格林函数法PPT学习教案

1、会计学1格林函数法格林函数法高斯公式Szn,Ryn,Qxn,PVzRyQxPSdcoscoscosd其中n为S的外法线方向。（1）取zvuR,yvuQ,xvuP第1页/共160页Szn,zvuyn,yvuxn,xvuVzvuzyvuyxvuxSdcoscoscosd整理得SnvuVzvzuyvyuxvxuVvuSddd于是得到第一格林公式Vvu-SnvuVvuSdgradgraddd（2）得第2页/共160页同理，有Vvu-SnuvVuvSdgradgraddd（3）将上二式两边相减得第二格林公式SnuvnvuVuv-vuSdd（4）第3页/共160页SnvuVuvuSdd在公式（4）中SSn

2、vVvddSnuvnvuVuvVvuSddd若令 v=(x,y,z)，并在边界上取 v=0，可得若令u=1，可得第4页/共160页平面格林公式CDyQxPyPxQddd或写成对弧长积分的形式（5）（6）其中 n =(n1,n2)为边界曲线C的单位外法线向量。C21DsPnQnyPxQdd第5页/共160页由公式（6）可推导推导出，平面第二格林公式CDsnuvnvuuv-vudd（7）（8）其中n为边界曲线C的外法线向量。snxs,ny21dddd关于边界曲线弧长与坐标，有如下微分关系第6页/共160页ddDDuv-vuyPxQ公式（6）左边等于设yuvyvuPxuvxvuQ,第7页/共160页

3、公式（6）右边等于C21C21snyuvyvunxuvxvusPnQndd如是证得公式（8）。CC2121snuvnvusnyunxuv-nyvnxvudd第8页/共160页在公式（8）中若令 v=(x,y)，并在边界上取 v=0，可得若令 u=1，可得CDDsnuvnvuuvvudddCDsnvuuvuddCDsnvvdd第9页/共160页CDsnuvnvuuv-vudd令yvuyuvu,xuvxvuu12由三维Stokes环流定理可得二维第二格林公式第10页/共160页定义 1 设L为线性微分算子，称方程 LU=(M-M0)的解U(M,M0)为方程 LU=0 或LU=f(M) 的解本解解本

4、解，其中M为区域内任意一点，M0为中的任意一个固定点。 第11页/共160页解 由定义 1 可知，即求U使其满足方程000,zzyyxxU以固定点M0为原点，建立球坐标，并假设U与,无关，方程化为0, 0122rrUrrrUdddd其中求解常微分方程可得（1）222zzyyxxr000第12页/共160页rrBU-B,rUrdddd22考虑到基本解在 r=0 处应具有奇异性，取 A = 0。为进一步确定B值，对式（1）两边进行体积分得1d,dVz-zy-yx-xVU000利用格林公式，有1ddSnUVUSrBAU第13页/共160页BSrBSrUSnUSSS4ddd2所以B41最后得三维拉普拉

5、斯方程的基本解rU41取边界S 为球面，其半径为 r，则有第14页/共160页解 由定义1 可知，即求U使其满足方程00,yyxxU以固定点M0为原点，建立极坐标，并假设U与无关，方程化为0, 01rrUrrrUdddd其中求解常微分方程得（2）22yyxxr00第15页/共160页rrBUB,rUrdddd考虑到基本解在 r = 0 处应具有奇异性，取 A = 0。为进一步确定B值，对式（2）两边进行面积分得1d,d00DDyyxxU利用格林公式，有1snUUCDddrBAUln第16页/共160页BsrBsrUsnUCCC2ddd所以B21于是得二维拉普拉斯方程的基本解rUln21取边界C

6、为圆周， 其半径为 r ，则有第17页/共160页解 由定义1 可知，即求U使其满足方程00,yyxxUkU2以固定点M0为原点，建立极坐标，并假设U与无关，方程化为0, 01rUkrUrrrU2dddd其中求解零阶贝塞尔方程零阶贝塞尔方程得（3）22yyxxr00第18页/共160页考虑到在 r = 0 处，J0(kr)有界，取 A = 0，而 Y0(kr) 具有(2/)lnr 的奇异性。为进一步确定B值，对式（3）两边进行面积分得1d,dD00D2y-yx-xUkU利用格林公式，有取边界C为圆周，其半径为 r，则有snUUCDdd krBYkrAJrU00第19页/共160页4B2k2r2

