Hermite矩阵与反Hermite矩阵

1、Hermite矩阵与反Hermite矩阵摘要Hermite矩阵是矩阵类中的一种特殊形式,它在矩阵理论中处于重要的地 位，尤其是在酉空间、酉变换及复系数二次型的应用中起着主导的作用，它一 方面是对实对称矩阵的推广，另一方面它在复矩阵的地位相当于实数在复数C 的地位，复矩阵中的Hermite矩阵与实对称矩阵在其性质和证明方法上都十分 的相似，本文主要从Hermite矩阵和反Hermite矩阵的定义、性质、基本定理和 Hermite矩阵的正定性四个方面讨论Hermite矩阵和反Hermite矩阵关键词：Hermite矩阵；反Hermite矩阵；正定性；酉矩阵.AbstractThe Hermite

2、matrix forms a special class of matrices in matrix theory.lt occupies an important position in the matrix theory and plays a leading role,especially in the unitary spacejinitary transformation and the application of the quadratic form of coefficient of polytropy.On the one hand,it is the promotion o

3、f the real symmetric matrix ,on the other hand,the staues it occupies in the complex matrix comes up to the position that real number in the plural form C. In the nature and methods of proof ,Hermite matrices and real symmetric matrix are very similar. This article is concerned about the definition,

4、nature,fundamental theorem of the Hemite matrix and anti-Hermite matrix and the positive definiteness of Hermite matrix.Key words ： Hermite matrix;Anti-Hermite matrix;Positive definite;Unitarymatrix目 录一、引言(01)二、Hermite矩阵和反Hermite矩阵的定义(01)三、Hermite矩阵的性质定理(-)Hermite矩阵的性质(02)(二)Heimite矩阵的定理(02)(三)Heimi

5、te矩阵的正定性(05)四、反Hermite矩阵的性质定理(-)反Hermite矩阵的性质(14)(二)反Hermite矩阵的定理(15)五、结论(20)参考文献(21)致谢(22)2/24Her mi te矩阵与反Her mite矩阵一、引言众所周知，矩阵理论在历史上至少可追溯到Sylvester与Cayley,特别是 Cayleyl858年的工作.近代数学的一些学科，如代数结构理论与泛函分析可以在 矩阵理论中寻到它们的根源，另一方面，随着计算机的广泛应用，矩阵理论在 不断地发展，矩阵已成为处理数值问题的有力工具.作为数学的一个重要分支，矩阵理论具有极为丰富的内容，在数学以及其 他科学技术领

6、域都有十分重要的应用，如数值分析、最优化理论、运筹学与控 制论、概率论与数理统计、力学、电学、信息科学、管理科学与工程技术等都 与矩阵理论有着密切的关系.对称矩阵是一类非常重要的矩阵，近年来，在矩阵 理论中，Hermite矩阵的应用越来越广泛，对其研究也取得很大的进展.在复矩 阵中，Hermite矩阵实际上是实对称矩阵的推广，它在复矩阵中的地位相当于实 数在复数中的地位，本文主要从Hermite矩阵和反Hermite矩阵的定义、性质， 基本定理以及Hennite矩阵正定性几个方面讨论Hennite矩阵和反Hennite矩阵 并给出了相关的证明，来加深对矩阵理论的理解.，从而能更好地使用这些工具

7、.二、Hermite矩阵和反Hermite矩阵的定义定义1设A是一个阶复矩阵，即AwC-, A”为A的共枕转置，=则将称A为Hermite矩阵.若A = -A"，则称之为反Hermite矩阵.定义 2设 A 是一个 阶Hennite矩阵，若对于任一非零的维复向量X ,均有XwAX>0，则称A为Hermite 正定矩阵.定义3设A是一个阶复矩阵，A为A的共飘转置，若则称A为正规矩阵.定义4设A是一个阶复矩阵，型为A的共辄转置，An A = AAn = E »则将称A为酉矩阵，它的行列式的绝对值等于1.三、Hermite矩阵的性质定理(一)Hermite矩阵的性质由Her

