专题：与圆有关的最值问题

1、与圆有关的最值（取值范围）问题引例 1：在坐标系中， 点 A 的坐标为 (3 ，0) ，点 B 为 y 轴正半轴上的一点，点 C是第一象限内一点，且 AC=2设tan BOC=m，则 m的取值范围是 _引例 2：如图，在边长为1 的等边 OAB中，以边 AB为直径作 D，以 O为圆心 OA长为半径作 O， C 为半圆弧 AB 上的一个动点（不与ab 的最大值 .A、B 两点重合），射线 AC交 O于点 E，BC= ，AC=b ，求 a引例 3：如图， BAC=60°，半径长为1 的圆 O与 BAC的两边相切， P 为圆 O上一动点，以P 为圆心， PA长为半径的圆 P 交射线 AB、

2、AC于 D、E 两点，连接 DE，则线段 DE长度的最大值为 ().A 3B 6C 3 3D 3 3y2BCOOAxC一、题目分析：ADB此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最值问题，主要考察了圆内的基础知识、 基本技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接1 引例 1：通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点 C 与两个定点 O、 A 构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“ 直线斜率 ”的直接运用；2引例 2：通过圆的基本性质，寻找动点C 与两个定点 A、B 构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转

3、化，其实质是高中“柯西不等式 ”的直接运用；3 引例 3：本例动点的个数由引例1、引例 2 中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度， 解答中还是注意动点D、E 与一个定点 A 构成三角形的不变条件 （ DAE=60°），构造弦 DE、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE与半径 AP之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理 ”的直接运用；综合比较、 回顾这三个问题， 知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透.二、解题策略1直观感觉，画出图形；2特殊位置，比较结

4、果；3 理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化 .三、中考展望与题型训练例一、斜率运用如图， A 点的坐标为（-2 ， 1），以 A 为圆心的 A 切 x 轴于点 B， P(a，b) 为 A 上的一个动点，请分别探索： b a 的最大值； ba 的最小值； ba 的最大值； ba 的最大值；yyyPPPAAABOxBOxBOx【拓展延伸】： b2a 的范围； b2a 的范围；精品文库例二、圆外一点与圆的最近点、最远点1如图，在Rt ABC中， ACB=90°， AC=4，BC=3，点 D是平面内的一个动点，且AD=2，M

5、为 BD的中点，在D 点运动过程中，线段CM长度的取值范围是.ADMCB2如图， O的直径为 4，C 为 O上一个定点， ABC=30°， 动点 P 从 A 点出发沿半圆弧AB向 B点运动（点P 与点 C 在直径 AB的异侧 ) ，当 P 点到达 B点时运动停止，在运动过程中，过点C 作 CP的垂线 CD交 PB 的延长线于 D 点（ 1）在点 P 的运动过程中，线段CD长度的取值范围为；D（ 2）在点 P 的运动过程中，线段AD长度的最大值为.CAOB例三、正弦定理P1如图， ABC 中， BAC=60°， ABC=45°，AB=22 ， D是线段 BC上的一个

6、动点，以AD为直径作O 分别交 AB， AC于 E， F 两点，连接EF，则线段EF 长度的最小值为2. 如图，定长弦 CD在以 AB为直径的 O上滑动（点 C、 D与点 A、 B 不重合）， M是 CD的中点，过点 C 作 CP AB于点 P，若 CD=3， AB=8，则 PM长度的最大值是例四、柯西不等式、配方法1如图，已知半径为 2 的O 与直线 l 相切于点 A，点 P 是直径 AB 左侧半圆上的动点，过点P 作直线 l 的垂线，垂足为 C，PC与O交于点 D，连接 PA、PB，设 PC的长为 x（ 2 x4），则当 x=时， PD?CD的值最大，且最大值是为.2如图， 线段 AB=4

7、，C 为线段 AB上的一个动点， 以 AC、BC为边作等边 ACD和等边 BCE， O外接于 CDE，欢迎下载2精品文库则 O半径的最小值为().A.4B.23C.32D. 2E32DOACB3在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心， 2 为半径画 O， P 是 O上一动点，且P 在第一象限内，过点 P 作 O的切线与 x 轴相交于点A，与 y 轴相交于点B，线段 AB 长度的最小值是.例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）1如图，在Rt ABC中， C=90°， AC=6，BC=8， D为 AB边上一点，过点D作 CD的垂线交直线BC于点 E，则线段 CE长度的最小值是.AD

