概率与数理统计习题集含答案

1、概率与数理统计课程习题集西南科技大学成人、网络教育学院版权所有习题【说明】：本课程概率与数理统计(编号为01008)共有计算题1,计算题2等多种试题类型，其中，本习题集中有等试题类型未进入。、计算题11. 设A , B , C表示三个随机事件，试将下列事件用A, B, C表示出来。(1) A出现，B、C不出现；(2) A、B都出现，而 C不出现；(3) 所有三个事件都出现；(4) 三个事件中至少一个出现；(5) 三个事件中至少两个出现。2. 在分别标有1,2,3,4,5,6,7,8的八张卡片中任抽一张。设事件A为“抽得一张标号不大于4的卡片”，事件B为“抽得一张标号为偶数的卡片”，事件C为“抽

2、得一张标号为奇数的 卡片”。试用样本点表示下列事件：(1) AB ; (2) A+B ; (3) B ; (4) A-B ; (5) BC3. 写出下列随机试验的样本空间：(1) 一枚硬币掷二次，观察能出现的各种可能结果；(2) 对一目标射击，直到击中4次就停止射击的次数；(3) 二只可辨认的球，随机地投入二个盒中，观察各盒装球情况。4. 设A , B , C为三事件，用A , B, C的运算关系表示下列事件。(1) A发生，B与C不发生；(2) A, B , C都发生；(3) A, B , C中不多于一个发生。5. 甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标。

3、试用A、B、C的运算关系表示下列事件：(1) 至少有一人命中目标(2) 恰有一人命中目标(3) 恰有二人命中目标(4) 最多有一人命中目标(5) 三人均命中目标6. 袋内有5个白球与3个黑球。从其中任取两个球，求取出的两个球都是白球的概率。7. 两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03 ,第二台出现废品的概率是0.02。加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求任意取出的零件是合格品的概率。8. 某地区的电话号码由7个数字组成(首位不能为0),每个数字可从 0, 1, 2, , 9中任取，假定该地区的电话用户已经饱和，求从电话码薄中任选一个号码的

4、前两位数字为24的概率。9. 同时掷两颗骰子(每个骰子有六个面，分别有点数1 , 2, 3, 4, 5, 6),观察它们出现的点数，求两颗骰子得点数不同的概率。10. 一批零件共100个，其中次品有10个，今从中不放回抽取 2次，每次取一件，求第 一次为次品，第二次为正品的概率。11. 设连续型随机变量 X的分布函数为-2_xF (x) = A Be 2 x 0求(1)系数A及B ; (2)X的概率密度f (x) ; (3) X的取值落在(1, 2)内的概率。12. 假设X是连续随机变量，其密度函数为cx2,0 : x : 2 f (x)=0,其他求：(1) c 的值；(2) P(1 <

5、X <1)13. 设二维随机变量(X, Y)的联合分布函数 F (x, y) = A(B + arctan x)(C + arctan y),求常数 A, b, c (q c x心),(q < y危).14. 设随机变量X的分布函数为0, x<1FX(x) = <ln x, 1 壬 x <e1, x 芝 e求 PX <2, P0 <X 壬3, P2 <X <5/2 ; (2)求概率密度 fX (x)15. 设随机变量X的概率密度为12(1=),1 三 x £2,"0, x其他.1 x0 < x 4 1，求 E(X)

6、 , D(X)。其它16.设随机变量X的概率密度为f(x)=1-xx e17.设X的概率密度为f(x) = < 2x e_20x % 0，试求凶的数学期望。x 018.搜索沉船，在时间t内发现沉船的概率为1-e(入0),求为了发现沉船所需的平均搜索时间。19.设X服从参数为 舄的指数分布，即X有密度函数第19页共15页i禹厂',x >0 f (x)=0,其他求:E (X) , E (X 。20.X =. (x)称为对随机变量 X的标准化随机变量，求 E(X )及D(X )。、.D(x)二、计算题221. 已知XB(n,p)，试求参数n,p的矩法估计值。22. 设总体X在a,

7、b上服从均匀分布1 x a bf(x,a,b) =fba x a,b，试求参数a,b的矩法估计量。.0 xa,b23. 设Xi,Xn是来nN (七史)的样本，求气。2的最大似然估计。24. 设有一批产品。为估计其废品率p,随机取一样本 Xi, X2, , , X,其中Xi0取得合格品1 取得废品(i=1,2,n)则8=x =X xi是p的一致无偏估计量。n i425. 设总体X的均值P及方差。2都存在, 且有 U2 >0。但N ,。2均未知。又设Xi,X2,.,Xn是来自X的样本。试求。2的矩估计重。26. 某厂生产的某种型号电池，其寿命长期以来服从方差b 2=5000 （小时2）的正态

