二项式定理十大典型问题及例题

1、学科教师辅导讲义学员编号：年级：高二课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：教学内容1二项式定理：(a b) nCn0anC n1an 1bC nr an r brC nn bn (n N ) ，2基本概念：二项式展开式：右边的多项式叫做(ab)n 的二项展开式。二项式系数 : 展开式中各项的系数C nr(r 0,1,2, , n) .项数：共 (r 1) 项，是关于 a 与 b 的齐次多项式通项：展开式中的第r 1项 C nr a n r b r叫做二项式展开式的通项。用Tr 1 Cnr an r br表示。3注意关键点：项数：展开式中总共有( n1) 项。顺序：注意正确选择a , b

2、, 其顺序不能更改。(a b) n 与 (ba)n 是不同的。指数： a 的指数从 n 逐项减到 0，是降幂排列。 b 的指数从0逐项减到 n ，是升幂排列。各项的次数和等于n .系数： 注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是Cn0 ,Cn1 ,Cn2 ,Cnr ,Cnn. 项的系数是 a 与 b 的系数（包括二项式系数） 。4常用的结论：令 a1,bx,(1x)nC n0C n1 xC n2 x2C nr xrC nn x n ( n N)令 a1,bx,(1x)nCn0Cn1 xCn2 x2Cnr xr(1)n C nn xn (nN )5性质：二项式系数的对称性：与首末两端“

3、对距离”的两个二项式系数相等，即Cn0Cnn ，··· CnkCnk 1二项式系数和：令a b 1 , 则二项式系数的和为 C n0Cn1Cn2C nrCnn2n ，变形式 C n1Cn2CnrC nn2n1 。1奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令a1,b1，则 Cn0Cn1Cn2Cn3(1)n C nn(11)n0，从而得到： Cn0C n2C n4Cn2rCn1Cn3Cn2r112n2n 12奇数项的系数和与偶数项的系数和：(a x)nC n0a n x0Cn1a n 1x C n2 an 2 x2C nn a 0x na0a1x1

4、a2 x2an x n( x a)nC n0a0 xnCn1ax n 1C n2 a2 x n 2Cnn a n x0an xna2 x2a1x1a0令 x1, 则 a0a1a2a3an(a 1)n令 x1,则 a0a1a2a3an(a 1)n得 , a0a2a4an( a1)n( a 1)n (奇数项的系数和)2得 , a1a3a5an( a1)n(a1)n ( 偶数项的系数和 )2n二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数Cn2 取得最大值。n1n 1如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数Cn2,Cn2 同时取得最大值。系数的最大项：求(a

5、bx) n 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别为 A1, A2, An 1 ，设第 rAr 1Arr 来。1 项系数最大，应有Ar，从而解出Ar 12专题一题型一：二项式定理的逆用；例： C n1Cn2 6 Cn3 62C nn 6n 1.解： (16) nC n0Cn16Cn262C n363C nn 6n 与已知的有一些差距，Cn1Cn2 6 C n3 62Cnn 6n 11 (C n1 6 Cn2 62C nn 6n )1 (Cn061 (1 6) n1 (7 nCn16C n262Cnn6n1)11)666练： C n13C n29Cn33n 1C nn.2解

6、：设 SnCn13C n29C n33n 1Cnn ，则3SnCn1 3 Cn2 32Cn3 33C nn 3nCn0Cn1 3 Cn2 32Cn3 33C nn 3n1 (1 3)n1Sn(13)n 14n133题型二：利用通项公式求xn 的系数；例：在二项式 ( 4 13x2 ) n 的展开式中倒数第3 项的系数为 45 ，求含有 x3 的项的系数？x解：由条件知 Cnn245 ，即 Cn245，n2n900 ，解得 n9(舍去 )或 n 10 ，由Tr 1C10r (x12C10r x10 r2 r10 r2 r4 )10 r ( x3 ) r43 ，由题意3, 解得 r6 ，43则含有

7、 x3的项是第7项T61C106x3210 x3, 系数为 210。练：求 ( x21 )9展开式中 x9的系数？2x解： Tr 1C9r ( x2 )9 r (1 ) rC9r x18 2r ( 1 )r x rC9r ( 1 )r x18 3r ，令 18 3r9 , 则 r 32x22故 x9 的系数为 C93 (1)321。22题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式 ( x21)10 的展开式中的常数项？2xr210r1rr1r205 r(x)(x2解： Tr 1 C10)C10( )2x2，令 205 r0 ，得 r8 ，所以 T9 C108 (1)84522256练：求二项式

