，按定理 2 判定是否是极值

7、，是极大值还是极小值 ,),(,),(000000yxfyxfyx2BAC 第10页/共60页例2：求 的极值xyxyxyxf9332233 ),(解：（1）,09632 xxfx得到四个驻点：,0632 yyfy,3121 xx,2021 yy),(01),(21),(03 ),(23 （2）计算二阶偏导数 A、B、C 。,66 xfAxx,0 yxfB, yfCyy66 2BAC)(yx 1136（3）对每一个驻点，判断2BAC 的符号,| )(),(072012 BAC,|),(01201 A且且所以 ( 1 , 0 ) 为极小值点，501 ),(f为极小值。第11页/共60页 ),(|

8、 )(212BAC所以点 ( 1 , 2 ) 和 ( 3 , 0 ) 不是函数的极值点。),(| )(032 BAC072 例2：求 的极值xyxyxyxf9332233 ),(解：（1）,09632 xxfx得到四个驻点：,0632 yyfy,3121 xx,2021 yy),(01),(21),(03 ),(23 ,66 xfAxx,0 yxfB, yfCyy66 2BAC)(yx 1136（3）对每一个驻点，判断2BAC 的符号（2）计算二阶偏导数 A、B、C 。第12页/共60页,| )(),(072232 BAC所以 ( 3 , 2 ) 是极大值点。,|),(01223 A且且312

9、3 ),(f为极大值。例2：求 的极值xyxyxyxf9332233 ),(解：（1）,09632 xxfx得到四个驻点：,0632 yyfy,3121 xx,2021 yy),(01),(21),(03 ),(23 ,66 xfAxx,0 yxfB, yfCyy66 2BAC)(yx 1136（3）对每一个驻点，判断2BAC 的符号（2）计算二阶偏导数 A、B、C 。第13页/共60页例例4、 求由方程求由方程yxzyx22222 0104 z 确定的函数确定的函数),(yxfz 的极值的极值 将方程两边分别对将方程两边分别对yx,求偏导求偏导04222 xxzzzx解得驻点为解得驻点为)1

10、, 1( P, 04222 yyzzzy 又在驻点处必有, 0 yxzz所以022 x022 y 04222 xxxxxzzzz)(042 yxyxxyzzzzz)(04222 yyyyyzzzz)( 将上述方程组两边分别再对 x , y 求偏导数，得解第14页/共60页例例4、 求由方程求由方程yxzyx22222 0104 z 确定的函数确定的函数),(yxfz 的极值的极值 解得驻点为得驻点为)1, 1( P, 在驻点处必有, 0 yxzz04222 xxxxxzzzz)(042 yxyxxyzzzzz)(04222 yyyyyzzzz)( 021 xxzz)(0 yxz021 yyzz

11、)( )(2z在驻点处在驻点处,|zzPxx 21,|0 Pyxz,|zzPyy 2102122 )(| )(zBACP所以驻点 ( 1 , 1 ) 为极值点第15页/共60页例例4、 求由方程求由方程yxzyx22222 0104 z 确定的函数确定的函数),(yxfz 的极值的极值 得驻点为得驻点为)1, 1( P, 解在驻点处必有, 0 yxzz,|zzPxx 21,|0 Pyxz,|zzPyy 2102122 )(| )(zBACP所以驻点 ( 1 , 1 ) 为极值点将将)1, 1( P代入原方程代入原方程, 01242 zz, 21 z62 z,时时当当21 zPxxzA| , 0

12、41 所以所以2 z为极小值；为极小值； ,时时当当62 zPxxzA| , 041 所以所以6 z为极为极大大值；值； 第16页/共60页 如果 f ( x , y ) 在有界闭区域 D 上连续，则它在 D 上 必定取得最大值和最小值。 这种使函数取得最大值或最小值的点即可能在 D 的 内部，也可能在 D 的边界上。 假定函数在 D 上连续、在 D 的内部可微且仅有有限 个驻点，这时如果函数在 D 的内部取最大或最小值， 则它也是函数的极大或极小值，并且一定在某个驻点 上取得。第17页/共60页 求函数最大值和最小值的一般方法：（1）求函数在 D 内的所有驻点；（2）求函数在 D 的边界上的