8、分布。今有一批这种电池，从它的生产情况来看，寿命波动性较大。为判断这种想法是否合乎实 际，随机取了 26只这种电池测出其寿命的样本方差s2=7200 （小时2）。问根据这个数字能否断定这批电池的波动性较以往的有显著变化（取a=0.02 ,查表见后面附表）？概率论与数理统计附表 标准正态分布部分表Z012345671.80.96410.96480.96560.96640.96710.96780.96860.96931.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97562.40.99180.99200.99220.99250.99270.99290.

9、99310.99322.50.99380.99400.99410.99430.99450.99460.99480.9949X 2分布部分表na=0.995a=0.99a=0.05a=0.025a=0.01a=0.005249.88610.85636.41539.36442.98045.5592510.52011.52437.65240.64644.31446.9282611.16012.19838.88541.92345.64248.290常用抽样分布 N(0,1)2 2(n-1)(n -1)S22er27. 某电站供应10000户居民用电，设在高峰时每户用电的概率为0.8，且各户用电量多少是

10、相互独立的。求：1、同一时刻有8100户以上用电的概率；2、 若每户用电功率为 100VV则电站至少需要多少电功率才能保证以0.975的概率供应居民用电？（查表见后面的附表）概率论与数理统计附表标准正态分布部分表Z012345671.80.96410.96480.96560.96640.96710.96780.96860.96931.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97562.40.99180.99200.99220.99250.99270.99290.99310.99322.50.99380.99400.99410.99430.994

11、50.99460.99480.9949X 2分布部分表na=0.995a=0.99a=0.05a=0.025a=0.01a=0.005249.88610.85636.41539.36442.98045.5592510.52011.52437.65240.64644.31446.9282611.16012.19838.88541.92345.64248.290常用抽样分布X - 1U N(0,1)二 nX - 1T- t(n -1)S/ n2=72(卜1)T分布表28.某种电子元件的寿命 x(以小时计)服从正态分布，a , b 2均未知，现测得16只元件, 其样本均值为X =241.5，样本标准

12、方差为 S=98.7259。问是否有理由认为元件的平均寿 命大于225 (小时)？Na=0.25a=0.10a=0.05a=0.025130.9881.5021.77092.1604140.69241.34501.76132.1448150.69241.34061.75312.1315160.69011.33681.74592.119929.已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下有正态分布N(4.55 , 0.108 2)。现在测了五炉铁水，其含碳量分别为4.28 , 4.40 , 4.42 , 4.35 , 4.37。问：若标准差不改变，总体平均值有无变化？ ( a=0.05)标准正态分布部分

13、表Z012345671.80.96410.96480.96560.96640.96710.96780.96860.96931.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97562.40.99180.99200.99220.99250.99270.99290.99310.99322.50.99380.99400.99410.99430.99450.99460.99480.9949常用抽样分布U 项-、'N(0,1) T 项-、't(n 一1)2 = (n ?S 2(n1)-nS/ n二30.已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下有正态

14、分布N(4.55 , 0.108 2)。现在测了五炉铁水，其含碳量分别为4.28, 4.40 , 4.42 , 4.35 , 4.37。问：若标准差不改变，总体平均值有无变化？ (a=0.05)标准正态分布部分表Z012345671.80.96410.96480.96560.96640.96710.96780.96860.96931.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97562.40.99180.99200.99220.99250.99270.99290.99310.99322.50.99380.99400.99410.99430.994

15、50.99460.99480.9949常用抽样分布XU ： N(0,1)T = X 一t(n1)S/ n(n 1)S2(n-1)答案一、计算题11. 解：(1) ABC ; (2) ABC; (3) ABC ; (4) A+B+C ; (5) AB+BC+CA (每个 3 分)2. 解：(1) AB=2 , 4; (2) A+B=1 , 2, 3, 4, 5, 6, 8;(3) B =1 , 3, 5, 7; (4) A-B=1 , 3 ; (5) BC =1,2,3,4,5,6,7,8(每个 3 分)3. 解：(1) (HH) (HT) (TH) (TT) (2) 4, 5, 6,(3) (