7、r2limBUksnUlim1r020rD2C0rdlndd于是得二维亥姆霍斯方程的基本解 krY4rU01 r2krY0ln第20页/共160页采用格林函数法，试证明三维亥姆霍斯方程0UkU23的基本解为rcoskrU4第21页/共160页利用三维调和方程的基本解，试求三维双调和方程的基本解000,zzyyxxU2第22页/共160页以固定点M0为原点，建立球坐标，并假设U与,无关。若U满足0,41122rrrUrrrUdddd（a）则必满足0,r0U2设未知函数表达式为ArU 其中A为待定系数。将表达式代入方程（ a ），可得第23页/共160页81A于是，最后得到双调和方程的基本解8rU

8、第24页/共160页定义2 满足上在，内，在BGDyyxxG20,00的函数称为拉普拉斯方程第一边值问题的格林函数，其中B为平面区域D的边界。定理1 格林函数具有对称性，即 G(M1;M2)= G(M2;M1)这里点M1的坐标是(x1,y1)，点 M2的坐标是(x2,y2) 。第25页/共160页同理可定义三维拉普拉斯方程第一边值问题的格林函数。满足上在，内在SGzzyyxxG30,000的函数称为拉普拉斯方程第一边值问题的格林函数，其中S为区域的边界。第26页/共160页类似可定义三维拉普拉斯方程第三边值问题的格林函数。满足上在，内在SGnGzzyyxxG30,000的函数称为拉普拉斯方程第

9、三边值问题的格林函数，其中S为区域的边界。第27页/共160页但是不可不可定义拉普拉斯方程第二边值问题的格林函数。若定义满足上在，内，在SnGzzyyxxG0,000的函数称为拉普拉斯方程第二边值问题的格林函数。证明 进行体积分并利用格林公式，可得0SnGVGVzzyyxxVGSdd1d,d000易知齐次边界条件无法满足，上述定义不能成立，证毕。第28页/共160页DMMyyxxU0,00将格林函数看作是基本解基本解与齐次解齐次解之和，即gUG相应的方程为及上在，内，在BUgDg, 0基本解在前面已经求出，有边界区域齐次齐次方程解解的求法在下一节介绍。第29页/共160页假设格林函数已经求出，

10、下面研究三维拉普拉斯算子第一边值问题解的积分表示。若 u 满足如下定解问题上在，内，在Szy,x,uzy,x,fu,则解 u 的积分公式为 SnMMGMMMfMMGMuSdd000;其中M (x,y,z)为积分变量。第30页/共160页 MMuMMGMMuMMMudd000;- SnMMGMMMfMMGSnuGnGuMMuMMGSSdddd000;第31页/共160页类似地可以证明二维拉普拉斯方程第一边值问题上在，内，在BuDfu,解的为积分公式为 BDSnMMGMMMfMMGMudd000;其中M (x,y,)为积分变量。第32页/共160页0zG0zzzyyxxG，0,000其中点M0(x

11、0,y0,z0)的坐标分量z00。采用静电源镜像法镜像法，格林函数G就是在点M0放置单位正电荷与接地表面z=0上感应的负电荷在点M (x,y,z) 处产生的总电位。第33页/共160页zyxM0(x0,y0,z0)M1(x0,y0,-z0)M如右图所示，M1是M0关于z=0平面的对称点，在点M1放置单位负电荷，则在点M0的正电荷与点M1的负电荷在z=0平面的电位就相互抵消。这两者在点M (x,y,z)的总电位就是格林函数1041410MMMMrrMMG;O此式右端第一项是基本解，第二项在上半空间内满足拉普拉斯方程。第34页/共160页下面利用半空间格林函数给出定解问题解的积分表达式。00zuz

12、f,u3第35页/共160页首先计算边界上的方向导数2320202000303000214110zyyxxzrzzrzzzGnGzMMMMzz代入相应积分公式， 00000ddzzSnMMGMMMfMMGMu;可得1041410MMMMrrMMG;第36页/共160页023202020000d21d4141zzMMMMSzyyxxzMMMfrrMu01第37页/共160页RGRG3，0,000其中点M0(0,0,0)的 00。采用静电源镜像法，格林函数G就是在点M0放置单位正电荷与接地表面y=0上感应的负电荷在点M (x,y) 处产生的总电位。第52页/共160页yxM0(x0,y0)M1(x

