专题18：全等三角线中的辅助线做法及常见题型之互补型旋转-备战2022中考数学解题方法系统训练（全国通用）

1、专题18：第三章 全等三角形中的辅助线的做法及常见题型之互补型旋转一、单选题1RtABC中，AB=AC，点D为BC中点MDN=90°，MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点下列结论(BE+CF)=BC，AD·EF，ADEF，AD与EF可能互相平分，其中正确结论的个数是（ ）A1个B2个C3个D4个二、填空题2如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BQ，连接AQ若PA=4，PB=5，PC=3，则四边形APBQ的面积为_3如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积

2、是_4如图，在平面直角坐标系xOy中，A,B两点分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=OB，点C在第一象限，OC=3，连接BC，AC，若BCA=90°，则BC+AC的值为_三、解答题5如图，在中，点在上，点在上，连接，垂足为证明：6在中，于点,（1）如图1，点，分别在，上，且，当，时，求线段的长；（2）如图2，点，分别在，上，且，求证：；（3）如图3，点在的延长线上，点在上，且，求证：;7探究问题：(1)方法感悟：如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足BAF45°，连接EF，求证DEBFEF感悟解题方法，并完成下列填空：将ADE绕点A顺时针旋转90

3、°得到ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：ABAD，BGDE，12，ABGD90°， ABGABF90°90°180°，因此，点G，B，F在同一条直线上 EAF45° 23BADEAF90°45°45° 12，1345°即GAF_又AGAE，AFAE GAF_ _EF，故DEBFEF(2)方法迁移：如图，将RtABC沿斜边翻折得到ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且EAF12DAB试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想8如图，ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段B

4、C的中点，EDF=120°，把EDF绕点D旋转，使EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F（1）当DFAC时，求证：BE=CF；（2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由9如图所示，中，把一块含角的直角三角板的直角顶点放在的中点上（直角三角板的短直角边为，长直角边为），将三角板绕点按逆时针方向旋转.（1）在如图所见中，交于，交于，证明；（2）继续旋转至如图所见，延长交于，延长交于，证明.10如图1，四边形ABCD中，BDAD，E为BD上一点，AEBC，CEBD，CEED（1）已知AB10，AD6，求CD；（2）如图2，F为AD上一点，AFDE

5、，连接BF，交BF交AE于G，过G作GHAB于H，BGH75°求证：BF2GH+EG11一位同学拿了两块三角尺，做了一个探究活动：将的直角顶点放在的斜边的中点处，设.（1）如图1所示，两三角尺的重叠部分为，则重叠部分的面积为_，周长为_.（2）将如图1所示中的绕顶点逆时针旋转，得到如图2所示，此时重叠部分的面积为_，周长为_.（3）如果将绕旋转到不同于如图1所示和如图2所示的图形，如图3所示，请你猜想此时重叠部分的面积为_.（4）在如图3所示情况下，若，求出重叠部分图形的周长.12阅读下面材料：小炎遇到这样一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，EAF=45&

6、#176;，连结EF，则EF=BE+DF，试说明理由小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法她的方法是将ABE绕着点A逆时针旋转90°得到ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，四边形ABCD中，AB=AD，BAD=90°点E，F分别在边BC，CD上，EAF=45°若B，D都不是直角，则当B与D满足_ 关系时，仍有EF=BE+DF；（2）如图4，在ABC中，BAC=90&#

7、176;，AB=AC，点D、E均在边BC上，且DAE=45°，若BD=1， EC=2，求DE的长参考答案1C【解析】【分析】【详解】解:RtABC中，AB=AC，点D为BC中点MDN=90°，AD =DC，EAD=C=45°，EDA=MDNADN =90°ADN=FDCEDAFDC（ASA）AE=CFBE+CF= BE+ AE=AB在RtABC中，根据勾股定理，得AB=BC(BE+CF)=BC结论正确设AB=AC=a，AE=b，则AF=BE= ab结论正确如图，过点E作EIAD于点I，过点F作FGAD于点G，过点F作FHBC于点H，ADEF相交于点O四边

8、形GDHF是矩形，AEI和AGF是等腰直角三角形，EOEI（EFAD时取等于）=FH=GD，OFGH（EFAD时取等于）=AGEF=EOOFGDAG=AD结论错误EDAFDC，结论错误又当EF是RtABC中位线时，根据三角形中位线定理知AD与EF互相平分结论正确综上所述，结论正确故选C2【解析】【分析】由旋转的性质可得BPQ是等边三角形，由全等三角形的判定可得ABQCBP(SAS)，由勾股定理的逆定理可得APQ是直角三角形，求四边形的面积转化为求两个特殊三角形的面积即可【详解】解：连接PQ，由旋转的性质可得，BP=BQ，又PBQ=60°，BPQ是等边三角形，PQ=BP，在等边三角形A

