专题三第2讲数列求和及数列的综合应用精品资料

1、第 2 讲数列求和及数列的综合应用自主学习导引真题感悟11(2012 ·纲全国卷大 ) 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，a5 5，S5 15，则数列 anan1的前 100 项和为1009999101A. 101B.101C.100D.100解析利用裂项相消法求和设等差数列 an 的首项为 a1，公差为 d.a55，S5 15，a14d5，5×51，5a12d 15，a1 1a a (n 1)dn.d 1，n1 1111 ，anan1n n1nn11111111100数列 anan1 的前 100 项和为 12 2 3 100101 1 101101.答案A2(

2、2012·浙江 )已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 Sn2n2 n，nN，数列 bn 满足 an4log2bn3，nN .(1)求 an，bn；(2)求数列 an·bn 的前 n 项和 Tn.解析(1)由 Sn2n2n，得当 n1 时， a1S1 3；当 n2 时， an SnSn1 4n1.所以 an4n 1， nN.由 4n1an4log2bn3，得 bn2n1，nN .n1(2)由(1)知 anbn(4n1)·2， nN，所以 Tn37×211×22 (4n 1)·2n1，2Tn 3×27×22 (

3、4n5)·2n1 (4n 1)·2n，所以 2Tn Tn(4n1)2n 34(222 2n1) (4n 5)2n5.故 Tn (4n5)2n5，nN.考题分析数列的求和是高考的必考内容，可单独命题，也可与函数、不等式等综合命题，求解的过程体现了转化与化归的数学思想，解答此类题目需重点掌握几类重要的求和方法，并加以灵活应用网络构建高频考点突破考点一： 裂项相消法求数列的前n 项和【例 1】(2012 ·门头沟一模 )数列 an 的前 n 项和 Snn21.(1)求数列 an 的通项公式；1(2)设 bnan·an 1(nN )，求数列 bn 的前 n 项和

4、 Tn.S1，n1， 审题导引 (1)运用公式 an求 an，注意 n1 时通项公式 an；SnSn1，n2，(2)裂项法求和 规范解答 (1)由已知，当n1 时， a1 S1 2，当 n2 时， an SnSn12n 1，2，n 1，数列an 的通项公式为 ann2.2n1，(2)由(1)知，1n1，6，bn11112n1 2n1 ， n 2，2 2n1 2n11当 n1 时， T1b16，当 n2 时， Tnb1b2 bn1111111111 ，35572n1 2n16 234n2nn11 b 的前 n 项和 T 3.4n2【规律总结】常用的裂项技巧和方法用裂项相消法求和是最难把握的求和问

5、题之一，其原因是有时很难找到裂项的方向突破这类问题的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧，如：11 11(1)k nnk ；n nk(2)11nk n)； k(nk nm 1mm(3)CnCn1Cn ；(4) n·n！ (n 1)！ n！等 易错提示 利用裂项相消法解决数列求和问题，容易出现的错误有两个方面：1111(1)裂项过程中易忽视常数，如容易误裂为 nn2，漏掉前面的系数 2；n n 2(2)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误【变式训练】x1(2012 ·大连模拟 )已知函数 f(x)x3，数列 an 满足 a11，an 1

6、f(an)(nN )(1)求数列 an 的通项公式 an；1n(2)若数列 bn 满足 bn2anan 1·3 ，Sn b1b2 bn，求 Sn.解析n， 1 31.(1)由已知， an 1 aan3an1an 1 1311 ，并且1 13，an12an2a122数列11为以3为首项， 3 为公比的等比数列，an221 13n 1n2·3.，a nan 222·3n3 1(2)bn n1 n1，nn1131 3131 3 1Snb1b2 bn 111111.31 3213n 1 3n 1 12 3n1 1考点二： 错位相减法求数列的前n 项和【例 2】 (2012

7、·滨州模拟 )设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn，已知 an12Sn2(nN)(1)求数列 an 的通项公式；(2)在 an 与 an1 之间插入 n 个数，使这 n2 个数组成公差为dn 的等差数列， 求数列 1 的前 ndn项和 Tn. 审题导引 (1)利用递推式消去 Sn 可求 an；1(2)利用错位相减法求数列dn 的前 n 项和 规范解答 (1)由 an12Sn2(nN )，得 an 2Sn12(nN，n2)，两式相减得 an1an 2an，即 an13an(nN ，n2)，又 a2 2a1 2， an 是等比数列，所以a23a1，则 2a123a1，a1 2，an2·3n1.n1nnn1(2)由(1)知 a2·3 ，a2·3 .4×3n1an1 an(n 1)dn，dn，n1令 Tn111 1，dddd123n234n 1则 Tn4×30 4·314·32 4·3n1123nn13Tn4·31 4·32 4·3n1 4·3n 22111n 1得3Tn4·304·314·324·3n1 4·3n11 11 1 n152n533 n 124×1 4·3n 8