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文档简介

1、线性代数知识点1、行列式1.n 行列式共有n2 个元素,展开后有n! 项,可分解为2n 行列式;2. 代数余子式的性质:、 Aij 和 aij 的大小无关;、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A ;代数余子式和余子式的关系:M ij ( 1)i j AijAij ( 1)i j M ij3.4.设 n 行列式 D :n (n 1)将 D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为D1 ,则 D1( 1)2D ;n( n 1)将 D 顺时针或逆时针旋转 90 ,所得行列式为将 D 主对角线翻转后(转置),所得行列式为将 D 主副角线翻

2、转后,所得行列式为D 4 ,则5. 行列式的重要公式:、主对角行列式:主对角元素的乘积;D2 ,则 D2(1) 2 D;D3 ,则 D3D ;D4 D;n ( n1)、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2;、上、下三角行列式( ):主对角元素的乘积;n( n 1)、 和 :副对角元素的乘积( 1)2;、拉普拉斯展开式:AOACAB、CAOA( 1)m n A BCBOBBOBC、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积;、特征值;6.对于 n 阶行列式A ,恒有:EAnn( 1)k Skn k ,其中 Sk 为 k 阶主子式;k 17. 证明A0 的方法:、 AA ;、反证法;、构造齐次方程组

3、Ax0 ,证明其有非零解;、利用秩,证明 r ( A)n ;、证明 0 是其特征值;2、矩阵1. A 是 n 阶可逆矩阵:A 0 (是非奇异矩阵);r ( A)n (是满秩矩阵)A 的行(列)向量组线性无关;齐次方程组Ax0 有非零解;bR n , Axb总有唯一解;A与 E 等价;A 可表示成若干个初等矩阵的乘积;A 的特征值全不为0;AT A 是正定矩阵;A 的行(列)向量组是R n 的一组基;A 是 R n 中某两组基的过渡矩阵;2.对于 n 阶矩阵 A : AA*A* AA E无条件恒 成立;3.( A1)*(A* )1( A1)T( AT)1(A*)T(AT)*( AB)TBT AT

4、( AB)*B* A*(AB )1B 1 A14. 矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;5. 关于分块矩阵的重要结论,其中均A、 B 可逆:A1若 AA2,则:As、 AA1A2As;A11、 A1A21;As1A11O、OA;(主对角分块)OBOB 1O1B 1、AO;(副对角分块)BOA 1OA11A1CB 1、CA;(拉普拉斯)OBOB 1A1A1O、O;(拉普拉斯)CBB1CA1B 13、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个 m n 矩阵 A ,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:E rOF;OO m n等价类:所有与A 等价的矩阵组成的一个集合

5、,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;对于同型矩阵A 、 B ,若 r ( A) r (B)A B ;2. 行最简形矩阵:、只能通过初等行变换获得;、每行首个非 0 元素必须为 1;、每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为0;3. 初等行变换的应用: (初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)r、若 (A, E)(E ,X) ,则 A可逆,且XA 1 ;A变为 E 时, B就变成 A 1B,即: (A,B)c、对矩阵 ( A, B) 做初等行变化,当(E, A 1B) ;rA 1b ;、求解线形方程组:对于 n 个未知数 n 个方程 Axb ,如果 (A,b)( E , x) ,则

6、 A 可逆,且 x4. 初等矩阵和对角矩阵的概念:、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;1、2,左乘矩阵 A , i 乘 A 的各行元素;右乘,n、对调两行或两列,符号E (i , j) ,且 E (i, j) 1E ( i, j) ,例如:1、倍乘某行或某列,符号E (i (k) ,且 E (i (k) 1E (i(1) ,例如:ki 乘 A 的各列元素;1111 ;111111;k(k 0)1k11k1k1、倍加某行或某列,符号E (ij (k ) ,且 E ( ij (k ) 1E ( ij( k ) ,如:11(k 0) ;115. 矩阵秩的基

