多元复合函数的求导62378PPT学习教案

1、会计学1多元复合函数的求导多元复合函数的求导623782一、复合函数的求导法则(链导法则)证),()(tttu 则则);()(tttv ，获得增量获得增量设设tt 1. 中间变量为一元函数)(),(),(tvtuvufz 的情形.定理,)()(可导可导都在点都在点及及如果函数如果函数ttvtu ),(),(vuvufz在对应点在对应点函数函数 ,)(),(可导可导在对应点在对应点则复合函数则复合函数tttfz 且其导数可用下列公式计算: tzdd多元复合函数的求导法则具有连续偏导数, tuuzdd.ddtvvz 第1页/共38页3 z tz,ddtutu ,ddtvtv 可微)( ovBuAz

2、 由于函数),(),(vuvufz在点在点 有连续偏导数 vvzuuz,21vu ,0, 0时时当当 vu0, 021 tvvztuuztvtu 21 ,0时时当当 t0, 0 vu tzt0lim多元复合函数的求导法则 tuuzddtvvzdd tzdd第2页/共38页4复合函数的中间变量多于两个的情况.定理推广 tzdduvwtz导数tzdd变量树图 三个中间变量),(wvufz 如如)(),(),(twwtvvtuu uz vz tudd wz tvdd twdd 称为多元复合函数的求导法则第3页/共38页5项数问:每一项中间变量函数对中间变量的偏导数该中间变量对其指定自变量的偏导数(或

3、导数).的个数. 函数对某自变量的偏导数之结构),(wvufz 如如)(),(),(twwtvvtuu 多元复合函数的求导法则 tzdduz vz tudd wz tvdd twdd 第4页/共38页6例 设 求xydd这是幂指函数的导数,但用全导数公式较简便.法二 xyddyuvx,)(cossin xxy 解 法一,cosxu 令令)(cosln)sin(1xuuxvuvv tancosln)(cos2sin1xxxx vuy 则则可用取对数求导法计算.,sin xv xuuyddxvvydd 多元复合函数的求导法则第5页/共38页7多元复合函数的求导法则),(),(),(yxvyxuvu

4、fz ).,(),(yxyxfz 复合函数为,xvvzxuuzxz ),(),(),(yxyxvyxu都在点都在点及及如果如果 ,的偏导数的偏导数和和具有对具有对yx在对在对且函数且函数),(vufz ),(vu应点应点则复合函数),(),(yxyxfz 的两个的两个在对应点在对应点),(yx偏导数存在, 且可用下列公式计算 两个中间变量 两个自变量具有连续偏导数,2.的情形.yvvzyuuzyz第6页/共38页8uvxzy xz uzxu vzxv yz uzyu vzyv 变量树图uv多元复合函数的求导法则),(),(yxyxfz第7页/共38页9解 xz uzxu vzxv 1cossi

5、n veyveuu).cos()sin(yxyxyexy yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cos()sin(yxyxxexy 多元复合函数的求导法则例 ,sinyxvxyuvezu 设设.yzxz 和和求求第8页/共38页10中间变量多于两个的情形 xz yz类似地再推广,),(),(),(yxwyxvyxu 设设,),(的偏导数的偏导数和和处具有对处具有对都在点都在点yxyx复合函数),(),(),(yxyxyxfz 在对应点),(yx的两个偏导数存在, 且可用下列公式计算:三个中间变量两个自变量vuwzwvuyx xuuz xvvzxwwz yuuz yvvzy

6、wwz 多元复合函数的求导法则第9页/共38页11例 设,1222wvuz xz 解)()(23222wyvxuxwyx 自己画变量树uwvuuz2)(2123222 xxu2 求,2222yxvyxu .2xyw xwwzxvvzxuuzxz 多元复合函数的求导法则第10页/共38页12只有一个中间变量),(),(yxuyxufz 其中其中即,),(yxyxfz xz yz两者的区别区别类似多元复合函数的求导法则3.的情形.xwwzxvvzxuuzxz 把复合函数,),(yxyxfz 中的y看作不变而对x的偏导数),(yxufz 把中的u及y看作不变而对x的偏导数ywwzyvvzyuuzyz

