中考数学二次函数压轴题题型归纳

1、学习资料收集于网络，仅供参考中考二次函数综合压轴题型归类一、常考点汇总1、两点间的距离公式 ： ABy AyB2x AxB22、中点坐标 ：线段 AB 的中点 C 的坐标为：xAxByA yB2，2直线 y k1 x b1 （ k1 0）与 yk 2 xb2 （ k20 ）的位置关系：（ 1）两直线平行k1k2 且 b1b2（ 2）两直线相交k1k2（ 3）两直线重合k1k2 且 b1b2（ 4）两直线垂直k1k213、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：用 和参数的其他要求确定参数的取值范围；解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次

2、根式，被开方式是完全平方式。例：关于 x 的一元二次方程 x 22 m1 xm 20 有两个整数根， m5且 m 为整数，求 m 的值。4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上）例：若抛物线ymx23m1 x3 与 x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物线的解析式。5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：已知关于 x 的方程 mx23(m1)x2m30（ m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。解：当 m 0 时， x1；当 m 0时，m3 20 ， x3 m 1， x1 23 、 x21 ；2mm综上所述：无论m 为何

3、值，方程总有一个固定的根是1。6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线 yx2mxm2 （ m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。解：把原解析式变形为关于m 的方程 yx 22m 1x ；学习资料学习资料收集于网络，仅供参考yx 22 0 ，解得：y1；1x0x 1 抛物线总经过一个固定的点（1， 1）。（题目要求等价于：关于m 的方程 yx 22m 1 x 不论 m 为何值，方程恒成立）小结 ：关于x 的方程axb有无数解a0b07、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）（ 1）如图，直线 l1 、 l 2 ，点 A 在 l 2 上，分别

4、在 l1 、 l 2 上确定两点 M 、 N ，使得 AM MN 之和最小。（ 2）如图，直线l1 、 l 2 相交，两个固定点A 、 B ，分别在 l1 、 l 2 上确定两点 M 、 N ，使得BMMNAN 之和最小。（ 3）如图， A、B 是直线 l 同旁的两个定点，线段左侧 ），使得四边形AEFB 的周长最小。a ，在直线l上确定两点E、F（E 在 F的8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法三角形的面积求解常用方法：如右图，S· PM· x=1/2 · AN· y PAB=1/2学习资料学习资料收集于网络，仅供参考9、函数的交点问

5、题：二次函数（y ax2 bx c ）与一次函数（y kx h ）（1）解方程组yax2bx c 可求出两个图象交点的坐标。ykxh2（2）解方程组yax bx c ，即 ax 2 bk x c h0 ，ykxh通过可判断两个图象的交点的个数有两个交点仅有一个交点没有交点00010、方程法（ 1）设：设主动点的坐标或基本线段的长度（ 2）表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量（ 3）列方程或关系式11、几何分析法特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。几何要求几何分析跟平行有关的平移图形勾股定理逆定理跟直

6、角有关的利用相似、全等、平图形行、对顶角、互余、互补等跟线段有关的利用几何中的全等、图形中垂线的性质等。利用相似、全等、平跟角有关的图行、对顶角、互余、形互补等涉及公式l 1 l 2k1 k2y1y2、 kx2x1ABy AyB 2x AxB 2AB22y A yBx A xB应用图形平行四边形矩形梯形直角三角形直角梯形矩形等腰三角形全等等腰梯形y【例题精讲】学习资料BOAxCD学习资料收集于网络，仅供参考一 基础构图：y= x22x3 （以下几种分类的函数解析式就是这个）和 最小，差最大在对称轴上找一点P，使得 PB+PC的和最小，求出P 点坐标在对称轴上找一点P，使得 PB-PC的差最大，