7、本性质:、 0r (Amn )min( m ,n) ;、(T)()rArA ;、若 AB ,则 r ( A) r (B ) ;、若 P 、 Q 可逆,则 r ( A)r (PA)r ( AQ ) r (PAQ ) ;(可逆矩阵不影响矩阵的秩)、 max( r ( A), r (B)r ( A, B)r (A)r (B ) ;( )、 r ( A B)r ( A)r ( B) ;( )、 r ( AB)min( r ( A), r (B ) ;( )、如果A 是 mn 矩阵, B 是 ns 矩阵,且AB0 ,则:( )、 B 的列向量全部是齐次方程组AX0 解(转置运算后的结论);、 r ( A

8、)r (B )n、若 A 、 B 均为 n 阶方阵,则r ( AB )r ( A)r (B )n ;6. 三种特殊矩阵的方幂:、秩为1 的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;1ac、型如 01b 的矩阵:利用二项展开式;001b)nCn0a nCn1a n1b1Cnm a n m bmCnn 1a1bn 1Cnn bnnCnm am bn m ;二项展开式: (am 0注:、 (ab)n 展开后有 n1 项;、 Cnmn(n 1)(n m 1)n!Cn0Cnn11 2 3mm!( nm)!CnmCnnmCnmCnmCnm 1nCnr2nrCnrnCnr11 ;

9、、组合的性质:1r0、利用特征值和相似对角化:7. 伴随矩阵:nr ( A)n、伴随矩阵的秩:r ( A* )1r ( A)n1 ;0r ( A)n1、伴随矩阵的特征值:A(AXX,A*A A 1A* XA X);、 A*AA1、 A*An 18. 关于 A 矩阵秩的描述:、 r (A)n , A 中有 n 阶子式不为0, n1 阶子式全部为0;(两句话)、 r (A)n , A 中有 n 阶子式全部为 0;、 r (A)n , A 中有 n 阶子式不为0;9. 线性方程组: Ax b ,其中 A 为 m n 矩阵,则:、 m 与方程的个数相同,即方程组Axb 有 m 个方程;、n 与方程组得

10、未知数个数相同,方程组Axb 为 n 元方程;10. 线性方程组 Ax b的求解:、对增广矩阵 B 进行初等行变换( 只能使用初等行变换 );、齐次解为对应齐次方程组的解;、特解:自由变量赋初值后求得;11. 由 n 个未知数 m 个方程的方程组构成n元线性方程:a11 x1a12 x2a1 n x nb1、a21 x1a22 x 2a2 n xnb2;am1 x1am 2 x2anm xnbna11a12a1nx1b1、a21a 22a2 nx 2b2Ax(向量方程,A 为 mn 矩阵, m 个方程, n 个未知数)bam 1a m 2amnxmbmx1b1、a1 a2anx2(全部按列分块

11、,其中b2 );xnbn、 a1x1a2 x2an xn(线性表出)、有解的充要条件:r ( A)r ( A, )n ( n 为未知数的个数或维数)4、向量组的线性相关性1. m 个 n 维列向量所组成的向量组A :1 ,2 ,m 构成 n m 矩阵 A (1, 2, m ) ;T11T ,2T ,mT 构成 m n 矩阵 BTm 个 n 维行向量所组成的向量组B :,2;Tm含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;2.、向量组的线性相关、无关、向量的线性表出、向量组的相互线性表示AxAx0 有、无非零解; (齐次线性方程组)b 是否有解;(线性方程组)B 是否有解;(矩阵方程)3.矩阵 A

12、m n 与 Bl n 行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组Ax0 和 Bx0 同解; ( P101 例 14)4. r ( AT A) r ( A) ; ( P101 例 15)5. n 维向量线性相关的几何意义:、线性相关0 ;、,线性相关线性相关,坐标成比例或共线(平行);共面;6. 线性相关与无关的两套定理:若1,2 ,s 线性相关,则1,2 ,s , s 1 必线性相关;若1,2 ,s 线性无关,则1,2 ,s 1 必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶)若 r 维向量组A 的每个向量上添上nr 个分量,构成 n 维向量组 B :若 A线性无关,则 B 也线性无关;反之若 B

