二元一次不等式(组)与简单的线性规划知识点和典型题(高一数学2份)

1、二元一次不等式 ( 组 ) 与简单的线性规划问题1.二元一次不等式表示的平面区域(1) 一般地，二元一次不等式Ax ByC>0 在平面直角坐标系中表示直线Ax By C0 某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线. 当我们在坐标系中画不等式AxBy C 0 所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线 .(2) 由于对直线 Ax ByC 0 同一侧的所有点 (x， y)，把它的坐标 ( x，y)代入 Ax By C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0， y0)作为测试点，由Ax0 By0 C 的符号即可判断Ax B

2、y C>0 表示的直线是 Ax By C 0 哪一侧的平面区域 .2.线性规划相关概念名称意义约束条件由变量 x， y 组成的一次不等式线性约束条件由 x， y 的一次不等式 (或方程 )组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于 x， y 的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3.应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是(1) 在平面直角坐标系内作出可行域.(2) 考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形.(3) 确定最优解：

3、在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解.(4) 求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.2 2(2) 不等式 x y <0 表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有 y 轴的两块区域 .()3x y6<0 ，1.不等式组x y 2>0，表示的平面区域是下图中的x 0， y 0阴影部分.(×)2.下列各点中，不在x y 10表示的平面区域内的是()A.(0,0)B.( 1,1)C.( 1,3)D.(2 ， 3)xy 1，3.若实数 x， y 满足不等式组x y1，则该约束条件所3x y 3，围成的平面区域的面积是

4、 ()5A.3B. 2C.2D.22y 2x，4.(2013 湖·南 )若变量 x， y 满足约束条件x y 1，则 x2y 的最大值是 ()y 1，555A. 2B.0C.3D.2答案C解析画出可行域如图 .设 z x 2y，平行移动直线y11z，当直线1z过点 M12时， z 取最大值5，2xy x，332223所以 (x 2y)max 53.x y2 0，5.(2013 浙·江 )设 z kxy，其中实数x， y 满足x 2y 4 0，2x y 4 0.若 z 的最大值为 12，则实数 k _.答案2解析作出可行域如图阴影部分所示：由图可知当0 k<1时，直线y

5、 kx z 经过点 M(4,4)时 z 最大，所以4k 4 12，解得 k2 2(舍去 )；当 k 12时，直线y kxz 经过点 (0,2)时 z 最大，此时z 的最大值为2，不合题意；当 k<0 时，直线 y kx z 经过点 M(4,4)时 z 最大，所以4k 4 12，解得 k 2，符合题意 .综上可知， k 2.题型一二元一次不等式(组 )表示的平面区域练习 :如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B( 2,2)，C(2,6)，试写出 ABC 及其内部区域所对应的二元一次不等式组.解由已知得直线AB、BC 、CA 的方程分别为直线AB ：x 2

6、y 2 0，直线 BC： x y 4 0，直线 CA： 5x 2y2 0， 原点 (0,0)不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得不等式x y4 0组为x 2y 2 0.5x 2y2 0题型二求线性目标函数的最值x 4y 3例 2设 x， y 满足约束条件：3x 5y 25 ，求 z x y 的最大值与最小值 .x 1思维启迪作可行域后，通过平移直线l 0： xy 0来寻找最优解，求出目标函数的最值.解先作可行域，如图所示中 ABC 的区域，且求得A(5,2)、B(1,1)、C(1，22)，作出直线 l0：x y 0，再将直线 l 0 平移，当5l 0 的平行线 l

7、1 过点 B 时，可使 z x y 达到最小值；当 l0 的平行线 l2 过点 A 时，可使 z x y 达到最大值 .故 zmin 2， zmax 7.思维升华(1) 线性目标函数的最大(小) 值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得.(2) 求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系 .0x 2，(1) 已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组y 2，给定 .若x 2yM(x， y)为 D 上的动点，点A 的坐标为 ( ()2， 1)，则 zOM ·OA的最大值为A.3B.4C.32D.42x 1，(2)(2013 课&

8、#183;标全国 )已知 a>0，x，y 满足约束条件x y 3， 若 z 2xy 的最小值为 1， y a x 3 ，则 a 等于()11A. 4B.2C.1D.2答案 (1)B(2)B0 x2，解析(1)由线性约束条件y 2，x2y画出可行域如图阴影部分所示， 目标函数 zOM ·OA 2x y，将其化为 y 2x z，结合图形可知，目标函数的图象过点 ( 2，2) 时，、 z 最大，将点 ( 2， 2)的坐标代入 z 2xy 得 z 的最大值为 4.(2) 作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分 ).易知直线z 2x y 过交点 A 时， z 取最小值，由 x 1，得

9、x 1， zmin 22a 1，解得 a 1，故选 B.ya x3 ，y 2a，2题型四求非线性目标函数的最值x y 2 0，则 y的最大值为 _.例 4(1) 设实数 x， y 满足 x 2y 4 0，2y 3 0，xx y2，(2) 已知 O 是坐标原点， 点 A(1,0)，若点 M(x，y)为平面区域x 1，上的一个动点， 则 |OAy 2， OM |的最小值是 _.思维启迪与二元一次不等式(组 )表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成.答案(1)3(2)3222解析(1)y表示点 ( x，y)与原点 (0,0)连线的斜率，在点(1， 3)

10、处取到最大值 .x2 x 122(2) 依题意得， OAOM (x 1， y)， |OA OM |y 可视为点( x，y)与点 ( 1,0)间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点(1,0)向直线x y 2 引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点( 1,0)的距离最小，因此|OA OM |的最|1 0 2|32小值是22.思维升华常见代数式的几何意义有(1) x2 y2 表示点 (x， y)与原点 (0,0)的距离；(2) xa 2 y b 2表示点 ( x， y)与点 (a， b)之间的距离；y(3) x表示点 (x， y)与原点 (0,