9、BC中，CBA=60°，AB=BC，ABQ=60°-ABPCBP=60°-ABPABQ=CBP在ABQ与CBP中 ，ABQCBP(SAS)，AQ=PC，又PA=4，PB=5，PC=3，PQ=BP=5，PC=AQ=3，在APQ中，因为，25=16+9，由勾股定理的逆定理可知APQ是直角三角形，故答案为：【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定、勾股定理的逆定理及特殊三角形的面积，解题的关键是作出辅助线，转化为特殊三角形进行求解32【解析】【分析】根据题意作图，连接，可得，那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系，同理得出另两个正方形的阴影部分面积与正方形面

10、积的关系，从而得出答案【详解】解：连接、，如图：，四边形是正方形，在和中，、两个正方形阴影部分的面积是，同理另外两个正方形阴影部分的面积也是，故答案为：2【点睛】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的证明，把阴影部分进行合理转移是解决本题的难点，难度适中4【解析】【分析】可将OBC绕着O点顺时针旋转90°，所得的图形与OAC正好拼成等腰直角三角形BC+AC等于等腰三角形的斜边CD.【详解】解：将OBC绕O点旋转90°，OB=OA点B落在A处，点C落在D处且有OD=OC=3，COD=90°，OAD=OBC，在四边形OACB中BOA=BCA=90°，OBC

11、+OAC=180°，OAD+OAC=180°C、A、D三点在同一条直线上，OCD为等要直角三角形，根据勾股定理CD2=OC2+OD2即CD2=32+32=18解得CD= 即BC+AC=.【点睛】本题考查旋转的性质，旋转前后的图形对应边相等，对应角相等.要求两条线段的长，可利用作图的方法将两条线段化成一条线段，再求这条线段的长度即可，本题就是利用旋转的方法做到的，但做本题时需注意，一定要证明C、A、D三点在同一条直线上.本题还有一种化一般为特殊的方法，因为答案一定可考虑CBy轴的情况，此时四边形OACB刚好是正方形，在做选择或填空题时，也可以起到事半功倍的效果.5见解析【解析

12、】【分析】如图，延长到点，使，连接、，根据四边形的内角和和邻补角互补可得，进而可根据SAS证明，可得，进一步即可求得，然后利用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识即可证得结论【详解】证明：如图，延长到点，使，连接、，【点睛】本题考查了四边形的内角和、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和解直角三角形等知识，正确添加辅助线、灵活应用上述知识是解题的关键6(1) ；(2)见解析；(3)见解析.【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到 ADBDDC ，求出 MBD30°，根据勾股定理计算即可； （2）证明BDEADF，根据全等三角形的性质证明； （3）过点 M作

13、 MEBC交 AB的延长线于 E，证明BMEAMN，根据全等三角形的性质得到 BEAN，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理证明结论【详解】（1）解：，由勾股定理得，即，解得，；（2）证明：，在和中，；（3）证明：过点作交的延长线于，则，在和中，【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形 的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键7(1)EAF、EAF、GF；(2)DEBFEF.【解析】【分析】（1）利用角之间的等量代换得出GAF=FAE，再利用SAS得出GAFEAF，得出答案；（2）将ADE顺时针旋转90°得到ABG，再证明AGFAEF，

14、即可得出答案；【详解】解：（1）如图所示；根据等量代换得出GAF=FAE，利用SAS得出GAFEAF，GF=EF，故答案为：FAE；EAF；GF； (2)DEBFEF，理由如下：假设BAD的度数为m，将ADE绕点A顺时针旋转，m°得到ABG，如图，此时AB与AD重合，由旋转可得： ABAD，BGDE，12，ABGD90°， ABGABF90°90°180°， 因此，点G，B，F在同一条直线上 EAF=12m°， 2+3=BAD-EAF=m°-12m°=12m° 12， 1312m° 即GAFEA

15、F在AGF和AEF中，AGAEGAFEAFAFAF， GAFEAF（SAS） GFEF又 GFBGBFDEBF， DEBFEF【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、以及折叠的性质和旋转变换性质等知识，证得GAFEAF是解题的关键8（1）证明见解析；（2）是，2.【解析】【分析】（1）根据四边形内角和为360°，可求DEA=90°，根据“AAS”可判定BDECDF，即可证BE=CF；（2）过点D作DMAB于M，作DNAC于N，如图2，易证MBDNCD，则有BM=CN，DM=DN，进而可证到EMDFND，则有EM=FN，就可得到BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+