16、12,0)(0,12)(1,2)(2,1 )其中：1 为一号球，2 为二号球(每个 5 分)4. 解：(1)利用事件的运算定义，该事件可表示为ABC o(2) 同理，该事件可表示为 ABC。(3) AB十BC + AC (每小题5分)5. 解：(1) AuBuC(2) aBC 一 AbC 一. Abc(3) abC 一 Abc 一 abc(4) BC 一 AC 一 AB(5) ABC (每小题3分)2_ 2解：基本事件的总数 n =C8 ；基本事件数k =Cs °故所求的概率C；C；5= 0.375147.解：任取一零件，设B1, B2分别表示它是第一、 二台车床的产品，A表示它是合

17、格品。（4分）则2 1P(BJ =P(B2)=三3 3P(A|Bi) =10.03 = 0.97, P(A|B2)=1 0.02= 0.98 (10分)由全概率公式得2 1八P(A) =P(B1)P(A| B1) +P(B2)P(A| B2) = 一 乂 0.97 +一又 0.98 =0.973 (15 分)3 38.解：第一位数字不能是0,这时，基本事件的总数为A表示“任选的电话号码的前两位数字恰好为后五个数字中每一个可以由0,1,2,9中任取，是24”。故对1069 （3 分）由于电话号码的前两个数字为A有利事件的数目为24,1。5。（ 6 分）于105 P(A) = t- ()10691

18、,、=(15分)909.解：一个基本事件是由两个数字组成的排列（ i , j ）, i,j=1,2,3,4,5,6 ，而i,j可以 重复，故基本事件的总数为 62。（5分）A表示“两颗骰子掷得的点数不同” 。对A有利的 基本事件数等于所有i乒j排列方式的数目，即从 1, 2, 3, 4, 5, 6这六个数字任取其二J、2、A 5作不可重复的排列方式数 A，所以P（A）=决 =(15 分)610.解：记A=第一次为次品、B=第一次为正品，要求P （AB ）。（2分）90 一八=，因此(8分)99,、，、90P (A) P (B A) = 0.1 = 0.091 (15分)99已知 P (A) =

19、0.1,而 P (B A)P(AB )=11.解:2X(i)由于 F(+%) = lim F(x) = 1,所以有 lim (A + Be 2 ) = A = 1。又由于 x J二X.X为连续型随机变量， F (x)应为x的连续函数，应有x2lim F(x) = 0 = lim F(x) = lim (A Be 2 ) = A Bx )0 -x.0x.0r2x2所以 A+B=0 , B=-A=-1 ,代入 A、B 之值得 F(x) =e X>0(5 分)0 x壬0一；(2)对函数F (x)求导得x的概率密度为f (x) = F ' (x) = < xe x ' 0

20、(10分)0 x ： 0b(3)由 Pa c X <b = J f (x)dx= F(b) F(a)式有 a1P1 C X <2 = F(2) - F(1) =e； -e = 0.4712(15分)12.解：(1)因为f(x)是一密度函数，所以必须满足f(x)dx = 1,于是有(5分)匕 2c x dx =103解碍c = (10分)8101P(1：X ：1)= qf(x)dx=直0dx °f(x)dx q。(15分)=x2dx =-08813.解：由分布函数的性质得:JlJTlim、：A(B+arctanx)(C + arctan y) = A(B+)(C + ) =

21、1(4 分)jiJim艺 A(B + arctan x)(C + arctan y) = A(B ,)(C + arctan y) =0 ( 8 分). .、一 n、-Jim毛 A(B + arctan x)(C + arctan y) = A(B + arctan x)(C-；) = 0 (1 2 分) 二 ：1由此可解侍 C = ,B= , A = 2。( 1 5分)22-0, x<114. 解：(1) FX(x) =lnx, 1<x<e1, x混PX <2 =FX(2) =ln2 (3 分)P0<XM3=FX FX (10) =10=1 (6 分)555P2

22、 <X <5/2 =FX() FX(2) =ln ln2 = ln (9 分)2240,其他(2)fX(x) = FX(x)，=1(15分)-,1 苴 x < e.x15.解：因概率密度 f(x)在x<1,xa2处等于零，即知xx当 x <1 时，F (x) = jf (x)dx =L°dx =0, (3分)x当x2时,(8分)F(x J-f (x)dx =1 - f (x)dx-_xqQ =1 - 0dx=1.xx1x 1F (x) = J 二f (x)dx =匕0dx2(1 - 2 )dx(12 分)1x± 111= 2(x+) =2(x+

