二次函数总结及相关典型题目

1、学习资料收集于网络，仅供参考二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分基础知识1. 定义： 一般地， 如果 yax 2bxc(a, b, c 是常数， a0) ，那么 y 叫做 x 的二次函数 .2. 二次函数（1）抛物线y ax 2 的性质yax 2 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.（2）函数 yax2 的图像与 a 的符号关系 .当当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点；a0时抛物线开口向下顶点为其最高点 .（3）顶点是坐标原点，对称轴是y2）.轴的抛物线的解析式形式为（yaxa03.二次函数yax 2bx c 的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线 .4.二 次 函 数 yax 2

2、bx c 用 配 方 法 可 化 成 ： y a xh 2k 的 形 式 ， 其 中b， k4acb2h.2a4a5.二 次 函 数 由 特 殊 到 一 般 ， 可 分 为 以 下 几 种 形 式 ： yax 2 ； yax 2k ； y a x h 2 ； y a x h 2k ； y ax 2bx c .6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a 的符号决定抛物线的开口方向：当a 0 时，开口向上；当a0 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同 .平行于 y 轴（或重合）的直线记作x h . 特别地， y 轴记作直线 x 0 .7.顶点决定抛物线的位置. 几个不同的二次函

3、数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8. 求抛物线的顶点、对称轴的方法b22b4acb2（ 1）公式法：24ac by axbx c a x（，）4a，顶点是2a4a，2a对称轴是直线 xb.2a（ 2）配方法： 运用配方的方法，将抛物线的解析式化为学习资料ya xh 2k 的形式， 得到顶学习资料收集于网络，仅供参考点为 ( h , k ) ，对称轴是直线xh .（ 3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进

4、行验证，才能做到万无一失.9. 抛物线 yax 2bx c 中， a,b,c 的作用（ 1） a 决定开口方向及开口大小，这与yax 2 中的 a 完全一样 .（ 2） b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线 yax 2bx c 的对称轴是直线xb0 时，对称轴为b0 （即 a 、 b 同号）时，对称轴，故： by 轴；2aa在 y 轴左侧； b0 （即 a 、 b 异号）时，对称轴在y 轴右侧 .a（ 3） c 的大小决定抛物线y ax 2bxc 与 y 轴交点的位置 .当 x0时， y c ，抛物线 yax2bx c 与 y 轴有且只有一个交点（ 0， c ）： c0，抛物线

5、经过原点 ; c0 , 与 y 轴交于正半轴； c0 , 与 y 轴交于负半轴 .以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立. 如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则b0 .a10. 几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标yax 2x0 （ y 轴）（0,0 ）yax 2kx0 （ y 轴）(0,k )ya xh2当 a 0时xh(h ,0)ya xh 2k开口向上xh(h ,k )y ax 2bx c当 a 0时xbb 4ac b 2开口向下2a(，)2a4a11. 用待定系数法求二次函数的解析式（ 1）一般式： y ax 2 bx c . 已知图像上三点或三对 x 、 y

6、 的值，通常选择一般式 .学习资料学习资料收集于网络，仅供参考（ 2）顶点式： y a xh 2k . 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（ 3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标 x1、x2 ，通常选用交点式： y a x x1 x x2 .12. 直线与抛物线的交点（ 1） y 轴与抛物线yax 2bxc 得交点为 (0,c ).（ 2 ） 与 y 轴 平 行 的 直 线 xh 与 抛 物 线 yax 2bxc 有 且 只 有 一 个 交 点( h , ah 2bhc ).（ 3）抛物线与x 轴的交点二次函数yax 2bxc 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标x1 、 x2 ，是对应

7、一元二次方程ax 2bxc0 的两个实数根 . 抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与 x 轴相交；有一个交点（顶点在x 轴上）0抛物线与x 轴相切；没有交点0抛物线与 x 轴相离 .（ 4）平行于 x 轴的直线与抛物线的交点同（ 3）一样可能有0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是 ax 2bxck 的两个实数根 .（ 5）一次函数 ykxn k0的图像 l 与二次函数yax2bxc a0 的图像 G的交点，由方程组ykxn的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时yax

8、2bxcl 与 G 有两个交点 ; 方程组只有一组解时l 与 G 只有一个交点； 方程组无解时l 与 G 没有交点 .（ 6 ）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线yax2bxc 与 x 轴两交点为A x ， B x ， ，由于x1、 x2是方程 ax2bxc 0 的两个根，故102 0x1x2b , x1 x2caab2b 24acAB x1x2x1x22x1 x224x1 x24caaaa学习资料学习资料收集于网络，仅供参考第二部分典型习题考点 1: 函数的三种形式. 抛物线 y x2 2x2的顶点坐标是（）A. （ 2， 2）B.（ 1， 2）C.（ 1， 3）D.（ 1， 3）2.