7、求出P 点坐标求面积最大连接 AC,在第四象限找一点P，使得ACP 面积最大，求出P 坐标 讨论直角三角连接 AC,在对称轴上找一点P，使得ACP 为直角三角形，求出 P 坐标或者在抛物线上求点P，使 ACP是以 AC为直角边的直角三角形 讨论等腰三角连接 AC,在对称轴上找一点P，使得ACP 为等腰三角形，求出 P坐标 讨论平行四边形1 、点 E在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，且以 B， A， F， E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F 的坐标yBOAxCDyBOAxCDyBOAxCD二 综合题型例 1(中考变式） 如图，抛物线 yx 2bxc 与 x 轴交与 A(1,0),B(

8、-3，0) 两点，顶点为 D。交Y轴于C(1) 求该抛物线的解析式与ABC的面积。学习资料学习资料收集于网络，仅供参考(2) 在抛物线第二象限图象上是否存在一点 M，使 MBC是以 BCM为直角的直角三角形，若存在，求出点 P 的坐标。若没有，请说明理由(3) 若 E 为抛物线 B、 C 两点间图象上的一个动点 ( 不与 A、 B 重合 ) ，过 E 作 EF 与 X 轴垂直 ，交 BC于 F，设 E 点横坐标为x.EF 的长度为L，求 L 关于 X 的函数关系式？关写出X 的取值范围？当 E点运动到什么位置时，线段EF的值最大，并求此时E 点的坐标？(4) 在（ 5）的情况下直线BC与抛物线

9、的对称轴交于点H。当 E 点运动到什么位置时, 以点 E、 F、H、D 为顶点的四边形为平行四边形？(5) 在（ 5）的情况下点E 运动到什么位置时，使三角形BCE的面积最大？例 2考点：关于面积最值学习资料学习资料收集于网络，仅供参考如图，在平面直角坐标系中，点A、 C 的坐标分别为 ( 1，0) 、 (0 ， 3 ) ，点 B 在 x 轴上已知某二次函数的图象经过A、 B、 C 三点，且它的对称轴为直线x 1，点 P 为直线 BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与 B、 C不重合），过点 P作 y 轴的平行线交BC于点 F（ 1）求该二次函数的解析式；y（ 2）若设点 P 的横坐标为

10、m，试用含 m的代数式表示线段PF的长；（ 3）求 PBC面积的最大值，并求此时点P 的坐标A OFBxCPx 1例 3考点：讨论等腰如图，已知抛物线y1x2bxc与y轴相交于，与x轴相交于、 ，点A的坐标为（ 2， 0），2CA B点 C的坐标为（ 0， 1）（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）点 E是线段 AC上一动点，过点 E 作 DE x 轴于点 D，连结 DC，当 DCE的面积最大时，求点D的坐标；（ 3）在直线 BC上是否存在一点 P，使 ACP为等腰三角形，若存在，求点 P 的坐标，若不存在，说明理由yyDxB OAB OAxECC备用图例 4 考点：讨论直角三角 如图，已知点A（

11、一 1， 0）和点 B（ 1，2），在坐标轴上学习资料学习资料收集于网络，仅供参考确定点 P，使得 ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有（）(A ）2个（B） 4个 （C）6个（ D）7个 已知：如图一次函数y1x 1 的图象与x轴交于点，与y轴交于点 ；二次函数y122AB2xbxc的图象与一次函数y1x 1 的图象交于、 两点，与x轴交于、 两点且D点坐标为 （1，2B CD E0）（ 1）求二次函数的解析式；（ 2）求四边形 BDEC的面积 S；（ 3）在 x 轴上是否存在点 P，使得 PBC是以 P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由yC2Bx

12、AODE例 5考点：讨论四边形2已知：如图所示， 关于 x 的抛物线 y ax x c（a 0）与 x 轴交于点 A（ 2，0），点 B（6，0），与 y 轴交于点 C（ 1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（ 2）在抛物线上有一点 D，使四边形 ABDC为等腰梯形，写出点 D的坐标，并求出直线 AD的解析式；（ 3）在（ 2）中的直线AD交抛物线的对称轴于点M，抛物线上有一动点否存在以A、 M、 P、Q为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点P，x 轴上有一动点Q是Q的坐标；如果不存在，请说明理由yCAOBx综合练习：1、平面直角坐标系xOy中，抛物线yax24ax4ac 与x 轴交