16、CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=BC=2.【详解】（1）ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，B=C=60°，BD=CD，DFAC，DFA=90°，A+EDF+AFD+AED=180°，AED=90°，DEB=DFC，且B=C=60°，BD=DC，BDECDF（AAS）（2）过点D作DMAB于M，作DNAC于N，则有AMD=BMD=AND=CND=90°A=60°，MDN=360°-60°-90°-90°=120°EDF

17、=120°，MDE=NDF在MBD和NCD中，MBDNCD（AAS）BM=CN，DM=DN在EMD和FND中，EMDFND（ASA）EM=FN，BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=BC=2.【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值等知识，通过证明三角形全等得到BM=CN，DM=DN，EM=FN是解决本题的关键9(1)见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）连接BD，证明DMBDNC根据已知，全等条件已具备两个，再证出MDB=NDC，用ASA证明全等，四边

18、形DMBN的面积不发生变化，因为它的面积始终等于ABC面积的一半；（2）同样利用（1）中的证明方法可以证出DMBDNC；（3）方法同（1）【详解】证明：（1）连接BD,AB=BC，ABC=90°，点D为AC的中点BDAC，A=C=45°BD=AD=CDABD=A=45°MBD=C=45°MDB+BDN=90°NDC+BDN=90°MDB=NDC在MDB和NDC中 MDBNDC（ASA）DM=DN（5分）（2）DM=DN仍然成立理由如下：连接BD，由（1）知BDAC，BD=CDABD=ACB=45°ABD+MBD=180

19、76;ACB+NCD=180° MBD=NCDBDACMDB+MDC=90°又NDC+MDC=90°MDB=NDC在MDB和NDC中 MDBNDC（ASA） DM=DN.【点睛】本题主要考查学生的推理能力，题目比较典型，利用ASA求三角形全等（手拉手模型），还运用了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，及等腰三角形三线合一定理等知识10（1）2；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由勾股定理得出BD8，由HL证得RtADERtBEC，得出BEAD，则CEEDBDBEBDAD2，由等腰直角三角形的性质即可得出结果；（2）连接CF，易证AFCE，ADCE

20、，得出四边形AECF是平行四边形，则AECF，AECF，得出CFDEAD，CFBAGF，由RtADERtBEC，得出CBEEAD，推出CBECFD，证得BCF是等腰直角三角形，则BFBCCFAE，FBCBFC45°，推出AGF45°，AGH60°，GAH30°，则AG2GH，得出BFAE（AG+EG），即可得出结论【详解】（1）解：BDAD，BD8，CEBD，CEBEDA90°，在RtADE和RtBEC中，RtADERtBEC（HL），BEAD，CEEDBDBEBDAD862，CDCE2；（2）解：连接CF，如图2所示：AFDE，DECE，AF

21、CE，BDAD，CEBD，ADCE，四边形AECF是平行四边形，AECF，AECF，CFDEAD，CFBAGF，由（1）得：RtADERtBEC，CBEEAD，CBECFD，FBD+BFC+CFD90°，FBD+BFC+CBE90°，BCF90°，AEBC，BCCF，BCF是等腰直角三角形，BFBCCFAE，FBCBFC45°，AGF45°，BGH75°，AGH180°45°75°60°，GHAB，GAH30°，AG2GH，BFAE（AG+EG），BF2GH+EG【点睛】本题考查了等腰

22、直角三角形的判定与性质、含30°角直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质、作辅助线构建平行四边形是解题的关键11（1）4，；（2）4，8；（3）4；（4）【解析】【分析】根据，得出AB的值，再根据M是AB的中点，得出，求出重叠部分的面积，再根据AM，MC，AC的值即可求出周长；  易得重叠部分是正方形，边长为，面积为，周长为  过点M分别作AC、BC的垂线MH、ME，垂足为H、求得，则阴影部分的面积等于正方形CEMH的面积  先过点M作于点E，于点H，根据，得出，从而得出，最后根据AD和DF的值，算出，即可得出答案【详解】解：，是AB的中点，重叠部分的面积是，周长为：；故答案为4，；重叠部分是正方形，边长为，面积为，周长为故答案为4，8过点M分别作AC、BC的垂线MH、ME，垂足为H、E，是斜边AB的中点，又，在和中，阴影部分的面积等于正方形CEMH的面积，正方形CEMH的面积是；