8、mite矩阵的定义可知，Hermite矩阵具有如下简单的性质】2 ：(1)对所有A 丁，则A +，AAn和AhA都是Hermite矩阵;(2)如果A是Hermite矩阵，则对正整数k, A人也是Hermite矩阵；(3)如果A是可逆Hermite矩阵，贝lj4一也是Hermite矩阵；(4)如果A, 6是Hermite矩阵，则对实数k, p , 乂+p氏也是Hennite矩 阵；(5)如果A , B是Hermite矩阵，则AB是Hennite矩阵的充分必要条件是 AB=BA;(6) A是Hermite矩阵的充分必要条件是对于任意阶方阵S, SAS是 Hermite 矩阵.(二)Hemite矩阵

9、的定理定理3-1若A是阶复矩阵，则A是Hermite矩阵的充分必要条件是对于 任意XWC", XAX是实数；证明必要性因为XAX是数，所以(X,lAX) = (XAX) = XuAhX = XnAX因此XAX是实数.充分性 因为对于任意 X, y G C% XAX, yAY , (X+y)A(X+Y)都是实数，而2/24(X+Y)A(X+y)= (X +y)A(X+Y) = XAX +XAY + yAX YnAY于是对任意x, recw, xAY+y"4X是实数，令 x=(o,o,o,0)7, y=(o,o,i,o,0),V_/VJATFj女则乂4丫 + "f =

10、 %+%是实数，这表明与与旬的虚部值相等，但符号相 反，即再令x =(o,.,o,/,o,.,o)7, y=(o,0。,0- wJV/k其中i = CT, xAY+yAX = 以+%是实数，则与与物的实部相等， 即Re(a.) = Rc(aQ因此ajk =3 ),% = 1,2,3,” 即A是Hermite矩阵.定理3-21,1 (Hermite矩阵的谱定理)设AwC"x"是给定的，则A是Hermite矩阵当且仅当存在一个酉矩阵U W C"""和一个实对角矩阵A C"x",使 得U4U=A,入)，其中入,均为实数，此外，4是

11、实Hermite矩阵(即实对称的)，当且仅当存在一个实正交矩阵 Pec"、”和一个实对角矩阵Aec"x"，使得p"” = a =力吆(入,为,),其中 均为实数.虽然Hermite矩阵的实线性组合总是Hermite矩阵，但它们的复线性组合就 不一定是Hermite矩阵，例如，如果A是Hermite矩阵，那么，只有当A = 0时 iA才是Hermite矩阵.另外，如果A和6是Hermite矩阵,那(AB)W = BhAh = BA ,因此,AS是Hermite矩阵,当且仅当A与8可交换.定理3-3设A为阶Hermite矩阵，则(i)A是正规矩阵且所有特征值

12、全是实数；(ii) A的不同特征值所对应的特征向量是互相正交的.证明(i ) A为阶Hermite矩阵，由定理3-2可知A必酉相似于实对角 矩阵A,即存在阶酉矩阵U,使得uhau = 其中A =%)，= 1,2,是A的是特征值，且Ai,A=A2 = AAh即A是正规矩阵.设A=A,人为A的特征值，非零向量q为入的特征向量，即Aa = An » aH Aa X。" a又Ac = (A11 a)a = (A。)" a = An"。所以Aal a =即A = A所以人为实数.(ii)设X, 是A的两个不同特征值，相应的特征向量分别为尤，y,则Av = Ax,

13、Ay = p.y从而y11 Ax= Xyl,x , xH Ay = y因为A是Hermite矩阵，A, 均为实数，则y11 Ax = /tyllx于是(X-ft)ylix = O由于AH，故x与y正交.定理3-4（Hermite矩阵的惯性定理）设”是阶Hermite矩阵，则” （复）合同与AA=一Iq，0而且p , 由H唯一确定.其中A称为H的规范型，/表示阶单位矩阵，p,q， 夕分别称为的正惯性指数、负惯性指数和符号差.注：由惯性定理导出的Hermite矩阵的正惯性指数、负惯性指数及符号差 等，不仅是代数学中的重要内容，而且在几何学、物理学中都有许多重要的应 用，构成几何对象及物理对象的“指