7、 xuufuvw xv xw yv. 1, 1, 0, 0 yw,xf yuuf.yf 第11页/共38页13,xz yz 解xfxuufxz yfyuufyz zuxyxy变量树图)sin(yxeu )sin(yxeu 例多元复合函数的求导法则y )cos(yxeu x 求而,),sin(xyuyxezu)cos(yxeu第12页/共38页14 例 设 f具有二阶连续偏导数, ,22xu 求求.2txu 变量树图ursxtxssfxrrf 或记 sfxtrfx 22 u对中间变量 r,s 的偏导数 ),(22xttxfu 注从而也是自变量x, t 的复合函数. 解),(srf都是x, t 的

8、函数, 对抽象函数在求偏导数时, 一定要设中间变量.多元复合函数的求导法则sr xu,1frf2fsfsf,rf第13页/共38页15sfxtrfx 22xu .2442322422222sfxtsfxtsrfxtrfxrf rfxu 222ursxt变量树图,22xu 求求.2txu rs 设 f具有二阶连续偏导数, ),(22xttxfu x2 )2xt sfxt 322xt 多元复合函数的求导法则 srf 2)2x rsf 2(22rf x2 (22sf 2xt 第14页/共38页16rs.21242232222222sfxtrsfxtsfxsrfrfxt ursxt变量树图 txu2,

9、22xu 求求.2txu 设 f具有二阶连续偏导数, ),(22xttxfu sfxtrfx 22xu sfx 212xt )122xsf trfx2(222 多元复合函数的求导法则)1x (t 2 srf2rsf2第15页/共38页17多元复合函数的求导法则解具有二阶连续偏导数, 且满足, 12222 vfuf),(21,),(22yxxyfyxg 又又.2222ygxg 求求vu,xvfyufxg 2003年考研数学三, 8分).(yvfxufyg 故 22xg.2222222222vfvfyvufxyufxyg ,22222222vfvfxvufxyufy yufy22( )2xvuf

10、vf ),2yuvf xvfx22( 22yx ),(vuf第16页/共38页18由例,)1(22 yuxu.)2(2222yuxu sin,cosryrx 解 ),(yxfu现将22 yuxu2222yuxu , r用用),( rF 把下列表达式转换为极坐标系中的形式:),(yxfu 设 的所有二阶偏导数连续,)sin,cos( rrf函数),(yxfu 换成极坐标 及及r的函数:及 以及函数),( rFu , r对 的偏导数来表达.多元复合函数的求导法则第17页/共38页19复合而成. xu2ryurxru ruxyruru sincos cos xrrx sin (1)看成由看成由),(

11、yxfu xyarctan ,22yxr ),( rFu 及 xrruxu 22)1( yuxu多元复合函数的求导法则第18页/共38页20 yu2rxuryru ruru cossin sin yrry cos 2221 urru得22 yuxu yrruyu xyarctan ,22yxr ),( rFu ruxy xururu sincos 多元复合函数的求导法则第19页/共38页21ruruxu sincos (2) 22xur sin ruxyru u)sincos(rurux ru2ru 2),(yxfu 设 的所有二阶偏导数连续x 2222)2(yuxu cos多元复合函数的求导

12、法则22ru xr x )sin( 22 u x xr sin)1(2r x xr r1 cos cos xrrx sin 第20页/共38页22 ururrurrurru222222222cossin2sinsincossin2cos同理可得(自己练) ururrurrurruyu222222222222cossin2coscoscossin2sin多元复合函数的求导法则 sin yrry cos 第21页/共38页23两式相加,得:22222222211 urrurruyuxu)(1222 ururrrr多元复合函数的求导法则第22页/共38页24多元复合函数的求导法则例假设流体中一质点的