13、0, -y0)M如右图所示，M1是M0关于y=0平面的对称点，在点M1放置单位负电荷，则在点M0的正电荷与点M1的负电荷在y=0平面的电位就相互抵消。这两者在点M (x,y)的总电位就是格林函数10lnln210MMMMrrMMG;O此式右端第一项是基本解，第二项在上半平面内满足拉普拉斯方程。第53页/共160页利用格林函数，求解半平面上拉普拉斯方程 xfx,uy ,x,yuxu0002222的狄利克雷问题。第54页/共160页首先计算边界上的方向导数20200000001110yxxyryyryy2yGnGyMM2MM2yy代入相应积分公式xnMMGMfMud00;可得 xyxxy1xfyx

14、u200000d,210lnln210MMMMrrMMG;第55页/共160页RGRG，0,00其中点M0(0,0)的 0R。点M0关于 =R圆周的反演点为M1 (R2/0,0)。则点M (,)的格林函数为1000ln21ln21MMMMrRrMMG;此式右端第一项是基本解，第二项在圆域内满足拉普拉斯方程。第56页/共160页0lnln211010000MMMMMMMMrRrMMGRrr;当点M在圆周上任意位置时，三角形MOM0与三角形M1OM在O点有共同的夹角=-0，且此夹角的两边成比例RrrROMOM10O M0 M1MR所以这两个三角形相似，故第57页/共160页下面利用圆域上的格林函数

15、给出定解问题解的积分表达式。 RuRu，, 0利用余弦定理，有00220240022020000220-cos2-cos2-cos210RRRRrr2MMMM第58页/共160页002202020022024002200022000002202400220-cos221-cos2-cos-cos2-cos21-cos2ln-cos2ln21RRRRRRRRRRGnGRRRR代入相应积分公式，可得RRSRRRRMSnMMGMMud-cos221d0022020200;1000ln21ln21MMMMrRrMMG;第59页/共160页 RRRMu20002202020d-cos22此为圆域的泊松公

16、式。第60页/共160页当求解区域规则时，可以采用固有函数法求解格林函数。二维边值问题上在，内，在BfuDhu,的格林函数满足上在，内，在BGDyyxxG0,00 其中B为平面区域D的边界。第61页/共160页考虑固有函数问题上在，内，在B0D, 0假设已求出固有值mn和相应固有函数mn。将格林函数和单位脉冲函数按固有函数展开mnmnmnmnmnmny, x,by,xy, x,a,y, xG;利用单位函数性质和固有函数的正交性，可得第62页/共160页yxa-yxayxGmnmnmnmnmnmnmn,;,为确定系数amn，计算可得Dmnmnmnmnmnxybdd22,mnmnmny, x,by

17、,x对比第63页/共160页根据格林函数的微分方程，故有2mnmnmnmnmnmn1b1amnmnmnmnmnyxyxG,;,2第64页/共160页求矩形域上泊松方程非齐次第一边值问题上在，内在BuDhu2,的解。其中D为矩形区域为矩形区域：0 xa,0yb。解 首先求解偏微分方程固有函数问题上在，内，在BD20, 0第65页/共160页假设它有分离变量形式的非零解 yYxXy , x代入方程得 0 xYxYxXxXyYxXyYxXyYxX 22,0从而得出两个常微分方程 0022 yYyYxXxX分离变量后，知边界条件为 0000bYYaXX，第66页/共160页于是得到两个常微分方程的固有

18、值和固有函数 ,ny,bnyY,n,bn,mx,amxX,m,amn2mmnm2m21sin2121sin2122进一步得偏微分方程固有值和固有函数,n ,my,bnxamyx,n ,m,bnammnmn21sinsin2122第67页/共160页42200222abbayybnsinxxamsinabmndd112,;,mnmnmnmnmnx,y,yxG得格林函数边值问题解的积分形式为ybnxamanbmbnamabyxGmnsinsinsinsin4,;,1122222即第68页/共160页 BDBDDDSnGMMhMMGSnuGnGuMMuMMGMMuMMGMMuMMMudddddd00