9、 抛物线 y=2(x-3) 2 的顶点在 ()A. 第一象限B. 第二象限C. x 轴上D. y 轴上3抛物线 y （ x21的顶点坐标是2）A（2，1）B （-2， -1）C（-2， 1）D （ 2， -1）4如图，抛物线 yax2bx c 与 x 轴交于点 (1,0) ，对称轴为x 1 ，则下列结论中正确的是A a0B当 x1时， y 随 x 的增大而增大C c0D x3是一元二次方程 ax2bx c0 的一个根5抛物线 y=x2+bx+c，经过 A(-1 ，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_.6.已知抛物线yx24x5.（ 1）直接写出它与x 轴、 y 轴的交点的坐标；（

10、2）用配方法将yx24 x5 化成 ya( xh)2k 的形式7. 已知二次函数y=x2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：x-101234y830-103(1) 求该二次函数的解析式；(2) 当 x 为何值时， y 有最小值，最小值是多少？(3)若 A（ m, y1）, B( m+2, y2) 两点都在该函数的图象上，计算当 m 取何值时， y1y2 ?学习资料学习资料收集于网络，仅供参考8. 抛物线 y=ax2+bx+c 上部分点的横坐标x，纵坐标 y 的对应值如下表：x 2 1012y0 4408（ 1）根据上表填空：抛物线与 x 轴的交点坐标是和；抛物线经过点(-

11、3,)；在对称轴右侧，y 随 x 增大而；（ 2）试确定抛物线 y=ax2 +bx+c 的解析式 .解 : （ 1）抛物线与x 轴的交点坐标是和； 抛物线经过点(- 3,)； 在对称轴右侧，y 随 x 增大而.（ 2）考点 2.a 、b、c 符号问题1、已知二次函数 y ax 2 bxc 的图象如图所示，则下列结论正确的是（） ab 0， c0 ab 0， c 0 ab 0， c 0 ab 0， c 0y1O1x第 1,2题图第 3题图2. 二次函数 y ax 2 bx c 的图象如上图所示，则下列结论正确的是（）A a0， b 0， c 0Ba 0， b0， c 0C a0， b 0， c

12、0Da 0， b 0， c 03 已知二次函数y ax2 bx c 的图象如上图所示，则下列结论中正确的是()A a>0Bc 0C b 24ac 0D a b c>04. 已知抛物线 y=ax 2+bx+c 的图象如右图所示，则下列结论正确的是（）A a+b+c> 0B b> -2aC a-b+c> 0D c< 05. 抛物线 y=ax2+bx+c 中， b 4a，它的图象如右图，有以下结论： c>0； a+b+c> 0a-b+c> 0 b2-4ac<0 abc<0 ； 其 中 正 确 的 为（ ）ABCD学习资料学习资料收集于

13、网络，仅供参考6. 已知二次函数 y ax2 bx c，如果 a>b>c，且 a b c0，则它的图象可能是图所示的()yyyyO1xO 1xO1 xO1 xABCD7二次函数 yax 2 bxc 的图象如图所示， 那么 abc，b2 4ac， 2a b，a b c四个代数式中，值为正数的有( )A.4 个B.3 个C.2 个D.1 个考点 3：二次函数的增减性1. 二次函数y=3x 2 6x+5 ，当 x>1 时， y 随 x 的增大而；当 x<1 时， y 随 x 的增大而；当 x=1 时，函数有最值是。2. 已知函数 y=4x 2 mx+5 ，当 x> 2

14、时 ,y 随 x 的增大而增大； 当 x< 2 时，y 随 x 的增大而减少；则当 x 1 时 ,y 的值为。3. 已知二次函数y=x2 (m+1)x+1 ，当 x 1 时，y 随 x 的增大而增大， 则 m的取值范围是.4. 已知二次函数y=125的图象上有三点 A(x ,y ),B(x,y ),C(x,y) 且 3<x<x <x ，x +3x+23122112323则 y,y ,y3的大小关系为.12考点 :4 ：图象平移对称问题1将抛物线 yx2 先向下平移1 个单位长度后，再向右平移1 个单位长度，所得抛物线的解析式是2.将抛物线 yx2向左平移2 个单位，再向

15、上平移1 个单位后，得到的抛物线的解析式为3.将抛物线 y=x2 平移得到抛物线 y=x2+3, 则下列平移过程正确的是()A. 向上平移3 个单位B. 向下平移 3个单位C. 向左平移3 个单位D. 向右平移 3个单位4.抛物线 y=2x 2 4x关于 y 轴对称的抛物线的关系式为。5.抛物线 y=ax 2+bx+c 关于 x 轴对称的抛物线为 y=2x 2 4x+3，则 a=b=c=学习资料学习资料收集于网络，仅供参考6(k 2) x2（其中k0）已知抛物线 y kx2（ 1）求该抛物线与x 轴的交点坐标及顶点坐标 (可以用含 k 的代数式表示 )；2P( m,n)，直接写出 n 的最小值

