专题20 反比例函数与四边形-2020-2021学年九年级数学全一册重点题型通关训练（人教版）（解析版）

1、专题二十 反比例函数与平行四边形【导例】1. 如图，OABC的边OA在x轴上，C（1，2），A（3，0），双曲线y=kx（x0）经过点B，求k的值【解析】解：A（3，0），OA=3，四边形OABC是平行四边形，BCOA，OA=BC=3，C（1，2），B（4，2），双曲线y=kx（x0）经过点B，k=4×2=8 【方法点睛】平行四边形各点在平面直角坐标系的表示特征，与坐标系中的平移相结合.若一边与x（y）轴平行，则对边的纵（横）坐标一致.结合平行四边形对边平行，我们可以看作是平移的路径.平行四边形对角线的性质：交点为对角线中点.【典例精讲】【例1】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原

2、点，A点在反比例函数y=kx（k0）第一象限的图象上，C点在x轴的正半轴上，以OA，OC为边作平行四边形OABC，且OA=5，cosABC=35（1）求k的值（2）过点B作x轴的垂线，垂足为点D，交反比例函数y=kx（k0）的图象于点E，若BE=2DE，求E点坐标【解析】（1）四边形OABC是平行四边形，AOC=ABC，cosABC=35，cosAOC=35，作AMOD于M，OMOA=35，OA=5，OM=3，AM=OA2OM2=5232=4，A（3，4），A点在反比例函数y=kx（k0）第一象限的图象上，k=3×4=12；（2）四边形OABC是平行四边形，ABOC，AMOC，BDA

3、C，BD=AM=4，BE=2DE，DE=43，E的纵坐标为43，把y=43代入y=12x，解得，x=9，E（9，43）【例2】如图，平面直角坐标系xOy中，OABC的边OC在x轴上，对角线AC，OB交于点M，函数y=kx（x0）的图象经过点A（3，4）和点M（1）求k的值和点M的坐标；（2）求OABC的周长【解析】（1）点A（3，4）在y=kx上，k=12，四边形OABC是平行四边形，AM=MC，点M的纵坐标为2，点M在y=12x的图象上，M（6，2）（2）AM=MC，A（3，4），M（6，2）C（9，0），OC=9，OA=32+42=5，平行四边形OABC的周长为2×（5+9）=2

4、8变式训练2. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y=kx（x0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F若点D的坐标为（3，4），则点F的坐标是_.【答案】（6，43）【解析】过点D作DMOB，垂足为M，D（3，4）OM=3，DM=4，OD=32+42=5，菱形OBCD，OB=BC=CD=OD=5，B（5，0），C（8，4），A是菱形OBCD的对角线交点，A（4，2），代入y=kx得，k=8，反比例函数的关系式为：y=8x，设直线BC的关系式为y=kx+b，将B（5，0），C（8，4）代入得：5k+b=0且8k+b=4，解得：k=43，b=-2

5、03，直线BC的关系式为y=43x-203，将反比例函数与直线BC联立方程组得解得：x1=6y1=43，x2=1，y2=8【例3】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，点A（0，4），B（-3，0）反比例函数y=kx（k为常数，k0，x0）的图象经过点D（1）填空：k=_ （2）已知在y=kx的图象上有一点N，y轴上有一点M，且四边形ABMN是平行四边形，求点M的坐标【解析】解：（1）点A（0，4），B（-3，0），OA=4，OB=3，AB=5，四边形ABCD是菱形，AD=5，即点D的横坐标是5，点D的坐标为（5，4），4=k5，得k=20，故答案为：20；（2）四边形AB

6、MN是平行四边形，ANBM，AN=BM，AN可以看作是BM经过平移得到的，首先BM向右平移了3个单位长度，N点的横坐标为3，代入y=20x，得点N的纵坐标为y=203，M点的纵坐标为203-4=83，M点的坐标为（0，83）变式训练3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（1-5，1+5），B（0，1），双曲线y=kx经过ABCD的顶点A、D，求D点的坐标【解析】A（1-5，1+5），B（0，1），k=（1-5）（1+5）=-4ABDC且AB=DC，点C的纵坐标为0，D的纵坐标为5.D在双曲线y=4x上，代入y=5，可得x=-455.D点坐标为（-455，5）【专题过关】4. 如图，矩形A

7、OBC的面积为4，反比例函数y=kx的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则k的值为_【答案】-1【解析】作PEx轴于E，PFy轴于F，如图，点P为矩形AOBC对角线的交点，矩形OEPF的面积=14矩形AOBC的面积=14×4=1，|k|=1，而k0，k=-15.如图，在OABC中，OA=22，AOC=45°，点C在y轴上，点D是BC的中点，反比例函数y=kx（x0）的图象经过点A、D（1）求k的值；（2）求点D的坐标【解析】解：（1）OA=22，AOC=45°，A（2，2），k=4，y=4x（2）四边形OABC是平行四边形OABC，ABx轴，B的横坐标为2，点D是

8、BC的中点，D点的横坐标为1，D（1，4）6. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的两条对角线相交于点P（1，2），ABx轴，垂足为点E，正比例函数y=mx（m0）的图象与反比例函数y=nx（n0）的图象相交于A，P两点（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标【解析】（1）解：将点P（1，2）代入y=mx，得：2=m，解得：m=2，正比例函数解析式为y=2x；将点P（1，2）代入y=nx，得：2=n1，解得：n=2，反比例函数解析式为y=2x；（2）正比例函数y=mx（m0）的图象与反比例函数y=nx（n0）的图象相交于A，P两点，点P（1，2），A（-1，-2），ABx

9、轴，垂足为点E，B的横坐标为-1，菱形ABCD的两条对角线相互垂直，直线AC为y=2x，设直线BD为y=-12x+b，把P（1，2）代入得，2=-12×1+b，解得b=52，直线BD的解析式为y=-12x+52，把x=-1代入得，y=-12×（-1）+52=3，B的坐标为（-1，3）7. 如图，四边形ABCD是矩形，AB=2，AD=4，E是BC的中点，反比例函数y=kx (x0)的图象经过点D、点E（1）求反比例函数的解析式（2）连接DE，求三角形ODE的面积【解析】解：（1）设A（a，0），AB=2，AD=4，E是BC的中点，D（a，4），E（a+2，2），反比例函数yk

10、x (x0)的图象经过点D、点E，4=ka2=ka+2，解得a=2，k=8，反比例函数的解析式为y8x；（2）设直线DE的解析式为：y=mx+b，由（1）可知D（2，4），E（4，2），4=2m+b2=4m+b，解得m=-1，b=6，直线DE的解析式为y=-x+6，延长DE与x轴的交点为F，则F的坐标为（6，0），SODE=SODF-FOEF=12×6×412×6×2=6【专题提升】8.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AD=2AB，A，B两点的坐标分别为（1，0），（0，2），C，D两点在反比例函数ykx（x0）的图象上，求k的值.【解析】设点C的坐标为（m，n）（m0），则点D的坐标为（m+1，n-2），C、D两点在反比例函数ykx（x0）的图象上，k=