13、最大值和最小值；（3）将函数在所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的 最大值和最小值相比较，最大者就是函数在 D 上 的最大值，最小者就是最小值。 在实际问题中，如果根据问题的性质，知道函数的最 大或最小值存在且一定在 D 的内部取得，而函数在 D 内只有一个驻点，则该驻点就是函数在 D 上的最大或 最小值点。第18页/共60页例1：有一宽为 24cm 的长方形铁板，把它两边折起来，做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？ 解：24cmxxx224 x224 梯形的上底长为x224 cosx2 高为 sinx sin)()cos(xxxxA 22242224其中,120 x

14、,20 第19页/共60页例1：有一宽为 24cm 的长方形铁板，把它两边折起来，做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？ 解： sin)()cos(xxxxA 22242224 sin)sincos(sinxx2422 问题转化为求面积函数 A = A ( x , ) 在区域 D20120 ,x上的最大值（1）求 A = A ( x , ) 在 D 内的驻点02422 sin)sincos(sinxAx0242222 cos)cossincos(xxA 第20页/共60页例1：有一宽为 24cm 的长方形铁板，把它两边折起来，做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断

15、面的面积最大？ 解：x 0D sin)sincos(sinxxA2422 20120 ,:xD02422 sin)sincos(sinxAx0242222 cos)cossincos(xxA 注意到00 sin,x得唯一驻点,38 x,),(34838 A第21页/共60页例1：有一宽为 24cm 的长方形铁板，把它两边折起来，做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？ 解： sin)sincos(sinxxA2422 20120 ,:xD得唯一驻点,38 x,),(34838 A（2）在 D 的边界上,:1202 xD ,),(22242xxxA 04242 xxAx),(

16、 , 6 x x0D 第22页/共60页例1：有一宽为 24cm 的长方形铁板，把它两边折起来，做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？ 解： sin)sincos(sinxxA2422 得唯一驻点,38 x,),(34838 A（2）在 D 的边界上,:1202 xD ,),(22242xxxA , 6 x7226 ),( Ax 0D 348 所以当,时时38 x断面的面积最大。第23页/共60页例1：要造一个容量一定的长方体箱子，问选择怎样的尺寸，才能使所用的材料最省？解： 设箱子的长、宽、高分别为 x , y , z , 容积为 V , 表面积为 S ，则,zyxV

17、)(2xzzyyxS ,yxVz 或或)(2yVxVyx 0,0| ),( yxyxD,0)(22 xVySx,0)(22 yVxSy第24页/共60页解上述方程组得唯一驻点 ),(33VV 根据实际问题可知 S 一定存在最小值 ，并且一定在 D 的内部取得，所以驻点),(33VV即当33,VyVx yxVz ,时时3V 表面积 S 取得最小值 ，此时用料最省。)(2xzzyyxS )(2yVxVyx ,0)(22 xVySx,0)(22 yVxSy是使 S 取得最小值的点第25页/共60页例：求表面积为2a解： 设长方体的长、宽、高分别为 x , y , z , 体积为 V , 则问题可描述

18、为：求体积 zyxV 在约束条件2)(2axzzyyx 下的最大值解出解出由由2)(2axzzyyx )(222yxyxaz zyxV 所以所以 yxyxayx222转化为无条件极值问题。而体积为最大的长方体体积第26页/共60页问题 1：求函数 z = f ( x , y ) 在约束条件 ( x , y ) = 0 下的极值（称为条件极值问题）。假设),(00yx为一极值点，则000 ),(yx 又进一步假设 ( x , y )在 ),(00yx的某一邻域内具有一阶连续偏导数，且000 ),(yxy 则 ( x , y ) = 0 确定了一个隐函数 )(xy 代入目标函数 z = f ( x

19、 , y ) 中得)(,xxfz 它在0 xx 处取得极值，故必有00 xxdxdz000000 xxyxdxdyyxfyxf),(),(第27页/共60页假设),(00yx为一极值点，则000 ),(yx 则 ( x , y ) = 0 确定了一个隐函数 )(xy 000000 xxyxdxdyyxfyxf),(),(又由隐函数求导公式有),(),(00000yxyxdxdyyxxx 所以000000000 ),(),(),(),(yxyxyxfyxfyxyx 问题 1：求函数 z = f ( x , y ) 在约束条件 ( x , y ) = 0 下的极值（称为条件极值问题）。第28页/共