8、(2 x1 ) 6 的展开式中的常数项？2x11解： Tr 1C6r (2 x) 6r ( 1)r () r( 1)r C 6r 26 r ()r x62r ，令 6 2r0 ，得 r3 ，所以 T4 ( 1)3 C63202x2练：若 ( x21 )n 的二项展开式中第5 项为常数项，则 n_.x解： T5 Cn4 (x2 )n 4 ( 1 )4Cn4 x2 n 12 ，令 2n 120 ，得 n 6 .x题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式 ( x3 x)9 展开式中的有理项？3r19 r1rrr27r27 r解： Tr 1( x236，令Z ,( 0 r 9 ) 得

9、r3或 r 9 ，C9) ( x)( 1) C9 x6所以当r3时， 27r4，4(33484 x4，96T1) C x当 r9 时， 27 r3，T10( 1)3 C99 x3x3 。6题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若 (x21) n 展开式中偶数项系数和为256，求 n .3x2解：设 (x21) n 展开式中各项系数依次设为a0 , a1,an ,3x2令 x1 , 则有 a0a1an0, ， 令 x1, 则有 a0a1a2a3( 1)n an 2n ,将 - 得： 2( a1 a3a5)2n ,a1a3a52n 1,有题意得，2n 125628 ，n9。练：若

10、(3151n 的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。xx2 )解：Cn0Cn2Cn4C n2rCn1C n3C n2 r12n1 ，2n11024 ，解得 n 11Cn5 ( 3 1 )6 ( 512 )561所以中间两个项分别为n6, n7，T51462 x4 ， T6 1 462 x 15xx题型六：最大系数，最大项；例：已知 ( 12x) n ，若展开式中第5项，第6项与第 7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项2的系数是多少？解：Cn4Cn62C n5 ,n221n980, 解出 n7或n14，当 n7 时，展开式中二项式系数最大的项是T4和 T5T

11、4的系数C73( 1)4 2335 , ， T5的系数C74 ( 1)3 2470, 当 n 14 时，展开式中二项式系数最大2122的项是 T8 ，777。T8的系数C14 (2) 23432练：在 (ab)2 n 的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幂指数是偶数2n ，则中间一项的二项式系数最大，即T2 nTn1 ，也就是第 n 1项。21练：在 ( x1 ) n 的展开式中，只有第5 项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？23x4解：只有第5 项的二项式最大，则n5 ，即n8, 所以展开式中常数项为第七项等于61 21C8(2)72练：写出在 ( ab) 7 的展开式中

12、，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的幂指数7 是奇数，所以中间两项( 第 4,5项 ) 的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有T4C 73a4b3 的系数最小， T5C74 a3b4 系数最大。练：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求 (12 x) n 的展开式中系数最大的项？211解：由 C n0C n1Cn279, 解出 n12 , 假设 Tr 1项最大，(2x)12()12 (14x)1222Ar 1ArC12r 4rC12r 1 4r 19.4r10.4，又0r12 ，r10 ，展开式中系数最C12r 4r，化简得到Ar 1Ar 2C12r 1 4 r 1大的项为 T

13、11 ,有 T11(1)12 C1210 410 x1016896 x102练：在 (12 x)10 的展开式中系数最大的项是多少？解：假设 Tr 1 项最大，Tr1C10r2r xrAr1ArC10r 2 rC10r1 2 r12(11r )r，化简得到6.3k7.3 ，又0 r10 ，C10r 2 rC10r1 2r解得Ar1Ar21 ,r12(10r )r7 ，展开式中系数最大的项为T8C107 27 x715360 x7 .题型七：含有三项变两项；例：求当 ( x23x2)5 的展开式中 x 的一次项的系数？解法： ( x23x2) 5( x22)3x5 ， Tr 1C5r ( x22

14、) 5r (3 x)r ，当且仅当 r1 时， Tr 1 的展开式中才有 x的一次项，此时 Tr 1T2C51 (x22)4 3x ，所以 x 得一次项为 C51C 44 243x它的系数为 C51C 44 243240 。解法： ( x23x2) 5( x1)5 ( x 2) 5(C50 x5C51 x4C55 )(C50 x5C 51x 4 2C55 25 )故展开式中含x 的项为 C54 xC55 25C54 x24240x ，故展开式中x 的系数为 240.练：求式子 ( x12) 3 的常数项？x解： ( x12) 3(x1)6 ，设第 r1项为常数项，则Tr 1 C6r (1) r

15、x6 r( 1 )r(1)662 rC6r x，得xxx562r0 , r3,T3 1( 1)3 C6320 .题型八：两个二项式相乘；例： 求 (12x)3 (1x) 4 展开式中 x2的系数 .解： (12x)3的展开式的通项是C3m (2 x)mC3m2m xm,(1 x)4的展开式的通项是 C 4n(x)nC 4n1n xn ,其中 m0,1,2,3, n0,1,2,3, 4,令 mn 2,则 m0且 n 2, m1且 n1,m2且 n0,因此 (12x)3 (1x) 4的展开式中 x2的系数等于 C3020 C42 ( 1)2C31 21C41(1)1C3222C40 (1)06 .

