三角形四心(向量形式)名师制作优质教学资料

1、三角形“四心 ”向量形式的充要条件应用在学习了平面向量一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下：一知识点总结1）O 是ABC 的重心OAOBOC0 ;若 O 是ABC 的重心，则S BOCS AOCS AOB1S ABCOA OBOC 0;3故1G为 ABC的重心.PG3 (PA PBPC)2）O 是ABC 的垂心OA OBOB OCOC OA;若 O 是ABC (非直角三角形 )的垂心，则 SBOC：SAOC：SAOB：tan A tan B tan C故 tan AOA tan BOBtan COC022

2、23）O 是ABC 的外心|OA| |OB| |OC|(或OAO BO C )若 O 是ABC 的外心：S：sin：AOBsin2A : sin2B : sin2C则S BOCAOC S AOBBOC sin AOC sin故 sin2AOA sin2BOB sin2COC 04） O 是内心ABC 的充要条件是OA (ABAC )OB( BABC)OC (CACB) 0|AB |AC|BA |BC |CA |CB |引进单位向量， 使条件变得更简洁。如果记 AB,BC, CA 的单位向量为 e1 ,e2 , e3，则刚才 O 是 ABC内心的充要条件可以写成：O A(e1e3 )O B (e

3、1e2 )O C ( e2e3 )0O 是 ABC 内心的充要条件也可以是 aOAbOBcOC0若 O 是ABC 的内心，则 S BOC ： S AOC ：S AOBa：b： c故aOAbOBcOC0或 sinAOAsinBOBsinCOC 0;| AB| PC|BC | PA|CA|PB0PABC 的内心 ;向量( ABAC)(0) 所在直线过ABC 的内心 ( 是BAC 的角平分线所在直线) ；|AB| |AC|二范例(一 )将平面向量与三角形内心结合考查A例 1 O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点 P满足OPOA(AB AC)，0,e1e2则 P 点的轨迹AB

4、ACC一定通过ABC 的（）B（ A ）外心（ B ）内心（ C）重心（ D ）垂心解析：因为 AB 是向量 AB 的单位向量设AB 与 AC 方向上的单PAB位向量分别为 e1和 e2 ，又 OPOAAP ，则原式可化为 AP(e1e2 ) ，由菱形的基本性质知 AP平分 BAC ，那么在ABC中， AP平分BAC ，则知选 B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先AB 是什么？没见过！想想，一个非零向量除AB以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题

5、一点问题也没有。(二 )将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例 2 H 是 ABC 所在平面内任一点，HA HBHBHCHC HA点 H 是ABC 的垂心 .由HA HBHB HCHB ( HC HA)0HB AC0HBAC ,同理 HCAB， HABC .故 H 是 ABC 的垂心 . （反之亦然（证略） ）例 3.(湖南 )P 是 ABC 所在平面上一点，若PA PBPB PCPC PA，则 P是ABC 的（D）A 外心B内心C重心D 垂心解析 :由 PA PBPB PC得PA PBPB PC0 .即 PB (PA PC) 0,即PB CA 0则 PBCA,同理 PABC, PCAB

6、所以 P为ABC的垂心 . 故选 D.点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识 .将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及 “数量积为零，则两向量所在直线垂直 ”等相关知识巧妙结合。(三 )将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例 4G 是 ABC 所在平面内一点，GAGBGC =0点 G是ABC的重心 .证明作图如右，图中 GBGCGE连结 BE 和 CE，则 CE=GB ，BE=GCBGCE 为平行四边形D是 BC 的中点， AD 为 BC 边上的中线 .将 GBGCGE 代入 GA GB GC =0，得 GAEG =0GAGE2G

7、D ，故 G 是 ABC 的重心 .（反之亦然（证略）例 5 P 是 ABC 所在平面内任一点.G是 ABC 的重心PG1 (PAPBPC).3证明PGPA AGPBBGPCCG3PG ( AGBGCG)(PA PB PC) G 是 ABC 的重心 GAGBGC =0AGBGCG =0，即 3PGPA PB PC由此可得 PG1(PAPBPC) .（反之亦然（证略） ）3例6若O 为ABC 内一点， OA OB OC 0，则O 是ABC的（）A 内心B外心C垂心D重心A解析：由 OAOBOC0得 OBOCOA ，如图以 OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则 OBOCOD ，由平行四边形性质知

8、 OE1OD， OA2 OE ，同理O重心，选 D 。2BEC可证其它两边上的这个性质，所以是D点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：重心是三角形中线的内分点，所分这比为2。本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行1四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。(四 )将平面向量与三角形外心结合考查例7若O 为ABC 内一点， OAOBOC ，则O 是ABC 的（）A 内心B外心C垂心D重心解析：由向量模的定义知O 到ABC 的三顶点距离相等。故O是 ABC的外心 ，选 B。点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧

9、妙结合。(五 )将平面向量与三角形四心结合考查例 8已知向量 OP1 ， OP2 ， OP3 满足条件 OP1 + OP2 + OP3 =0，| OP1 |=|OP2 |=| OP3 |=1，求证 P1P2P3 是正三角形 .（数学第一册（下） ，复习参考题五 B 组第 6 题）证明由已知 OP1 + OP2 =- OP3 ，两边平方得 OP1 · OP2 =1 ，1 ，2同理OP2 · OP3 = OP3 · OP1 =2|PP|=|P P|=| P P |= 3 ，从而 P1P2P3 是正三角形 .122331反之，若点 O 是正三角形 P1P2P3 的中心，