13、于点A、点B，与y 轴的正半轴学习资料学习资料收集于网络，仅供参考交于点 C，点 A的坐标为 (1, 0)， OB OC，抛物线的顶点为D。(1) 求此抛物线的解析式；(2) 若此抛物线的对称轴上的点 P 满足 APB ACB，求点 P 的坐标；(3)Q为线段 BD上一点，点A关于 AQB的平分线的对称点为A ，若 QAQB2 ，求点 Q的坐标和此时 QAA 的面积。2、在平面直角坐标系 xOy 中，已知二次函数 yax2 +2ax c 的图像与 y 轴交于点 C 0，3 ，与 x轴交于 A、 B两点，点 B 的坐标为3，0 。（ 1） 求二次函数的解析式及顶点D的坐标；（ 2） 点 M是第二

14、象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形 ACDB分成面积为 1 ： 2 的两部分，求出此时点M 的坐标；（ 3） 点 P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时 CPB 的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P 的坐标。3、如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y2 x2 2 x 与 x 轴负半轴交于点 A ，顶点为 B ，m且对称轴与x 轴交于点 C 。（ 1）求点 B 的坐标（用含 m 的代数式表示）；学习资料学习资料收集于网络，仅供参考（ 2） D 为 OB 中点，直线AD 交 y 轴于 E ，若 E （ 0， 2），求抛物线的解析式；（ 3）在（ 2）的条件下，点M在直

15、线OB 上，且使得AMC 的周长最小，P 在抛物线上，Q 在直线 BC 上，若以A、 M、 P、 Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标。4、已知关于 x 的方程 (1 m) x2(4 m) x3 0 。（1） 若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（ 2） 若正整数 m 满足 8 2m2 ，设二次函数y (1m) x2(4 m) x 3 的图象与 x 轴交于A、B 两点，将此图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象；请你结合这个新的图象回答：当直线 ykx3 与此图象恰好有三个公共点时，求出 k 的值（只需要求出两个满足题意的k 值即可）。

16、5 如图，抛物线 y=ax2+2ax+c（a0）与 y 轴交于点 C（ 0，4），与 x 轴交于点 A（ 4， 0）和 B（ 1）求该抛物线的解析式；（ 2）点 Q是线段 AB 上的动点，过点 Q作 QEAC，交 BC于点 E，连接CQ当 CEQ的面积最大时，求点Q的坐标；学习资料学习资料收集于网络，仅供参考（ 3）平行于 x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P，与直线 AC交于点 F，点 D 的坐标为 （ 2，0）问是否有直线l ，使 ODF是等腰三角形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由三、中考二次函数代数型综合题题型一、抛物线与x 轴的两个交点分别位于某定点的两侧2例 1已知

17、二次函数yx ( m 1) x m 2 的图象与 x 轴相交于 A（ x1， 0）， B（ x2， 0）两点，且x1 x2（ 1）若 x1x2 0，且 m为正整数，求该二次函数的表达式；（ 2）若 x1 1，x2 1，求 m的取值范围；（ 3）是否存在实数 m，使得过 A、 B 两点的圆与y 轴相切于点C（ 0， 2），若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；1MD1（ 4）若过点 D（ 0， 2 ）的直线与（ 1）中的二次函数图象相交于M、N两点，且DN 3，求该直线的表达式题型二、 抛物线与x 轴两交点之间的距离问题2例 2 已知二次函数 y= x +mx+m-5，（ 1）求证：不论 m

