中考数学专题复习16__矩形折叠问题

1、中考数学专题复习16矩形折叠问矩形折叠问题一.知识要点折叠问题实质是轴对称问题，其主要特征有：1图形的全等性：重合部分是全等图形，对应边、对应角相等。2点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分。问题化归：1 直角三角形的三边关系（勾股定理）2 图形（三角形或四边形）的面积3 相似三角形的对应边成比例。由以上等量关系得出方程解决问题。二.例题精选 例1在长方形ABCD中，AB=8，BC=10，将图形沿着AE对折，使得D点落在BC边上的F处，试求EC的长. 思路分析：找到由折叠产生的所有等量关系，其中也需要用到方程思想（设未知数，并表示出其他线段长度） 例2在长方形ABCD中，AB=4，BC

2、=8，将图形沿着AC对折，如图所示：（1）请说明ABFCFF （2）求 思路分析：在多问设置的证明题中，前几问往往是为后面的问题服务的；所以得到全等之后，也就是得到了多组等量关系，此时我们再来设未知数，自然可以表示出其他线段了. 例3. 在长方形ABCD中，AB=3，BC=5，将图形沿着EF对折，使得B点与D点重合。 （1）说明DE=DF （2）求 （3）求EF的长度思路分析：（1）要说明DE=DF，有两种思路： 可说明全等； 可说明DEF是等腰三角形，DE、DF是两腰所以这个题目既要有能力说明全等也要有能力说明等腰 例4 如图，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边A

3、B、CD上)，使点B落在AD边上的点 M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P， 连接EP(1)如图，若M为AD边的中点， ,AEM的周长=_cm； 求证：EP=AE+DP；(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合)，PDM的周长是否发生变化?请说明理由思路分析：（1）设AE=x，由折叠的性质可知EM=BE=12-x，在RtAEM中，运用勾股定理求AE；过点F作FGAB，垂足为G，连接BM，根据折叠的性质得点B和点M关于EF对称，即BMEF，又AB=FG，A=EGF=90°，可证ABMGFE，把求EF的问题转化为求BM；（2）设AE=x，AM=y，则BE=EM=1

4、2-x，MD=12-y，在RtAEM中，由勾股定理得出x、y的关系式，可证RtAEMRtDMP，根据相似三角形的周长比等于相似比求DMP的周长 三.能力训练1.如图所示，如果将矩形纸沿虚线对折后，沿虚线剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是（ ）. A2 B22 C12 D182. 如图，已知矩形纸片ABCD，点E 是AB的中点，点G是BC上的一点，BEG>60°，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与BEG相等的角的个数为( )A4 B3 C2 D13.如图所示，把一长方形纸片沿MN折叠后，点D，C分别落在D，C的

5、位置若AMD36°，则NFD等于（ ）（A）144° （B）126° （C）108° （D）72°4.如图，矩形纸片ABCD中，AB4，AD3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，记与点A重合点为A，则ABG的面积与该矩形的面积比为（ ）A B C D 第4题图 第5题图5.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的处，点A对应点为，且=3，则AM的长是（ ） A1.5 B2 C2.25 D2.5 6. 如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABC

6、D沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A，D处，则整个阴影部分图形的周长为（ ）A18cm B36cm C40cm D72cm7. 如图，将边长为8的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ）A3cm B4cm C5cm D6cm 8. 小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图，AD>CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图）如果第二次折叠后，M点正好在NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值

7、为 9.如图矩形纸片ABCD，AB5cm，BC10cm，CD上有一点E，ED2cm，AD上有一点P，PD3cm，过P作PFAD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是_cm. 10.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B的位置，AB与CD交于点E.（1）试找出一个与AED全等的三角形，并加以证明.（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PGAE于G，PHEC于H，试求PG+PH的值，并说明理由. 思维拓展：1. 如图，折叠矩形的一边AD，折痕为AE，点E在边CD上，折叠后点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，AD=10cm，