10、则显然有 OP1+ OP2 + OP3 =0 且 | OP1 |=| OP2 |=| OP3 |.即 O 是 ABC 所在平面内一点，OP1 + OP2 + OP3 =0 且| OP1 |=|OP2 |=| OP3 |点 O 是正 P1P2P3 的中心 .例 9在 ABC中，已知 Q、 G、 H 分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、 G、 H 三点共线，且QG:GH=1:2。【证明】：以 A 为原点， AB所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0) 、 B（ x ,0 ）、1C(x 2,y 2) ， D、 E、 F 分别为 AB、 BC、 AC的中点，则有：D（ x 1

11、,0)、x1 x 2y 2、x 2y 2)2E (2,) F (2,22由题设可设 Q（ x 1, y 3 )、 H (x 2 , y 4 ) ,2G ( x 1x 2 , y 2 )33AH( x 2 , y 4 )，QF ( x 2x 1 , y 2y 3 )222BC(x 2x 1, y 2 )AHBCAH BC x 2 (x 2x1 ) y 2 y 40y 4x 2 (x 2x 1 )y 2yC(x 2,y2)FHEGQxADB( x1,0)QFACQF AC x 2 ( x 2x1 )y 2 ( y 2y 3 ) 0222y 3x 2 (x 2x 1 )y 22y 22QH(x 2x

12、 1 , y4y 3 ) （ 2x 2x1 ,3x 2 (x 2x1 )y 2 )222y 22QG ( x 2x 1x 1 , y 2y 3 ) （ 2x 2x 1 , y 2x 2 (x 2x1 ) y 2 )323632y22( 2x 2x1 ,3x 2 (x 2x 1 ) y 2 )1 ( 2x 2x 1 ,3x 2 (x 2x 1 ) y 2 )66y26322y22= 1QH3即 QH =3QG ，故 Q、G、 H三点共线，且 QG：GH=1： 2【注】：本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理，都相当麻烦，而借用向量的坐标形式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“

13、形”和“数”紧密地结合在一起，从而，很多对称、共线、共点、垂直等问题的证明，都可转化为熟练的代数运算的论证。例 10若O、H分别是ABC 的外心和垂心.求证OHOAOBOC.证明若 ABC 的垂心为H，外心为O，如图 .连 BO 并延长交外接圆于D，连结 AD ， CD . ADAB， CDBC .又垂心为H， AHBC ， CHAB， AH CD， CH AD ，四边形 AHCD 为平行四边形，AHDCDOOC ，故OHOAAHOAOBOC .著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”外心、心、垂心的位置关系：重（ 1）三角形的外心、重心、垂心三点共线“欧拉线”；（ 2）三角形的重心在“欧

14、拉线”上，且为外垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的 2 倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.例 11 设 O、G、H 分别是锐角 ABC 的外心、重心、垂心 .求证OG1 OH3证明按重心定理G 是 ABC 的重心OG1 (OAOBOC)3按垂心定理OHOA OBOC由此可得OG1OH.3补充练习1已知 A、 B、C 是平面上不共线的三点， O 是三角形 ABC 的重心，动点 P 满足OP =1(1 OA+1 OB+2 OC ),则点 P 一定为三角形ABC 的（ B）322A. AB 边中线的中点B. AB 边中线的三等分点（非重心）C.重

15、心D.AB 边的中点1. B取AB边的中点M，则OAOB2OM，由OP= 1( 1OA+1OB +2) 可 得322OC3 OP3OM2MC ， MP2 MC ，即点 P 为三角形中 AB 边上的中线的一个三等分点，且点3P 不过重心，故选B.ABC 及一点满足关系式：222222在同一个平面上有，O ABC OBCAOCAB2ABC 的则为（D） 外心内心C 重心D垂心2已知 ABC 的三个顶点A、 B、 C 及平面内一点P 满足： PAPBPC 0，则 P为ABC 的（C）外心内心C重心D垂心3已知 O是平面上一定点， A、 B、 C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OPOA(ABAC

16、 ) ，则 P 的轨迹一定通过ABC的（C）外心内心C重心D垂心4已知 ABC ，P 为三角形所在平面上的动点，且动点P 满足：PA PCPA PBPBPC0 ，则 P 点为三角形的（D）外心内心C重心D垂心5已知 ABC ，P 为三角形所在平面上的一点，且点P 满足： a PAb PBc PC0，则 P 点为三角形的（ B）外心内心C重心D垂心226在三角形（ B ） 外心7.已知非零向量ABC中，动点P 满足： CACB2 AB CP ，则 P 点轨迹一定通过ABC 的：内心C重心D垂心1AB+ACAB·AC=, 则ABC 为( )AB 与AC 满足 ()· BC=0 且2|AB |AC|AB |AC |A. 三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形解析：非零向量与满足(ABAC)·=0，即角 A 的平分线垂直于 BC， AB=AC，又| AB|AC|A BA C 1， A=，所以 ABC 为等边三角形，选Dc o sA=| AB|AC|238.ABC 的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为H， OHm(OAOB OC) ，则实数 m = 19. 点 O是三角形 ABC所在平面内的一点，满足OA OBOB OCOC OA ，则点 O是ABC 的（ B）（ A）三个内角的角平分