伊辛模型的平均场理论

1、目录伊辛模型简介二维伊辛模型三维伊辛模型前景参考文献 1920年由德国物理学家威廉.愣次教授提出的，目的是为了给铁磁体一个简化的物理图像。 1925年，伊辛提出描写铁磁体的简化模型 伊辛结论：一维铁磁模型如果只考虑最近邻交互作用的话，是不可能有相变的。 研究对象研究对象： N个磁性原子定域；个磁性原子定域；原子角动量原子角动量J=1/2； 磁矩磁矩 =eh4 m；自旋位形自旋位形 = 1；伊辛模型 (Ising model) 1 (0,为非近邻原子为近邻原子ijijJJJEijjijiijin在伊辛模型中铁磁体内原子相互作用能可表为在伊辛模型中铁磁体内原子相互作用能可表为(条件条件)伊辛本人是

2、犹太人，在纳粹德国时期，他有着坎坷的人生经历。一生发表过一篇论文、一篇人物传记类论文：“作为物理学家的歌德”，其博士论文按照德国惯例也由一家出版社正式出版。他的那篇有关伊辛模型的SCI论文大概被引用了600余次，但是题目含有Ising model字样的研究论文目前每年有800篇左右，可见影响巨大。其实，科学家的成名应该是这种方式，以其名字命名的某种理论、效应、现象和方法能够为后人所研究并且写入教科书模型说明的问题模型说明的问题：（介质中某点的）等效磁场：（介质中某点的）等效磁场：)3(1?BJBjjiji自发磁化：基态所有自旋具有相同取向（自发磁化：基态所有自旋具有相同取向（T=0）；）；低温

3、下多数原子具有相同取向。低温下多数原子具有相同取向。系统的位形系统的位形 i，i=1，2，N决定系统能量。决定系统能量。在外磁场在外磁场B中中) 2 (,iijijiijBinBJEEE平均场近似平均场近似)4(11BJzBJBijjiji讨论：讨论：1）第一项给出近邻自旋对原子）第一项给出近邻自旋对原子i的磁相作用；的磁相作用；2）用平均场近似以后，自旋系统成为近独立）用平均场近似以后，自旋系统成为近独立 粒子系统。粒子系统。分析：由于热运动，自旋取向无规则变化，分析：由于热运动，自旋取向无规则变化， Bi涨落不定涨落不定处理：用平均值近似。设近邻原子数为处理：用平均值近似。设近邻原子数为z

4、，铁磁铁磁-顺磁转变顺磁转变)5(?BBleeZ系统的磁矩为系统的磁矩为：)()(ln0JzthNBthNBZNmBl根据定义应有根据定义应有Nm )(Jzth由此研究铁磁性物质的性质，得到如下结论：存在一临界温度由此研究铁磁性物质的性质，得到如下结论：存在一临界温度 （6） 配分函数：配分函数：当TTc而H=0时，物质不磁化，没有相变；当TTc时，尽管仍有H=0，但磁化强度m可不为零（可取正值或负值），铁磁性物质存在相变。这个结论对一维、二维、三维点阵都应成立，但严格的证明指出，二维、三维伊辛模型在临界温度以上仍有相变。这反映了平均场近似法的简单、粗糙。 KJZTCm(T,H)同H的关系如图

5、 4所示。当H0时,对于T0,有m(T,0)0。可见，一维伊辛模型没有自发磁化即不一维伊辛模型没有自发磁化即不显示铁磁性，因而不发生相变显示铁磁性，因而不发生相变。在一维伊辛模型中，不论铁磁性或反铁磁性，都不会实现有序的状态。如对于0的铁磁性物质，在绝对零度时，所有自旋取向都是相同的，此时，处于能量最低的状态。然而，如果热力学温度不等于零，是有限的，则平均位形由两种相反的、相互竞争的趋向所决定。一个是各个自旋的取向完全一致，使能量最低；另一个是各个自旋的取向为随机的，使熵最大。由于一维伊辛模型中每个自旋没有足够多的最近邻自旋，因而不可能出现所有自旋取向完全相同的情况,而是如图5所示。二维伊辛点

6、阵的阵点数为Ln=N,为便于计算，画成图6所示的情形。处理二维空间问题的方法与一维的类似，只需将一维的每个阵点当作一列，并逐列相加求和即可。二维情况二维情况无论从高温端还是低温端趋于Tc(即TTc+0或TTc-0)，比热容的值是相同的。图7给出了比热容随温度变化的曲线，并且同时画出了布喇格威廉斯平均场近似法所得结果的曲线（图中虚线），以作比较。布喇格威廉斯平均场近似昂萨格解为弄清T=Tc处相变的细节，还需进一步考虑自发磁化（即计算自由能对磁场强度H的导数，再让H=0）。杨振宁于1952年采用微扰法得到了很好的结果。他证明自发磁化强度m(0,T)可表为 对应于Tc的值，自发磁化强度随温度变化的曲

7、线如图8所示。图8 二维伊辛模型自发磁化强度线关于三维的只言片语 1949年Onsager和Kaufmann发表了使用旋子代数的新解法，人们才得以领会奥妙，计算其它晶格，并且开始了求解三维伊辛模型的尝试。三维伊辛模型的问题归结为如何打开非常混乱地纠缠编织在一起的无限多个各种各样的纽结。 张志东的三维伊辛模型精确解的猜想 三维伊辛模型存在其他解的可能性 从数学上证明猜想的严格性 严格证明三维伊辛模型的低温级数展开 的收敛半径为零 猜想和推定的精确解的深层次物理内涵1234 【1】汪志诚；热力学与统计物理；高教出版社（第四版）2000年 【2】黄昆；固体物理学；高教出版社；1985年 【3】雷晓蔚.二维Ising和XY模型的老化现象研究J.浙江大学学报(理学版),2007,34(2):168-