16、；（ ）若记该抛物线的顶点坐标为（ 3）将该抛物线先向右平移1 个单位长度， 再向上平移1 个单位长度， 随着 k 的变化，2k平移后的抛物线的顶点都在某个新函数的图象上，求这个新函数的解析式（不要求写自变量的取值范围） 考点 5：三个二次问题：1. 已知二次函数y kx2(2k 1) x1 与 x 轴交点的横坐标为 x1 、 x2 （ x1 x2 ），则对于下列结论：当x 2 时， y 1；当x x2 时， y 0；方程kx2(2k x有1)1 0两个不相等的实数根 x1 、 x2 ； x11， x21 ； x2 x11 4k 2，其中所有正k确的结论是（只需填写序号） 2.已知二次函数y1

17、 x2x ，（ 1）它的最大值为；（ 2）若存在实数 m，n 使得当自变2量 x 的取值范围是m x n 时，函数值 y 的取值范围恰好是 3m y3n，则 m=，n=3. 已知二次函数y ax22 的图象经过点（1， 1）求这个二次函数的解析式，并判断该学习资料学习资料收集于网络，仅供参考函数图象与x 轴的交点的个数4已知函数 y x2bxc （x ）0，满足当 x =1 时， y1 ，且当 x = 0 与 x =4 时的函数值相等（ 1）求函数 yx2bx c （ x ）0的解析式并画出它的图象（不要求列表） ；（ 2）若 f ( x) 表示自变量x 相对应的函数值，且f ( x)x2bx

18、c (x 0),2 ( x又已知关于 x 的方程0),f ( x)xk 有三个不相等的实数根，请利用图象直接写出实数k 的取值范围考点 6：二次函数的应用1某商店销售一种进价为 20 元 /双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w(双 )与销售单价 x(元 )满足 w2x 80 (20 x 40),设销售这种手套每天的利润为y（元） .（ 1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（ 2）当销售单价定为多少元时 , 每天的利润最大？最大利润是多少？解 :2已知二次函数ym x2 +(3- m )x- 3 (m>0) 的图象与 x 轴交于点 (x1, 0)和(x2, 0), 且 x1<

19、;x2.学习资料学习资料收集于网络，仅供参考（ 1）求 x2 的值 ;22（ 2）求代数式 m x1m x1 (3 m ) x1 6 m x1 9 的值 .考点 7：二次函数与一次函数1. 若一次函数y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx 的图象只可能是 ()2. 当 b<0 是一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2+bx+c 在同一坐标系内的图象可能是（）3. 已知直线 y2xb b 0 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B；一抛物线的解析式为y x 2b 10 xc .（ 1）若该抛物线过点B，且它的顶点P 在直线 y2x b 上，试确定这条

20、抛物线的解析式；（ 2）过点 B 作直线 BCAB 交 x 轴交于点C，若抛物线的对称轴恰好过C 点，试确定直线y 2 x b 的解析式 .考点 8：代数几何综合问题学习资料学习资料收集于网络，仅供参考1. 如图，已知ABC 中， BC=8， BC上的高 h4 ， D 为 BC上一点， EF / / BC ，交 AB于点E，交 AC于点 F（ EF不过 A、B），设 E 到 BC的距离为 x ，则DEF 的面积 y 关于 x 的函数的图象大致为（）y4444O24xO24O24O24ABCD2. 抛物线 yx22x3 与 x 轴分别交于A、 B 两点，则 AB的长为3. 如图所示，已知二次函数

21、 y=ax2+bx+c(a 0)的图象的顶点 P 的横坐标是 4，图象交 x 轴于点 A(m ，0)和点 B，且 m>4，那么 AB 的长是()A. 4+mB. mC. 2m-8D. 8-2m4. 某大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分在大桥截面1 11000 的比例图上，跨度AB5 cm，拱高 OC 0. 9 cm，线段 DE表示大桥拱内桥长，DE AB，如图（ 1）在比例图上，以直线 AB为 x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以 1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）（ 1）求出图（ 2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（ 2）如果 DE与 A

22、B的距离 OM 0. 45 cm，求卢浦大桥拱内实际桥长 （备用数据：2 1.4，计算结果精确到1 米）学习资料学习资料收集于网络，仅供参考5. 已知抛物线 yax 2( 43a) x 4 与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于点 C是否存在3实数 a，使得 ABC为直角三角形若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由6. 如图 , 已知抛物线经过坐标原点 O 及 A( 2 3, 0) ，其顶点为 B( m, 3), C 是 AB 中点，点 E 是直线 OC 上的一个动点 (点 E 与点 O 不重合 )，点 D 在 y 轴上 , 且 EO=ED .（ 1）求此抛物线及直线 OC 的解析式；（ 2）当点 E 运动到抛物线上时 , 求 BD 的长；33（ 3）