18、取何值时，抛物线总与 x 轴有两个交点；（ 2）求当 m取何值时，抛物线与 x 轴两交点之间的距离最短题型三、抛物线方程的整数解问题例 1已知抛物线yx22( m1)xm20 与 x 轴的两个交点的横坐标均为整数，且 m 5，则整数 m的值为 _2例 2已知二次函数yx 2mx4m8学习资料学习资料收集于网络，仅供参考（ 1）当 x 2 时，函数值 y 随 x 的增大而减小，求m的取值范围；2AMN （ M，N两点在（ 2）以抛物线 y x 2mx 4m8 的顶点 A 为一个顶点作该抛物线的内接正拋物线上），请问：AMN的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明y理由；2（

19、 3）若抛物线yx 2mx 4m8 与 x 轴交点的横坐标均为整数，求整数 m的值OxA题型四、抛物线与对称，包括：点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合例 1已知抛物线yx2bxc （其中 b>0，c 0）与 y 轴的交点为A，点 A 关于抛物线对称轴的对称点为 B( m, n) ，且 AB=2.(1) 求 m, b 的值(2) 如果抛物线的顶点位于 x 轴的下方，且 BO= 20 。求抛物线所对应的函数关系式（友情提醒：请画图思考）题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用（线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等）例 1已知：二次函数yx24xm 的图象与 x 轴交于不同的两点A（

20、x1 ，0）、B（ x2 ，0）（ x1 x2 ），其顶点是点 C，对称轴与 x 轴的交于点 D（ 1）求实数 m的取值范围；（ 2）如果（ x1 +1）（ x2 +1） =8，求二次函数的解析式；（ 3）把（ 2）中所得的二次函数的图象沿y 轴上下平移，如果平移后的函数图象与x 轴交于点A1 、B1 ，顶点为点C1，且A1 B1C1 是等边三角形，求平移后所得图象的函数解析式综合提升1已知二次函数的图象与x 轴交于A， B两点，与y 轴交于点C（ 0，4），且|AB|23，图象的对称轴为 x1（1）求二次函数的表达式；（2）若二次函数的图象都在直线y x m的下方，求m的取值范围学习资料学习

21、资料收集于网络，仅供参考2已知二次函数2y x mx m 2（1）若该二次函数图象与x 轴的两个交点A、 B分别在原点的两侧，并且AB5，求 m的值；（2）设该二次函数图象与y 轴的交点为 C，二次函数图象上存在关于原点对称的两点M、N，且 SMNC 27，求的值m223. 已知关于 x 的一元二次方程 x 2( k 1) x k 0 有两个整数根， k 5 且 k 为整数（1）求 k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2 2( k 1) x k2y x的图象沿 x轴向左平移 4 个单位，求平移后的二次函数图象的解析式；（3）根据直线 y x b 与（ 2）中的两个

22、函数图象交点的总个数，求b 的取值范围4已知二次函数的图象经过点A（ 1， 0）和点 B（2， 1），且与 y 轴交点的纵坐标为m（1）若 m为定值，求此二次函数的解析式；（2）若二次函数的图象与x 轴还有异于点A 的另一个交点，求m的取值范围；（3）若二次函数的图象截直线y x 1 所得线段的长为22，求 m的值四、中考二次函数定值问题1. 如图，已知二次函数 L1： y=x2 4x+3 与 x 轴交于 A B 两点（点 A 在点 B 左边），与 y 轴交于点C学习资料学习资料收集于网络，仅供参考（ 1）写出二次函数 L1 的开口方向、对称轴和顶点坐标；（ 2）研究二次函数 L2： y=kx 2 4kx+3k （k0）写出二次函数L2 与二次函数L1 有关图象的两条相同的性质；若直线y=8k 与抛物线L2 交于 E、F 两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由2.如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A( 2，O)、B(2 ， 0) 、C(0， l) 三点，过坐标原点O的直线 y=kx 与抛物线交于M、 N 两点分别过点C、 D(0， 2) 作平行于x