13、运动速度为),(zyxvvvv 其中),(tzyxfvx ),(tzyxgvy );,(tzyxhvz 由于质点随流体运动,故其位置),(zyx也随时间t 而变化.).(),(),(tzztyytxx 即即试求质点运动的加速度.dd,dd,dd tvtvtvazyx1dddddddd tvtzzvtyyvtxxvtvxxxxx答案.4321fzfyfxf 时变加速度位变加速度第23页/共38页25 已知f(t)可微,证明 满足方程)(22yxfyz .112yzyzyxzx 提示)(tfyz t, y 为中间变量, x, y 为自变量.,)()(22tftfxyxz .)()(2)(122tf

14、tfytfyz 引入中间变量,则,22yxt 令令多元复合函数的求导法则第24页/共38页26),(vufz 设函数设函数具有连续偏导数, 则有全微分;dddvvzuuzz ,),(),(时时当当yxvyxu 则有全微分,dddyyzxxzz xvvzxuuz yvvzyuuz yyuxxuuzdd yyvxxvvzdduuzd .dvvz 全微分形式不变性的实质多元复合函数的求导法则第25页/共38页27yyzxxzzddd dxxvvzxuuz）（ dyyvvzyuuz)( yyuxxuuzdd yyvxxvvzdduuzd .dvvz ),(1vufz ）设）设（;dddvvzuuzz

15、),(),(yxvyxu 而而，为为自自变变量量时时),(vu),(2vufz ）设）设（，为为中中间间变变量量时时 ),(vu称为一阶全微分形式不变性第26页/共38页282)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud 说明 可以利用一阶全微分形式不变性和下列微分运算法则求全微分或偏导数第27页/共38页29解)sin(ddtuvz tdttdetdettcoscoscos tdtdttedtetttcos)sin(cos dtttetett)cossincos( .cos)sin(costttedtdzt tdudvvdusin 例 利用一阶全微分的形式

16、不变性求第28页/共38页30解0)2(d zxyeze)(dxyexy zezd)2(yexexeyezzxyzxyd)2(d)2(d xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe例, 02 zxyeze已知已知.yzxz 和和求求zd2 zezd 0 )dd(xyyxexy 通过全微分求所有一阶偏导数,比链导法则求偏导数有时会显得灵活方便.多元复合函数的求导法则第29页/共38页31,),(),(均均连连续续可可微微设设gfxyxgvxyxfu xvxu 求求)1()(ygfyfxvxuxyx 答案：多元复合函数的求导法则第30页/共38页32,)(),()2(二二阶阶可可导导其其中中

17、设设tfxyxgyxfz .,),(2yxzvug 求求有连续二阶导数有连续二阶导数 解,2yxt 设设 xz yxz20( vugyvvvuvtggxygxf 21 vg 0 uugxguv vg )xgvv ,xu xyv tf 2 ug y )1(2 tf多元复合函数的求导法则第31页/共38页33yxz 2求求 解 xz yxz2xyfvcos xyvsin xycos vfx cossinxfvv sin xfuv uvuufxyxf )cossin2(2vvvfxfxxy coscossin,2yxu 设2 uf)1( 2 uuf)1( vuf多元复合函数的求导法则有连续的二阶导数

18、,),(),sin,2(vufxyyxfz其中设第32页/共38页34yxz 2求求 解,sin yeux 22yxv xzxfv2 yxz2yefxucos )2yfuv x2yyef yyexuuxsin(2cossin2 uxvvuvf yefxyfyx cos4)cosyexsin )2yfvv 设yefxusin yefxuucos( 多元复合函数的求导法则连续的二阶导数,有其中设),(),sin(22vufyxyefzxyefxvucos( 第33页/共38页35) )1 ,1(,1()1(ff )(dd3xx 1)1 ,1( fxxdd)(32 3 ),(,(1xxfxf )(,(,(2xxfxf ),(1xxf ),(2xxf 351 , 1)1 , 1( f,),(,()(xxfxfx ,2)1 , 1( xf求.