复变函数教学资料51PPT学习教案

1、会计学1复变函数教学资料复变函数教学资料51 在概率论中，用来阐明大量平均结果稳定性的一系列定理统称为大数定律. 由大数定律，大量随机因素的总和，必然导致某种不依赖于个别随机事件的结果.为了证明大数定律，下面给出一个重要有用的不等式.5.1.1 5.1.1 切比雪夫不等切比雪夫不等式式 我们已经知道，方差是用来描述一个随机变量取值的分散程度的。第1页/共19页2XDXEXP 设随机变量 X 有数学期望 和方差 ，则对于任意给定的正数 总有 XE XD0通常称该不等式为切比雪夫不等式.在实际应用及理论上都很有用。为简便起见，下面就连续型随机变量 讨论其正确性。X第2页/共19页因为 时， XEX

2、122XEx ,xf设随机变量 的概率密度为X XEXE,之外。 XEX表示随机变量 落在区间X第3页/共19页因此，不等式成立。 XExdxxfXEXP故有 2221XDdxxfXEx XExdxxfXEx221 XExdxxfXEx22第4页/共19页 .12XDXEXP 1XEXPXEXP故，切比雪夫不等式又可表示成下面形式 由于 与 是对立 XEX XEX事件，所以的情况下，估计随机事件 的概率XEX 上式给出了在随机变量 的分布未知X的一种方法。若在上式中取第5页/共19页 ,4 ,3XDXD则分别有 .8889. 098913XDXDXDXEXP .9375. 016151614X

3、DXDXDXEXP越小，则概率 越大，表明随机变 XEXP 越小，表明随机变量 取XEXPX量 取值越集中；反之，方差 越大，概率 XDX 由切比雪夫不等式可以看出，若方差 XD第6页/共19页值较分散。由此，可以更进一步理解方差是5.1.2 5.1.2 大数定律大数定律 定理1 （切比雪夫定理的特殊情况）设随机变量 相互独立，且具有 ,21nXXX , 2 , 12iXDi 。作前 个随机变量n描述随机变量与其期望值分散程度的一个量。,nY的算术平均，记为,iXE相同的有限数学期望和方差：第7页/共19页则对于任意正数 恒有, 0,11niinXnY即11limlim1niinnnXnPYP

4、 ,11111nnXEnXnEYEniiniin所以证明,iXE , 2 , 12iXDi因为第8页/共19页 ,111221221nnnXDnXnDYDniiniin.112222nnYPn由切比雪夫不等式可得. 11limlim1niinnnXnPYP在上式中令 并注意到概率不能大于1，,n即得第9页/共19页 一般地，设 为一个随机变 ,21nYYY 定理1中， 是一个随机事件，nY等式表明，当 时，这个事件的概率趋,n于 1， 通常我们称序列 依概率 ,21nYYY收敛于 。量序列， 是一个常数，若对于任意正数a, 0. 1limaYPnn都有第10页/共19页 的算术平均 接近于 ,

5、21nXXXniiXn11数学期望 这种接近是., 2 , 1niXEi 限增加时， 将几乎变成一个常数。niiXn11则称随机变量序列 依概率收敛于 。 ,21nYYYa 定理 1 表明，当 很大时，随机变量 n条件下， 个随机变量的算术平均，当 无nn通俗地说，在定理 1 的概率意义下的接近。第11页/共19页 例如，在一个闭合容器内有很多气体分子，它们在不断地运动，每个气体分子的运动是随机的。对于单个气体分子而言，我们不能确定其在指定时刻的动能。但是，在一定的温度下，对于容器内的某一部分气体分子的动能的算术平均却几乎是一个常数。这一物理量和大数定理的结论是相吻合的。下面我们给出更一般的切

6、比雪夫定理。 定理2（切比雪夫定理）设随机变量 相互独立，并且具有有限的数12,nX XX第12页/共19页学期望和方差：,iiXEcXDi2i算术平均，记为 即,nYniinXnY11则对于任意正数 恒有, 0（ 为常数， ）前n个随机变量的c1,2,3i . 111lim11niiniinXEnXnPniinnXEnYP11lim第13页/共19页学期望值 附近。即说明算术平均值具有稳 nYE术平均后的 的值，将比较紧密地集中在其数nY 定理 2 的证明请读者参照定理1自行完成。定理 2 中要求方差 （ 为常cXDii2c数， ），即 是一致有界的。iXD1,2,3i 一个无穷小量。即当

7、充分大时，niinXnY11n因此，当 无限增大时， 是niinXnDYD11n的分布的分散程度是很小的。这表明，经过算 定性。第14页/共19页1limpnnPAn. 0limpnnPAn或 定理定理3 3 （伯努利定理）设在 次独立试n验中事件 发生的次数为 ，在每次试验AnA中事件 发生的概率为 ，则对于任意给定Ap的正数 ，恒有0第15页/共19页是 相互独立，且服从相同的 ,21nXXX显然有 由于 只依赖,21nAXXXn iX，10iXA 在第 i 次试验中不发生，A 在第 i 次试验中发生。., 2 , 1 i证明引入随机变量于第 次试验，而各次实验是独立的，于i., 2 , 1,1, ippXDpXEii（01）分布，即第16页/共19页由定理 1，得. 11lim1pXnPniin即1limpnnPAn又因为1pnnPpnnPAA. 0limpnnPAn故有第17页/共19页 伯努利定理是切比雪