19、000;-BDmnSnGyxyxhanbmbnamybnxamabMuddd,sinsinsinsin411222220即第69页/共160页定义 三维亥姆霍斯第一边值问题，VV2MuVzyxMMfuku,3的格林函数G(M;M0)满足，0,00V2GVMMMMGkG3其中V为空间区域V的边界。第70页/共160页当区域 V 为某些特殊区域，可用基本解和镜像法求格林函数。对于一般区域，求格林函数的方法是固有函数展开。若已经求得固有值问题0, 0VvVMvv3的固有值和固有函数，如果 k2 不等于固有值，根据S-L理论可得格林函数的级数表达式0,2201,MvMvMvkMMGnmlnmllmnn

20、mlnml第71页/共160页设函数 G 是亥姆霍斯方程初值问题的格林函数， , f 都是连续函数，则非齐次亥姆霍斯边值问题 解的积分公式为 SnMMGMMMfMMGMuVV0dd00;。VV2MuVzyxMMfuku,3第72页/共160页已知格林函数G(M;M0)满足，0,00V2GVMMMMGkG3其中V为空间区域V的边界。试证明非齐次亥姆霍斯边值问题 SnMMGMMMfMMGMuVV0dd00;VV2MuVMMfuku,3的积分形式的解为第73页/共160页 V2V2VMMuMMGMukMuMMGMMuMMGkMMGMMuMMMuddd000000;- SnMMGMMMfMMGSnuG

21、nGuMMMGMukMuMMGVVVV2dddd0000;第74页/共160页第75页/共160页 x,xu,u,tx,uautttxx2tt0000定义 称定解问题的解为波动方程初值问题的基本解。 x,xu,xu,tx,tx,fuautttxx2tt000第76页/共160页设 U 为基本解，求一维波动方程初值问题的基本解，即求初值问题 x,xu,u,tx,uautttxx2tt0000第77页/共160页对无界域内坐标变量进行设txUtU,F假设无穷处边界条件为0txU0txUxx,1U0,Ut-UatU0tt0t2220,dd2则可将偏微分方程的初值问题变换为第78页/共160页常微分方

22、程的初值问题，可得到像函数atsinatU,作傅氏逆变换，有其他, 0,212,atxataeatsina1txUxid第79页/共160页设U是波动方程初值问题的基本解， (x,), (x,), f (x,t)都是连续函数，U*, U*, U*f均存在，则非齐次波动方程初值问题 x,xu,xu,tx,tx,fuautttxx2tt000解的积分公式为 0000d,*,d,*,*,*,MMgtM-MUMgtMUMf-tMUMtMUMtMUttMut其中。第80页/共160页可知初值条件得到满足。MMMMMf-0MUM0MUM0MUt0Mu*0*d,*,*,*,00MMMMMt0MuMf-tMU

23、tMtMUtMtMUtttMuttt*,d,*,*,*,0第81页/共160页可知非齐次方程也得到满足，证毕。tMft -tMUtMf-tMUtMtMUtMtMUtttMut222222tt,*,d,*,*,*,0tMftMuatMfMf-tMUMtMUMtMUtxaxxt22,d,*,*,*,202第82页/共160页 U(M,t)满足定解问题 xu,u,ua-utttxx2tt0000可知U*满足定解问题 xu,u,ua-utttxx2tt0000定理证明分三个部分：第83页/共160页 根据齐次化原理，可知必满足非齐次方程d0,Mf*-t ,MUt0000tttxx2ttu,u,tx,f

24、ua-u第84页/共160页 Ut满足定解问题 0000tttxx2ttu,xu,ua-u根据叠加原理，定理得证得证。易知， Ut* 满足定解问题 0000tttxx2ttu,xu,ua-u第85页/共160页利用基本解，求一维非齐次波动方程初值问题 xx,u,xx,u,tx,tx,fxuatut00022222解的解析表达式。第86页/共160页代入解的积分表达式 dd0gt ,-xUxg*t , xU, xf*-t , xUx*t , xUx*t , xUtt , xut其中将积分表达式右端三项分别记为u1,u2,u3。下面分别计算u1,u2,u3。将基本解其他, 0,21,atxatat

25、xU第87页/共160页 atxatxat ,-xUx*t , xUud21d2同理首先计算 atxatxatxtxUtuatxatx2121*,1d其他, 0,21,atxatatxU第88页/共160页最后计算 dd21dd21ddd00003 ttaxtaxttaxtaxtt,fa,fa,f-t ,-xU, xf*-t , xUu其他, 0,21,atxatatxU第89页/共160页 t- tax- taxatxatx,faaatxatxt , xu0dd212121d三部分相加，即得一维非齐次波动方程初值问题的达朗贝尔公式第90页/共160页zyx,zy,x,u,u,tzyx, ua