20、60页假设),(00yx为一极值点，则000 ),(yx 所以000000000 ),(),(),(),(yxyxyxfyxfyxyx ,),(),(0000yxyxfyy 令令则有00000 ),(),(yxyxfxx 00000 ),(),(yxyxfyy 000 ),(yx 此即为问题1 在处处),(00yx取极值的必要条件问题 1：求函数 z = f ( x , y ) 在约束条件 ( x , y ) = 0 下的极值（称为条件极值问题）。第29页/共60页00000 ),(),(yxyxfxx 00000 ),(),(yxyxfyy 000 ),(yx ,),(),(),(yxyxf

21、yxL 引入辅助函数则),( 00yxLx00000 ),(),(yxyxfxx ),( 00yxLy00000 ),(),(yxyxfyy ),( 00yxL000 ),(yx 问题 1：求函数 z = f ( x , y ) 在约束条件 ( x , y ) = 0 下的极值（称为条件极值问题）。拉格朗日函数拉格朗日乘子第30页/共60页拉格朗日乘数法：（1）构造拉格朗日函数：),(),(),(yxyxfyxL 其中， 为参数，称之为拉格朗日乘子。（2）联解方程组，求出问题 1 的所有可能的极值点。问题 1：求函数 z = f ( x , y ) 在约束条件 ( x , y ) = 0 下的

22、极值（称为条件极值问题）。),( yxLx0 ),(),(yxyxfxx ),( yxLy0 ),(),(yxyxfyy ),( yxL0 ),(yx （3）进一步确定所求点是否为极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判断。第31页/共60页 问题 2：求函数 u = f ( x , y , z ) 在约束条件 ( x , y , z ) = 0 , ( x , y , z ) = 0 下的条件极值。（1）作拉格朗日函数),(),(),(),(zyxzyxzyxfzyxL 其中 ， 称为拉格朗日乘数。 （2）联解方程组，求出问题 2 的所有可能的极值点。xL0 xxxf yL0 yyy

23、f L0 ),(zyx zL0 zzzf L0 ),(zyx （3）进一步确定所求点是否为极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判断。第32页/共60页例1：求表面积为 而体积为最大的长方体体积2a解： 设长方体的长、宽、高分别为 x , y , z , 体积为 V , 则问题可描述为在约束条件22axzzyyx )(下，求体积函数zyxV )0,0,0( zyx的最大值。（1）构造拉格朗日函数),( zyxLzyx )222(2axzzyyx （2）联解方程组xLzy 022 )(zy yLzx 022 )(zx zLxy 022 )(yx 第33页/共60页例1：求表面积为 而体积

24、为最大的长方体体积2a（1）构造拉格朗日函数),( zyxLzyx )222(2axzzyyx （2）联解方程组xLzy 022 )(zy yLzx 022 )(zx zLxy 022 )(yx 解：02222 axzzyyxL 由对称性知，x = y = z ，代入最后一个方程解得zyx a66 这是唯一可能的极值点（3）判断：因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个唯一可能的极值点处取得。第34页/共60页例1：求表面积为 而体积为最大的长方体体积2a解：zyx a66 这是唯一可能的极值点（3）判断：因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个唯一可能的极值点处取得。

25、结论：表面积为2aa663636aV 的长方体中，以棱长为的正方体的体积最大，且最大体积为第35页/共60页例2：在椭球面12222 zyx上，求距离平面62 zyx的最近点和最远点。解：设 ( x , y , z ) 为椭球面上任意一点则该点到平面的距离为222)1(12|62| zyxd6|62| zyx问题1：在约束条件012222 zyx下，求距离 d 的最大最小值。 由于 d 中含有绝对值，为便于计算，考虑将问题 1 转化为下面的等价问题第36页/共60页问题2：在条件下，求函数262)(),( zyxzyxf的最大最小值。222)1(12|62| zyxd6|62| zyx问题1：

26、在约束条件下，求距离 d 的最大最小值。012222 zyx012222 zyx（1）作拉格朗日函数)()(),(12622222 zyxzyxzyxL 04624 xzyxLx )(02622 yzyxLy )(（2）联解方程组第37页/共60页（1）作拉格朗日函数)()(),(12622222 zyxzyxzyxL 04624 xzyxLx )(02622 yzyxLy )(（2）联解方程组02622 zzyxLz )(012222 zyxL 求得两个驻点：,)21,21,21(1 M)21,21,21(2 M对应的距离为|62121212|611 d632 6342 d第38页/共60页