14、标”或“守恒量”.下面讨论一下Hermite矩阵的正定性.（三）Hermite矩阵的正定性在讨论Hermite矩阵的正定性之前，我们先来引入矩阵的UR分解定理及其引理.矩阵UR分解定理设则A可以唯一地分解为A = UR 或其中U, 3WUW R是正线上三角阵，均是正线下三角阵。（即R和®的主 对角线上元素全是正的）.引理若A是正线上三角阵，乂是酉矩阵，则A是单位阵.与实对称矩阵一样，同样我们可以利用Hermite二次型的正定，来定义Herm ite矩阵的正定.定义由个复变量演,士,七，系数为复数的二次齐式/ （N, W,£产X,（3-1）i=l j=其中%= ciji,称为

15、Hermite二次型.记Tl T2TnA= %a2n 4】an2 Clmi则A为Hermite矩阵.我们称矩阵A为Hermite二次型矩阵，并且称A的秩为 Hermite H次型的秩.于是,Hermite H次型（3T）可改写成f（x） = xuAx其中X =（X，S，/），因此，一个Hermite二次型与一个Hermite矩阵相对应.如果对任一组不全为零的实数不，七，都有/（彳&，天）>°（2。），则称该 二次型齐式是正定的（非负定的），并称相对应的Hermite矩阵A是正定的 （非负定的）.正定（非负定）矩阵具有如下基本性质：（1）单位矩阵/>0;（2）若A&

16、gt;0,数k>0,则加>0；（3）若 A>0, 3>0,则 4 + 8>0；（4）若 A>0, B>0,则 A + 6>0.显然这些基本性质可以由定义直接推导得出，下面我们给出Hermite矩阵A 正定（半正定）的条件.定理3-5设A是阶Hermite矩阵，/（x） = xAx,则下列命题等价：（1）A是正定矩阵；（2）对任意阶可逆矩阵尸，尸A尸都是Hermite正定矩阵；（3） A的个特征值均为正数；（4）存在阶可逆矩阵尸，使得尸AP = /；（5）存在阶可逆矩阵。，使得A=QQ；（6）存在正线上三角矩阵也使得A = RR,且分解是唯一的；（

17、7）存在阶可逆Hermite矩阵S,使得A=52.证明首先按=> =（4）=（5）0（6） = （1）进行证明.今对任意阶可逆矩阵尸及任意,£C”且)，=0，x=Py,则xWC”且xkOyH(P,AP)y = xHAx>0故P"AP是Hermite正定矩阵；(2)今(3)对Hermite矩阵A ,存在酋矩阵U使得(3-2)其中%,”,入为A的特征值，由定理3-5 (2)知中做(%,%,人)是正定矩 阵，则入,%均为正数；(3)=>(4)因为4的特征值入分，,入均为正数,令卜刖.言忘则/fU'AUq =市 ag(%,%,，入川=1令。=必，代入上式得

18、PnAP=I,尸是可逆矩阵.(4) = (5)因为存在阶可逆矩阵P使得PAP=/，则令。=尸，有A=QQ(5)今(6)因为A=QhQ ，其中。为可逆矩阵，根据矩阵UR分解定理得到Q=R,其中q是酉矩阵，R是正线上三角阵，因此A = QHQ = NU：UiR = RHR现证分解的唯一性：设A有两种正线上三角分解，即A=R,tR=R；RlE二(RHR：RiR-i =(凡R")(凡火)容易验证NR"仍是上三角阵，乂由上式知RR-是酉矩阵，根据引理可得 RR- = E ,即凡=R.(6) (1)因为A=RR,所以/(x) = xuAx = xl,RnRx = (&) (Rx

19、)由于R为正线上三角阵，故当xnO时，G工0,于是/(x) = xH Ax = Rx)u (Rx) > 0此即/(x)是正定的.下面证明(5)今，台(5)= 因为存在阶可逆矩阵Q,使得A = QQ,则对任意xwC"且XK0都有Qx工0,从而X11 Ax = (Qx)"(0x) >0.故A是正定矩阵.今(7)设入为A的任一特征值，x为相应的特征向量，则Ax = Ax因为A是正定矩阵，所以入dx=xAr>0,从而入>0.因此A的特征值均为正 数.由(3-2)得A = Udiag (4,”,X)U11其中入,为,，入为A的正特征值.令s=udiag(舟 n

