第1章费马原理与变折射率光学(0).

1、第一章费马原理与变折射率光学第一章费马原理与变折射率光学 一、原理内容一、原理内容：光扰动同时：光扰动同时到达的空间曲面被称为到达的空间曲面被称为波面波面或或波前波前，波前上的每一点可以被，波前上的每一点可以被看作一个新的扰动中心，称其看作一个新的扰动中心，称其为为子波源子波源或或次波源次波源，次波源向，次波源向四周激发次波，下一时刻的波四周激发次波，下一时刻的波前应当是这些大量次波面的公前应当是这些大量次波面的公共切面，也称其为包络面，次共切面，也称其为包络面，次波中心与其次波面上的那个切波中心与其次波面上的那个切点的连线方向，给出了该处点的连线方向，给出了该处光光传播方向传播方向，亦即光射

2、线方向。，亦即光射线方向。t+tto1.1 惠更斯原理惠更斯原理 二、二、 原理意义原理意义：提出了光的波动理论，从几何学上：提出了光的波动理论，从几何学上给出了寻求光传播方向的普遍方法。人们可以由某一给出了寻求光传播方向的普遍方法。人们可以由某一时刻的波前，用作图法导出下一时刻的波前，并确定时刻的波前，用作图法导出下一时刻的波前，并确定波前上各点的光射线。这就是说，该原理解决了波前波前上各点的光射线。这就是说，该原理解决了波前随时间在空间的传播问题。但是它也有着许多重大的随时间在空间的传播问题。但是它也有着许多重大的不足不足:比如它不能回答光振幅、光相位的传播问题。比如它不能回答光振幅、光相

3、位的传播问题。CC0v1v2i1i2 三、解释折射定律三、解释折射定律_1sinCACCi_2sinCAiAtvCC1_tvA2constvvii2121sinsin1.2 1.2 折射率折射率 二、典型数据二、典型数据标识符号波长nm冕牌玻璃轻火石重火石特重火石C656.31.520421.572081.666501.71303D589.21.523001.576001.670501.72000F486.11.529331.586061.680591.73780G434.01.534351.594411.688821.75324constnnnii121221sinsin 一、定义一、定义1

4、DCFnnn 正常色散正常色散:随波长的增加而折射率减小。随波长的增加而折射率减小。 三、色散三、色散:一种介质对不同波长的光具有不同的折射一种介质对不同波长的光具有不同的折射率。率。 色散本领色散本领n()四、折射率与光速比、波长比四、折射率与光速比、波长比constvvii2121sinsin121221sinsinnnnii2112vvnn 设入射方为真空，则设入射方为真空，则n1 1=1=1，v1 1= =c 于是于是212vcnnvcn ffvcn00 在线性介质的光场中，扰动的时间频率仅由光源在线性介质的光场中，扰动的时间频率仅由光源来决定，与介质无关。来决定，与介质无关。f光源的

5、光源的本征频率本征频率。0n 例：一光源发射的一束光，在空气中波长为例：一光源发射的一束光，在空气中波长为600nm，看起来为橙色。问：当这个光源置于水中时，看起来为橙色。问：当这个光源置于水中时这束光的波长是多少：潜水员观察到的这束光呈何颜这束光的波长是多少：潜水员观察到的这束光呈何颜色：色： =600nm=600nm3/4=450nm 决定色视角的是振动频率，而不是波长决定色视角的是振动频率，而不是波长 光与一切接收器的相互作用，是光振动与物质的光与一切接收器的相互作用，是光振动与物质的相互作用。相互作用。1.3 光程光程 均匀介质均匀介质nlQPL)(iilnlnlnQPL2211)(P

6、lQdsrnQPL)()(nlPQQn1n2n3n4l1l2l3l4PQPds介质分区均匀介质分区均匀 变折射场合变折射场合 光线路径的几何长度与所经过的介质折射率的光线路径的几何长度与所经过的介质折射率的乘积。乘积。一、定义一、定义二、光程的初步意义：二、光程的初步意义： 1 光程与相位差光程与相位差 曾记得，沿光的传播方曾记得，沿光的传播方向，相位逐点落后向，相位逐点落后 221122llQPQPLlnii002222011022lnln 2 光程与时差光程与时差QPLclncvltttiiiiiQP11QPttcQPL光线经历光线经历P两点的光程等于传播时间乘以真空光速。两点的光程等于传