11、0)连线的斜率；y b(4)表示点 (x， y)与点 (a， b)连线的斜率 .x 1，设不等式组x 2y 3 0，所表示的平面区域是1，平面区域2 是与 1 关于y x，直线 3x4y 9 0 对称的区域，对于 中的任意一点A 与 中的任意一点B， |AB|的最小12值等于()2812A. 5B.4C. 5D.2答案B解析由题意知，所求的|AB|的最小值，即为区域1 中的点到直线 3x 4y9 0 的距离的最小值的两倍， 画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点 (1,1) 到直线 3x4y 9 0 的距离最小，故 |AB|的最小值为 2× |3× 1 4

12、5; 19| 4，选 B. 5方法与技巧1.平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线 ).2.求最值：求二元一次函数z ax by (ab 0)的最值，将函数z ax by 转化为直线的斜截式：a zzz 的最值 .最优解在顶点或边界取得 .y bxb，通过求直线的截距b的最值间接求出3.解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题.失误与防范1.画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化.2.在通过求直线的截距z的最值间接求出 z 的最值时，要注意：当b>0 时，截距 z取最大

13、值时，zbb也取最大值；截距z取最小值时，z 也取最小值；当b<0 时，截距 z取最大值时， z 取最小值；bbz截距取最小值时， z 取最大值 .A 组专项基础训练一、选择题y x 13，则 t 的值为 (1.在直角坐标平面内，不等式组y 0所表示的平面区域的面积为)0 x t2A. 3或 3B.3 或 1C.1D.3答案Cyx 1解析不等式组y 0所表示的平面区域如图中阴影部分所示.0x ty x1由解得交点 B(t， t 1)，在 yx 1 中，令 x 0 得 y 1，x t即直线 y x 1 与 y 轴的交点为C(0,1) ，由平面区域的面积 S 1 t1 × t 3，

14、得 t2 2t 322 0，解得 t1 或 t 3(不合题意，舍去 )，故选 C.x 0，2.直线 2xy 10 0 与不等式组y0，()表示的平面区域的公共点有xy 2，4x 3y 20A.0 个B.1 个C.2 个D. 无数个答案B解析在坐标平面内画出直线2x y 10 0 与不等式组表示的平面区域，易知直线与此区域的公共点有 1 个 .3x y 60，3.(2013 天·津 )设变量 x， y 满足约束条件x y 2 0，则目标函数 z y 2x 的最小值为y 3 0，()A. 7B.4C.1D.2答案A解析可行域如图阴影部分(含边界 )令 z 0，得直线l0： y 2x 0，

15、平移直线l 0 知，当直线l 过 A 点时，y3，得 A(5,3). zmin 3 2× 5 7，选 A.z 取得最小值 .由x y 2 04.O 为坐标原点，点M 的坐标为 (1,1) ，若点 N(x， y)的坐标满足x2 y2 4，2x y 0， ()则 OM ·ON的最大值为y 0，A. 2B.2 2C.3D.23答案B解析如图，点 N 在图中阴影区域内，当 2)，O、M、N 共线时， OM·ON最大，此时 N( 2， (·2，2) 22，故选 B.OM ·ON (1,1)2x y 2 0，5.(2013 山·东 )在平面直角坐

16、标系xOy 中， M 为不等式组x 2y 1 0，所表示的区域上一3x y 8 0动点，则直线OM 斜率的最小值为()11A.2B.1C. 3D. 2解析画出图形，数形结合得出答案 .2x y2 0，如图所示，x 2y1 0，所表示的平面区域为图中的阴影部分.3x y8 0x 2y 1 0，1由得 A(3 ， 1).当 M 点与 A 重合时， OM 的斜率最小， kOM.3x y 8 0，3二、填空题y x，6.已知 z 2x y，式中变量 x，y 满足约束条件x y 1，则 z 的最x 2，大值为 _.答案 5解析在坐标平面内画出题中的不等式表示的平面区域及直线2x y 0，平移该直线，当平

17、移到经过该平面区域内的点(2， 1)时，相应直线在x 轴上的截距最大，此时z 2x y 取得最大值，最大值7x 5y23 010.已知 x，y 满足条件x 7y 110，求 4x 3y 的最大值和最小值 .4x y 10 07x5y 230解不等式组x 7y 11 0表示的区域如图所示.4x y 10 0是 z 2× 2 (1) 5.可观察出 4x 3y 在 A 点取到最大值，在B 点取到最小值 .xy 07x 5y 23 0x 1，则 A( 1， 6).7.设 z 2x y， x，y 满足 x y0，若 z 的最大值为6，则 k 的值为 _，z 的最小值为 _.解方程组，得4x y

18、 10 0y 60y kx 7y110x 3.则 B( 3,2)，解方程组，得y 24x y 10 0答案2 2因此 4x 3y 的最大值和最小值分别为14， 18.B 组专项能力提升解析在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x1.(2012 课·标全国 ) 已知正三角形ABC 的顶点 A(1,1)， B(1,3)，顶点 C 在第一象限，若点(x， y)在 y 6，结合图形分析可知，要使z 2x y 的最大值是 6，直线 y k ABC 内部，则 z x y 的取值范围是()A.(1 3，2)B.(0,2)必过直线2x y 6 与 x y 0 的交点，即必过点 (2,2)，于是有 k 2；C.(3 1,2)D.(0,1 3)答案A平移直线2x y 6，当平移到经