20、，则S是阶可逆Hermite矩阵，并且A = S?.(7)=> 因为存在阶可逆Hermite矩阵S使得A = S2 = ss ,类似于(5) => (1)即知A是正定矩阵.定理3-6设A是阶Hermite矩阵，则下列命题等价(1)A是非负定矩阵；23 /24(2)对于任何阶可逆矩阵P,都有PAP是Hermite非负定矩阵；(3) A的个特征值均为非负数；(4)存在阶可逆矩阵P,使得PAP= /r :,其中r=加成(A)；(5)存在秩为的阶矩阵。使得A = QQ.证明 一今的证明与定理1相似；二(4)存在满足其中r = m成(A),AP = diag则puhaur =令尸=uq,则(

21、4)=>(5)由(4)可得A = (P尸。OpT=(pT)，H 0 00 /其中C(5) => (1)由于 4 =。，/ xhax-. 因为。we；'"，所以方程组QX0,令1 1111 - 1 . 1r- 9 r， r-'星'''框n a(Ir 0cag(Ll,.,L0,.,0)= 0 0 b 亿°)P" AP = r 0 001 Ir 0) . (Ir 01 .f IrJ 八八r Pl = r P r P-1 =QUQ 0 0 00 00 0)=g °|p-七 cnxni攵= Xf,QHQX=(QX

22、)H(QX)=0有非零解，即存在XkO,满足。x=o,从diag(,“XhAX =(QX)h(QX)>OX所以A是半正定的.定理3-7 ”阶Hermite矩阵A为正定(非负定)矩阵的充分必要条件是A 的所有特征值都是正数(非负数).证明 必要性 设A>0(A20),人是A的任一特征值，1是对应的单位特 征向量，于是A = A<>0(>0)充分性 由定理3-2知，存在酉矩阵V,使得A ="市 g(',为，%»若A的特征值入(i = l,2,)都为正数(非负数)，则对任意维非零向量 X,都有X,AX=(VX)wJ/(A1,A2,-,AJ(V

23、X) = y/J/(A1,A2,.,A,I)r>0(>0)式中 y = VXHO,从而 A>0(A20).定理3-8 阶Hermite矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在阶非奇 异矩阵P,使得A=PP.证明充分性显然成立.必要性 由定理3-2知，存在酉矩阵V,使得A = V H diag(, A2, , A, )V(3-3)若A>0,则由定理3-7可知，%(i = l,2,令P = diag(a，6,，6*则尸非奇异，且由(3-3)式得A=P尸.若将条件中的“非奇异”去掉就得到A为非负定矩阵的充分必要条件，即 得至IJ：定理3-9 阶Hermite矩阵A为非负定矩阵的充

24、分必要条件是存在阶矩阵P，使得A=PP.推论1若A>0,则A可逆且A-0；推论2若4>0,。是任一阶非奇异矩阵，则CACO：推论3若A2O, C是任一矩阵，则CAC20.定理3-10 阶正定Hermite矩阵A的各阶顺序主子矩阵都是正定矩阵.证明 设4是A的k阶顺序主子矩阵，；是任意攵维非零向量 /（l<k <n）,令x="，其中。为一攵维零向量，将A作如下分块： 0AGn4G" “ xAkx = (x ,0 )于是= xllAx 0即4是正定矩阵.定理3-11 阶Hermite矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的顺序主 子式均为正数，即1Al>

25、;0,攵= 1,2,证明 必要性 当A>0时，4的行列式daA>0,这是因为daA等于A的 特征值的乘积，由定理3-10知A的各阶顺序主子式都是正定矩阵，故它们的行 列式均为正数，即A的顺序主子式均为正数.充分性对矩阵阶数作归纳法，阶为1时结论显然成立，假设阶为-1时 结论成立，对阶Hermite矩阵A ,我们作如下分块A 一 ，a4,J其中为A的一1阶顺序主子矩阵，因为4非奇异，令pj* -A；>01P” AP =cimt - a11根据归纳假设，有A0,于是>。,（ |A|=|4|尸|=1）， |Ar 1|所以A>0,这说明了 阶时结论成立，从而证明了充分性.