7、播时间乘以真空光速。1.4 费马原理费马原理(描述光线传播行为的一个原理）描述光线传播行为的一个原理） 实际光线的传播路径实际光线的传播路径,与邻近与邻近各种可能的虚拟路径相比较各种可能的虚拟路径相比较,具有具有什么特别的什么特别的“品性品性”QPl0ln(r) 光线沿光程平稳值的路径而传播。光线沿光程平稳值的路径而传播。 像物常数个别极大值常见极小值平稳值0dsrnPlQ 一、表述一、表述 二、数学表达式二、数学表达式 ) l (LdsrnQPLPlQ被称为泛函被称为泛函or程函，程函，eikonal。通俗道，。通俗道，“函数的函函数的函数数”.“平稳值平稳值”满足变分为零满足变分为零0Pl

8、Qnds对对“变分变分”可认为它就是函数的微分。可认为它就是函数的微分。 二、数学表达式二、数学表达式 ) l (LdsrnQPLPlQ被称为泛函被称为泛函or程函，程函，eikonal。通俗道，。通俗道，“函数的函函数的函数数”.“平稳值平稳值”满足变分为零满足变分为零0PlQnds对对“变分变分”可认为它就是函数的微分。可认为它就是函数的微分。变分：对一般一元或多元函数，当自变量发生变化时，变分：对一般一元或多元函数，当自变量发生变化时，函数的一阶或高阶改变量可以表示为函数的一阶或高阶函数的一阶或高阶改变量可以表示为函数的一阶或高阶微分。但光程与一般的空间坐标函数不同，对给定点微分。但光程

9、与一般的空间坐标函数不同，对给定点AB，每一可能的光线路径均为空间坐标函数，而光程一，每一可能的光线路径均为空间坐标函数，而光程一般随不同路径而变化，即它可以称为函数的函数，这时般随不同路径而变化，即它可以称为函数的函数，这时光程的改变一般称为变分。光程的改变一般称为变分。光的折射定律介质界光的反射定律介质界面光的直线传播定律均匀介质由费马原理导出面，这说明，这说明，费马原理是几何光学三定律的一个理论概括。费马原理是几何光学三定律的一个理论概括。M是动点，入射是动点，入射反射光程为反射光程为L（QMP），M为待定的反射点，为待定的反射点，以满足以满足L（QMP）为极值：引入为极值：引入镜像对称

10、点镜像对称点Q，则则=，且，且L（QM）=L（ Q M），于是，于是L（QMP）= L（ Q MP），它，它QPQiin1n2M成为极小值的条件是成为极小值的条件是Q MP为直线，则：为直线，则：=即：即：i=i ,反射角等于入射角，反射线与入射线在同一个入射面反射角等于入射角，反射线与入射线在同一个入射面内。这正是光在界面的内。这正是光在界面的反射定律反射定律。 三、三、M是待定点，设是待定点，设AM=x,有有MB=d-x。入射。入射折射光程折射光程L（QMP）=n1QM+n2MPQBdi1i2abn1n2MAP222221xdbnxan于是普便的变分方程于是普便的变分方程L=0，在此被简化

11、为一元微分方，在此被简化为一元微分方程程 0dxxdL即即021212121222221xdxdbnxxan222221xdbxdnxaxn2211sinsininin得得这就是这就是折射定律折射定律1.5 费马原理与成像费马原理与成像物点物点Q 像点像点Q同心光束同心光束 同心光束同心光束同心光束的共轭变换同心光束的共轭变换等光程是指等光程是指L(QM1N1Q)=L(QM2N2Q)= 即即: : L(QMiNiQ)=const。与。与i无关。无关。可取反证法证之可取反证法证之 一、推论：一、推论：物像之间各条光线的光程是相等的物像之间各条光线的光程是相等的物物像等光程性。像等光程性。同心光束

12、：各光线本身或其沿长线交于同一点的光束。同心光束：各光线本身或其沿长线交于同一点的光束。意义：意义：严格等光程严格等光程严格成像严格成像近似等光程近似等光程近似成像近似成像不等光程不等光程不成像不成像表明：有了这个推论，便将成像的理论，推进到现实表明：有了这个推论，便将成像的理论，推进到现实的可操作的理论分析的境界。的可操作的理论分析的境界。 物像等光程性将是否成像与是否等光程两者对应物像等光程性将是否成像与是否等光程两者对应起来。起来。 二、费马原理应用于球面反、折射系统二、费马原理应用于球面反、折射系统由费马原理导出球面镜傍轴成像及其物像公式由费马原理导出球面镜傍轴成像及其物像公式物点物点