26、uttt32tt,00,00定义 称定解问题的解为波动方程初值问题的基本解。zyx,zy,x,u,zy,x,u,tzyx,tz,y,x,fuauttt32tt,0,00第91页/共160页设 U 为基本解，求三维波动方程初值问题的基本解，即求初值问题zyx,zy,x,U,U,tzyx,UaUttt32tt,00,00第92页/共160页对无界域内三个坐标变量同时进行三维设tzyxUtU3,F假设无穷处边界条件为0tzyxU0tzyxU0tzyxU0tzyxUzyxrzyx222,1U0,UtUatU0tt0t22222220,dd2则可将偏微分方程的初值问题变换为第93页/共160页常微分方程

27、的初值问题，可得到像函数atsinatU,作傅氏逆变换，有33Ri3Rzyxi3eatsina21eatsina21tzyxUdddddd,r适当选取球坐标(,)，使rcos r第94页/共160页ar4at-rtzyxU,0200cosir23eata1tzyxUdddsinsin2,最后得atrat-rar41e1e121ar41atrcosat-rcosar41atriat-ri02ddrr2eir1e0cosir0cosirsinsindd02rtaar1dsinsin2第95页/共160页设U是波动方程初值问题的基本解， (x,y,z), (x,y,z), f (x,y,z,t)都是

28、连续函数，U*, U*, U*f均存在，则非齐次波动方程初值问题 zyx,zy,x,u,zy,x,u,tzyx,tz,y,x,fuauttt32tt,0,00解的积分公式为 30000d,*,d,*,*,*,RtMMgtM-MUMgtMUMf-tMUMtMUMtMUttMu其中。第96页/共160页可知初值条件得到满足。MMMMMf-0MUM0MUM0MUt0Mu*0*d,*,*,*,00MMMMMt0MuMf-tMUtMtMUtMtMUtttMuttt*,d,*,*,*,0第97页/共160页可知非齐次方程也得到满足，证毕。tMftMuatMfMf-tMUMtMUMtMUtatMft -tM

29、UtMf-tMUtMtMUtMtMUtttMu3t3t222222tt,d,*,*,*,*,d,*,*,*,2020第98页/共160页基本解U(M,t)满足定解问题zy,x,u,u,ua-uttt2tt0000基本解U(M-M0,t)乘(M0)后进行积分运算，可知U*满足定解问题zy,x,u,u,ua-uttt2tt0000定理证明分三个部分：第99页/共160页 根据齐次化原理，可知必满足非齐次方程d0,Mf*-t ,MUt0000ttt2ttu,u,tz,y,x,fua-u第100页/共160页 Ut满足定解问题0000ttt2ttu,zy,x,u,ua-u根据叠加原理，定理得证得证。易

30、知， Ut* 满足定解问题0000ttt2ttu,zy,x,u,ua-u第101页/共160页利用三维基本解，求三维非齐次波动方程初值问题解的解析表达式。zyx,zy,x,u,zy,x,u,tzyx,tz,y,x,fuauttt32tt,0,00第102页/共160页代入解的积分表达式其中将积分表达式右端三项分别记为u1,u2,u3。下面分别计算u1,u2,u3。将基本解ar4at-rtzyxU,d,*,*,*,0Mf-tMUMtMUMtMUttMut 3000d,*,RMMgtM-MUMgtMU第103页/共160页 ddd,d,*,3000,ar4at-rMMtM-MUMtMUtMu0MM

31、0MMR2选取球坐标系cossinsincossinz,y,x 200020022sin,4tsin,at-a41tMu,ddddd可得其中cossinsincossinatz,aty,atx第104页/共160页同理得 2001sin,4ttMtMUttMu,*,dd最后根据齐次化原理，计算 t200t200t3sin,f-t41sin,f4-tMf-tMUtMu000d,d,d,*,dddd其中cossinsincossinatz,aty,atx其中cossinsincossin-taz,-tay,-tax第105页/共160页三部分相加，即得三维非齐次波动方程初值问题的累次积分形式的泊松