26、定理3-12 阶Hermite矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的所有主 子式全大于零.证明 充分性由定理3-11可得必要性 对A的任一攵阶主子式只要适当（若干次）对调|A"的行和相应的列，可使上述的成为一个攵阶 顺序主子式，即存在可逆矩阵尸，使尸的k阶顺序主子式为因为 A>0,由前面推论2知尸AP>0,从而由定理3-11有|A>0.定理 3-13 设A ,8都是阶 Hermite矩阵，且8>0,则存在非奇异矩阵。，使得QBQ=I , Q"AQ = diag(W；M证明 由定理3-8知，存在非奇异矩阵P,使得8 = PP,由此得(P/) bpa=i又

27、（P 了“尸亦为Hermite矩阵，故有酉矩阵U ,使（3-6）u H P（P）H AP-lU = diag （入人,）O = Ku,则。非奇异，从而由（3-4）和（3-5）知（3-6）成立.定理3-14设A 是正定（非负定）Hennite矩阵，则存在唯一的正定（非负定）Hennite矩阵 H ,满足 A=2.证明 因为A是正定（非负定）Hermite矩阵，故 A = Udiag （%,%, Xn）U H其中U是酉矩阵，入,，入全大于零（非负）.令H = Udiag（3,丙，,仄川显然"2=4现证”是唯一的.设还有一个正定Hermite矩阵"，满足A=”：，故可设H = U

28、/iag（，爪，隰）U；，出0由A = H;得到=%,心=%,，"=% ,于是乩=U】diag（M，6，.：U，根据A="2 = h；,所以UdiagOh，也）U11 = U diag （/，出，下面进一步证明Udiag（。,丙,A；）U = Uiag（6,必 事实上力跖（入入,入）。乜=。乜山”（入，”,，）（3-7）设西矩阵AiUHUl= P：Pn 代入（3-7）得1 P 1% 12 1 Pin%2i Pn PmA“l Pn2 人山叫 比较等式两端得pij =入 jptj，当人产入i 时 ,/% = 0 为=%时，6" ="7/%，于是:小 g（a，

29、n，肉）"a 即P12 PnP22 PmPnl Pnn,Px %/七%P；=入"办 %22 ,Pm Ph %P2 iPnn ;（，J=L2,/）= u"q 如 g（"，n，,C）H = H1四、反Hermite矩阵的性质定理（一）反Hermite矩阵的性质根据反Hennite矩阵的定义可知，不难得出反Hermite矩阵具有如下一些性质1 2 3（1）对所有Awd A是反Hermite矩阵；（2）如果A是反Hermite矩阵，则A是反Hermite矩阵；（3）如果A是反Hermite矩阵，则对正整数k,4”是Hermite矩阵；（4）如果A是反Hennit

30、e矩阵，则A的奇数次方也是反Hennite矩阵；（5）如果A, 3是反Hennite矩阵，则对实数攵，p ,姑+也是反Hermite矩阵；(6)如果A , B是反Hermite矩阵，则A8是反Hermite矩阵的充分必要条 件是46 = 一区4；(7) A是反Hermite矩阵的充分必要条件是对于任意阶方阵S, SAS 是反Hermite矩阵.(8)偶数阶反Hermite矩阵的行列式为实数，奇数阶反Hermite矩阵的行列 式为复数；(9)若反Hemiite矩阵A可逆，则也是反Hermite矩阵(10)若是Hermite矩阵,则滔是反Hermite矩阵(i = J 1 )；(11)若 A 是反

31、 Hermite 矩阵，则，4 是 Hermite 矩阵(i=Q)；(12)任意AwCnx”可写成A=；(A + A") +:(A A")三A) + S(A),其中H(A) = )(A + A")是A的Hermite部分，而S(4)=4")是A的反 22Hermite 部分：(二)反Hermite矩阵的定理定理4-1每个Ae C"'"可以唯一地写成4=5 +犷，其中S和r都是Hermite矩阵.证明把A写成A=：(A + A) + "(t72)(A 4)由Hennite矩阵和反Hennite矩阵的基本性质可知，S =

32、 -(A-A")和2T = (-i/2)(A-AH)都是Hermite矩阵，根据唯一性论断，我们知道，如果A=E + /,其中E和尸都是Hermite矩阵，那么2S = A + 屋=(E + it) + (E + iF)11 =E + iF + Eu -iFH = 2E因而e=s.类似地可以证明尸二r.定理4-2 任一个nxn阶矩阵都可表示为一个Hermite矩阵和一个反 Hermite矩阵之和.证明 设任一个"X”阶矩阵3,令其中纥8+8 BB .,B.=,由十2B -B ""F"BeB-B2显然纥B + B-是Hermite矩阵，5 =是反