13、Q(s),待求待求“像像点点”Q(x)镜面半径镜面半径(-r),镜镜心于左心于左r0。L(QMQ )= L(QOQ )在同一介质中，即要求在同一介质中，即要求QM+MQ =QO+OQ ，其中，其中QO=s，OQ =xdrssdrddsdshdsQM22222222221sdrss同级近似同级近似,泰勒展开泰勒展开,互略互略d2项项.傍轴傍轴:d0,s 0物像点在右物像点在右,s0, s0傍轴是指倾角傍轴是指倾角u0或或r0或或0分别对应物点分别对应物点在球心的左方或右方；像距的在球心的左方或右方；像距的正负号约定与物距的相反正负号约定与物距的相反显微镜物镜显微镜物镜 五、阿贝正弦定理五、阿贝正

14、弦定理uynunysinsin0sinsinsiru0sinsinsiru00sinsinsinsinssiiuuyynnuusinsinVyyWuusinsinnnWV阿贝正弦定理是普遍成立的，也适用阿贝正弦定理是普遍成立的，也适用于复合透镜，它是傍轴小物很好成像，于复合透镜，它是傍轴小物很好成像，以消球差和慧差所必须满足的必要条以消球差和慧差所必须满足的必要条件，因此也称为件，因此也称为阿贝正弦条件阿贝正弦条件。例题：如图所示，一宽平例题：如图所示，一宽平行光束入射于一透镜，要行光束入射于一透镜，要求被严格聚焦于求被严格聚焦于F F点，试问点，试问透镜的第二曲面应当是何透镜的第二曲面应当是

15、何形状：形状：解解: :设动点为设动点为M, ,取极坐标取极坐标r()描述动点的轨迹描述动点的轨迹,它应当满足等光程性它应当满足等光程性,即即L(NMF)=L(OHOF) 00cosrrrnr cos111cos1100nrnnnrnr解出解出 cos1 eepr设计要求设计要求:n=1.5,R=5.0cm,D=10.00cm 2cos3cos5 . 115 . 1100rrr6 .26arctanDRMcmDRrM2 .1122cmrrMM64. 72cos30cmrDd36. 20/0612182426r/cm7.647.778.178.9510.3111.0 一、海市蜃楼一、海市蜃楼寒冷

16、海面上空：寒冷海面上空：高度高度y ，T ，n ypoennyn222mnnpo/303. 2,45836. 0,000233. 11.6 自然变折射率自然变折射率大气光学现象大气光学现象 二、沙洲神泉二、沙洲神泉炽热地面上空：炽热地面上空：高度高度y ，T ，n ypoennyn1222 三、大气电离层（三、大气电离层（D层）层） 222ynyno22ony 22221oonynyn被用于研究电磁波被电离层反射。被用于研究电磁波被电离层反射。 四、大气中声线的弯曲四、大气中声线的弯曲地面附近空气中，声速地面附近空气中，声速smtv/61. 045.3311.7 人工变折射率人工变折射率 一、

17、阶越型光纤一、阶越型光纤01n1n0n2222100sin.nnnAN 二、梯度型光纤二、梯度型光纤20211)(rnrn厚度厚度da，d10m,a100 madnfo1qonnaf22 用途用途：制成微透镜列阵，用于集成光学中的光耦：制成微透镜列阵，用于集成光学中的光耦合或光互连，也可以与光电元件搭配实现图像的光电转合或光互连，也可以与光电元件搭配实现图像的光电转换。换。 三、微透镜三、微透镜 四、强光变折射率四、强光变折射率强光强光 108W/cm2 n(I) n(r)自聚焦（类似于正透镜）自聚焦（类似于正透镜）在信息光学中，用于光存储；在信息光学中，用于光存储；“读出读出”、“写写入入”。自散焦（类似于负透镜）自散焦（类似于负透镜）1.8 光线方程光线方程441100sinsinsinnnn 1 折射率分层均匀折射率分层均匀222dydxds 2 折射率连续变化折射率连续变化任意小弧元任意小弧元,微分线段微分线段ds,有有122dxdsdxdysin1dxds 1sin022022nyndxdy dyndnxdyd2022022sin21一、特殊情形一、特殊情形n(y)rndsrdndsd 二、普便情形二、普便情形n(x,y,z)例题例题夏日夏日,机场跑道机场跑道,地勤人员能见到的最远的跑道地勤人员能见到的最远的跑道?分析