23、2).x 1x故所求分布函数是Qx<1,1F(x)=2(x+2),1x<2, (15 分)x1,x-2.16. 解：E(X ) = fxf (x)dx = f° x(1 + x)dx + (1x(1 x)dx = 0 (7分)-:00)1 )1D(x) =E(X2) E(X)2 =黛2 f (x)dx=x2(1 +x)dx + x2(1 x)dx = 6 (15 分)17. 解：令 Y=|X|,所以：E(X)=x| f(x)dx= J° -x-dx+x-dxTdS202分)18.解：设发现沉船所需要的搜索时间为X。由题设知 PX <t =1e"=

24、 F(t) (t>0)（5分） Xe* t > 0 故X的概率笞度为 f （t）=，可见 X服从参数为 入的指数分布，因此、0 槌0E（X）=1/入，即发现沉船所需要的平均搜索时间为1/入。（15分）19.解:E（X）=7>疽冰=-£°仃-x二一 xe:x 1-I e dx = 00,(7分)E(X2) =% 广x2e气x0、00cc( 15阡 22 一九x cr002.*条j2=x de =-x e +2j xe dx = Axe dx=)叼八 JJ。3 01 20八1九；D(X*)=WD_1 D(X)分）20.解：E(X*) = E(XUX)=。、D(

25、X)、计算题221.解：因为 E(X)=np , D(X)=np(1-p),由样本的一阶原点矩和二阶中心矩及矩估计法知,1有：、Xi12=n? , -Z (Xi -X)2n i4=np（i - ？）（ 10 分）可解得:1 2' (Xi -X)2nI?=1'、，1 .5 2Xi-' (X i X)n(20 分)22. 解a bE(X)二亍D(X) = (b-a)212n iS2(n)=E (Xi X)2(10分)所以可建立方程:2S2(n)坤项2(20 分)12解得：？ = X-d3s（n） , ?=X + J3s（n）,这就是参数a,b的矩法估计值。(X _ I)22

26、3.解：x的密度函数为2寸，故似然函数为（2分）1 cL"(.= ne_< (Xi T2对数似然函数为:nnl(i)ln(2 二)-Tn。22o 1 n. o-一 Z (Xi -卜)(10分)2。似然方程为.i 1' (Xi -勺=0;(14 分)行+7£（Xi-U）顷分）解得：k =X,s2 =S2 ,可以验证使似然函数达到最大。（20分）24.解：由题设条件E（Xi） = p 1+（1 p） 0=p （2 分）D(Xi) =E(X2)E(Xi)2 = p2 1+(1-p) 02-p2 = p(1-p) (4 分)E(?)=E(X)=E(1£ Xj

27、)/ Eg)/ p=p (6 分)n i 4n i 4n i 旦由定义知？是p的无偏估计量，又1 nD(p) =D(X) =D( ' Xj)=n i 1n1、D(Xj) = 2i 1n/1p(1 - p)、p(1 - p) 2 np(1 - p)=i jnn （10 分）由契比雪夫不等式，任给 £ >0,P| ?-p|- ； =P| X -p|_ ；三lD(X)=y所以：lim P| ? p|芝时=0（17分） n二1 / -故？=X = £ Xi是废品率p的一致估计重。n但从而，？=X=】£ Xj是废品率p的一致无偏估计量。（20分） n im(7

28、分)4 =E(X)=25.解：222 (J22 = E(X ) = D(X) E(X)=二一 解得(14 分)-12分别以A,A2代替料，得 性。2的矩估计量分别为21 n221229。2 =A2 A2 X： X =己£ (Xj _X)2. (20 分)2226.解：本I可题要求在水平0.02下，检验假设 H)： b =5000 (H: b丰5000) (4分)因为 2知2(n1) =Z12q02/2(25) =11.524, (8 分)%(n 1)=螃02/2 (25) = 44.314 (12 分)2布 2 （n -1）S2 25 7200而 E = 一=36 （18 分）。05

29、000由于7，/23 -1） <，2 <'京一1）所以接受H）,即认为在0.02水平下这批电池的波动性较以往的并无显著的变化。（20分）27.解：(1)设随机变量 Yn表示10000户中在同一时刻用电的户数，则YnB(10000,0.8),(2分)于是np=10000X0.8=8000 , <np(1 - p)=10000乂0.8乂0.2 =40 (6 分)所以概率为 P8100 苴 Yn 苴 1000CJ = P( 8100-np < 丫n np < 1000np.np(1 - p) . np(1 - p) . np(1 - p)= P2.5 壬)壬 50由中(50)中(2.5) =1 0.9938 = 0.0062 (1。分)若每户用电功率为100W则Yn户用是功率为100YnW设电站供电功率为 QW则按题意 有（12分）QQ7 - 800