32、公式 t200200200sin,f-t41sin,4tsin,4tttMu0d,dddddd与第二章行波法的结果相一致，并增加了非齐次项。第106页/共160页yx,yx,u,u,tyx, uauttt22tt,00,00定义 称定解问题的解为波动方程初值问题的基本解。yx,yx,u,yx,u,tyx,ty,x,fuauttt22tt,0,00第107页/共160页设 U 为基本解，求二维波动方程初值问题的基本解，即求初值问题yx,yx,U,U,tyx,UaUttt22tt,00,00第108页/共160页考虑二维初值问题y, x,yx,gu,yx,fu,ty, x,uuautttyyxx2

33、tt000采用降维法，利用三维泊松公式三维泊松公式可推导出二维泊松公式： MatMaty-x-atga2y-x-atfta2tyxudd,1dd,1,222222第109页/共160页将基本解问题的初值条件代入可得 Maty-x-ata2tyxUdd,1,222 0yxat00yxatyxata2tyxU222222222,1,即第110页/共160页第111页/共160页 x,xu,tx,uautxx2t00定义 称定解问题的解为热传导方程初值问题的基本解。 x,xu,tx,tx,fuautxx2t00第112页/共160页设 U 为基本解，求一维波动方程初值问题的基本解，即求初值问题 x,

34、xU,tx,UaUtxx2t00第113页/共160页对x取傅立叶变换，设10022,Ut,UatUtxUt ,U,F定解问题化为常微分方程初值问题解得taet ,U22第114页/共160页取逆变换得ta4xta-etaetx,U2222211F第115页/共160页设U是热传导方程初值问题的基本解， (x,), f (x, t)都是连续函数，U*, U*f均存在，则非齐次热传导方程初值问题 解的积分公式为d0,Mf*-t ,MUM*t ,MUt ,Mut x,xu,tx,tx,fuautxx2t00,其中 000d,*,MMgtM-MUMgtMU第116页/共160页MM*M,Mf*- ,

35、MUM*,MU,Mud0000tMfMf-tMUxaMtMUxaMf-tMUtMtMUttMutt2222t,d,*,*,d,*,*,0220可知初值条件和方程得到满足，证毕。tMftMuatMfMf-tMUMtMUxaxxt22,d,*,*,202第117页/共160页求一维非齐次热传导方程初值问题 xx,u,tx,tx,fxuatu00222的解。第118页/共160页 d,*,*,0 xf-txUxtxUtxut将一维基本解U代入解的积分表达式此结果与第五章积分变换的相应结果一致。 ttaxtaxt- ta4-xta4-xetfaetafe-taetatxu0440d1,2121dd,2

36、1d21,22222222dd可得ta4xetatx,U2221第119页/共160页 ntnn21n2tR,u,tRxxx, uauxxx00,定义 称定解问题的解为热传导方程初值问题的基本解。 ntnn21n2tR,u,tRxxx,t ,fuauxxxx00,第120页/共160页设 U 为基本解，求 n 维热传导方程初值问题的基本解，即求初值问题 ntnn21n2tR,U,tRxxx,UaUxxx00,第121页/共160页对 x 取n维傅立叶变换，设100,22,Ut,UatUn1i2i2nn21nRtUt ,U,xF定解问题化为常微分方程初值问题解得taet ,U22第122页/共1

37、60页取逆变换得ta4xn1ita1n1ita1n2i2ietaeet ,U222221FFxta4xxxn2n2221etat ,U221x即n1i2i2第123页/共160页设U是n维热传导方程初值问题的基本解， (x), f (x,t)都是连续函数，U*, U*f均存在，则n维非齐次热传导方程初值问题 解的积分公式为d0,Mf*-t ,MUM*t ,MUt ,Mut ntnn212tR,u,tRxxx,t ,fuauxxxx00,n其中 nRMMgtM-MUMgtMU000d,*,第124页/共160页MM*M,Mf*- ,MUM*,MU,Mud0000tMftMuatMfMf-tMUM

38、tMUatMfMf-tMUaMtMUaMf-tMUtMtMUttMutttt,d,*,*,d,*,*,d,*,*,2020220nnnn可知初值条件和非齐次方程得到满足，证毕。第125页/共160页求三维非齐次热传导方程初值问题zy,x,u,tzyx,tz,y,x,fuau0t32t0,的解。第126页/共160页 d4,214,21d,*,*,0222222220 t33ttazyxexpftatazyxexptazyxf-tzyxUxtzyxUtzyxudddddd将三维基本解U代入相应的积分表达式，可得与第五章积分变换的相应结果一致，并增加了非齐次项。第127页/共160页第128页/共