27、例2：在椭球面12222 zyx上，求距离平面62 zyx的最近点和最远点。解：问题1：在约束条件012222 zyx下，求距离 d 的最大最小值。求得两个驻点：,)21,21,21(1 M)21,21,21(2 M,6321 d对应的距离为,6342 d（3）判断：由于驻点只有两个，且由题意知最近距离和最远距离均存在。所以最近距离为,6321 d最远距离为,6342 d第39页/共60页例3：求xyzu 在条件解：azyx1111 下的极值，其中，x 0 , y 0 , z 0 , a 0。（1）作拉格朗日函数)(),(azyxxyzzyxL1111 （2）联解方程组, 02 xyzLx 0

28、2 yzxLy , 02 zyxLz 01111 azyxL 由对称性知，x = y = z ，代入最后一个方程解得这是唯一可能的极值点,azyx3 第40页/共60页例3：求xyzu 在条件解：azyx1111 下的极值，其中，x 0 , y 0 , z 0 , a 0。这是唯一可能的极值点,azyx3 （3）判断：设条件azyx1111 所确定的隐函数为),(yxz 代入目标函数中得),(yxyxu 它有唯一驻点 ( 3 a , 3 a ),经计算可得,|),(auAaaxx633 ,|),(auBaayx333 ,|),(auCaayy633 , 02722 aBAC, 06 aA且且第

29、41页/共60页例3：求xyzu 在条件解：azyx1111 下的极值，其中，x 0 , y 0 , z 0 , a 0。这是唯一可能的极值点,azyx3 （3）判断：),(yxyxu 它有唯一驻点 ( 3 a , 3 a ),|),(auAaaxx633 ,|),(auBaayx333 ,|),(auCaayy633 , 02722 aBAC, 06 aA且且所以， ( 3a , 3a ) 是函数 u = x y ( x , y ) 的极小值点从而原条件极值问题有极小值点 ( 3a , 3a , 3a)对应的极小值为.327au 第42页/共60页多元函数的极值拉格朗日乘数法（取得极值的必要

30、条件、充分条件）多元函数的最值第43页/共60页第44页/共60页平面点集和区域多元函数的极限多元函数连续的概念极 限 运 算多元连续函数的性质多元函数概念一、主要内容第45页/共60页全微分的应用高阶偏导数隐函数求导法则复合函数求导法则全微分形式的不变性微分法在几何上的应用方向导数多元函数的极值全微分概念偏导数概念第46页/共60页问题描述： 通过实验、测量或调查，得到自变量 x 和因变量 y 之间的 n 对数据,),(111yxA,),(222yxA,),(nnnyxA从而可用 y = f ( x ) 作为 x 和 y 之间函数关系的近似表达式，称之为经验公式。 要求寻找一个适当类型的函数

31、 y = f ( x )，使nxxx,21)(, )(, )(21nxfxfxf与实际观测值nyyy,21在某种尺度意义下 “最接近 ”它在观测点的函数值第47页/共60页建立经验公式常用的方法就是最小二乘法。首先将 n 对观测数据看作直角坐标系中的 n 个点，并将其描出如果这些点几乎分布在一条直线附近，就认为 x 和 y 之间存在线性关系，如图所示xy0,),(111yxA,),(222yxA,),(nnnyxA1A1x2x2AiAixnAL直线 L 的方程即为所求经验公式。bxay 其中 a , b 为待定参数。nx设 L 的方程为：第48页/共60页xy01A1x2x2AiAixnAL设

32、直线 L 的方程为：bxay 其中 a , b 为待定参数。,),(111yxA,),(222yxA,),(nnnyxA直线上与点),2,1(niAi 横坐标相同的点设为),2,1(niBi 1B2BiBnB,(11xB,)1bxa ,(22xB,)2bxa ),(bxaxBiii ),(,bxaxBnnn :的距离为的距离为与与iiBA id|iiybxa nx第49页/共60页:的距离为的距离为与与iiBA id|iiybxa 叫作实测值与理论值的误差，id问题：确定一组参数 a , b ，使误差的平方和 niidS12 niiiybxa12)(最小。 这种方法叫作最小二乘法。注意：在上式中，ixiy 故上述问题即为求一个二元函数的最小值问题和是已知的，所以 S是参数 a 和 b 的二元函数。第50页/共60页 niidS12 niiiybxa12)( aS niiiixybxa1)(20 bS niiiybxa1)(20 niixa12 niixb1 niiiyx1 niixa1bn niiy1 从标准方程中解出a 和 b代如直线方程bxay 即得经验公式第51页/共60页例1：两个相依的量 与 ， 由 确定，经 6 次测试，得数据如下表 810121416