8、COE B2如图， RtABC 中， C=90°， A=30°， AB=4，以 AC上的一点O为圆心 OA为半径作 O，若 O与边 BC始终有交点（包括 B、 C两点），则线段 AO的取值范围是.AOCB3如图，射线PQ射线 MN， PM MN， A 为 PM的中点， O为射线 PQ上的一个动点，AC AB交 MN于点 C，当以O为圆心，以OB为半径的圆与线段PM有公共点时（包括 P、 M两点），则线段 OP长度的最小值为.OPQAMBN例五、其他几何知识的运用如图所示， ACAB，AB=6，AC=4，点 D 是以 AB 为直径的半圆O上一动点， DE CD交直线 AB于点

9、 E，设 DAB= ，欢迎下载3精品文库（ 0 ° 90 ° ） 若 要 使 点E在 线 段OA 上 （ 包 括O、 A两 点 ）， 则 tan的 取 值 范 围为.【题型训练】1如图，已知直线长线交直线 l 于点围为.l 与 O相离， OA l C，若在 O上存在点于点 A， OA=5， OA与 O相交于点P， AB 与 O相切于点B， BP的延Q，使 QAC是以 AC为底边的等腰三角形，则O的半径 r 的取值范CCGDBEOFABA2已知：如图，RtABC中， B=90o， A=30o， BC=6cm，点 O从 A 点出发，沿AB以每秒3 cm 的速度向B点方向运动，当

10、点O运动了 t 秒 (t 0) 时，以 O点为圆心的圆与边 AC相切于点 D，与边 AB相交于 E、 F 两点，过 E 作 EG DE交射线 BC于 G.（ 1）若点 G在线段 BC上，则 t 的取值范围是；（ 2）若点 G在线段 BC的延长线上，则t 的取值范围是.3如图， M， N的半径分别为2cm，4cm，圆心距 MN=10cmP 为 M上的任意一点， Q为 N 上的任意一点，直线 PQ与连心线 l 所夹的锐角度数为，当 P、 Q在两圆上任意运动时， tan的最大值为 ( ).(A)6(B)4(C)3(D)312334PQADPMNlOBC4如图，在矩形ABCD中， AB=3，BC=4，

11、 O 为矩形 ABCD的中心，以 D 为圆心 1 为半径作 D，P 为 D上的一个动点，连接 AP、 OP，则 AOP面积的最大值为 ( ).(A)4(B)21(C)351758(D)45如图，在 Rt ABC中， C=90°，AC=8， BC=6，经过点 C且与边 AB 相切 的动圆与 CA、 CB分别相交于点P、Q，则线段 PQ长度的最小值是 ().欢迎下载4A 19B 24C 5D 42456如图，在等腰 Rt ABC中， C=90°，AC=BC=4，D是 AB 的中点，点E 在 AB边上运动（点 E 不与点过 A、D、 E 三点作 O， O交 AC于另一点 F，在此

12、运动变化的过程中，线段 EF 长度的最小值为精品文库A 重合），CPQADB7如图， A、 B两点的坐标分别为一个动点，线段 DA与 y 轴交于点A2B1AFEOBDC(2 ， 0) 、(0 ， 2) ， C 的圆心的坐标为 (-1， 0) ，半径为1，若 D是C上的E，则 ABE面积的最小值是 ().C.2D.22228如图，已知 A、B 两点的坐标分别为 (-2，0) 、(0 ，1) ， C 的圆心坐标为 (0 ，-1)，半径为 1，D 是 C 上的一个动点，射线AD与 y 轴交于点 E，则 ABE面积的最大值是 ().A 3B 11C 10D 4339如图，等腰 Rt ABC中， ACB

13、=90°， AC=BC=4， C 的半径为1，点 P 在斜边 AB上， PQ切 O于点 Q，则切线长 PQ长度的最小值为 ().A. 7B.22C. 3D.410如图 BAC60°，半径长1 的 O与 BAC的两边相切， P 为 O上一动点，以P 为圆心， PA 长为半径的 P 交射线 AB、AC于 D、E 两点，连接 DE，则线段 DE长度的范围为.APyPQOAxCB11在直角坐标系中，点A 的坐标为（ 3， 0），点 P（ m， n ）是第一象限内一点，且AB=2，则 mn 的范围为.12在坐标系中，点A 的坐标为（ 3，0），点 B 是 y 轴右侧一点，且AB=2，点 C 上直线 y=x+1 上一动点，且CBABBtan ACBm，则 m 的