16、练： 求(13 x )6 (11 )10 展开式中的常数项 .4xmn4m 3 n解：(1 3x )6 (11 )10 展开式的通项为 C6m x 3C10n x 4C6mC10nx124x其中m 0,1,2,6, n0,1,2,当且仅当4m3n,即 m0,或 m3,或 m6,10,n0,n4,n8,时得展开式中的常数项为 C60C100C63C104C66 C1084246.已知 (1 x x2)( x1n的展开式中没有常数项 , nN*且 2n8,则 n _.练：x3 )解： (x13 )n 展开式的通项为 C nrxnr x 3rCnrxn 4 r , 通项分别与前面的三项相乘可得xCn

17、r xn 4 r ,C rnxn 4r 1,C nrxn 4 r2 , 展开式中不含常数项 , 2n8n 4r且 n 4r1且 n4r2，即 n4,8且 n 3,7且 n2,6,n5.题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例： 在 ( x2) 2006的二项展开式中 , 含 x的奇次幂的项之和为S,当 x2时, S_.解： 设( x2) 2006=a0a1x1a2x2a3 x3a2006 x2006 -( x2) 2006 =a0a1 x1a2x2a3x3a2006 x2006 - 得 2(a1xa3 x3a5 x5a2005x2005 )( x2) 2006(x2) 2006(x2) 20

18、06 展开式的奇次幂项之和为S( x)1 ( x2) 2006(x2) 2006 2632006当 x2时,S(2)12)2006(22)20062223008( 222题型十：赋值法；例：设二项式 (3 3 x1 ) n 的展开式的各项系数的和为p ，所有二项式系数的和为s , 若xp s272 , 则 n 等于多少？解：若 (3 3x1 )na0a1 xa2 x2an xn ，有 Pa0 a1an ， SCn0Cnn2n ，x令 x1 得 P4n ，又 ps272 ,即 4n2n272(2 n17)(2 n16)0 解得 2n16或 2n17(舍去 ) ，n4 .1n练：若 3x的展开式中

19、各项系数之和为64 ，则展开式的常数项为多少？x1n解：令 x1，则 3x的展开式中各项系数之和为2n64 ，所以 n6 ，则展开式的常数项为xC63 (3x )3(1)3540 .x练： 若(12x) 2009a0a1x1a2 x2a3x3a2009 x2009 ( x R), 则 a1a2a2009的值为22222009解： 令 x1 ,可得 a0a1a2a20090,a1a2a2009a022222200922222009在令 x0可得 a0a1a2a20091.1,因而22222009练： 若 ( x2)5a5x5a4 x4a3x3a2 x2a1x1a0 ,则 a1a2a3 a4a5_

20、.解： 令 x0得 a032, 令 x1得 a0a1a2a3a4a51,a1a2a3a4a531.题型十一：整除性；例：证明：32n28n9( nN*)能被 64整除证： 32 n 28n99n 18n9(81)n 18n9Cn0 1 8n 1Cn1 1 8nCnn 11 82C nn 181Cnn 118n 9Cn0 1 8n 1C n1 1 8nCnn 11 828( n 1) 1 8n 9 Cn0 1 8n 1Cn1 1 8nC nn 11 82由于各项均能被64 整除32 n28n9( nN * )能被 64整除71、(x 1) 11 展开式中x 的偶次项系数之和是1、设 f(x)=(

21、x-1)11,偶次项系数之和是f (1)f ( 1)( 2)11 / 2102422、 Cn03C1n32 C n23n C nn2、2、4n3、(3 51 ) 20 的展开式中的有理项是展开式的第项53、3,9,15,214、(2x-1)5 展开式中各项系数绝对值之和是4、(2x-1) 5 展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1) 5 展开式系数之和，故令x=1，则所求和为 355、求 (1+x+x2)(1-x)10 展开式中 x4 的系数5、(1 x x 2 )(1x )10(1x 3 )(1x ) 9, 要得到含 x4 的项，必须第一个因式中的1 与 (1-x) 9 展开式中的项 C94 ( x) 4作积，第一个因式中的x3 与 (1-x) 9 展开式中的项 C91 (x) 作积，故 x4 的系数是 C19C941356、求 (1+x)+(1+x)2+ +(1+x)10 展开式中 x3 的系数6、 (1 x )(1x)2（110(1x )1(1x)10 ( x1)11( x1)3实为这分子中的4x）1 (1 x )=x，原式中 xx ，则所求系数为 C1177、若 f ( x)(1x) m(1x) n (mnN ) 展开式中，