第十四章检测题

1、第十四章检测题第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2011年四川绵阳中学)设曲线y在点(3,2)处的切线与直线axy10垂直，则a()A. 2B. C. D. 2解析y，由题意知f(3)，即，a2.答案B2(2010年北京石景山)已知函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的图象最有可能的是 ()解析由f(x)的图象知0和2是f(x)的极值点，且x>0时，f(x)单调递减，故选A.答案A3(2010年辽宁)已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是()A

2、.0，) B，)C(， D，)解析y，y.ex>0，ex2，y1,0)，tan1,0)，又0，)，)，故选D. 答案D4(2010年全国)若曲线yx在点(a，a)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a()A64 B32C16 D8解析yx，切线的斜率k·a.切线方程为yaa(xa)从而直线的横、纵截距分别为3a、a.所以三角形的面积S×3a×aa，由a18得a64.答案A5已知函数f(x)x3ax2bxc，x2,2表示的曲线过原点，且在x±1处的切线斜率均为1，给出以下结论：f(x)的解析式为f(x)x34x，x2,2；f(x)的极值点

3、有且仅有一个；f(x)的最大值与最小值之和等于0，其中正确的结论有()A.0个 B1个C2个 D3个解析由题得：c0，f(x)x3ax2bx，f(x)3x22axb，f(x)x34x.f(x)3x240，知极值点为x±2,2，从而知正确答案C6函数f(x)(x21)32的极值点是()A. x1 B. x1C. x1或1或0 D. x0解析f(x)x63x43x21，则由f(x)6x512x36x0，得x1或x1或x0，由f(x)6x512x36x6x(x1)2(x1)2，知当x(，1)时，f(x)<0；当x(1,0)时，f(x)<0；当x(0,1)时，f(x)>0；

4、当x(1，)时，f(x)>0.所以f(x)在(，1，1,0上单调递减，在0,1，1，)上单调递增因此只有x0为极小值点，x1和x1都不是极值点答案D7函数f(x)x33x1在闭区间3,0上的最大值、最小值分别是()A1，1 B1，17C3，17 D9，19解析用导数法解，先求极值，再求最值，令f(x)3x230，得x±1.f(1)1313，f(3)17，f(0)1.最大值为3，最小值为17.答案C8函数f(x)cos2x2cos2的一个单调增区间是()A. (，) B. (，)C. (0，) D. (，)解析解法一：f(x)cos2xcosx1，f(x)2sinxcosxsin

5、xsinx(12cosx)，令f(x)>0结合选项，故选A.解法二：把选项中特殊角代入验证，故选A.答案A9(2011年江西九校)函数f(x)3xx3在区间(a212，a)上有最小值，则实数a的取值范围是()A. (1，) B. (1,4)C. (1,2) D. (1,2解析f(x)3xx3，f(x)33x23(x1)(x1)，函数在(，1)上为减函数，在1,1上为增函数，在(1，)上为减函数，要使函数f(x)3xx3在区间(a212，a)上有最小值，则实数a满足1<a2，故选D.答案D10(湖南卷·理6)设f0(x)sinx，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，

6、fn1(x)fn(x)，nN*，则f2005(x)()Asinx BsinxCcosx Dcosx解析f1(x)cosx；f2(x)sinx；f3(x)cosx；f4(x)sinx；f5(x)cosxf2005(x)cosx.答案C11函数yf(x)在一点的导数值为0是函数yf(x)在这点取极值的()A充分条件 B必要条件C充要条件 D必要非充分条件解析对于f(x)x3，f(x)3x2，f(0)0，不能推出f(x)在x0取极值，反之成立答案D12(2010年江西)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)0)，则导函数y

7、S(t)的图象大致为()解析当五角星匀速地升出水面，五角星露出水面的面积S(t)单调递增，则S(t)>0，导函数的图象要在x轴上方，排除B；当露出部分到达图中的B点到C点之间时，S(t)增长速度变缓；S(t)图象要下降，排除C；当露出部分在B点上下一瞬间时，S(t)突然变大，此时在B点处的S(t)不存在，排除D，而A符合条件，故选A.答案A第卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中横线上)13(2010年江西九校)已知曲线f(x)3xcos2xsin2x，且af()，f(x)是f(x)的导函数，则过曲线yx3上一点P(a，b)的切线方程

8、为_解析f(x)3xcos2xsin2x，f(x)32sin2x2cos2x，af()321，又点P在曲线yx3上，则b1，根据yx3，y3x2，则过P的切线的斜率为1，所以过yx3一点P(1,1)的切线方程为xy0，故填xy0.答案xy014函数yf(x)x3ax2bxa2在x1时，有极值10，那么a，b的值为_答案a4，b1115如图是yf(x)导数的图象，对于下列四个判断：f(x)在2，1上是增函数；x1是f(x)的极小值点；f(x)在1,2上是增函数，在2,4上是减函数；x3是f(x)的极小值点其中判断正确的是_答案16若函数f(x)x3ax在R上为增函数，则a的取值范围是_解析f(x

9、)3x2a，f(x)在R上为增函数，3x2a0在xR时恒成立a3x2恒成立，即a(3x2)min0，当a0时，f(x)3x2，只有f(0)0；x0时，f(x)>0，因此f(x)在R上也是增函数答案a0三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17(10分)已知函数f(x)x3x22ax在点x1处取极值，且函数g(x)x3x2ax在区间(a6,2a3)上是减函数，求实数a的取值范围解f(x)x3bx2(2a)x2a，由f(1)0，得b1a，当b1a时，f(x)x3(1a)x2(2a)x2a(x1)(x2)(xa)，如果a1，那么x1就只是导函数值为