8、求AE的长. 2.如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处已知折痕,且 ，求直线CE与x轴交点P的坐标； 3.已知：在矩形AOBC中，OB=4,OA=3分别以OB,OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系F是边BC上的一个动点（不与B,C重合），过F点的反比例函数的图象与AC边交于点E请探索：是否存在这样的点F，使得将CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由 4.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动，设AP=，现将纸片折叠，使

9、点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。（1）当时，折痕EF的长为；当点E与点A重合时，折痕EF的长为；（2）请写出使四边形EPFD为菱形的的取值范围，并求出当时菱形的边长；（3）令，当点E在AD、点F在BC上时，写出与的函数关系式。当取最大值时，判断与是否相似？若相似，求出的值；若不相似，请说明理由。 5.问题解决 如图（1），将正方形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点，重合），压平后得到折痕当时，求的值 类比归纳在图（1）中，若则的值等于 ；若则的值等于 ；若（为整数），则的值等于 （用含的式子表示）联系拓广 如图（2），将矩形纸片折叠，使点落在边上一点（

10、不与点重合），压平后得到折痕设则的值等于 （用含的式子表示） 参考答案例1 由题意可得：AD=BC=10，又由折叠可知：AF=AD=10 DE=EF 在RtABF中，根据勾股定理可得： BF=6， FC=10-6=4。 设DE=，则，故，在RtCEF中，根据勾股定理可得：，解得：即：DE=5另解：本题亦可以由长方形的面积S长方形ABCD=SABF+SADE+SAEF+SECF列出方程：解得例2 解：（1）由题意可得：AD=BC=8，CD=AB=4又由折叠可知：AE=AD=8，CE=CD=4，E=D=90° 在ABF与CEF中： B=E=90° AFB=CFE（对顶角相等）

11、AB=CE=4 ABFCFF（AAS）（2） ABFCFF，AF=FC，BF=EF设EF=，则BF=， 在RtCEF中，由勾股定理可得：解得： 即EF=3 此题中对于ABF，同样可以通过设未知数，利用勾股定理求解。 例3 解：（1）方法一：由题意可得：CD=AB=3，ADC=90°由折叠可得：DG=CD=3，G=C=90°，GDF=B=90° 1+2=90°，3+2=90° 1=3故在DEG与DCF中：G=C（已证）DG=CD（已证） DEGDCF（ASA）1=3（已证） DE=DF 方法二： 长方形ABCD ADBC 4=6（两直线平行，内错

12、角相等）又由折叠可知4=5 5=6（等量代换） DE=DF（等角对等边）（2）求 解：由折叠可知：EG=AE设，则，故在RtDEG中，根据勾股定理可得：解得： 故EG DE= 例4 能力训练答案1.B 2. B 3. B 4. C 5. B 6. B 7. A 8. 9. 10.（1）AEDCEB证明：四边形ABCD是矩形，BC=BC=AD，B=B=D又BEC=DEAAEDCEB（2）延长HP交AB于M，则PMAB1=2，PGABPM=PGCDAB2=31=3AE=CH=8-3=5在RtADE中，DE=3AD=4PH+PM=ADPG+PH=AD=4. 思维拓展答案：1.52.(16,0)3.

13、设存在这样的点F，将CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的M点，过点E作ENOB，垂足为N由题意得：EN=AO=3，EM=EC=4-1/3k，MF=CF=3- 1/4k，EMN+FMB=FMB+MFB=90°，EMN=MFB又ENM=MBF=90°，EMNMFB EN/MB=EM/MF， 3/MB=(4-1/3k)/(3-1/4k)=4(1-1/12k)/3(1-1/12k)，MB= 9/4MB²+BF²=MF²， (9/4)²+(k/4)²=(3-1/4k)²，解得k= 21/8BF= k/4=21/32存在符合条件的点F，它的坐标为（4， 21/32）4. 解：（1）3， （2）当时，如图1，连接，为折痕，令为，则，在中，解得，此时菱形边长为（3）如图2，过作，易证，当与点重合时，如图3，连接，显然，函数的值在轴的右侧随的增大