幂级数复习总结PPT学习教案

1、会计学1幂级数复习总结幂级数复习总结 1 解解:nnnnnna)11 (limlim当ex1因此级数在端点发散 ,enn1)11 (nneu nn)11 ( nn)11 ( )(01ne. )1,1(eee时,211(1)(1)nnnxn,1eR exe11即时原级数收敛 .故收敛区间为第1页/共15页21(2)2nnnnx)()(lim1xuxunnn解解: 因)1(2121nnxn22xnnxn22,122x当时，即22x,2时当x故收敛区间为. )2,2(级数收敛;一般项nun不趋于0,nlim级数发散; 第2页/共15页.) 1(31的收敛半径求幂级数nnnnxn解解: 分别考虑偶次幂

2、与奇次幂组成的级数,lim1nnaannnnalim极限不存在1)(kkx,24212kkkxk1)(kkx12112122kkkxk)()(1limxxnnn,)4(2x411R)()(1limxxnnn,)2(2x212R 原级数 =1)(kkx1)(kkx 其收敛半径4121,minRRR注意: 第3页/共15页 求部分和式极限求和 映射变换法 逐项求导或求积分nnnxa0)(*xS对和式积分或求导)(xS难直接求和: 直接变换,间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值求部分和等 初等变换法: 分解、套用公式（在收敛区间内） 数项级数 求和nnnxa0第4页/共15页.!) 12(1) 1

3、(120的和函数nnnxnn法法1 易求出级数的收敛域为),(022)(! ) 12(1) 1(21nnnxn原式120! ) 12() 1(21nnnxnx)sin(21xx,cos2sin21xxx ),(x第5页/共15页先求出收敛区间, )(xS则xnnnxxxnnxxS01200d! ) 12(1) 1(d)(220! ) 12() 1(nnnxn21120! ) 12() 1(2nnnxnxxxsin2,cos2sin21)(xxxxS, ),(设和函数为),(x第6页/共15页1(2).(1)nnxn n;212) 1() 1(21nnnxn解解: (1) )(21121nnnx

4、原式) 120(2x12)2(1nnxx222211xxx22xx222)2(2xx显然 x = 0 时上式也正确,. )2,2(x故和函数为而在2xx0,)2(2)(222xxxS例题 . 求下列幂级数的和函数：级数发散,第7页/共15页(2)nnxnn1111原式xnntt011dxnnttx01d1ttxd110tttxxd1100 x)1ln(x)1(ln11xx)1(ln)11(1xx) 10( xttnnxd110ttxnnxd110第8页/共15页1) 1(nnnnx, )1(ln)11(1xx显然 x = 0 时, 和为 0 ; 根据和函数的连续性 , 有)(xS110, )1

5、(ln)11(1xxxx及0 0 x，1 1x，10 xx = 1 时,级数也收敛 . 即得第9页/共15页 直接展开法 间接展开法1. 将函数2)2(1x展开成 x 的幂级数. 利用已知展式的函数及幂级数性质 利用泰勒公式解解:xx21)2(1221121x0221nnnx,22111nnnxn)2,2(x1. 函数的幂级数展开法第10页/共15页)(xf0,arctan12xxxx0,1x, 将 f (x)展开成x 的幂级数 ,1241) 1(nnn的和. 解解:211x,) 1(02nnnx)1 , 1(xxarctanxxx02d11,12) 1(012nnnxn1 , 1x)(xf1

6、212) 1(1nnnxn02212) 1(nnnxn于是并求级数第11页/共15页02212) 1(nnnxn12112) 1(nnnxn)(xf1212) 1(1nnnxn1212) 1(1nnnxn12121121) 1(1nnnxnn,41) 1(21122nnnxn1 , 1x1241) 1(nnn 1) 1 (21f214第12页/共15页系数公式及计算技巧;收敛定理;延拓方法练习练习: xyo),上的表达式为 ),0,)0,0)(xexxfx将其展为傅里叶级数 .na1xnxexdcos021)cossin(1nnxnxnex0),2, 1,0(11) 1(12nnen例题. 设 f (x)是周期为2的函数, 它在解答提示解答提示第13页/共15页xnxebxndsin1021)cos(sin1nnxnnxex0),2, 1(1) 1(12nnenn21)(exf11n)sin(cosnxnnx 211) 1(nen),2,1,0,(