10、0的点而非极值点，故b1a且a1.g(x)x3bx2(a1)xax3(1a)x2(a1)xa(xa)(x2x1)当x<a时，g(x)<0，g(x)在(，a)上单调递减，(a6,2a3)(，a)，a6<2a3a，故所求a的范围为3<a3.综上可知a的取值范围应为3<a3且a1.18(12分)设函数f(x)ax(a，bZ)，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y3.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点的切线与直线x1和直线yx所围三角形的面积为定值，并求出此定值解(1)f(x)a，于是解得或因为a，bZ，故f(x)x.(2)证明：在曲

11、线上任取一点(x0，x0)由f(x0)1知，过此点的切线方程为y1(xx0)令x1，得y，切线与直线x1的交点为(1，)令yx，得y2x01，切线与直线yx的交点为(2x01,2x01)直线x1与直线yx的交点为(1,1)从而所围三角形的面积为|2x011|2x02|2.所以，所围三角形的面积为定值2.19(2010年天津)已知函数f(x)ax3x21(xR)，其中a>0.(1)若a1，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)若在区间上，f(x)>0恒成立，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)x3x21，f(2)3；f(x)3x23x，f(2)6.所以曲线yf(x

12、)在点(2，f(2)处的切线方程为y36(x2)，即y6x9.(2)f(x)3ax23x3x(ax1)令f(x)0，解得x0或x.以下分两种情况讨论：若0<a2，则.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0，)f(x)0f(x)极大值当x时，f(x)>0等价于即解不等式组得5<a<5.因此0<a2.若a>2，则0<<.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x0f(x)00f(x)极大值极小值当x时，f(x)>0等价于即解不等式组得<a<5或a<.因此2<a<5.综合和，可知a的

13、取值范围为0<a<5.20(12分)(2010年重庆)已知函数f(x)ln(x1)，其中实数a1.(1)若a2，求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)若f(x)在x1处取得极值，试讨论f(x)的单调性解(1)f(x).当a2时，f(0)，而f(0)，因此曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y()(x0)，即7x4y20.(2)因a1，由(1)知f(1)，又因f(x)在x1处取得极值，所以f(1)0，即0，解得a3.此时f(x)ln(x1)，其定义域为(1,3)(3，)，且f(x)，由f(x)0得x11，x27.当1<x<1或x>7时，f(

14、x)>0；当1<x<7且x3时，f(x)<0.由以上讨论知，f(x)在区间(1,1，7，)上是增函数，在区间1,3)，(3,7上是减函数21(12分)设函数f(x)ax3bx2cxd(a，b，c，dR，a>0)，其中f(0)3，f(x)是f(x)的导函数(1)若f(1)f(3)36，f(5)0，求函数f(x)的解析式；(2)若c6，函数f(x)的两个极值点为x1，x2，满足1<x1<1<x2<2.设a2b26a2b10，求的最小值解(1)解法一f(0)3，d3.由题意，知f(x)3ax22bxc，由f(1)f(3)36，知直线x1是二次函数

15、f(x)的图象的对称轴，又f(5)f(3)0，故x13，x25是方程f(x)0的两根设f(x)m(x3)(x5)，将f(1)36代入，得m3，f(x)3(x3)(x5)3x26x45，比较系数得a1，b3，c45，故f(x)x33x245x3.解法二f(0)3，d3，f(x)3ax22bxc.由题意，得解得故f(x)x33x245x3.(2)f(x)ax3bx26x3，f(x)3ax22bx6.又x1，x2是方程f(x)0的两根，且1<x1<1<x2<2，a>0，则即则点(a，b)的可行域如图所示，(a3)2(b1)2，的几何意义为点P(a，b)与点A(3，1)的

16、距离的平方观察图形知点A到直线3a2b60的距离的平方为的最小值，故min.22(12分)(2010年福建)已知函数f(x)x3x2axb的图象在点P(0，f(0)处的切线方程为y3x2.(1)求实数a，b的值；(2)设g(x)f(x)是2，)上的增函数()求实数m的最大值；()当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线yg(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由解解法一：(1)由f(x)x22xa及题设得即(2)()由g(x)x3x23x2得g(x)x22x3.g(x)是2，)上的增函数，g(x)0在2，)上恒成立，即x2

17、2x30在2，)上恒成立设(x1)2t.x2，)，t1，)，即不等式t20在1，)上恒成立当m0时，不等式t20在1，)上恒成立当m>0时，设yt2，t1，)因为y1>0，所以函数yt2在1，)上单调递增，因此ymin3m.ymin0，3m0，即m3.又m>0，故0<m3.综上，m的最大值为3.()由()得g(x)x3x23x2，其图象关于点Q成中心对称证明如下：g(x)x3x23x2，g(2x)(2x)3(2x)23(2x)2x3x23x，因此，g(x)g(2x).上式表明，若点A(x，y)为函数g(x)的图象上的任意一点，则点B也一定在函数g(x)的图象上，而线段AB中点恒为点Q，由此即知函数g(x)的图象关于点Q成中心对称这也就表明，存在点Q，使得过点Q的直线若能与函数g(x)的图象围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等解法二：(1)同解法一(2)()由g(x)x3x23x2得g(x)x22x3.g(x)是2，)上的增函数，g(x)0在2，)上恒成立，即x22x30在2，)上恒成