39、160页定义 称定解问题的解G(x,t;,)为波动方程初边值问题的格林函数。 00000000t,uulx,xu,xul,tx,tx,fuaulxxtttxx2tt000,000,00tl,uulx,-xu,ul,tx,uaulxxtttxx2tt第129页/共160页设 G 为格林函数，求一维波动方程初边值问题的格林函数，即求初边值问题000,000,00tl,uulx,-xu,ul,tx,uaulxxtttxx2tt第130页/共160页 00000000t,uulx,xu,xul,tx,uaulxxtttxx2tt用分离变量法或固有函数展开法，可得11sinsincosnnnnnxlnt

40、lanbtlanatx,utx,u ,n,xdxlnxanb,nxdx,lnxlalnln21sin221sin200第131页/共160页将格林函数的初始条件代入，可得1sinsinnnxln-tlanb,t;x,G,nlnanbn21sin2-xutt第132页/共160页设G是波动方程初边值问题的格林函数， (x,), (x,), f (x,t)都是连续函数，则非齐次波动方程初边值问题 的解的积分公式为 tllltxGftxGtxGttxu0000dd,;,d0 ,;,d0 ,;,。 00000000t,uulx,xu,xul,tx,tx,fuaulxxtttxx2tt第133页/共16

41、0页可知初值条件得到满足。 xxGfxGxGtxulll 00000dd,; 0 ,d0 ,; 0 ,d0 ,; 0 ,0 , xxutxGtftxGttxGtttxuttlllt 0 ,dd,;,d0 ,;,d0 ,;,0000第134页/共160页可知非齐次方程也得到满足，又因格林函数满足齐次边值，证毕。 txftxuatxftxGftxGtxGtxatxGtfttxGttftxGttxGtttxuxxtlll2tl2ll2l2tt,dd,;,d0 ,;,d0 ,;,dd,;,d,;,d0 ,;,d0 ,;,200002200200202 第135页/共160页利用格林函数，求一维非齐次波

42、动方程初边值问题解的级数表达式。 00000000t,uulx,xu,xul,tx,tx,fuaulxxtttxx2tt第136页/共160页代入解的积分表达式将格林函数1sinsinsin2nxln-tlanlnan,t;x,G tllltxGftxGtxGttxu0000dd,;,d0 ,;,d0 ,;,整理后，可得级数形式的解第137页/共160页 tnnnnnxln-tlancxlntlanbtlanatx,u011dsinsinsinsincos ,n,xdxlnxanb,nxdx,lnxlalnln21sin221sin200 ln,nxdx,lnxfanc021sin,2与第四章

43、分离变量的相应结果一致，并增加了非齐次项。第138页/共160页00,00,00t,uulx,-xul,tx,kuulxxtxxt定义 称定解问题的解G(x,t;,)为热传导方程初边值问题的格林函数。 0000000t,uulx,xul,tx,tx,fkuulxxtxxt第139页/共160页设 G 为格林函数，求一维热传导方程初边值问题的格林函数，即求初边值问题00,00,00t,uulx,-xul,tx,kuulxxtxxt第140页/共160页若长为 l 的均匀细杆，侧面保持绝热，两端置于零度，杆的温度分布可归结为下列定解问题用分离变量法可得 000000l,tu,tu,xfx,ul,t

44、x,ukuxxt1sin2nktlnnxlneatx,u ln,nxdx,lnxfla021sin2第141页/共160页将格林函数的初始条件代入，可得1sin2n- tklnnxlnea,t;x,G,nlnlan21sin2第142页/共160页设G是热传导方程初边值问题的格林函数， (x,), f (x,t)都是连续函数，则非齐次热传导方程初边值问题 解的积分公式为 tlltxGftxGtxu000dd,;,d0 ,;,。 0000000t,uulx,xul,tx,tx,fuaulxxtxx2t第143页/共160页可知初值条件得到满足，非齐次方程也得到满足。 xxGfxGxull 0000dd,; 0 ,d0 ,; 0 ,0 , txftxuktxftxGftxGxkttxGtftxGtftxGttxuxxtllltllt,dd,;,d0 ,;,d,;,dd,;,d0 ,;,000220000 第144页/共160页利用格林函数，求一维非齐次传导方程初值问题解的级数表达式。