13、 线性相关,则 A 也线性相关;(向量组的维数加加减减)简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定;7. 向量组向量组向量组向量组A (个数为 r )能由向量组 B (个数为 s )线性表示,且 A 线性无关,则 r s; A 能由向量组 B 线性表示,则 r ( A) r ( B ) ;A 能由向量组B 线性表示AXB 有解;r (A)r (A, B )A 能由向量组B 等价r ( A)r (B)r ( A, B )8. 方阵 A可逆存在有限个初等矩阵 P1, P2 , , Pl ,使 AP1 P2Pl ;rPAB (左乘, P 可逆)Ax0 与 Bx0 同解、矩阵行等价:A Bc、矩阵列等价

14、:A BAQB (右乘, Q 可逆);、矩阵等价:A BPAQB( P、Q可逆);9. 对于矩阵 Am n 与 Bl n :、若 A 与 B 行等价,则 A 与 B 的行秩相等;、若 A 与 B 行等价,则 Ax 0 与 Bx 0 同解, A 与 B 的任何对应的列向量组有相同的线性相关性;、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;、矩阵 A 的行秩等于列秩;10. 若 Am sBs n C m n ,则:、 C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示,B 为系数矩阵;、 C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示,AT 为系数矩阵;(转置)11.齐次方程组Bx0 的解一定是 ABx0 的解,【考试中可以直

15、接作为定理使用,而无需证明】、 ABx0 只有零解Bx0 只有零解;、 Bx 0有非零解ABx0一定存在非零解;12.设向量组 Bnr : b1 , b2 ,br 可由向量组 An s : a1 , a2 ,as 线性表示为:(b1, b2 , br )(a1, a2 , as) K ( BAK )其中 K 为 sr ,且 A 线性无关,则 B 组线性无关r (K ) r(与K的列向量组具有相同线性相关性); B(必要性:rr (B)r ( AK )r ( K ), r (K )r , r (K ) r ;充分性:反证法)注:当 rs 时, K 为方阵,可当作定理使用;13.、对矩阵 Am n

16、 ,存在 Qn m , AQE mr ( A)m 、 Q 的列向量线性无关;、对矩阵 Am n ,存在 Pn m , PAE nr (A)n 、 P 的行向量线性无关;14.1,2, ,s 线性相关存在一组不全为0 的数 k1 , k2 , ,ks ,使得 k1 1k2 2ks s0 成立;(定义)x1(1,2,s )x20有非零解,即Ax0 有非零解;xsr ( 1 ,2 ,s )s,系数矩阵的秩小于未知数的个数;15.设 mn 的矩阵 A 的秩为 r ,则 n 元齐次线性方程组Ax0 的解集 S 的秩为: r (S)nr ;16.若* 为 Axb 的一个解,1, 2 , n r 为 Ax0

17、 的一个基础解系,则* , 1, 2 , n r 线性无关;5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵ATA E或A1AT(定义),性质:、 A 的列向量都是单位向量,且两两正交,即aiT a j1ij ( i, j 1,2, n) ;0ij、若 A 为正交矩阵,则 A 1AT 也为正交阵,且A1 ;、若 A 、 B 正交阵,则 AB 也是正交阵;注意:求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化 和单位化 ;2. 施密特正交化: (a1 ,a2 , , ar )b1a1 ;b2a2 1,a2b1bra r 1,b2a,b1,bbarb1r b2r ar br ;1 b1, b1 b1 b, 1 b 2b ,

18、 2brbr 1, 13. 对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关;对于实对称阵 ,不同特征值对应的特征向量正交;4. 、 A 与 B 等价A 经过初等变换得到 B ;PAQB , P、Q可逆;r ( A)r (B) , A 、 B 同型;、 A与 B合同CTACB ,其中可逆;xT Ax 与 xT Bx 有相同的正、负惯性指数;、 A与B相似P1APB;5. 相似一定合同、合同未必相似;若 C 为正交矩阵,则CT ACBAB ,(合同、相似的约束条件不同,相似的更严格);6. A 为对称阵,则 A 为二次型矩阵;7. n 元二次型 xT Ax 为正定:A 的正惯性指数为n ;A 与 E 合同,即存在可逆矩阵A 的所有特征值均为正数;C,使CTACE ;A 的各阶顺序主子式均大于0;aii0, A0 ; ( 必要条件 )第一章随机事件互斥对立加减功,条件独立乘除清;全概逆概百分比,二项分布是核心;必然事件随便用,选择

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