33、 Hermite矩阵.定理4-3设AnO,若A* （A的伴随矩阵）是偶数阶反Hermite矩阵，则(i ) A一是反Hermite矩阵;(ii ) A 是反Hermite矩阵.AnO, A 是 2m ( ni )阶反Hermite矩阵,即 A = 4*,由反Hermite矩阵的性质（8）知4* WR, 乂AA =4 4=同七，|川二0故两边取行列式，得I . i2m1r= |A| CRA-14H,=2= f) = = -A囿 囿 囿从而4 i是反Hennite矩阵;()令4 = 8,由于881=£,则 BB-1 =E ,从而(3") 8 = £,进而一87万=七，

34、于是万=一3,因而A是反Hermite矩阵.定理4-4若A是反Hermite矩阵，则(i)A的主对角线上的元素均为。或纯虚数；(ii )对任何U 6 C,x/, UAU还是反Hermite矩阵.证明 (i )设复矩阵A=%，则)nxn- 4 = 一七 ，i,/ = l,2,/J nxn由于A是反Hermite矩阵,即A = 了，故当i = j时,% =点w C有%=0或为纯虚数即A的主对角线上的元素均为。或纯虚数；(ii)对任意Uwe">",记8=U4万，下证8 =万，因为A是反Hermit e矩阵，即4 = 一才，故 一万=一行=-Uau =- uU7 =U -A

35、'U =UMf = B 这就是说，对任意UwC'x", A是反Hermite矩阵，U4U还是反Hermite矩阵.推论4若A是反Hermite矩阵，则对任意UwC"'",矩阵，4万的主对角线上的元素均为0 或纯虚数.定理4-5对任意AWC"'，存在一个阶酉矩阵U和一个上三角矩阵R,使得uhau = r其中R的对角元素是A的特征值.定理4-6若A是阶反Hermite矩阵，则存在一个阶酉矩阵U ,使得uhau = d其中。= dbgC,%，入），入.（i = L2,是A的纯虚数特征值.证明 由定理4-5可知，存在一个阶酉矩阵P

36、,使得A = PRPH其中R是上三角矩阵，记%小i° r22 r23 . r2nR= 0 0七 000 . rnil由于 AAh = A" A,令 RhR = RRH，即L 0 0邑伯大,L伯匕0 k弓2 ：°/r2n°与演42r22*,C :0 大仁人味0 0 r fin°0小4仁.因此R = dhg（j,匕2-，%），即存在阶酉矩阵U,使得0 0U"AU = D = diag（%,%,，人）由于A=A,有。=。，即A, =, i = 1,2,从而入。= 1,2,是纯虚数.定理4-7设A为阶反Hermite矩阵，则（i ） A的特征

37、值均为纯虚数；（11） A的不同特征值所对应的特征向量相互正交.证明 （i ）由定理4-4可以直接得出.（ii）设是A的两个不同特征值，相应的特征向量分别为X，y,则Ax = Ax, Ay = ft.y从而yHAx = XyHx ,Ay =因为A是反Hennite矩阵，* “均为纯虚数，则yH Ax = fiyHx于是(A /z)>,Hx = O由于人工，故x与y正交.定理4-8设A、5都是Hermite矩阵或都是反Hermite矩阵，则(i ) A3 + A4 为Hermite矩阵；(ii ) AB HA 为反Hermite矩阵.证明 (i )设A、3都是Hermite矩阵，即A” =

38、 A , 8 = 8 ,则AB-BA = AhBh +8" a”=BA H + AB H=BA + AB 即 AB + BA 为Hermite矩阵;同理可证当A、B都是反Hermite矩阵时ABBA为Hermite矩阵.(ii )当 A、B 都是Hermite矩阵，即 4” = A , 8 = 3 ,则AB-BA = AhBh -BhAh = BA H - AB ”=BA-AB =一 AB-BA ”即ABRA是反Hermite矩阵;同理可证当A、3都是反Hermite矩阵时AB 84为反Hermite矩阵.定理4-9若A、B都是反Hermite矩阵，则AB为Hermite矩阵的充分必要条件是AB = BA ,即A、8可交换.证明 因为A、3都是反Hermite矩阵，则4 = A”，B =