专题8-数轴穿根法名师制作优质教学资料

1、专题：数轴穿根法“数轴穿根法”又称“数轴标根法”第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x 前的系数为正数）例如：(x-2)(x-1)(x+1)>0第二步：将不等号换成等号解出所有根。例如： (x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x 1 =2， x 2 =1， x 3 =-1第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。例如： -112第三步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右跟”上去，一上一下依次穿过各根。第四步：观察不等号，如果不等号为“ >”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“ <

2、;”则取数轴下方，穿根线以内的范围。例如：若求 (x-2)(x-1)(x+1)>0的解。因为不等号威“ >”则取数轴上方，穿根线以内的范围。即：-1<x<1 或 x>2。穿根法的奇过偶不过定律：“奇穿过，偶弹回”。还有关于分式的问题：当不等式移项后，可能是分式，同样是可以用穿根法的，但是注意，解不能让原来分式下面的式子等于0专项训练：1、解不等式 (2x 1)( x 1)( x3) 0解析： 1）一边是因式乘积、另一边是零的形式，其中各因式未知数的系数为正。2）因式 (2x1) 、 (x1) 、 ( x3) 的根分别是1、 1、3 。在数轴上把它们2标出（如图1）

3、。113x图 123）从最大根 3 的右上方开始，向左依次穿线（数轴上方有线表示数轴上方有函数图象，数轴下方有线表示数轴下方有函数图象，此线并不表示函数的真实图象） 。4）数轴上方曲线对应的x 的取值区间，为 (2 x1)( x1)( x3)0 的解集，数轴下方曲线对应的x 的取值区间，为 (2x1)( x1)( x3)0 的解集。不等式 (2x1)( x1)( x 3)0 的解集为 (1 ,1)(3,) 。2在上述解题过程中，学生存在的疑问往往有：为什么各因式中未知数的系数为正；为什么从最大根的右上方开始穿线；为什么数轴上方曲线对应的x 的集合是大于零不等式的解集，数轴下方曲线对应x 的集合

4、是小于零不等式的解集。2、解不等式 ( x2)( 1 x1) 2 ( x3)302解析： 1）一边是因式乘积、另一边是零的形式，其中各因式未知数的系数为正。2）因式 (x2) 、(1x 1)2、 (x3) 3 的根分别为2 、 2 、 3，在数轴上把它们标2出（如图2）。3）从最大根3 的右上方开始向左依次穿线，次数为奇数的因式的根一次性穿过，次数为偶数的因式的根穿而不过。4）数轴上方曲线对应的x 的取值区间，为 ( x2)(1x1) 2 ( x3) 30 的解集，数x 的取值范围，为 ( x 2)( 1 x2轴下方曲线对应的1) 2 ( x3) 30 的解集。(x 2)( 1 x21) 2

5、( x3) 30 的解集为 ( 2,2)( 2,3)223x2图 2数轴标根法、分式不等式、绝对值不等式一、数轴标根法解不等式例 1. 解下列不等式1. （ x-1 ）（x-2 ） (x+3)>02.（ x-1 ）（ x-2 ）(x+3)<03.（ 1- x ）（ x-2 ） (x+1)04.（ x- 1 ） 2（ x-2 ）3 (x+1)0二分式不等式思考（ 1） x30与 x3x20 解集是否相同，为什么？x2（2） x30与 x3x20 解集是否相同，为什么？x2解：方法1：利用符号法则转化为一元一次不等式组，进而进行比较。方法 2：在分母不为0 的前提下，两边同乘以分母的平

6、方。通过例 1，得出解分式不等式的基本思路：等价转化为整式不等式（组）：（1）f x0f x g x 0 （2） f xf xg x 0g x00g xg x例 2. 解下列不等式1.x32.13.201xx2x x34. x3x205.09x2x22x3三、含绝对值的不等式的解法|x|>a(a>0)_|x|<a(a>0)例 3: 解下列不等式1.2x132.3.|x 2-2x|>x 2.4.巩固练习1. 解不等式 2 x23x102.3x27 x23. 不等式 2 x 1 2x 1 的解集是x x4 . （ 2012 山东理）若不等式kx42 的解集为5.解不等

7、式（ 2x- 1 ） 2（ x-2）3 (x+1)06.解不等式（ 3- x ） 2（ x-2 ） (x+1)702 x11x36.0 x11x_x1( x1)0x1( x1)0解不等式 3x113xx 1x3 ，则实数 k_.不等式解法 15 种典型例题典型例题一例 1 解不等式：（ 1） 2x3x215 x0 ；（ 2） ( x 4)( x 5)2 (2 x)30 分析 ：如果多项式f ( x) 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式f ( x) 0 （或f ( x) 0 ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况解：（ 1）原不等式可化为 x(2 x 5)(x 3) 0把方程

8、x(2x5)( x3)0的三个根x1 0, x25 , x33 顺次标上数轴然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集2如下图的阴影部分原不等式解集为x50或 x3x2（2）原不等式等价于(x4)( x5) 2 (x2)30x5 0x5原不等式 解集为(x4)( x2) 0x或24xx x5或 5 x4或x2说明 ：用“穿根法”解不等式时应注意：各一次项中x 的系数必为正；对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿” ，其法如图典型例题二例 2解下列分式不等式： （ 1）312； （ 2） x24 x11x2x 23x27 x2f ( x)分析 ：当分式

9、不等式化为0(或 0) 时，要注意它的等价变形 g( x)f (x)0f ( x)g( x) 0 ； f ( x)f ( x)g(x) 0g(x)g( x)00g (x)（1）解： 原不等式等价于3x3xx 2 x2x 20x 23(x2) x( x2)x 25x60(x2)( x 2)0( x 2)( x2)( x 6)( x 1)( x 6)( x 1)( x 2)( x 2) 00( x 2)( x 2) 0( x 2)( x 2)用“穿根法”原不等式解集为 (, 2)1,26,。（2）解法一：原不等式等价于2x23x103x27x2(2x 23x 1)(3x 27 x 2) 02x3x223x10 或 2x23x107x203x 27x20x111或 x2 ，原不等式解集为( ,1)( 1 ,1) (2, )。或x3232解法二：原不等式等价于(2x1)( x1)0(2x 1)( x1)(3x1) (x2)0(3x 1)( x 2)用“穿根法”原不等式解集为(, 1)(1 ,1)(2,)32典型例题三例 3解不等式 x24x 2分析 ：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义aa( a0)；二是根据绝对值的性质：xaaxa